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查漏补缺 01 代数式求值及代数式规律问题
（2 考点 6 大题型）
考点一：代数式求值
【题型一】整式及其运算
易错点01：运用乘法公式时，应对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)
(3a-b)，不能运用平方差公式.
易错点02： 整式相乘的注意事项：1）计算过程要注意符号；2）最后有同类项时，必须合并，从而得到最简
结果.
解题大招01：幂的混合计算时可能用到以下公式：
1) 2） 3)
4) 5)
【注意】同底数幂的运算法则只适用于同底数幂的乘除，当底数不同时要看能否化成同底数，若不能则不能用
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同底数幂的运算法则进行计算.
解题大招02：整式的混合运算运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先
去小括号，再去中括号，最后去大括号.
【中考真题】
1．（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．2m+n=2mn B．m6÷m2=m3
C．(−mn) 2=−m2n2 D．m2 ⋅m3=m5
【答案】D
【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法
则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．
【详解】解：A、2m和n不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；
B、m6÷m2=m4，故此选项不合题意；
C、(−mn) 2=m2n2，故此选项不合题意；
D、m2 ⋅m3=m5，故此选项符合题意．
故选：D．
2．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．2x2y−3x y2=−x2y B．4x8y2÷2x2y2=2x4
C．(x−y)(−x−y)=x2−y2 D．(x2y3) 2 =x4 y6
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方进行判断即可求解．
【详解】解：A、2x2y与3x y2不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意；
B、4x8y2÷2x2y2=2x6，故不符合题意；
C、(x−y)(−x−y)=−(x−y)(x+ y)=−(x2−y2)= y2−x2，故不符合题意；
D、(x2y3) 2 =x4 y6，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方，熟练掌握相关运算
法则是解题的关键．
3．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦
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图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别
为m，n(m>n)．若小正方形面积为5，(m+n) 2=21，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题
型．由题意可知，中间小正方形的边长为m−n，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方
形的面积为m2+n2．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m−n，
∴(m−n) 2=5，即m2+n2−2mn=5①，
∵(m+n) 2=21，
∴m2+n2+2mn=21②，
①+②得2(m2+n2)=26，
∴大正方形的面积m2+n2=13，
故选：B．
4．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式−x2my3与单项式2x4 y2−n的和仍是一个单项式，则在平面直
角坐标系中点(m,n)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出m,n的值，再确定点(m,n)的位置
即可
【详解】解：∵单项式−x2my3与单项式2x4 y2−n的和仍是一个单项式，
∴单项式−x2my3与单项式2x4 y2−n是同类项，
∴2m=4,2−n=3，
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解得，m=2,n=−1，
∴点(m,n)在第四象限，
故选：D
5．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数
乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结
果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进
行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为4100a+1025
【答案】D
【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．
设一个三位数与一个两位数分别为100x+10 y+z和10m+n，则mz=20,nz=5,ny=2,nx=a，即m=4n，
可确定n=1,y=2时，则m=4,z=5,x=a，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：
1000(4a+1)+100a+25=4100a+1025，故可判断C、D选项．
【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为100x+10 y+z和10m+n
如图：
则由题意得：
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mz=20,nz=5,ny=2,nx=a，
mz
∴ =4，即m=4n，
nz
∴当n=2,y=1时，z=2.5不是正整数，不符合题意，故舍；
当n=1,y=2时，则m=4,z=5,x=a，如图：
，
A、“20”左边的数是2×4=8，故本选项不符合题意；
∴B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
∴a上面的数应为4a，如图：
∴运算结果可以表示为：1000(4a+1)+100a+25=4100a+1025，
D选项符合题意，
∴当a=2时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意，
故选：D．
6．（2024·新疆·中考真题）如图，在正方形ABCD中，若面积S =12，周长C =16，则
矩形AEOH 矩形OFCG
S +S = ．
正方形EBFO 正方形HOGD
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【答案】40
【分析】本题考查了正方形、矩形的性质，完全平方公式等知识，设正方形BEOF、HOGD的边长分别
为a、b，先求出¿，然后根据S +S =a2+b2=(a+b) 2−2ab求解即可．
正方形EBFO 正方形HOGD
【详解】解：设正方形BEOF、HOGD的边长分别为a、b，
根据题意，得¿，
∴¿，
∴S +S
正方形EBFO 正方形HOGD
=a2+b2
=(a+b) 2−2ab
=82−2×12
=40，
故答案为：40．
7．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足(m−2023) 2+(2024−m) 2=2025，则
(m−2023)(2024−m)= ．
【答案】−1012
【分析】根据完全平方公式得
2(m−2023)(2024−m)=[(m−2023)+(2024−m)] 2−[(m−2023) 2+(2024−m) 2 ]，再代值计算即可．
【详解】解：∵ (m−2023) 2+(2024−m) 2=2025
∴2(m−2023)(2024−m)=[(m−2023)+(2024−m)] 2−[(m−2023) 2+(2024−m) 2 ]
=1−2025
=−2024
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∴(m−2023)(2024−m)=−1012
故答案为：−1012．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式(a±b) 2=a2±2ab+b2及其变式
是解题本题的关键．
8．（2023·四川凉山·中考真题）已知y2−my+1是完全平方式，则m的值是 ．
【答案】±2
【分析】根据(a±b) 2=a2±2ab+b2，计算求解即可．
【详解】解：∵y2−my+1是完全平方式，
∴−m=±2，
解得m=±2，
故答案为：±2．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：(a±b) 2=a2±2ab+b2．
9．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以a,b,m,n为边长作正方形，已知m>n且满足am−bn=2，
an+bm=4．
（1）若a=3,b=4，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
5
【答案】 25
3
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据题意，解方程组得出¿，根据题意得出m+n=√10，进而得出¿，根据图2阴影部分的面积为mn，
代入进行计算即可求解．
【详解】解：（1） a=3,b=4，图1阴影部分的面积是a2+b2=32+42=25，
故答案为：25．
（2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，
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1
∴a2+b2=3， (m+n)(m+n)=5，即(m+n) 2=10
2
∴m+n=√10（负值舍去）
∵am−bn=2，an+bm=4．
解得：¿
∵a2+b2=3①
∴¿，
6a+2b 2
∴m+n= =2a+ b，
3 3
2
∴2a+ b=√10②
3
联立①②解得：¿（b为负数舍去）或¿
√30+3√10 −√30+3√10
∴2a+4b= ，4a−2b=
2 2
1
图2阴影部分的面积是 √2m×√2n=mn
2
(2a+4b)(4a−2b)
mn=
9
√30+3√10 −√30+3√10
×
2 2
=
9
5
=
3
5
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次
方程，正确的计算是解题的关键．
10．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>1)．某同
学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S ,S ．
1 2
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(1)请用含a的式子分别表示S ,S ；当a=2时，求S +S 的值；
1 2 1 2
(2)比较S 与S 的大小，并说明理由．
1 2
【答案】(1)S =a2+3a+2，S =5a+1，当a=2时，S +S =23
1 2 1 2
(2)S >S ，理由见解析
1 2
【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到S ,S ，S +S ，将a=2代入用=a2a表示
1 2 1 2
S +S 的等式中求值即可；
1 2
（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．
【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：S =a2，S =a，S =1，
甲 乙 丙
∴S =S +3S +2S =a2+3a+2，S =5S +S =5a+1，
1 甲 乙 丙 2 乙 丙
∴S +S =(a2+3a+2)+(5a+1)=a2+8a+3，
1 2
∴当a=2时，S +S =22+8×2+3=23；
1 2
（2）S >S ，理由如下：
1 2
∵S =a2+3a+2，S =5a+1
1 2
∴S −S =(a2+3a+2)−(5a+1)=a2−2a+1=(a−1) 2
1 2
∵a>1，
∴S −S =(a−1) 2>0，
1 2
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∴S >S ．
1 2
【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解
题的关键．
【模拟训练】
⏟2n+2n+⋅⋅⋅+2n=28
1．（2024·河北邯郸·二模）若 ，则n=（ ）
8个2n
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的应用等知识点，根据题意利用同底数幂乘法法则运算即可得解，
熟练掌握同底数幂乘法法则是解决此题的关键．
【详解】由题意知：8×2n=28，
∴23×2n=28，
∴23+n=28，
∴3+n=8，
∴n=5，
故选：D．
2．（2024·云南怒江·一模）已知m是方程x2−3x+1=0的根，求代数式m3−8m+4的值（ ）
A．1 B．3 C．4 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，由题意得出m2=3m−1，再整体代入
m3−8m+4计算即可得解．
【详解】解：∵m是方程x2−3x+1=0的根，
∴m2−3m+1=0，
∴m2=3m−1，
∴m3−8m+4=m(3m−1)−8m+4=3m2−9m+4=3(3m−1)−9m+4=1，
故选：A．
1
3．（2024·陕西榆林·三模）已知单项式4x y2与− x3y的积为mxny3，则m,n的值为（ ）
3
4 4
A．m=− ,n=4 B．m=−12,n=−2 C．m= ,n=3 D．m=−12,n=3
3 3
【答案】A
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4
【分析】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得− x4 y3=mxny3 ，即可求解．
3
1
【详解】解：∵单项式4x y2与− x3y的积为mxny3，
3
∴4x y2× ( − 1 x3y ) =mxny3 ，
3
4
即− x4 y3=mxny3 ，
3
4
∴m=− ,n=4．
3
故选：A
4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知¿是方程组¿的解，则(a+b)(a−b)= ．
【答案】1
【分析】将方程组的解代入原方程可得到关于参数a，b的二元一次方程组，分别利用两式相减可得到
1
a−b=− ，利用两式相加可得到a+b=−5，再代入(a+b)(a−b)进行计算，即可解题．本题考查了二元
5
一次方程组，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：∵¿是方程组¿的解，
∴¿，
1
①−②得5a−5b=−1，解得a−b=− ；
5
①+②得−a−b=5，解得a+b=−5；
( 1)
∴(a+b)(a−b)=−5× − =1
5
故答案为1．
5．（2025·青海西宁·二模）已知实数x、y、z满足√x−4+(y−2) 2+|z+3|=0，则(x−y+z) 2025的值是
．
【答案】−1
【分析】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限
个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方．根
据非负数的性质求出a、b、c的值，然后代入(x−y+z) 2025计算即可．
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【详解】解：∵√x−4+(y−2) 2+|z+3|=0，
∴x−4=0，y−2=0，z+3=0，
则x=4，y=2，z=−3，
∴(x−y+z) 2025=(4−2−3) 2025=(−1) 2025=−1，
故答案为：−1．
6．（2025·河北石家庄·一模）现有A,B,C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图所示）．若要拼成一个
长为3a+2b，宽为2a+b的矩形，则需要A种纸片和C种纸片合计 张．
【答案】13
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需卡
片数量．
利用长乘宽，求出长方形面积，找出各个面积对应卡片，即可找出相应的数量．
【详解】解：(3a+2b)(2a+b)=6a2+7ab+2b2，
而A种纸片面积为a2，而B种纸片面积为B2，而C种纸片面积为ab，
∴需要A种纸片6张，B种纸片2张，C种纸片7张，
∴需要A种纸片和C种纸片合计6+7=13张，
故答案为：13．
7．（2025·陕西西安·一模）先化简，再求值：n(m+4n)−(m−2n) 2，其中m=2,n=1．
【答案】5mn−m2，6
【分析】本题考查整式化简求值，涉及乘法公式及整式混合运算，熟记乘法公式及整式运算法则是解决问
题的关键．
【详解】解：原式=mn+4n2−(m2−4mn+4n2)
=mn+4n2−m2+4mn−4n2
=5mn−m2．
将m=2,n=1代入，得
原式5×2×1−22=10−4=6．
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8．（2025·山东泰安·一模）先化简，再求值：
( 4 ) x3
(1) x+2+ ÷ ，其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数．
x−2 x2−4x+4
3
(2)[(x+2y)(x−2y)−(x−2y) 2]÷(−2y)，其中x=−1，y=− ．
2
x−2
【答案】(1) ，−1
x
(2)−2x+4 y，−4
【分析】此题考查了分式的化简求值，整式的四则混合运算等知识，熟练掌握分式的运算法则和乘法公式
是解题的关键．
（1）先计算括号内的运算，再计算除法得到化简结果，再选取的合适的值代入计算即可；
（2）利用乘法公式展开括号内的部分，再计算除法即可得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
( 4 ) x3
【详解】（1）解： x+2+ ÷
x−2 x2−4x+4
(x+2)(x−2)+4 (x−2) 2
= ⋅
x−2 x3
x2 (x−2) 2 x−2
= ⋅ =
x−2 x3 x
∵x是满足条件x≤2的合适的非负整数，x≠0，x≠2，
∴x=1，
1−2
此时原式= =−1．
1
（2）原式=(x−2y)[(x+2y)−(x−2y)]÷(−2y)
=(x−2y)⋅4 y÷(−2y)
=(4xy−8 y2)÷(−2y)=−2x+4 y，
3
当x=−1，y=− 时，
2
( 3)
原式=−2×(−1)+4× − =2−6=−4．
2
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9．（2025·河北石家庄·一模）规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“如意式”．例如：
52−32=2×8;132−112=6×8．
验证：212−192是“如意式”；
证明：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，利用平方差公式解答即可．
【详解】解：验证：∵212−192=441−361=80=10×8．
∴212−192能被8整除，
∴212−192是“如意式”；
证明：设任意两个连续奇数为2n+1和2n−1（n是整数），
(2n+1) 2−(2n−1) 2=4n2+4n+1−(4n2−4n+1)=8n
∵n是整数，
∴8n是8的倍数．
∴任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”．
【题型二】分式的运算及其化简运算
易错点01：判断一个代数式是否是分式的方法：
1）看分母中是否含有字母，有字母就是分式，不含字母就不是分式.
x2y
2）判断式子是不是分式是从原始形式上去看，而不是从化简后的结果上去看，如 是分式，不是整式.
x
易错点02：运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；
②隐含条件：分式的分母不等于0.
易错点03：分式运算的结果必须化成最简分式或整式.
易错点04：分式乘方运算时，一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方.
解题大招01：分式有意义、无意义或值为0的条件
条件
对于分式 来说
分式有意义 分母不等于零，即B≠0
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分式无意义 分母等于零，即B=0
分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0（缺一不可）
分式值为0
解题大招02：分式的混合运算运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加
减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 此外，也应仔细观察式子的
特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.
【中考真题】
A y x−y
1．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算 − 的结果为 ，则A=（ ）
xy+ y2 x2+xy xy
A．x B．y C．x+ y D．x−y
【答案】A
【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的
关键．
y x−y A y x−y
+ = +
由题意得 ，对 进行通分化简即可．
x2+xy xy xy+ y2 x2+xy xy
A y x−y
【详解】解：∵ − 的结果为 ，
xy+ y2 x2+xy xy
y x−y A
+ =
∴ ，
x2+xy xy xy+ y2
y2 (x−y)(x+ y) x2 x A
∴ + = = = ，
xy(x+ y) xy(x+ y) xy(x+ y) xy+ y2 xy+ y2
∴A=x，
故选：A．
√x−3
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
x+2
【答案】x≥3/3≤x
【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不
等式求解即可．
【详解】解：根据题意得，x−3≥0，且x+2≠0，
解得，x≥3，
故答案为：x≥3．
1 1
3．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足ab=1，那么 + 的值为 ．
a2+1 b2+1
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【答案】1
【分析】先根据异分母的分式相加减的法则把原式化简，再把ab=1代入进行计算即可．
1 1
+
【详解】解：
a2+1 b2+1
b2+1+a2+1
=
(a2+1)(b2+1)
a2+b2+2
=
a2b2+a2+b2+1
a2+b2+2
=
(ab) 2+a2+b2+1
∵ab=1
a2+b2+2 a2+b2+2
∴原式= = =1．
12+a2+b2+1 a2+b2+2
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入
求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
( 2 ) a2−2a+1
4．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值： 1− ÷ ，其中a=√2+1．
a+1 a+1
1 √2
【答案】 ，
a−1 2
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化
简，代入a=√2+1计算即可得解．
( 2 ) a2−2a+1
【详解】解： 1− ÷
a+1 a+1
a+1−2 (a−1) 2
= ÷
a+1 a+1
a−1 a+1
= ⋅
a+1 (a−1) 2
1
= ，
a−1
1 √2
当a=√2+1时，原式= = ．
√2+1−1 2
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( 2 ) m2−4
5．（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值： 1+ ⋅ ，请为m选择一个合适的数代入求值．
m−2 m
【答案】m+2，取m=1，原式=3．
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时分子
分解因式，约分得到最简结果，把合适的m值代入计算即可求出值．
( 2 ) m2−4
【详解】解： 1+ ⋅
m−2 m
(m−2 2 ) (m+2)(m−2)
= + ⋅
m−2 m−2 m
m (m+2)(m−2)
= ⋅
m−2 m
=m+2，
∵m−2≠0，m≠0，
∴m≠2，m≠0，
∴取m=1，原式=1+2=3．
a2−b2 1−a−b
6．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式： + ，并求值（请从小宇和小丽的对话中
a2−2ab+b2 a−b
确定a，b的值）
1 1
【答案】 ；−
a−b 5
【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得a，b的值，将原分式化简后代入数值计
算即可．
【详解】解：依题意，a=−3，1<b<√5且b为整数，又2<√5<3，则b=2，
a2−b2 1−a−b
+
a2−2ab+b2 a−b
(a+b)(a−b) 1−a−b
= +
(a−b) 2 a−b
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a+b 1−a−b
= +
a−b a−b
1
= ；
a−b
1 1
当a=−3，b=2时，原式= =− ．
−3−2 5
7．（2024·广东广州·中考真题）关于x的方程x2−2x+4−m=0有两个不等的实数根．
(1)求m的取值范围；
1−m2 m−1 m−3
(2)化简： ÷ ⋅ ．
|m−3| 2 m+1
【答案】(1)m>3
(2)−2
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程x2−2x+4−m=0有两个不等的实数根．
∴Δ=(−2) 2−4×1×(4−m)>0，
解得：m>3；
（2）解：∵m>3，
1−m2 m−1 m−3
∴ ÷ ⋅
|m−3| 2 m+1
−(m+1)(m−1) 2 m−3
= ⋅ ⋅
m−3 m−1 m+1
=−2；
【模拟训练】
a b 1 1
1．（2024 广东模拟预测）设p= − ，q= − ，则p，q的关系是（ ）
a+1 b+1 a+1 b+1
A．p=q B．p>q C．p+q=0 D．p<q
【答案】C
【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．
把两个式子进行相加运算，从而可得结果．
a b 1 1
【详解】解：∵p= − ，q= − ，
a+1 b+1 a+1 b+1
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∴p+q，
a b 1 1
= − + − ，
a+1 b+1 a+1 b+1
a+1 b+1
= − ，
a+1 b+1
=1−1，
=0，
即p+q=0，
故选：C．
1 ( 2ab−b2 )
2．（2024·河北·模拟预测）如图，若a=6b，则 a− 的值在（ ）
a−b a
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
【答案】D
【分析】本题考查了分式的值．把a=6b代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置．
1 ( 2ab−b2 )
【详解】解： a−
a−b a
1 a2−2ab+b2
= ⋅
a−b a
1 (a−b) 2
= ⋅
a−b a
a−b
= ，
a
∵a=6b，
6b−b 5
∴原式= = ，
6b 6
3 5
∵ < <1，
4 6
1 ( 2ab−b2 )
∴ a− 的值在落在段④，
a−b a
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故选：D．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程x2−2x−c=0的两个不相等的实数根，则
(1 1) ab
+ ⋅ 值为（ ）
a b (a−b) 2+4ab
1 1
A． B． C．2 D．4
4 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，完全平方公式，先由根与系数的关
系得到a+b=2，再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最后利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵a，b分别为方程x2−2x−c=0的两个不相等的实数根，
∴a+b=2，
(1 1) ab
∴ + ⋅
a b (a−b) 2+4ab
a+b ab
= ⋅
ab (a+b) 2
1
=
a+b
1
= ，
2
故选：B．
( 1 1 ) 2
4．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）（新考法）试卷上一个正确的式子 + ÷★= ，被小
a+b a−b a+b
颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ．
a
【答案】
a−b
( 1 1 ) 2
【分析】本题考查了分式的混合运算．首先根据被除数除以商等于除数可得★= + ÷ ，
a+b a−b a+b
根据除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数把除法转化为乘法，再利用乘法分配律可得原式
1 a+b
= +
，再根据异分母分式的加法法则进行计算即可．
2 2(a−b)
( 1 1 ) 2
【详解】解：∵ + ÷★= ，
a+b a−b a+b
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( 1 1 ) 2
∴★= + ÷
a+b a−b a+b
( 1 1 ) a+b
= + × ，
a+b a−b 2
1 a+b 1 a+b
= × + ×
a+b 2 a−b 2
1 a+b
= +
2 2(a−b)
a−b a+b
= +
2(a−b) 2(a−b)
a−b+a+b
=
2(a−b)
2a
=
2(a−b)
a
= ．
a−b
a
故答案为： ．
a−b
( x ) x2−1
5．（2024·四川眉山·二模）先化简，再求值： −1 ÷ ，其中x的值是不等式组¿的整数解．
x2+x x2+2x+1
x
【答案】 ，−2
1−x
【分析】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解，先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，
约分化简，再求出不等式组的最小整数解，代入化简后的式子求值即可．
( x ) x2−1
【详解】解： −1 ÷
x2+x x2+2x+1
x−x2−x x2+2x+1
= ⋅
x2+x x2−1
−x2 (x+1) 2
= ⋅
x(x+1) (x+1)(x−1)
x
= ；
1−x
由分式的意义，可知，x≠−1,0,1，
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¿，
解不等式①，得x≥−1，
5
解不等式②，得x< ，
2
5
∴不等式组¿的解集为−1≤x< ，
2
∴不等式组¿的整数解是−1，0,1，2，其中−1，0,1不符合分式的意义，
∴x只能取2.
x 2
将x=2代入 得：原式= =−2．
1−x 1−2
(
4m+4) m+2
6．（2024·广东广州·一模）已知A= m+ ÷ ．化简A；若点(m,0)是抛物线y=x2+2x−3上
m m2
的一点，求A的值．
【答案】m2+2m，3
【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的
性质是解题的关键．先计算括号内的加法，再计算除法即可化简A；再把点(m,0)代入得到m2+2m−3=0，
则m2+2m=3，整体代入化简的A中计算即可．
(
4m+4) m+2
【详解】解：A= m+ ÷
m m2
(m2 4m+4) m+2
= + ÷
m m m2
m2+4m+4 m+2
= ÷
m m2
(m+2) 2 m2
= ⋅
m m+2
=m(m+2)
=m2+2m；
∵点(m,0)是抛物线y=x2+2x−3上的一点，
∴m2+2m−3=0
∴m2+2m=3
∴A=m2+2m=3．
【题型三】利用整体思想解决代数式求值问题
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代数式求值问题常用处理办法：
①变形已知条件，使其符合待求式中含字母部分的最简组合形式
②将待求式变形，使其成为含有上面最简组合式的表达式，
③代入未知最简组合形式部分的值，求出最后结果；
【中考真题】
1．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，则a2+2023a−b的值为
．
【答案】2028
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系
数关系求得a2+2024a=4，a+b=−2024，再代值求解即可．
【详解】解：∵a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，
∴a2+2024a−4=0，a+b=−2024，
∴a2+2024a=4，
∴a2+2023a−b
=a2+2024a−(a+b)
=4−(−2024)
=4+2024
=2028，
故答案为：2028．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn2的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【详解】解：∵mn=2，m−n=1，
∴ m2n−mn2=mn(m−n)=2×1=2，
故答案为：2．
3．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程2x2−4x−1=0的两根为m，n，则3m2−4m+n2的值为
．
【答案】6
【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若x ,x 是一元二次方程
1 2
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b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x +x =− ,x x = ，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关
1 2 a 1 2 a
键．
1
根据根与系数的关系得m+n=2，mn=− ，2m2−4m=1，再把3m2−4m+n2变形为
2
2m2−4m+m2+n2，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程2x2−4x−1=0的两个根为m，n，
1
∴m+n=2，mn=− ，2m2−4m=1
2
∴3m2−4m+n2
=2m2−4m+m2+n2
=m2+n2+1
=(m+n) 2−2mn+1
1
=22−2×(− )+1
2
=6
故答案为：6．
3(a−2b)+3b
4．（2024·北京·中考真题）已知a−b−1=0，求代数式 的值.
a2−2ab+b2
【答案】3
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对a−b−1=0化简得到a−b=1，再整体代
入求值即可．
3a−6b+3b
=
【详解】解：原式
(a−b) 2
3(a−b)
=
(a−b) 2
3
= ，
a−b
∵a−b−1=0，
∴a−b=1，
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3
∴原式= =3．
1
5．（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a−b=2，求代数式
6a−2b−1的值．”可以这样解：6a−2b−1=2(3a−b)−1=2×2−1=3．根据阅读材料，解决问题：
若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b−1的值是 ．
【答案】14
【分析】先根据x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，得到2a+b=3，再把所求的代数式变形为
(2a+b) 2+2(2a+b)−1，把2a+b=3整体代入即可求值．
【详解】解：∵x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，
∴2a+b=3，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b−1
=(2a+b) 2+2(2a+b)−1
=32+2×3−1
=14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式
变形是解题的关键．
2x+4 y
6．（2023·北京·中考真题）已知x+2y−1=0，求代数式 的值．
x2+4xy+4 y2
【答案】2
【分析】先将分式进行化简，再将x+2y−1=0变形整体代入化简好的分式计算即可．
2(x+2y) 2
= =
【详解】解：原式 ，
(x+2y) 2 x+2y
由x+2y−1=0可得x+2y=1，
2
将x+2y=1代入原式可得，原式= =2．
1
【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．
( x 2 ) 1
7．（2023·湖南娄底·中考真题）先化简，再求值： − ÷ ，其中x满足x2−3x−4=0．
x+1 x−1 x2−1
【答案】x2−3x−2；2
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【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即
可．
( x 2 ) 1
【详解】解： − ÷
x+1 x−1 x2−1
x2−x−2x−2
= ⋅(x+1)(x−1)
(x+1)(x−1)
=x2−3x−2；
∵x2−3x−4=0，
∴x2−3x=4，其中x≠−1，
∴原式=4−2=2．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟练的化简分式并整体代入进行计算是解本题的关键．
【模拟训练】
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）若实数a，b满足a−2b+3=0，则代数式2024−3a+6b的值为（ ）
A．2015 B．2033 C．2044 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了代数式求值，关键是运用整体代入法解决．将2024−3a+6b变形为
2024−3(a−2b)，再利用整体代入法即可求值．
【详解】解：∵a−2b+3=0，
∴a−2b=−3，
∴2024−3a+6b=2024−3(a−2b)=2024−3×(−3)=2033，
故选：B．
2．（2024·江苏南通·一模）已知实数m，n满足m2+n2=2+mn，则(2m−3n) 2+(m+2n)(m−2n)的最大
值为（ ）
44 16
A．24 B． C． D．−4
3 63
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质．先将所求式子化简为10−7mn，
2
然后根据(m+n) 2=m2+n2+2mn≥0及m2+n2=2+mn求出mn≥− ，进而可得答案．
3
【详解】解：(2m−3n) 2+(m+2n)(m−2n)
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=4m2−12mn+9n2+m2−4n2
=5m2−12mn+5n2
=5(2+mn)−12mn
=10−7mn；
∵(m+n) 2=m2+n2+2mn≥0，m2+n2=2+mn，
∴2+mn+2mn≥0，
∴3mn≥−2，
2
∴mn≥− ，
3
44
∴10−7mn≤ ，
3
44
∴(2m−3n) 2+(m+2n)(m−2n)的最大值为 ，
3
故选：B．
3．（2024·云南昆明·一模）若x=a是方程x²+2x−2=0的一个根，则代数式2a²+4a+2019的值为
（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．−2023
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的
关键．
由题意得，a²+2a−2=0，即a²+2a=2，根据2a²+4a+2019=2(a²+2a)+2019，代值求解即可．
【详解】解：∵x=a是方程x²+2x−2=0的一个根，
∴a²+2a−2=0，即a²+2a=2，
∴2a²+4a+2019=2(a²+2a)+2019=2×2+2019=2023，
故选：C．
1
4．（2024·四川南充·二模）若m是方程x2−2x−1=0的一个实数根，则m2(m−3)+2m− +1的值为
m
（ ）
A．2 B．±√6 C．2√2 D．±2√2
【答案】A
【分析】先根据一元二次解的定义得到m2=2m+1，然后利用降次的方法化简计算即可．本题考查了一元
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二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【详解】解：∵m是方程x2−2x−1=0的一个实数根，
∴m2−2m−1=0，
即m2=2m+1，
1
∴m2 (m−3)+2m− +1
m
1
=(2m+1)(m−3)+2m− +1
m
1
=2m2−6m+m−3+2m− +1
m
1
=2m2−3m− −2
m
1
=2(2m+1)−3m− −2
m
1
=m−
m
m2−1
=
m
2m+1−1
=
m
=2．
故选：A．
( xy−y2 ) x2+ y
5．（2024·四川成都·一模）若实数x满足x2−4x+ y=0，则 1− ÷ 的值为 ．
x2−y2 x+ y
1
【答案】
4
【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，代数式求值．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的
关键．
先通分，然后进行除法运算，可得化简结果，然后整体代入求解即可．
( xy−y2 ) x2+ y
【详解】解： 1− ÷ ，
x2−y2 x+ y
x2−y2−xy+ y2 x+ y
= ⋅
x2−y2 x2+ y
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x(x−y) x+ y
= ⋅
(x+ y)(x−y) x2+ y
x
=
，
x2+ y
∵x2−4x+ y=0，
∴x2+ y=4x，
x 1
∴原式= = ，
4x 4
1
故答案为： ．
4
6．（2024·四川成都·二模）已知x+2y=5，3a−4b=7，则代数式(9a−4 y)−2(6b+x)的值为 ．
【答案】11
【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，应先将所求代数式变形，然后将x+2y=5，
3a−4b=7的值整体代入即可．
【详解】解：∵x+2y=5，3a−4b=7，
∴(9a−4 y)−2(6b+x)
=9a−4 y−12b−2x
=(9a−12b)−(2x+4 y)
=3(3a−4b)−2(x+2y)
=3×7−2×5
=21−10
=11，
故答案为：11．
7．（2024·北京·模拟预测）已知∶2x2−5x−11=0，求代数式(2x+1)(x−4)−(2x−3) 2的值．
【答案】−24
【分析】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
先由2x2−5x−11=0，由2x2−5x=11，然后将(2x+1)(x−4)−(2x−3) 2化简为−(2x2−5x)−13，然
后代入计算即可．
【详解】解：∵2x2−5x−11=0
∴2x2−5x=11
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原式=2x2−8x+x−4−(4x2−12x+9)
=−2x2+5x−13
=−(2x2−5x)−13
=−11−13
=−24．
8．（2025·山西运城·模拟预测）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的
化简与求值中应用极为广泛．
1 1
议一议：求代数式5(x−2y)−3(x−2y)+8(x−2y)−4(x−2y)的值，其中x= ，y= ．
2 3
1 1
x= ,y= (x−2y)
2 3
把 代入后求 把 看成一个字母a，这个代数式可以简化为
5a−3a+8a−4a
值．
(1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程；
(2)【简单应用】已知a+b=−3，则6(a+b)−3a−3b+11的值为__________．
【答案】(1)6(x−2y)，−1，过程见解析
(2)2
【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值；
1 1
（1）把x−2y看成整体，先合并，再代入x= ,y= 计算即可；
2 3
（2）把a+b看成整体，先合并，再代入a+b=−3计算即可；
【详解】（1）解：5(x−2y)−3(x−2y)+8(x−2y)−4(x−2y)
=(5−3+8−4)(x−2y)
=6(x−2y)；
1 1
当x= ,y= 时，
2 3
(1 1) (3 4) ( 1)
原式=6× −2× =6× − =6× − =−1；
2 3 6 6 6
（2）解：∵a+b=−3，
∴6(a+b)−3a−3b+11
=6(a+b)−3(a+b)+11
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=3(a+b)+11
=3×(−3)+11
=−9+11
=2．
考点二： 代数式规律题
【题型一】数字变化类规律题
解题大招01：周期型规律题常见处理办法：
①.找出第一周期的几个数，确定周期数
②.算出题目中的总数和待求数
③.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）
④ .最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；
解题大招02：推理型规律题常见处理办法：①依题意推出前3~4项规律的表达式；
②类推第N项表达式.
解题大招03：给出一个三角形数阵，求第m排第n个数的时候，先求第m-1排最后一个数，然后加上n就
是所求的数字了.
例如：（m，n）=
【中考真题】
1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（
）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并
应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可
【详解】解：∵3×2+2=8，
8×2+2=18，
18×2+2=38，
∴第5个数为38×2+2=78，
第6个数为78×2+2=158，
第7个数为158×2+2=318，
故选：D．
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2．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数√2,2,√6,2√2,√10,2√3,⋯,√2n,⋯，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A．7√2 B．8√2 C．√58 D．4√7
【答案】C
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从
而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．
【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7=28个数，
则第八行左起第1个数是√2×29=√58，
故选：C．
20
3．（2023·湖南常德·中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数
2023
若排在第a行b列，则a−b的值为( )
1
1
1 2
2 1
1 2 3
3 2 1
1 2 3 4
4 3 2 1
……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
【答案】C
【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数
一致．
【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数
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20 20−19 1 20
一致，故 在第20列，即b=20；向前递推到第1列时，分数为 = ，故分数 与分
2023 2023+19 2042 2023
1
数 在同一行．即在第2042行，则a=2042．
2042
∴a−b=2042−20=2022.
故选：C．
【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．
4．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式：
第1个：1×2−2=22×0
第2个：4×3−3=32×1
第3个：9×4−4=42×2
第4个：16×5−5=52×3
按照以上规律，第n个等式为 ．
【答案】n2(n+1)−(n+1)=(n+1) 2(n−1)
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等
于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案．
【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号
减1，
所以第n个等式为：n2(n+1)−(n+1)=(n+1) 2(n−1)，
故答案为：n2(n+1)−(n+1)=(n+1) 2(n−1)．
5．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记a 为数表中第i行第j列位置的
(i,j)
数字，如a =4，a =8，a =22．若a =2024，则m= ，n= ．
(1,2) (3,2) (5,4) (m,n)
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【答案】 45 2
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为k2时，若k为奇数，则
k2在第k行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若k为偶数，则k2在第1行，第k列，下一
个数再下一列，上一个数在第2行．
【详解】解：由图中排布可知，当正整数为k2时，
若k为奇数，则k2在第k行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；
若k为偶数，则k2在第1行，第k列，下一个数再下一列，上一个数在第2行；
∵a =2024=2025−1=452−1，
(m,n)
而2025=452，在第45行，第1列，
∴2024在第45行，第2列，
∴m=45，n=2，
故答案为：45，2．
6．（2024·四川德阳·中考真题）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8
分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究
后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是 （填上一个数字即可）．
【答案】1/8
【分析】本题考查了数字规律，理解题意是解题的关键．由于两个中心圆圈有6根连线，数字1至8，共
有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出
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现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，否则不满足任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于
1，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入，故中心圆圈只能是1或者8．
【详解】解：∵ 两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中
任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只
剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入．
∴ 位于两个中心圆圈的数字a、b，只可能是1或者8．
故答案为：1（或8）．
7．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图
所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+b) 7展开的多项式中各项系数之和为 ．
【答案】128
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：(a+b) 5展开后系数为：1,5,10,10,5,1，
系数和：1+5+10+10+5+1=32=25，
(a+b) 6展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1，
系数和：1+6+15+20+15+6+1=64=26，
(a+b) 7展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1，
系数和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=27，
故答案为：128．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
8．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位
于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；(31,37)…如
果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：
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．
【答案】(n2+n+1,n2+2n+2)
【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n个数对的第
一个数为：n(n+1)+1，第n个数对的第二个位：(n+1) 2+1，即可求解．
【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…
即：1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1，…
则第n个数对的第一个数为：n(n+1)+1=n2+n+1，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…
即：22+1；32+1；42+1；52+1；62+1…，
则第n个数对的第二个位：(n+1) 2+1=n2+2n+2，
∴第n个数对为：(n2+n+1,n2+2n+2)，
故答案为：(n2+n+1,n2+2n+2)．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．
9．（2023·浙江·中考真题）观察下面的等式：32−12=8×1，52−32=8×2，72−52=8×3，
92−72=8×4，…．
(1)尝试：132−112=8×___________．
(2)归纳：(2n+1) 2−(2n−1) 2=8×___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
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【答案】(1)6
(2)n
(3)见解析
【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果；
（2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案；
（3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：∵32−12=8×1，52−32=8×2，72−52=8×3，92−72=8×4，
∴112−92=8×5，132−112=8×6，
故答案为：6；
（2）由题意得：(2n+1) 2−(2n−1) 2=8n，
故答案为：n；
（3）(2n+1) 2−(2n−1) 2
=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)
=4n×2
=8n．
【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发
现式子的变化特点是解题的关键．
【模拟训练】
1．（2025·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的多项式：a+b，a2+3b，a3+5b，a4+7b，⋯，第n个
多项式是（ ）
A．an+(2n+1)b B．an+(2n−1)b C．a2n+(2n−1)b D．a2n+(2n+1)b
【答案】B
【分析】本题考查代数式的规律探索，熟练根据题意依次列出每一项与项数的关系，并得出规律是解题的
关键．依次列出a+b==a+(2×1−1)b，a2+3b=a2+(2×2−1)b，a3+5b=a3+(2×3−1)b，
a4+7b=a4+(2×4−1)b，⋯，即可得出规律．
【详解】解：由第1个多项式是a+b=a+(2×1−1)b，
第2个多项式是a2+3b=a2+(2×2−1)b，
第3个多项式是a3+5b=a3+(2×3−1)b，
第4个多项式是a4+7b=a4+(2×4−1)b，
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⋯
则第n个多项式是an+(2n−1)b，
故选：B．
12
2．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图是反比例函数y= (x>0)的图象，点A(2,6)，过点A作y轴的垂线，
x
垂足为点C，在射线CA上，依次截取A A =A A =A A =A A =CA，过点A ，A ，A ，A 分别作x
1 1 2 2 3 3 4 1 2 3 4
轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点B ，B ，B ，B ．按照上述方法则线段A B 的长度为（ ）
1 2 3 4 11 11
11 60 1 27
A． B． C． D．
2 11 2 5
【答案】A
【分析】考查反比例函数图象上点的坐标特征及寻找数据的规律．
根据A A =A A =A A =A A =CA和A(2,6)求出点A ，A ，A ，A ，A 的坐标，再结合反比例函数
1 1 2 2 3 3 4 1 2 3 4 n
的性质求出点B ，B ，B ，B ，B 的坐标即可求解．
1 2 3 4 n
【详解】解：∵点A(2,6)，A A =A A =A A =A A =CA，
1 1 2 2 3 3 4
∴A (4,6)，A (6,6)，A (8,6)，A (10,6)，A (2n+2,6)．
1 2 3 4 n
12
∵点B ，B ，B ，B ，B 在反比例函数y= (x>0)的图象上，
1 2 3 4 n x
( 12) ( 12) ( 12) ( 12) ( 12 )
∴B 4, ，B 6, ，B 8, ，B 10, ，B 2n+2, ，
1 4 2 6 3 8 4 10 n 2n+2
12 12 12
∴A B =6− ，A B =6− ，A B =6− ，
1 1 4 2 2 6 n n 2n+2
12 1 11
∴当n=11时，A B =6− =6− = ．
11 11 2×11+2 2 2
故选：A．
3．（2025·山东聊城·一模）1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，
5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025
个数中，偶数的个数为（ ）
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A．676 B．675 C．674 D．1350
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，根据题意发现这列数按奇数，奇数，偶数循环出现
是解题的关键．
根据所给各数，发现这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现，据此求解即可．
【详解】解：由题知：这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现，
又∵2025÷3=675，
∴这一列数的前2025个数中，偶数的个数为675．
故选：B．
4．（2025·浙江宁波·一模）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，
先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示−1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025的
点与圆周上表示哪个数字的点重合？ （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴了，发现圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解题的关键．
圆周上的0点与−1重合，滚动到2025，圆滚动了2026个单位长度，用2026除以4，余数即为重合点．
【详解】解：∵圆表示数字0的点与数轴上表示−1的点重合，
∴当数轴上表示2025的点，圆滚动了2025+1=2026个单位长度，
∵2026÷4=506⋯⋯2，
∴圆滚动了506周及2个单位到2025，
∴圆周上的2与数轴上的2025重合．
故选C．
5．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如
图所示，点A、F对应的数分别为−2和−1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻
转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2024这个数所对应的点是（ ）
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A．C点 B．D点 C．E点 D．F点
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得，翻转后数
轴上点1，2，3，4，5，6对应的点为D，C，B，A，F，E，根据2024÷6=337……2，根据规律进行
判定即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是D，
数轴上点2对应的是C，
数轴上点3对应的是B，
数轴上点4对应的是A，
数轴上点5对应的是F，
数轴上点6对应的是E，
……
则2024÷6=337……2，
所以连续翻转后数轴上2024这个数所对应的点是C．
故选：A
1 3 5 7
6．（2023·云南临沧·模拟预测）按一定规律排列的数： ，− ， ，− ，……，则这列数的第n个数
2 5 10 17
是（ ）
2n+1 2n−1
A．(−1) n+1 B．
n2 n2+1
2n−1 2n−1
C．(−1) n D．(−1) n+1
n2+1 n2+1
【答案】D
【分析】本题考查了数字的变化规律，根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答．
【详解】解：分子1，3，5，7...的规律为2n−1，
分母2，5，10，17...的规律为n2+1，
符号的规律为(−1) n+1，
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2n−1
故第n个数为(−1) n+1 ，
n2+1
故选：D．
7．（2025·江苏南京·模拟预测）在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它
主要研究如何安全地传递和存储保密信息．如图，现制定一种密码规则，这种规则在正整数和字母、字符
之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文．例如，密文“22”翻译成明文为
“N”，密文“22−50”翻译成明文为“NJ”．密文“12−1−50−28”翻译成明文为“ ”．
【答案】WAJZ
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据题中所给密文与明文之间的转换关系即可解决问题，能根
据题意得出密文与明文之间的对应关系是解题的关键．
【详解】解：由题意知，密文“22”翻译成明文为“N”，密文“22−50”翻译成明文为“NJ”，
由此得出：密文翻译成明文就是这个密文对应的同一条线上的字母，
∴密文“12−1−50−28”翻译成明文为“WAJZ”，
故答案为：WAJZ．
8．（2025·山东枣庄·一模）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端
的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，
15，……，我们把第一个数记为a ，第二个数记为a ，第三个数记为a ，……，第n个数记为a ，则
1 2 3 n
a −a ＝ ．
60 12
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【答案】1752
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，根据题意，依次得出a ，a ，a ，…，发现规律即
1 2 3
可解决问题．
【详解】解：由题知
a =1，
1
a =3=1+2，
2
a =6=1+2+3，
3
a =10=1+2+3+4，
4
…，
n(n+1)
所以a =1+2+3+…+n= ．
n 2
60×61
当n=60时，a = =1830．
60 2
12×13
当n=12时，a = =78，
12 2
所以a −a =1830−78=1752．
60 12
故答案为：1752．
9．（2025·江西·模拟预测）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展
做出了很大的贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
形式
纵式
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如“
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”表示的数是6728，“ ”表示的数是6708，若已知一个用这
种方式表示的四位数中含有“”、“ ”和两个空位，则这个四位数是 ．
【答案】9100或9001
【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据题意确定千位是横式的9是解题的关键．由题知个位用纵式，
十位用横式，百位用纵式，千位用横式，进而得到千位是横式的9，纵式的1在百位或者个位，即可解题．
【详解】解：由题知，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，
因为“、“ ”是纵式的1和横式的9，
所以千位是横式的9，纵式的1在百位或者个位，
即这个四位数为9100或9001，
故答案为：9100或9001．
10．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，观察方框中数字的规律，并根据你得到的规律，猜想字母e表示的
数为
【答案】81
【分析】本题考查了数字类规律探索，能根据题意发现各方框中数字之间的关系是解题的关键．
根据所给图形，观察各方框中数字之间的关系，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由图可知：
∵9=(1+2) 2，
25=(2+3) 2，
49=(3+4) 2，
∴e=(4+5) 2=81，
故答案为：81．
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11．（2025·山东临沂·一模）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b) n（n 为非负整
数）展开式的项 数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．
(a+b) 0=1
(a+b) 1=a+b
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b) 5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
……
则(a+b) 2024展开式中所有项的系数和是 ．（结果用指数幂表示）
【答案】22024
【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，
得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出(a+b) n（n为非负整数）
展开式的项系数和为2n，求出系数之和即可．
【详解】解：当n=0时，展开式中所有项的系数和为1=20，
当n=1时，展开式中所有项的系数和为1+1=2=21，
当n=2时，展开式中所有项的系数和为1+2+1=4=22，
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当n=3时，展开式中所有项的系数和为1+3+3+1=8=23
…，
❑
由此可知(a+b) n展开式的各项系数之和为2n，
则(a+b) 2024展开式中所有项的系数和是22024，
故答案为：22024．
12．（2025·安徽合肥·一模）数学兴趣小组开展研学活动，研究了数式之间的规律问题．
指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下．
序号 表示结果
第1个等式 4×1×4+9=(1+4) 2
第2个等式 4×2×5+9=(2+5) 2
第3个等式 4×3×6+9=(3+6) 2
第4个等式 4×4×7+9=(4+7) 2
第5个等式 4×5×8+9=(5+8) 2
…… ……
(1)根据表中你发现的规律，写出第10个等式：______．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)4×10×13+9=(10+13) 2
(2)4n(n+3)+9=(2n+3) 2；证明见解析
【分析】本题主要考查了数字变化的规律．
（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题；
（2）根据发现的规律写出第n个等式，再将等式两边分别展开，即可证明．
【详解】（1）解：根据已给的5个等式，可得第10个等式为：4×10×13+9=(10+13) 2，
故答案为：4×10×13+9=(10+13) 2；
（2）解：第n个等式可表示为：4n(n+3)+9=(n+n+3) 2，即4n(n+3)+9=(2n+3) 2，
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证明：左边=4n2+12n+9，
右边=(2n+3) 2=4n2+12n+9，
∴左边=右边，
∴第n个等式4n(n+3)+9=(2n+3) 2成立．
13．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式：
①1×3+1=4=22
②2×4+1=9=32
③3×5+1=16=42
④4×6+1=25=52
……
(1)请根据你发现的规律填空：6×8+1=________=________；
(2)用含n的等式表示上面的规律：_________；
(3)用你发现的规律解决下列问题：
( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )
计算 1+ 1+ 1+ 1+ ⋯ 1+ ．
1×3 2×4 3×5 4×6 2023×2025
【答案】(1)49，72
(2)n(n+2)+1=(n+1) 2
4048
(3)
2025
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进
行计算是解题的关键．
（1）通过观察所给的等式，直接写出即可；
（2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可；
1×3+1 2×4+1 3×5+1 2023×2025+1
（3）将每个小括号进行通分为 × × ×⋯× ，再根据（2）的规
1×3 2×4 3×5 2023×2025
22 32 42 20242
律，将所求的式子变形为 × × ×⋯× ，再求解即可．
1×3 2×4 3×5 2023×2025
【详解】（1）解：6×8+1=49=72，
故答案为：49，72．
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（2）解：∵①1×3+1=4=22=(1+1) 2，
②2×4+1=9=32=(1+2) 2，
③3×5+1=16=42=(1+3) 2，
④4×6+1=25=52=(1+4) 2，
……
∴n(n+2)+1=(n+1) 2，
故答案为：n(n+2)+1=(n+1) 2．
（3）解：原式
1×3+1 2×4+1 3×5+1 2023×2025+1 22 32 42 20242
= × × ×⋯× = × × ×⋯×
1×3 2×4 3×5 2023×2025 1×3 2×4 3×5 2023×2025
2×2×3×3×4×4×⋯×2024×2024 2×2024 4048
= = = ，
1×3×2×4×3×5×⋯×2023×2025 1×2025 2025
4048
故答案为： ．
2025
【题型二】图形变化类规律题
解题大招01：图形固定累加型
解题技巧：对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数a，在确定出后一个图形在前一个
图形的基础上累加的所求图形的个数b(即固定累加图形个数)，再根据固定累加的图形规律推导出与序数
n有关的关系式为a+b(n-1).
解题大招02：图形渐变累加型
解题技巧：对于个数不固定,
1）首先观察图形，直接可以从图形或者补全图形后就能找出规律，根据图形摆放形状的规律总结推导出
关系式即可.
2）如果图形也看不出规律的应该先数出所求图形的个数,在比较后一个图形和前一个图形通过作差(商)
来观察图形个数或将图形个数与n进行对比，寻找是否与n有关的平方、平方加1、平方减1等关系,从而
总结规律推导出关系式.
【中考真题】
1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正
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方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（
）
A．90 B．91 C．92 D．93
【答案】B
【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察
图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有5=12+22个，第3个图形有14=12+22+32个，…由此得到规
律求得第6个图形中正方形的个数即可．
【详解】第1个图形有1个正方形，
第2个图形有5=12+22个正方形，
第3个图形有14=12+22+32个正方形，
……
第6个图形有12+22+32+42+52+62=1+4+9+16+25+36=91（个）正方形，
故选：B.
2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个
图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图
中三角形的个数是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几
个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中
三角形的个数．
【详解】解：第1个图案有4个三角形，即4=3×1+1，
第2个图案有7个三角形，即7=3×2+1，
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第3个图案有10个三角形，即10=3×3+1，
…，
按此规律摆下去，第n个图案有(3n+1)个三角形，
则第674个图案中三角形的个数为：3×674+1=2023（个）．
故选：B．
3．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图
形，第1幅图形中“●”的个数为a ，第2幅图形中“●”的个数为a ，第3幅图形中“●”的个数为a ，
1 2 3
1 1 1 1
…，以此类推，那么
+ + +⋅⋅⋅+
的值为（ ）
a a a a
1 2 3 19
20 61 589 431
A． B． C． D．
21 84 840 760
【答案】C
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可．
【详解】解：a =3=1×3，
1
a =8=2×4，
2
a =15=3×5，
3
a =24=4×6，
4
…，
a =n(n+2)；
n
1 1 1 1
∴
+ + +⋅⋅⋅+
a a a a
1 2 3 19
1 1 1 1 1
= + + + +⋅⋅⋅+
1×3 2×4 3×5 4×6 19×21
1( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )
= 1− + − + − + − +⋅⋅⋅+ −
2 3 2 4 3 5 4 6 19 21
1( 1 1 1 )
= 1+ − −
2 2 20 21
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589
= ，
840
故选∶C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键．
4．（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“ ”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案
用了2个“ ”，第2个图案用了6个“ ”，第3个图案用了12个“ ”，第4个图案用了20个“ ”，
……，依照此规律，第n个图案中“ ”的个数为 （用含n的代数式表示）．
【答案】n2+n
【分析】
本题考查了图形类规律，根据图形规律求得第n个图案中“ ”的个数为n2+n，解题的关键是明确题意，
发现题目中 个数的变化规律．
【详解】
解：∵第1个图案用了12+1=2个“ ”，
第2个图案用了22+2=6个“ ”，
第3个图案用了32+3=12个“ ”，
第4个图案用了42+4=20个“ ”，
……，
∴第n个图案中“ ”的个数为n2+n，
故答案为：n2+n．
8
5．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，在反比例函数y= (x>0)的图象上有P ,P ,P ,⋯P 等点，它
x 1 2 3 2024
们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积
从左到右依次为S ,S ,S ,⋯,S ，则S +S +S +⋯+S = ．
1 2 3 2023 1 2 3 2023
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2023
【答案】
253
【分析】求出P ,P ,P ,P …的纵坐标，从而可计算出S ,S ,S ,S …的高，进而求出S ,S ,S ,S
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
…，从而得出S +S +S +…+S 的值．
1 2 3 n
【详解】当x=1时，P 的纵坐标为8，
1
当x=2时，P 的纵坐标为4，
2
8
当x=3时，P 的纵坐标为 ，
3 3
当x=4时，P 的纵坐标为2，
4
8
当x=5时，P 的纵坐标为 ，
5 5
…
则S =1×(8−4)=8−4；
1
8 8
S =1×(4− )=4− ；
2 3 3
8 8
S =1×( −2)= −2；
3 3 3
8 8
S =1×(2− )=2− ；
4 5 5
…
8 8
S = − ；
n n n+1
8 8 8 8 8 8 8n
S +S +S +…+S =8−4+4− + −2+2− +⋯+ − =8− = ，
1 2 3 n 3 3 5 n n+1 n+1 n+1
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8×2023 2023
∴S +S +S +…+S = = ．
1 2 3 2023 2024 253
2023
故答案为： ．
253
8 8
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出S = − ．
n n n+1
6．（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、
润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷
（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为CH ，乙烷
4
的化学式为C H ，丙烷的化学式为C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式
2 6 3 8
为 ．
【答案】C H
12 26
【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．
【详解】解：甲烷的化学式为CH ，
4
乙烷的化学式为C H ，
2 6
丙烷的化学式为C H ……，
3 8
碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，
十二烷的化学式为C H ，
12 26
故答案为：C H ．
12 26
【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．
7．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
(1)第n个图案中“ ”的个数为 ；
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1×2 2×3
(2)第1个图案中“★”的个数可表示为 ，第2个图案中“★”的个数可表示为 ，第3个图案中
2 2
3×4 4×5
“★”的个数可表示为 ，第4个图案中“★”的个数可表示为 ，……，第n个图案中“★”的个
2 2
数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n
个图案中“ ”的个数的2倍．
【答案】(1)3n
n×(n+1)
(2)
2
(3)n=11
【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）
解：第1个图案中有3个 ，
第2个图案中有3+3=6个 ，
第3个图案中有3+2×3=9个 ，
第4个图案中有3+3×3=12个 ，
……
∴第n个图案中有3n个 ，
故答案为：3n．
1×2
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
2×3
第2个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
3×4
第3个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
4×5
第4个图案中“★”的个数可表示为 ，……，
2
n×(n+1)
第n个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
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n×(n+1)
（3）解：依题意，1+2+3+……+n= ，
2
第n个图案中有3n个 ，
n(n+1)
∴ =3n×2，
2
解得：n=0（舍去）或n=11．
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
【模拟训练】
1．（2025·陕西汉中·二模）花窗映蛇岁，新春共欢颜．如图为“盘长如意”花窗，中间图案是由若干个小
平行四边形按一定规律组成，其中第1个图形共有8个小平行四边形，第2个图形共有15个小平行四边形，
第3个图形共有22个小平行四边形， ，则第30个图形中共有 个小平行四边形．
⋯
【答案】211
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小平行四边形的个数依次增加7是解题的
关键．
根据所给图形，依次求出图形中小平行四边形的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个图形中小平行四边形的个数为：8=1×7+1；
第2个图形中小平行四边形的个数为：15=2×7+1；
第3个图形中小平行四边形的个数为：22=3×7+1；
…，
所以第n个图形中小平行四边形的个数为(7n+1)个．
当n=30时，
7n+1=7×30+1=211(个)，
即第30个图形中小平行四边形的个数为211个．
故答案为：211．
2．（2025·山东枣庄·一模）如图，春节期间，广场上空用红色无人机（〇）和黄色无人机（Δ）组成如下
图案：
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结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，当正整数n= 时，使得红色无人机（〇）比黄色
无人机（△）的个数多28台．
【答案】8
【分析】本题考查了图形规律，根据题意总结规律是解题的关键，根据所给图形，分别求出图形中〇和△
的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个图案中〇的个数为3=12+2，△的个数为10=1×4+6；
第2个图案中〇的个数为6=22+2，△的个数为14=2×4+6；
第3个图案中〇的个数为11=32+2，△的个数为18=3×4+6；
…，
所以第n个图案中〇的个数为（n2+2）个，△的个数为（4n+6）个．
由n2+2=4n+6+28得，
n =−4（舍去），n =8，
1 2
所以n的值为8．
故答案为：8．
3．（2025·陕西渭南·一模）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种
多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为“三角形
数”；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为“正方形数”，则第n(n≥1)个“正方形数”可
以用n表示为 ．
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【答案】n2
【分析】本题考查了图形类规律探索，从所给图形中发现并总结出一般规律是解题的关键．
从所给图形中可发现并总结出一般规律：第n(n≥1)个“正方形数”为n2，由此即可得出答案．
【详解】解：由图可得：
第1个“正方形数”为12=1，
第2个“正方形数”为22=4，
第3个“正方形数”为32=9，
第4个“正方形数”为42=16，
⋯⋯
∴第n(n≥1)个“正方形数”为n2，
故答案为：n2．
4．（2025·山西长治·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图案
中有3个“ ”，第2个图案中有9个“ ”，第3个图案中有18个“ ”……按此规律
第n个图案中有 个“ ”．（用含n的代数式表示）
3n(n+1)
【答案】
2
【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第n个图案中图形的个数是解题的关键．根据图案
找出规律即可．
【详解】
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解：第1个图案中有：3=3×1个
，
第2个图案中有：9=3×(1+2)个 ，
第3个图案中有：18=3×(1+2+3)个 ，
第4个图案中有：30=3×(1+2+3+4)个 ，
……
3n(n+1)
∴第n个图案中有3(1+2+3+…+n)= 个 ；
2
3n(n+1)
故答案为：
2
5．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再
以CF为边作第3个正方形FCGH…按照这样的规律作下去，第2024个正方形的面积为 ．
【答案】22023
【分析】本题考查了图形的规律问题，涉及了正方形的性质，根据图形得出第n个正方形的边长为(√2) n−1 ，
据此即可求解．
【详解】解：由图可知：第1个正方形的边长为1，
第2个正方形的边长为√2，
第3个正方形的边长为(√2) 2 ，
第4个正方形的边长为(√2) 3 ，
……
第n个正方形的边长为(√2) n−1 ，
∴第2024个正方形的边长为(√2) 2023 ，面积为[(√2) 2023] 2 =22023，
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故答案为：22023
6．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，圆桌周围有20个箱子，按顺时针方向编号1～20，小明先在1号箱
子中丢入一颗红球，然后沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子丢一颗球，规则如下：
①若前一个箱子丢红球，则下一个箱子就丢绿球．
②若前一个箱子丢绿球，则下一个箱子就丢白球．
③若前一个箱子丢白球，则下一个箱子就丢红球．他沿着圆周走了2024圈，求4号箱内有 颗红球．
【答案】674
【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意先找到各个红球都在那个箱内，然后找到哪一圈会在4号
箱内丢红球，从而得到规律即可求解，根据题意找到变化规律是解题的关键.
【详解】解：根据题意可知，
第1圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内，
第2圈红球在2、5、8、11、14、17、20号箱内，
第3圈红球在3、6、9、12、15、18号箱内，
第4圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内，
⋯，
∴第1、4、7、10⋯2023圈会在4号箱内丢一颗红球，
∵(2023−1)÷3=674，
∴红球颗数为674颗，
故答案为：674．
7．（2024·山西·模拟预测）榫卯被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，是中国传统木艺的灵魂．下图结构
为固定榫槽的连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当连接结构数分别有1个和2个时，总长度
如图所示，则当有n个连接结构时，总长度为 cm．
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【答案】3n+2/2+3n
【分析】本题考查了通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部
分发生了变化，是按照什么规律变化的．
当连接结构数为1时，总长度为5cm，当连接结构数为2时，总长度为8cm，则每增加1个连接结构，总
长度增加3cm，结合图可知，每个连接结构的长度为3+2=5cm，因此得到当连接结构数为n时，总长度
为(3n+2)cm．
【详解】解：当连接结构数为1时，总长度为5cm，当连接结构数为2时，总长度为8cm，则每增加1个
连接结构，总长度增加3cm，结合图可知，每个连接结构的长度为3+2=5cm，
∴当连接结构数为1时，总长度为3×1+2=5cm，
当连接结构数为2时，总长度为3×2+2=8cm，
⋮
当连接结构数为n时，总长度为(3n+2)cm，
故答案为：3n+2．
8．（2025·广东韶关·一模）如图1，这是一种海螺，图2是由这种海螺抽象出的螺旋图形，它是由一系列
直角三角形组成的，其中OA =1，A A =A A =A A =⋅⋅⋅=A A =1，且每个三角形都以点O为
0 0 1 1 2 2 3 n−1 n
顶点．
(1)求tan∠A OA 的值．
5 6
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(2)如图3，若有一个海螺图形恰好由9个直角三角形拼成，其中每一个直角三角形都有一条直角边为1，且
这个图形的周长（实线部分）为a，则a最接近哪个整数？
√6
【答案】(1)
6
(2)13
【分析】本题考查了解直角三角形，估计实数的大小，图形规律型，正确得到规律是解题的关键．
（1）根据勾股定理，逐一计算，得到规律，即可解答；
（2）计算出第九个直角三角形的斜边长，再计算周长，即可解答．
【详解】（1）解： ∵OA =1,A A =A A =A A =⋅⋅⋅=A A =1，
0 0 1 1 2 2 3 n−1 n
∴OA =√12+12=√2，
1
OA =√12+(√2) 2=√3，
2
OA =√12+(√3) 2=√4=2，
3
⋯，
∴OA =√6，
5
A A 1 √6
∴tan∠A OA = 5 6= = ；
5 6 A O √6 6
5
（2）解：根据（1）中的结论，可知第9个直角三角形的斜边长为√10，
∴这个海螺图形的周长为1+1×9+√10=10+√10，
∵√9<√10<√16，且接近√9，
∴3<√10<4，且接近3，
∴13<10+√10<14，且最接近的整数是13，
即a最接近的整数是13．
9．（2025·安徽合肥·一模）围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑白两色棋子在
方形格状的棋盘上博弈．现用黑白棋子围成下列图案：
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(1)第n个图案中黑色棋子的个数为________，白色棋子的个数为________．
(2)结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，当第n个图案中黑色棋子比白色棋子多21个时，求n的值．
【答案】(1)(n+1) 2，n2
(2)n的值为10．
【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是根据各个图形中棋子的颗数发现规律．
（1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可；
（2）由题意得：(n+1) 2−n2=21，解出n即可．
【详解】（1）解：第1个图案中黑色棋子的个数为4=(1+1) 2，白色棋子的个数为1=12；
第2个图案中黑色棋子的个数为9=(2+1) 2，白色棋子的个数为4=22；
第3个图案中黑色棋子的个数为16=(3+1) 2，白色棋子的个数为9=32；
第4个图案中黑色棋子的个数为25=(4+1) 2，白色棋子的个数为16=42；
⋯⋯，
第n个图案中黑色棋子的个数为(n+1) 2，白色棋子的个数为n2；
故答案为：(n+1) 2，n2；
（2）解：由题意得：(n+1) 2−n2=21，
解方程得：n=10，
所以正整数n的值为10．
【题型三】点坐标的规律探索
解题大招01：1）根据下角标的周期规律，确定第n个点的象限：用n除以周期，看余数.
2）对比各点的横坐标与纵坐标，探索各点横，纵坐标之间存在的关系，从而求出第n个图形横、纵坐标.
3）观察平面直角坐标系中点的位置变化，探索出点的位置的循环规律，再根据这个规律找到目标点的坐
标.
【中考真题】
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1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=x3−3x2+3x−1的图象，发现
它关于点(1,0)中心对称．若点A (0.1,y )，A (0.2,y )，A (0.3,y )，……，A (1.9,y )，A (2,y )
1 1 2 2 3 3 19 19 20 20
都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y + y + y +⋯⋯+ y + y 的值是
1 2 3 19 20
（ ）
A．−1 B．−0.729 C．0 D．1
【答案】D
【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出
y + y + y +⋯y + y ⋯+ y =0，进而转化为求y + y ，根据题意可得y =0，y =1，即可求解．
1 2 3 9 11 19 10 20 10 20
【详解】解：∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，
0.1+1.9 0.2+1.8 0.9+1.1
∴ = =⋅⋅⋅ =1，
2 2 2
∴y + y + y +⋯y + y ⋯+ y =0，
1 2 3 9 11 19
∴y + y + y +⋯⋯+ y + y = y + y ，而A (1,0)即y =0，
1 2 3 19 20 10 20 10 10
∵y=x3−3x2+3x−1，
当x=0时，y=−1，即(0,−1)，
∵(0,−1)关于点(1,0)中心对称的点为(2,1)，
即当x=2时，y =1，
20
∴y + y + y +⋯⋯+ y + y = y + y =0+1=1，
1 2 3 19 20 10 20
故选：D．
2．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的
点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当
余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”P(2,1)按上述规则连续平移3次后，到达点P (2,2)，其平移过程如
3
下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q (−1,9)，则点Q的坐标为（ ）
16
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A．(6,1)或(7,1) B．(15,−7)或(8,0) C．(6,0)或(8,0) D．(5,1)或(7,1)
【答案】D
【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．
先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、
向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照Q 的反向运动理解去分类讨论：①Q 先向右1个单位，不
16 16
符合题意；②Q 先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了
16
7次，此时坐标为(6,1)，那么最后一次若向右平移则为(7,1)，若向左平移则为(5,1)．
【详解】解：由点P (2,2)可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P (2,3)，
3 4
此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P (1,3)，此时横、纵坐标之和除
4
以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位⋯⋯，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所
得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q (−1,9)，则按照“和点”Q 反向运动16次求点
16 16
Q坐标理解，可以分为两种情况：
①Q 先向右1个单位得到Q (0,9)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q 向右平移1
16 15 15
个单位得到Q ，故矛盾，不成立；
16
②Q 先向下1个单位得到Q (−1,8)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个
16 15
单位得到Q ，故符合题意，那么点Q 先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8
16 16
次，向右平移了7次，此时坐标为(−1+7,9−8)，即(6,1)，那么最后一次若向右平移则为(7,1)，若向左平
移则为(5,1)，
故选：D．
3．（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，
他在计算1+2+3+4+⋯+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到
100×(1+100) n(1+n)
1+2+3+4+⋯+100= ．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+⋯+n= （n
2 2
是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点A (x ,y )，其中i=1,2,3,⋯,n,⋯，
i i i
且x ,y 是整数．记a =x + y ，如A (0,0)，即a =0,A (1,0)，即a =1,A (1,−1)，即a =0,⋯，以
i i n n n 1 1 2 2 3 3
此类推．则下列结论正确的是（ ）
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A．a =40 B．a =43 C．a =2n−6 D．a =2n−4
2023 2024 (2n−1)2 (2n−1)2
【答案】B
【分析】利用图形寻找规律A (n−1,n−1)，再利用规律解题即可．
(2n−1)2
【详解】解：第1圈有1个点，即A (0,0)，这时a =0；
1 1
第2圈有8个点，即A 到A (1,1)；
2 9
第3圈有16个点，即A 到A (2,2)，；
10 25
依次类推，第n圈，A (n−1,n−1)；
(2n−1)2
由规律可知：A 是在第23圈上，且A (22,22)，则A (20,22)即a =20+22=42，故A选项不
2023 2025 2023 2023
正确；
A 是在第23圈上，且A (21,22)，即a =21+22=43，故B选项正确；
2024 2024 2024
第n圈，A
(2n−1)2
(n−1,n−1)，所以a
(2n−1)2
=2n−2，故C、D选项不正确；
故选B．
【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．
4．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形OABC 是正方形，曲线C C C C C ⋯叫作“正方形的渐
1 1 2 3 4 5
开线”，其中C´C ，C´C ，C´C ，C´C ，…的圆心依次按O，A，B，C 循环．当OA=1时，点C
1 2 2 3 3 4 4 5 1 2023
的坐标是( )
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A．(−1，−2022) B．(−2023，1) C．(−1，−2023) D．(2022，0)
【答案】A
【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出C 在第三象限，与C ，C ，C ，…符合同一规律，
2023 3 7 11
探究出C ，C ，C ，...的规律即可．
3 7 11
【详解】解：由图得C (0，1)，C (1，0)，C (−1，−2)，C (−4，0)，C (0，5)，
1 2 3 4 5
C (5，0)，C (−1，−6)，…
6 7
点C的位置每4个一循环，
2023=505×4+3，
∴C 在第三象限，与C ，C ，C ，…
2023 3 7 11
符合规律(−1，−n+1)，
∴C 坐标为(−1，−2022)．
2023
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．
5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为
(3,0)，△OAB是等边三角形，点B坐标是(1,0)，△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方
向为O→M→N→P→O→M→⋯）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A ，A 的坐
1 1
标是(2,0)；第二次滚动后，A 的对应点记为A ，A 的坐标是(2,0)；第三次滚动后，A 的对应点记为A ，
1 2 2 2 3
( √3 1)
A 的坐标是 3− , ；如此下去，……，则A 的坐标是 ．
3 2 2 2024
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【答案】(1,3)
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求
出点A的对应点A ，A ，⋯⋯，A 的坐标，发现规律即可解决问题．
1 2 12
【详解】解：∵正方形OMNP顶点M的坐标为(3,0)，
∴OM=MN=NP=OP=3,
∵ △OAB是等边三角形，点B坐标是(1,0)，
√3
∴等边三角形高为 ，
2
由题知，
A 的坐标是(2,0)；
1
A 的坐标是(2,0)；
2
( √3 1)
A 的坐标是 3− , ；
3 2 2
继续滚动有，A 的坐标是(3,2)；
4
A 的坐标是(3,2)；
5
(5 √3)
A 的坐标是 ,3− ；
6 2 2
A 的坐标是(1,3)；
7
A 的坐标是(1,3)；
8
(√3 5)
A 的坐标是 , ；
9 2 2
A 的坐标是(0,1)；
10
A 的坐标是(0,1)；
11
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(1 √3)
A 的坐标是 , ；
12 2 2
A 的坐标是(2,0)；⋯⋯不断循环，循环规律为以A ，A ，⋯⋯，A ，12个为一组，
13 1 2 12
∵ 2024÷12=168⋯⋯8，
∴ A 的坐标与A 的坐标一样为(1,3)，
2024 8
故答案为：(1,3)．
√3 √3
6．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线l:y= x− 与x轴相交于点A ，以OA 为边作等边三角形
3 3 1 1
OA B ，点B 在第一象限内，过点B 作x轴的平行线与直线l交于点A ，与y轴交于点C ，以C A 为边作
1 1 1 1 2 1 1 2
等边三角形C A B （点B 在点B 的上方），以同样的方式依次作等边三角形C A B ，等边三角形
1 2 2 2 1 2 3 3
C A B ⋯，则点A 的横坐标为 ．
3 4 4 2024
(5) 2023
【答案】
2
√3 √3
【分析】直线直线l:y= x− 可知，点A 坐标为(1,0)，可得OA =1，由于△OA B 是等边三角形，
3 3 1 1 1 1
(1 √3) √3 5
可得点B ， ，把y= 代入直线解析式即可求得A 的横坐标，可得A C = ，由于△B A B 是
1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
(5 √3) (25 7√3)
等边三角形，可得点A , ；同理，A ， ，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的
2 2 2 3 4 4
序号之间的规律是解题的关键．
√3 √3
【详解】解：∵直线l：l:y= x− 与x轴负半轴交于点A ，
3 3 1
∴点A 坐标为(1,0)，
1
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∴OA =1，
1
过B ，B ，作B M⊥x轴交x轴于点M，B N⊥x轴交A B 于点D，交x轴于点N，
1 2 1 2 2 1
∵△A B O为等边三角形，
1 1
∴∠OB M=30°
1
1 1
∴MO= A O= ，
2 1 2
∴B M=√B O2−OM2=
√
12−
(1) 2
=
√3
1 1 2 2
(1 √3)
∴B ， ，
1 2 2
√3 √3 √3 √3 5
当y= 时， = x− ，解得：x= ，
2 2 3 3 2
5 (5 √3)
∴A C = ，A , ，
2 1 2 2 2 2
1 5
∴C D= A C = ，
1 2 2 1 4
√ (5) 2 (3) 2 5√3
∴B D== − = ，
2 2 4 4
5√3 √3 7√3
∴B N= + = ，
2 4 2 4
7√3 7√3 √3 √3 25
∴当y= 时， = x− ，解得：x= ，
4 4 3 3 4
(25 7√3)
∴A ， ；
3 4 4
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25 (5) 2
而 = ，
4 2
(5) 3 125
同理可得：A 的横坐标为 = ，
4 2 8
(5) 2023
∴点A 的横坐标为 ，
2024 2
(5) 2023
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图
形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键.
7．（2023·湖南怀化·中考真题）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为(1,0)．把
△AOB按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，
同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A OB ；第二次旋转将△A OB 绕着原点O顺时针旋转60°，
1 1 1 1
同时边长扩大为△A OB ，边长的2倍，得到△A OB ，…．依次类推，得到△A OB ，则
1 1 2 2 2033 2033
△A OB 的边长为 ，点A 的坐标为 ．
2023 2033 2023
【答案】 22023 (22022,−√3×22022)
【分析】根据旋转角度为60°，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点A 在第四象限，且
2023
OA =22023 ，即可求解．
2023
【详解】解：∵△AOB为等边三角形，点A的坐标为(1,0)，
∴OA=1，
∵每次旋转角度为60°，
∴6次旋转360°，
第一次旋转后，A 在第四象限，OA =2，
1 1
第二次旋转后，A 在第三象限，OA =22 ，
2 2
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第三次旋转后，A 在x轴负半轴，OA =23 ，
3 3
第四次旋转后，A 在第二象限，OA =24 ，
4 4
第五次旋转后，A 在第一象限，OA =25 ，
5 5
第六次旋转后，A 在x轴正半轴，OA =26 ，
6 6
……
如此循环，每旋转6次，点A的对应点又回到x轴正半轴，
∵2023÷6=337⋯1，
点A 在第四象限，且OA =22023 ，
2023 2023
如图，过点A 作A H⊥x轴于H，
2023 2023
在Rt△OH A 中，∠HOA =60°，
2023 2023
1
∴OH=OA ⋅cos∠HOA =22023×cos60°=22023× =22022 ，
2023 2023 2
√3
A H=OA ⋅sin∠HOA =22023× =√3×22022 ，
2023 2023 2023 2
∴点A 的坐标为(22022,−√3×22022)．
2023
故答案为：22023，(22022,−√3×22022)．
【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的
坐标规律是解题的关键．
【模拟训练】
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(3 √3)
1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图所示A (1,√3)，A , ，A (2,√3)，A (3,0)作折线
1 2 2 2 3 4
A A A A 关于点A 的中心对称图形，再作出新的折线关于与x轴的下一个交点的中心对称图形……以
1 2 3 4 4
此类推，得到一个大的折线，现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位的速度移动，设运动
时间为t．当t=2025时，点P的坐标为（ ）
( √3) ( √3) ( √3)
A． 1012.5,− B． 2022, C．(2016.0) D． 1010,
2 2 2
【答案】A
【分析】由题意得，OA =A A =A A =A A =2，A A =A A =A A =A A =1，进而可得点P从
1 3 4 4 5 7 8 1 2 2 3 5 6 6 7
O运动到A 的路程=OA +A A +A A +A A +A A +A A +A A +A A =12，把点P从O运动到
8 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
A 作为一个循环，由于2025÷12=168⋯⋯9，因而把点A 向右平移168×6个单位，可得t=2025时点
8 6
(3 √3) (9 √3)
P的坐标，由A 与A , 关于点A (3,0)中心对称可得A ,− ，再利用坐标与图形变化——
6 2 2 2 4 6 2 2
平移即可求出当t=2025时点P的坐标．
【详解】解：由题意得：
OA =A A =A A =A A =2，
1 3 4 4 5 7 8
A A =A A =A A =A A =1，
1 2 2 3 5 6 6 7
∴点P从O运动到A 的路程
8
=OA +A A +A A +A A +A A +A A +A A +A A
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
=2+1+1+2+2+1+1+2
=12，
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把点P从O运动到A 作为一个循环，
8
∵2025÷12=168⋯⋯9，
∴把点A 向右平移168×6个单位，可得t=2025时点P的坐标，
6
(3 √3)
∵A 与A , 关于点A (3,0)中心对称，
6 2 2 2 4
(9 √3)
∴A ,− ，
6 2 2
9
∵168×6=1008， +1008=4.5+1008=1012.5，
2
( √3)
∴当t=2025时，点P的坐标为 1012.5,− ，
2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点坐标规律探索，坐标与图形变化——平移，已知两点坐标求两点距离，中点坐
标公式等知识点，由点P的运动规律得出“把点A 向右平移168×6个单位，可得t=2025时点P的坐标”
6
是解题的关键．
1 1 1 1 1 1 1 1
2．（2024·全国·模拟预测）观察规律 =1− , = − , = − ,⋅⋅⋅，运用你观察到的规
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
律解决以下问题：如图，分别过点P (n,0)(n=1、2、⋯)作x轴的垂线，交y=ax2(a>0)的图象于点A ，
n n
1 1 1
交直线y=−ax于点B ．则 + +⋅⋅⋅+ 的值为（ ）
n A B A B A B
1 1 2 2 2024 2024
2022 2023 2025a 2024
A． B． C． D．
2023a 2024a 2024 2025a
【答案】D
【分析】令x=n，可得∶A 纵坐标为an2，B 纵坐标为−an ，利用阅读学习的知识迁移计算解答即可．
n n
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本题考查了交点问题，距离规律计算，熟练掌握规律是解题的关键．
【详解】∵过点P (n,0)(n=1、2、⋯)的垂线，交y=ax2(a>0)的图象于点A ，交直线y=−ax于点B ；
n n n
∴令x=n，可得∶A 纵坐标为an2，B 纵坐标为−an ，
n n
∴A P =an2 ，B P =an，∴A B =an2+an．
n n n n n n
1 1 1 1 1(1 1 )
= = · = − ，
A B a(n2+n) a n(n+1) a n n+1
n n
1 1 1 1( 1 1 1 1 1 1 1 )
∴ + +⋅⋅⋅+ = 1− + − + − +⋯+ −
A B A B A B a 2 2 3 3 4 n n+1
1 1 2 2 n n
1( 1 )
= 1−
a n+1
1 n
= ·
a n+1
n
=
a(n+1)
当n=2024时．
2024
原式=
2025a
故选D．
3．（2023·河南信阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，B(2,0)，以点O为圆心，
OA长为半径作圆，C是⊙O上一动点，连接BC，以点B为旋转中心，将BC顺时针旋转90°得BD，连接
π
CD．若点C从点A出发，按照逆时针方向以每秒 个单位长度运动，则第2023秒时，点D的坐标是
2
（ ）．
A．(3,2) B．(2,3) C．(1,2) D．(2,1)
【答案】C
【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，由题意可得点C每4秒运动一
周，即得第2023秒时与第3秒时的位置相同，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，证明
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△BOC≌△DEB(AAS)可得△BOC≌△DEB(AAS)，可得OC=EB，BO=DE，再根据点A、B的坐标即
可求解，由题意判断出点C的位置是解题的关键．
π
【详解】解：如图，点C沿逆时针方向运动，每秒走 个单位长度，每4秒运动一周，
2
∵2023÷4=505⋅⋅⋅3，
∴第2023秒时与第3秒时的位置相同，
过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，则∠DEB=90°，
∴∠BDE+∠DBE=90°，
由旋转可得BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠CBO+∠DBE=90°，
∴∠CBO=∠BDE，
∵∠BOC=∠DEB=90°，
∴△BOC≌△DEB(AAS)，
∴OC=EB，BO=DE，
∵A(1,0)，B(2,0)，
∴OA=OC=1，OB=2，
∴EB=1，DE=2，
∴OE=BO−EB=2−1=1，
∴点D的坐标为(1,2)，
故选：C．
4．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O ，O ，
1 2
π
O ，……成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第
3 2
2016秒时，点P的坐标是（ ）
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A．(2014,0) B．(2015,−1) C．(2015,1) D．(2016,0)
【答案】D
【分析】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题.根据
图象可得移动4 次图象完成一个循环，从而可得出点P 的坐标．
2016
1
【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为： ×2π×1=π，
2
π
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，
2
1
∴点P1秒走 个半圆，
2
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为(1,1)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为(2,0)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为(3,−1)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为(4,0)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为(5,1)，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为(6,0)，
…，
∵2016÷4=504，
∴P 的坐标是(2016,0)，
2016
故选：D．
5．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，
如(0,1),(−1,2),(0,2),(1,2),(2,3),(1,3),(0,3)，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是
（ ）
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A．(43,45) B．(44,45)
C．(−43,45) D．(−42,45)
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标
是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，
纵坐标为n的点有(2n−1)个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵
坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而452=2025，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，
且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标．
【详解】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有
7个，……，一般地，纵坐标为n的点有(2n−1)个，且这n个点的横坐标从左往右依次是
−n+1,−n+2,⋯,−1,0,1,⋯,n−1；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左
的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；
∵452=2025，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，
∴最左边的点坐标为(−44,45)，即第2025个点的坐标，
∴第2024个点的坐标为(−43,45)．
故选：C．
6．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，把Rt△ABO置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐
标为(3,0)，点P是Rt△ABO内切圆的圆心．将Rt△ABO沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次
与x轴重合，第一次滚动后圆心为P ，第二次滚动后圆心为P ，依此规律，第2025次滚动后，Rt△ABO
1 2
内切圆的圆心P 的坐标是 ．
2025
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【答案】(8100,1)
【分析】本题考查了直角三角形内切圆半径和周长的关系，勾股定理，坐标类规律探索，熟练掌握以上知
识点，得出每滚动3次为一个循环是解题的关键．设内切圆与OA，OB，AB的切点分别为F，E，G，连
接PE，PF，PG，根据勾股定理求得AB，可求得Rt△OAB内切圆的半径为1，因此P的坐标为(1,1)，然
后根据三角形内切圆的性质，可知BE=BG，AF=AG，OF=OE，四边形FOEP是正方形，得到
OF=OE=PF=PE=1，进而得到BE，AF，结合PE=PF=PG=1，可知每次滚动后圆心的纵坐标都为
1，然后计算P 、P 、P 的横坐标，得出每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加12，进而可求得答案．
1 2 3
【详解】解：设内切圆与OA，OB，AB的切点分别为F，E，G，连接PE，PF，PG，如图，
∵ P Rt△OAB
点 是 内切圆的圆心，
∴BE=BG，AF=AG，OF=OE，∠PFO=∠PEO=∠EOF=90°，PE=PF=PG，
∴四边形FOEP是正方形，
∴OF=OE=PF=PE，
∵A(0,4)，B(3,0)，
∴OA=4，OB=3，
∴在Rt△OAB中，AB=√32+42=5，
1 1
∴Rt△OAB内切圆的半径= (OA+OB−AB)= (4+3−5)=1，
2 2
∴点P坐标为(1,1)，
∴OF=OE=PF=PE=1，
∴BE=BG=OB−OE=3−1=2，AF=AG=OA−OF=4−1=3，
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∵PE=PF=PG=1，即点P到Rt△OAB三边距离都相等，
∴每次滚动后圆心的纵坐标都为1，
第1次滚动后点P 的横坐标为：1+2BE=1+2×2=5，即点P 的坐标为(5,1)；
1 1
第2次滚动后点P 的横坐标为：1+2BE+2AG=1+2×2+2×3=11，点P 的坐标为(11,1)；
2 2
第3次滚动后点P 的横坐标为：1+2BE+2AG+2OE=1+2×2+2×3+2×1=13，点P 的坐标为(13,1)；
3 3
∴每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加2BE+2AG+2OE=12，
∵2025÷3=675，
∴点P 的横坐标为：1+675×12=8101，
2025
则点P 的坐标为(8101,1)，
2025
故答案为：(8101,1)．
10
7．（2022·陕西西安·模拟预测）在反比例函数y= (x>0)的图象上，有一系列点A 、A 、A 、…、A 、
x 1 2 3 n
A ，若A 的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点A 、A 、
n+1 1 1 2
A 、…、A 、A 作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依
3 n n+1
次记为S ，S ，S ，…，S ，则S = ，S +S +S +...+S = （用n的代数式表示）
1 2 3 n 3 1 2 3 n
5 10n
【答案】
6 n+1
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，坐标规律探索，由已知条件横坐标成等差数列，再根据点A 、
1
A 、A 、…、A 、A 在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出S 的表达式，即
2 3 n n+1 n
S =2× (10 − 10 ) = 10 ，根据 1 = 1 − 1 ，得出
n 2n 2n+2 n(n+1) n(n+1) n n+1
[1 1 1 ] 10n
S +S +S +...+S =10× + +…+ = 即可．
1 2 3 n 2 6 n(n+1) n+1
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【详解】解：∵点A 、A 、A 、…、A 、A 在反比例函数图象上，且A 的横坐标为2，
1 2 3 n n+1 1
( 10)
∴A 2, ，
1 2
∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，
( 10) ( 10) ( 10) ( 10 )
∴A 4, 、A 6, 、…、A 2n, 、A 2n+2, ，
2 4 3 6 n 2n n+1 2n+2
(10 10)
∴S =2× − =5，
1 2 4
(10 10) 5
S =2× − = ，
2 4 6 3
(10 10) 5
S =2× − = ，
3 6 8 6
…
(10 10 ) 10
S =2× − = ，
n 2n 2n+2 n(n+1)
1 1 1
∵ = − ，
n(n+1) n n+1
∴S +S +S +...+S
1 2 3 n
[1 1 1 ]
=10× + +…+
2 6 n(n+1)
( 1 1 1 1 1 )
=10× 1− + − +⋅⋅⋅+ −
2 2 3 n n+1
( 1 )
=10× 1−
n+1
10n
= ．
n+1
5 10n
故答案为： ； ．
6 n+1
8．（2024·安徽阜阳·三模）【观察·发现】如图，观察下列各点的排列规律：
A(0,1)，A (2,0)，A (3,2)，A (5,1)，A (6,3)，…．
1 2 3 4
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【归纳·应用】
(1)直接写出点A 的坐标为______；点A 的坐标为______；
6 12
(2)若点A 的坐标为(3036,1013)，求n的值．
2n
【答案】(1)(9,4)；(18,7)
(2)1012
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，以及坐标找规律，一元一次方程的应用，解题的关键在于
通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
（1）根据图形写出坐标即可；
（2）根据题意得到A(0,1)，A (1×3,1+1)，A (2×3,1+2)，A (3×3,1+3) ⋯⋯，依此类推得到
2 4 6
A (3n,n+1)，再根据点A 的坐标为(3036,1013)建立等式求解，即可解题．
2n 2n
【详解】（1）解：由图知，点A 的坐标为(9,4)，
6
点A 的坐标为(18,7)；
12
故答案为：(9,4)；(18,7)．
（2）解：∵ A(0,1)，A (2,0)，A (3,2)，A (5,1)，A (6,3)，
1 2 3 4
且A(0,1)，A (1×3,1+1)，A (2×3,1+2)，A (3×3,1+3) ⋯⋯，依此类推，
2 4 6
(2n 2n)
A ×3,1+ ，即A (3n,n+1)，
2n 2 2 2n
∵点A 的坐标为(3036,1013)，
2n
∴3n=3036，解得n=1012．
9．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）如图（1），是边长为1的正方形OBB C，以对角线OB 为一边作第2个
1 1
正方形OB B C ，再以对角线OB 为一边作第3个正方形OB B C ，…依次下去，则：
1 2 1 2 2 3 2
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(1)第2个正方形的边长＝ ；第10个正方形的边长＝ ．第n个正方形的边长为__________．
(2)如图（2）所示，若以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，则点B 的坐标是
3
________，点B 的坐标是__________，点B 的坐标是___________．
5 2014
【答案】(1)√2，(√2) 9，(√2) n−1
(2)(2,−2)，(−4,−4)，(−21007,0)
【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质和勾股定理就可以求出第1个正方形的边长为1，依次可以
求出第2个正方形的边长为√2，第三个正方形的边长为2√2，第四个正方形的边长为4，依此类推就可以
求出第n个正方形的边长；
（2）根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以√2，所以可求出从B到B 的
3
后变化的坐标，再求出B 、B 、B 、B 、B 、B 、B 、B 、B 的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然
1 2 3 4 5 6 7 8 9
后根据规律计算出点B 的坐标．
2014
【详解】（1）解：∵第1个正方形的边长为1，
∴由勾股定理可以得出：
第2个正方形的边长为：OB =√12+12=√2
1
第3个正方形的边长为：2=(√2) 2
第4个正方形的边长为：2√2=(√2) 3
第5个正方形的边长为：4=(√2) 4
…
第10个正方形的边长为：(√2) 9
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第 n个正方形的边长为：(√2) n−1
故答案为：√2，(√2) 9 ，(√2) n−1 ．
（2）根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以√2，
∵从B到B 经过了3次变化，
3
∵45°×3=135°，1×(√2) 3=2√2
∴点B 所在的正方形的边长为2√2，点B 位置在第四象限，
3 3
∴点B 的坐标是(2，−2)；
3
可得出：B 点坐标为(1,1)，
1
B 点坐标为(2,0)，
2
B 点坐标为(2,−2)，
3
B 点坐标为(0,−4)，
4
B 点坐标为(−4,−4)，
5
B 点坐标为(−8,0)，
6
B 点坐标为(−8,−8)，
7
B 点坐标为(0,16)，
8
B 点坐标为(16,16)，
9
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来
的√2倍，
∵2014÷8=251⋯6
∴从B到B 与B 都在x轴负半轴上，
2014 6
∴(√2)
2014=21007
∴点B 的坐标是(−21007,0)．
2014
故答案为：(2,−2)，(−4,−4)，(−21007,0)．
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，坐标于图形的性质的性质的运用，解答时寻
找线段长度的变化规律是关键．
82
