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第 30 讲 变功率及机车启动模型
（多选）1．（2022·广东）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平 MN段以恒定功率
200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶。已知小车总
质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。下
列说法正确的有（ ）
A．从M到N，小车牵引力大小为40N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800J
C．从P到Q，小车重力势能增加1×104J
D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700J
【解答】解：AB、在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，则小车的牵引力等于
小车受到的摩擦力，因此
P 200
F=f = = N=40N
v 5
从M到N过程中，小车摩擦力做功为W＝﹣40×20J＝﹣800J，即小车克服摩擦力做功800J，故
f
AB正确；
C、从 P 到 Q 的过程中，根据功能关系可知，重力势能的增加量为 ΔE ＝mgΔh＝
p
50×10×20×sin30°J＝5000J，故C错误；
D、在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶，则
P
2=mgsin30°+f
v 2
2
代入数据解得：f ＝35N
2
则此过程中，小车摩擦力做功为W ＝f s＝﹣35×20J＝﹣700J，即小车克服摩擦力做功为700J，
f2 2
故D正确；
故选：ABD。1．（2021·湖南）“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动
车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为 P，若动
车组所受的阻力与其速率成正比（F阻 ＝kv，k为常量），动车组能达到的最大速度为 v
m
。下列
说法正确的是（ ）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
3
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为 v
m
4
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度v ，则
m
1
这一过程中该动车组克服阻力做的功为 mv 2﹣Pt
m
2
【解答】解：A、若动车组做匀加速启动，则加速度不变，而速度增大，则阻力也增大，要使合
力不变则牵引力也将增大，故A错误；
4P
-kv
B、若动车组输出功率均为额定值，则其加速 a F -f v ，随着速度增大，加速度减
= 牵 =
m m
小，所以动车组做加速度减小的加速运动，故B错误；
4P
C、当动车组的速度增大到最大 v 时，其加速度为零，则有： =kv ，若总功率变为
m v m
m
2.25P 3
2.25P，则同样有： =kv '，联立两式可得：v ′= v ，故C正确；
v ' m m 4 m
m
1 1
D、对动车组根据动能定理有：4Pt﹣W= mv2，所以克服阻力做的功W＝4Pt- mv2，故D
f 2 m f 2 m
错误。
故选：C。
一.知识回顾
1.平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝F·cosθ，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。2．瞬时功率的计算方法
利用公式P＝F·vcosθ，其中v为该时刻的瞬时速度。
3.求力做功的功率时应注意的问题
(1)明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。求平均功率首选＝，其次是用＝
F·cosα，应容易求得，如求匀变速直线运动中某力的平均功率。
(2)求瞬时功率用P＝Fvcosα，要注意F与v方向间的夹角α对结果的影响，功率是
力与力的方向上速度的乘积。
4.两种启动方式的比较
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
Pt图和
v t图
a＝不变⇒
分析过程 v↑⇒F＝↓
O F 不变 v↑⇒P＝Fv↑直到 P
额
⇒a＝↓
A ＝Fv
1
段 运动 匀加速直线运动，维持时间 t
0
加速度减小的加速直线运动
性质 ＝
A 过程 F＝F ⇒a＝0⇒ v↑⇒F＝↓⇒
阻
B
分析 v ＝ a＝↓
m
段
运动
以v 匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
m
性质
F＝F ⇒a＝0⇒
阻
BC段 无
以v ＝匀速直线运动
m
5．三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速直线运动时的速度，即 v ＝
m
＝(式中F 为最小牵引力，其值等于阻力F )。
min 阻
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不
是最大，即v＝<v ＝。
m
(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F x＝ΔE 。
阻 k
此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。二.例题精析
题型一：常规题
例1．一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t＝0时刻开始，将一个大小为F的水平恒力作
用在该木块上，在t＝t 时刻F的功率和时间t 内的平均功率分别为（ ）
1 1
A．F2t ，F2t B．F2t ，F2t
1 1 1 1
2m 2m m m
C．F2t ，F2t D． F2 t ，F2t
1 1 1 1
m 2m 2m m
【解答】解：由牛顿第二定律可以得到，
F
F＝ma，所以a=
m
F
t 时刻的速度为v＝at= t ，
1 1
m
t 内通过的位移为x 1 Ft2
1 = at2= 1
2 1 2m
F F2t
所以t 时刻F的功率为P＝Fv＝F• t =
1 1
m m
做的总功为W＝Fx F2t2
= 1
2m
平均功率为 W F2t
P= =
t 2m
1
故选：C。
题型二：机车启动
例2．下列各图是反映汽车（额定功率为P额 ）从静止开始匀加速启动，最后做匀速直线运动的过
程中，其加速度、牵引力、功率随速度变化的图像和速度—时间图像，其中不正确的是
（ ）A． B．
C． D．
【解答】解：ABC、汽车从静止开始匀加速启动，根据牛顿第二定律可得：F ﹣f＝ma，可知牵
0
引力在匀加速阶段保持不变，由公式P＝F v，可知在匀加速阶段，功率与速度成正比，随着速
0
度的增大而增大，当P＝P额 时，功率保持不变，设此时的速度为v
1
，则有
v =
P
额=
P
额
，之
1 F f +ma
0
后牵引力减小，加速度减小，速度继续增加，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当牵引力 F＝
f时，加速度为零，故A错误，BC正确；
D、汽车先匀加速度直线运动，且由分析知，匀加速结束的速度为 P P ，之后做加
v = 额= 额
1 F f +ma
0
P P
速度减小的加速运动，最后汽车速度达到最大，为v = 额= 额，之后汽车做匀速直线运动，
m F f
故D正确。
本题选择不正确的，
故选：A。
三.举一反三，巩固练习
1. 质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机功率恒为 P，且行驶过程中受
v
到的阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为 v，那么当汽车的车速为 时，汽车的瞬时
6
加速度的大小为（ ）
6P 3P 4P 5P
A． B． C． D．
mv mv mv mv
P
【解答】解：当汽车以最大速度行驶时，牵引力与阻力大小相等，所以有f= ，
vP 6P
v F= =
当汽车的车速为 时，牵引力大小为 v v
6
6
根据牛顿第二定律有F﹣f＝ma
5P
解得a= ，故ABC错误，D正确；
mv
故选：D。
2. 一辆汽车由静止开始沿平直公路行驶，汽车所受牵引力F随时间t变化关系图线如图
所示。若汽车的质量为1.2×103kg，阻力恒定，汽车的最大功率恒定，则以下说法正确的是（
）
A．汽车的最大功率为5×104W
25
B．汽车匀加速运动阶段的加速度为 （m/s2）
6
C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动
D．汽车从静止开始运动12s内位移是60m
【解答】解：ABC、由图可知，汽车在前4s内的牵引力不变，汽车做匀加速直线运动，4﹣12s
内汽车的牵引力逐渐减小，则车的加速度逐渐减小，汽车做加速度减小的加速运动，直到车的
速度达到最大值，以后做匀速直线运动，可知在4s末汽车的功率达到最大值；
汽车的速度达到最大值后牵引力等于阻力，所以阻力：f＝2×103N
前4s内汽车的牵引力为：F＝5×103N
由牛顿第二定律：F﹣f＝ma
可得：a＝2.5m/s2
4s末汽车的速度：v ＝at ＝2.5×4m/s＝10m/s
1 1
所以汽车的最大功率：P＝Fv ＝5×103×10W＝5×104W，故A正确，BC错误；
1
1 1
D、汽车在前4s内的位移：x = at2= ×2.5×42m=20m
1 2 1 2汽车的最大速度为 P 5×104
v = = m/s=25m/s
m f 2×103
1 1
汽车在4﹣12s内的位移设为x ，根据动能定理可得：Pt-f x = mv2 - mv2
2 2 2 m 2 1
代入数据可得：x ＝42.5m
2
所以汽车的总位移：x＝x +x ＝20m+42.5m＝62.5m。故D错误。
1 2
故选：A。
3. （多选）国家十三五规划中提出实施新能源汽车推广计划，提高电动车产业化水平。
某款电动概念车质量为m，在一段平直公路上由静止匀加速启动，加速度大小为 a，经时间t
达到额定功率。若汽车运动过程中阻力恒为f，则下列说法中正确的是（ ）
1
A．牵引力做的功为 (ma+f )at2
2
1
B．牵引力做的功为 ma2t2
2
C．该汽车的额定功率为fat
D．该汽车的额定功率为（ma+f）at
【解答】解：AB、假定匀加速运动阶段的牵引力大小为F，则根据牛顿运动定律得F﹣f＝ma
则有＝ma+f
1 1
则期间牵引力做功为W＝Fl=(f +ma)× at2= (f +ma)at2，故A正确，B错误；
2 2
CD、依题意，达到额定功率时的汽车的速率大小为v＝at
则汽车额定功率大小为P＝Fv（ma+f）at，故C错误，D正确。
故选：AD。
1
4. 如图所示是汽车牵引力F和车速倒数 的关系图像，若汽车由静止开始沿平直公路行
v
驶，其质量为2×103kg，所受阻力恒定，且最大车速为30m/s，则以下说法正确的是（ ）
A．汽车的额定功率为6×103WB．汽车运动过程中受到的阻力为6×103N
C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动
D．汽车做匀加速运动的时间是5s
【解答】解：AB、当速度为30m/s时，牵引车的速度达到最大，做匀速直线运动，此时F＝f，
所以f＝2×103N．牵引车的额定功率P＝fv＝2×103×30W＝6×104W，故AB错误。
F-f 6000-2000
C、匀加速直线运动的加速度a= = m/s2＝2m/s2，
m 2000
P 60000 v 10
匀加速直线运动的末速度v= = m/s＝10m/s，则匀加速运动的时间t= = s＝5s．因
F 6000 a 2
为15m/s＞10m/s，所以汽车速度为15m/s时，功率已达到额定功率，后面通过减小牵引力来增
加速度，所以以后做加速度越来越小的加速运动。故C错误，D正确。
故选：D。
5. 一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定
功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t图像如图所示，已知汽车的质量为m＝2×103kg，汽车
受到的阻力为车重的0.1倍，g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车在前5s内的加速度为2m/s2
B．汽车在前5s内的牵引力为4×103N
C．汽车的额定功率为50kW
D．汽车的最大速度为15m/s
【解答】解：A、由题图可知，前5s内汽车做匀加速直线运动，根据 v﹣t可知其加速度为
Δv 10
a= = m/s2=2m/s2，故A正确；
Δt 5
B、对车进行受力分析有F﹣f＝ma，f＝0.1mg
带入数据解得F＝6×103N故B错误；
C、根据汽车恒定加速度启动规律可知，当匀加速直线运动阶段的结束就是汽车达到额定功率，
此时有P额 ＝Fv
1
＝6×103×10W＝60000W＝60kW
故C错误；
D、当汽车的加速度为零时其达到最大速度，即此时牵引力等于阻力，有P额 ＝fv
max
代入数据解得v ＝30m/s
max
故D错误。
故选：A。
6. 一辆新能源汽车在平直的公路上由静止开始启动，在启动过程中，汽车牵引力的功率
1
及其瞬时速度随时间的变化情况分别如图甲、乙所示，已知汽车所受阻力恒为重力的 ，重力
5
加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．该汽车的质量为2.0×103kg
B．在前5s内，汽车前进位移大小为25m
C．整个过程中汽车的牵引力大小保持不变
D．在前5s内，汽车牵引力做功为3.75×104J
1
【解答】解：A、设汽车的质量为m，汽车受到的阻力为f = mg
5
Δv 5
由图可知，该汽车在0～5s内做匀加速直线运动，加速度大小为a= = m/s2＝1m/s2
Δt 5
牵引力F的功率为P＝Fv＝Fat
代入数据解得：F＝3000N
F-f
由牛顿第二定律可得：a=
m
解得：m＝1.0×103kg，故A错误；B、在前 5s 内，汽车做初速度为零的匀加速直线运动，前 进的位移大小为：
1 1
x= at2= ×1×52m＝12.5m，故B错误；
2 2
C、前5s内汽车做匀加速直线运动，牵引力保持不变，5～15s时间内汽车牵引力功率保持不变，
汽车的速度逐渐增加，由牵引力的功率P＝Fv可知，在5～15s时间内汽车牵引力不断减小，故
C错误；
D、在前5s内，汽车牵引力保持不变，牵引力做功为：W＝Fx＝3000×12.5J＝3.75×104J，故D正
确。
故选：D。
7. 2022年3月以来，上海新一轮疫情爆发，驻马店一爱心组织迅速筹集一批生活援助物
资发往上海。一装载援助物资的汽车启动过程的加速度a随位移x变化的图像，如图所示。已
知汽车（含援助物资）的质量为m，在距离出发点x 处达到额定功率P，汽车所受阻力恒为
1
f，则该汽车从距离出发点x 处到速度增至最大所用的时间为（ ）
1
A．√2x
1
a
0
B．√2(x +x )
1 2
a
0
C．mP f ma x
+ (x -x )- 0 1
2f2 p 2 1 P
mP f mP
D． + (x -x )-
2f2 p 2 1 2(f +ma )
0
【解答】解：汽车从出发到x 处做匀加速直线运动，根据v2＝2a x
1 0 1
P
汽车匀加速阶段的最大速度v'=
f
所以该汽车从距离出发点 x 处到速度增至最大的过程中根据动能定理有：Pt﹣f（x ﹣x ）
1 2 11 1
= mv'2- mv2
2 2
联立解得：t mP f ma x
= + (x -x )- 0 1
2f2 p 2 1 P
故ABD错误，C正确；
故选：C。
8. “能源危机”是人类社会面临的重大问题，开发“绿色能源”是解决“能源危机”
的重要途径。如图所示为育才中学科技小组刘某呈同学制作的新能源“汽车”——“太阳能驱
动小车”。当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流流经电动机，于是电动
机带动小车前进。若小车质量为m，在平直的路面上由静止开始沿直线加速行驶，经过一段时
间速度达到最大值v ，此加速过程所用时间为t，电动机的功率恒为P，小车所受阻力恒为F，
m
则这段时间内（ ）
A．小车做匀加速运动
B．小车受到的牵引力逐渐增大
C．小车受到的合外力所做的功为Pt
1
Pt- mv 2
D．小车从静止开始到达到最大速度v ，小车前进的距离为 2 m
m
F
【解答】解：AB、对小车利用牛顿第二定律有F牵 ﹣F＝ma，根据P＝F牵v可知在功率恒定时，
v增大，则牵引力F牵 减小；由题意可知阻力F恒定，故小车的加速度变小，故AB错误；
C、小车的功率指的是牵引力的功率，故牵引力所做的功为W＝Pt，即Pt不是合外力的功率，故
C错误；
1
D、在小车运动过程，利用动能定理，有 Pt﹣Fx= mv 2，整理可得小车前进的位移为 x
m
2
1
Pt- mv 2
2 m ，故D正确；
=
F故选：D。
9. 复兴号动车在世界上首次实现速度350km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的
又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v ，以恒定功率P在平直轨道上运动，
0
经时间t达到该功率下的最大速度v ，设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变。列车在整个
m
过程中，下列说法正确的是（ ）
A．做匀加速直线运动
B．牵引力的功率P＝Fv
m
v 3F
C．当动车速度为 m时，其加速度为
3 m
1 1
D．牵引力做功等于 mv2 - mv 2
2 m 2 0
【解答】解：B、复兴号动车做的是以初速度为v
0
恒定功率运动，功率始终保持不变，并且P额
＝F牵v，随着速度的增加，牵引力逐渐减小，当达到最大速度时候，动车处于平衡状态，此时
牵引力等于阻力F，所以此时的功率为Fv ，故B正确
m
A、随着速度的逐渐增加，牵引力逐渐减小，所以动车做的是加速度逐渐减小的加速运动，故 A
错误；
v v
C、当动车速度为 m时，根据P＝F′ m，解得F′＝3F，根据牛顿第二定律可得：F′﹣F＝
3 3
2F
ma，解得加速度为a= ，故C错误；
m
1 1
D、根据动能定理可以得知W牵 ﹣W
F
= mv
m
2- mv
0
2，故D错误；
2 2
故选：B。
10. 如图所示为某品牌的电动车，质量为60kg，电动车行驶时所受阻力大小为车和人总重
力的0.05倍。一质量为40kg的人骑着该电动车在水平地面上由静止开始以额定功率行驶，5s
内行驶了15m，速度达到5m/s。已知重力加速度为g＝10m/s2.该电动车以额定功率行驶能达到
的最大速度为（ ）A．5m/s B．6m/s C．7m/s D．8m/s
1
【解答】解：设5s内电动车位移为x，额定功率为p，由动能定理：pt﹣fx= (M+m)v2，其中
2
p 400
f＝0.05（M+m）g＝50N，解得p＝400W，达到最大速度时F＝f，由p＝fv ，得v = =
m m
f 50
m/s＝8m/s，故D正确，ABC错误；
故选：D。
11. 如图所示为高速磁悬浮列车在水平长直轨道上的模拟运行图，5节质量均为m的车厢
编组运行，只有1号车厢为动力车厢。列车由静止开始以额定功率 P运行，经过一段时间达到
最大速度。列车向右运动过程中，1号车厢会受到前方空气的阻力，假设车厢碰到空气前空气
的速度为0，碰到空气后空气的速度立刻与列车速度相同，已知空气密度为 ，1号车厢的超风
面积（垂直运动方向上的投影面积）为S。不计其他阻力，忽略2号、3号、ρ4号、5号车厢受
到的空气阻力。当列车以额定功率运行到速度为最大速度的一半时，3号车厢对4号车厢的作
用力大小为（ ）
7 4 6 7
A． ❑ 3√P2ρS B． ❑ 3√P2ρS C． ❑ 3√P2ρS D． ❑ 3√P2ρS
10 5 5 20
【解答】解：设动车的速度为 v，动车对空气的作用力为F，根据动量定律可得：Ft＝ vtSv﹣
0，解得F＝ Sv2 ρ
ρ √ P
当牵引力等于阻力时，速度达到最大，则P＝Fv ，解得v =3 ，当速度达到最大速度一半时，
m m ρS
v P
此时速度为v'= m，此时受到的牵引力F = ，解得F =2√3 P2ρS，此时受到的阻力
2 牵 v' 牵v 1
f =ρS×( m ) 2= √3 P2ρS，对整体根据牛顿第二定律F牵 ﹣f＝5ma
2 4
对45号车厢，根据牛顿第二定律可得：F′＝2ma
7
联立解得：F'= √3 P2ρS，故A正确，BCD错误
10
故选：A。
