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第 48 讲 非点电荷电场强度的叠加及计算的五种方法
1．（安徽）如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z＜0的空间，z＞0的空间为真
空。将电荷为+q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点
处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处
h
处为零，则在z轴上z= 处的场强大小为（k为静电力常量）（ ）
3
4q 45q 32q 40q
A．k B．k C．k D．k
h2 16h2 9h2 9h2
h
【解答】解：在z轴上- 处，合场强为零，该点场强为q和导体近端感应电荷产生电场的场强
3
h
的矢量和；q在- 处产生的场强为：
3
q 9kq
=
E
1
＝k
(
4
h) 2
16h2；
3
h h h
由于导体远端离- 处很远，影响可以忽略不计，故导体在- 处产生场强近似等于近端在- 处
3 3 3
产生的场强；
h h 9kq
- 处合场强为0，故导体在- 处产生场强大小 E ＝E = ，方向向上。
3 3 2 1 16h2
h 9kq
根据对称性，导体近端在 处产生的场强也为E = ，方向向下。
3 2 16h2
q 9kq
h =
电荷q在
3
处产生的场强为：E
3
＝k
(
2
h) 2
4h2，方向向下。
3
h 9kq 9kq 45q
故在 处的合场强为：E＝E +E = + =k ，方向向下。
3 2 3 16h2 4h2 16h2
故选：B。
2．（新课标Ⅰ）如图，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为
q（q＞0）的固定点电荷。已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为（k为静电力常量）
（ ）
3q 10q Q+q 9Q+q
A．k B．k C．k D．k
R2 9R2 R2 9R2
q
【解答】解：电荷量为q的点电荷在b处产生电场强度为E=k ，
R2
而半径为R均匀分布着电荷量为Q的圆盘上电荷，与在a点处有一电荷量为q（q＞0）的固定点
电荷，在b点处的场强为零，
q q
则圆盘在此处产生电场强度也为E=k ．那么圆盘在此d产生电场强度则仍为E=k 。
R2 R2
q q
而电荷量为q的点电荷在d处产生电场强度为E'=k =k ，由于都在d处产生电场强
(3R) 2 9R2
度方向相同，即为两者大小相加。
10q
所以两者这d处产生电场强度为k ，故B正确，ACD错误。
9R2
故选：B。
一．知识回顾
1.电场强度的叠加
如果场源是多个点电荷，则电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度
的矢量和，遵从平行四边形定则。
如果场源是一个带电的面、线、体，则可根据微积分求矢量和。但在高中阶段，在不能熟练运
用微积分的情况下，还有以下五种方法。
2．方法概述
求电场强度有三个公式：E＝、E＝k、E＝，在一般情况下可由上述公式计算电场强度，但在求
解带电圆环、带电平面等一些特殊带电体产生的电场强度时，上述公式无法直接应用。这时，如果
转换思维角度，灵活运用补偿法、微元法、对称法、等效法、极限法等巧妙方法，可以化难为易。
二.例题精析
方法一：填补法将有缺口的带电圆环(或半球面、有空腔的球等)补全为圆环(或球面、球体等)分析，再减去补
偿的部分产生的影响。当所给带电体不是一个完整的规则物体时，将该带电体割去或增加一部分，
组成一个规则的整体，从而求出规则物体的电场强度，再通过电场强度的叠加求出待求不规则物体
的电场强度。应用此法的关键是“割”“补”后的带电体应当是我们熟悉的某一物理模型。
例1．（2020秋•怀化月考）已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量
相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为 R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，
在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R，现以OB为直径在球内
4
挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V= πr3，在挖掉球体部分前后，A点处
3
场强的大小之比为（ ）
9 9 8 4
A． B． C． D．
7 5 7 3
【解答】解：由题意可知，由题意知，半径为 R 的均匀带电体在 A 点产生场强为：E 整
kQ kQ
= =
(2R) 2 4R2
4 R
π( ) 3
R 3 2
同理割出的小球半径为 ，因为电荷平均分布，其带电荷量：Q′= Q
2 4
πR3
3
Q
k
kQ' 8 kQ
则其在A点产生的场强：E割 = = =
(
1
R+R) 2
9
R2
18R2
2 4
kQ kQ 7kQ
所以剩余空腔部分电荷在A点产生的场强：E
A
＝E整 ﹣E割 =
4R2
-
18R2
=
36R2
kQ
E 4R2 9
所以 整= = ，故A正确，BCD错误；
E 7kQ 7
割
36R2
故选：A。
方法二：对称法利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简
化。形状规则的带电体形成的电场具有对称性，位置对称的两点处的电场强度大小相等。如果能够
求出其中一点处的电场强度，根据对称性特点，另一点处的电场强度即可求出。
例如：如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的
场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
例2．如图，在点电荷﹣q的电场中，放着一块带有一定电量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN
为其对称轴，O点为几何中心．点电荷﹣q与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d．已知图中
a点的电场强度为零，则带电薄板在图中b点处产生的电场强度的大小和方向分别为（ ）
kq kq kq kq kq
A． ，水平向右 B． ，水平向左 C． + ，水平向右 D． ，水平向右
d2 d2 d2 9d2 9d2
【解答】解：
q
﹣q在a处产生的场强大小为E＝k ，方向水平向右。
d2
据题，a点处的电场强度为零，则知﹣q与带电薄板在a点产生的场强大小相等，方向相反，
q
则带电薄板在a点产生的场强大小为E＝k ，方向水平向左，则薄板带负电。
d2
q
根据对称性可知，带电薄板在b点产生的场强大小为E＝k ，方向水平向右。故A正确，BCD
d2
错误。
故选：A。
方法三：微元法
将带电体分成许多电荷元，每个电荷元可看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强；
再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。求解均匀带电圆环、带电平面、带电直杆等在某点产生
的场强问题，可应用微元法。微元法是从部分到整体的思维方法，把带电体看成由无数个点构成。
然后根据对称性，利用平行四边形定则进行电场强度叠加。利用微元法可以将一些复杂的物理模型
过程转化为我们熟悉的物理模型、过程，以解决常规方法不能解决的问题。
例3．如图，水平面上有一均匀带电圆环，带电量为+Q，其圆心为O点。有一带电量+q，质量为m
的小球恰能静止在O点正上方的P点。OP间距为L，P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角为．P点场强大小为（ ）
θ
Q Qcosθ mg mgcosθ
A．k B．k C． D．
L2 L2 q q
【解答】解：对小球进行受力分析，受到重力、电场力作用，小球恰能静止在 O点正上方的P
mg
点，根据平衡条件有：mg＝qE，得E= ，故C正确，ABD错误。
q
故选：C。
方法四：等效法
在保证效果相同的条件下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。等效法的实质
是在效果相同的情况下，利用与问题中相似或效果相同的知识进行知识迁移的解题方法，往往是用
较简单的因素代替较复杂的因素。
（多选）例4．（2022•临沂三模）一无限大接地导体板 MN前面放有一点电荷+Q，它们在周围产
生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷+Q与其像电荷﹣Q共同激发产生
的．像电荷﹣Q的位置就是把导体板当作平面镜时，电荷+Q在此镜中的像点位置．如图所示，
已知+Q所在位置P点到金属板MN的距离为L，c为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其
中bc边平行于MN，静电力常量为k，则（ ）
A．a点与b点的电场强度大小相等
B．c点的电场强度大于b点的电场强度
96kQ
C．d点的电场强度大小为E=
25L2
D．a点的电势低于b点的电势
【解答】解：ABD、等量异种点电荷周围的电场线和等势面分布。电场线越密集场强越大，沿电场线方向电势逐渐降低，由图可知E ＞E ，E ＞E ， ＞ ，故D正确；AB错误；
a b c b b a
C、由题意可知，点电荷+Q和金属板MN周围空间电场φ与等φ量异种点电荷产生的电场等效，所
Q Q 96kQ
- =
以d点的电场强度E＝k
(
L
) 2
k
(
5
L) 2
25L2 ，故C正确；
2 2
故选：CD。
方法五：极限法
对于某些特殊情况下求解有关场强问题，有时无法用有关公式、规律得出结论，可考虑应用极
限法。极限法是把某个物理量的变化推向极端再进行推理分析，从而做出科学的判断或导出一般结
论。极限法一般适用于所涉及的物理量随条件单调变化的情况。在物理学中，通过对量纲的分析，
有时可以帮助我们快速找到一些错误。
例5．物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通过一定的分析就可以
判断结论是否正确．如图所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R 和R 的圆环，两圆环上的
1 2
电荷量均为q（q＞0），而且电荷均匀分布．两圆环的圆心 O 和O 相距为2a，联线的中点为
1 2
O，轴线上的A点在O点右侧与O点相距为r（r＜a）．是分析判断下列关于A点处电场强度大
小E的表达式（式中k为静电力常量）正确的是（ ）
kqR kqR
A．E＝| kqR 1 - kqR 2 | B．E＝| 1 - 2 |
3 3
[R 1 2+(a+r) 2 ] [R 2 2+(a-r) 2 ] [R 2+(a+r) 2 ]2 [R 2+(a-r) 2 ]2
1 2
kq(a+r) kq(a-r)
kq(a+r)
-
kq(a-r)
C．E＝| - | D．E＝| |
3 3
[R 1 2+(a+r) 2 ] [R 2 2+(a-r) 2 ] [R 2+(a+r) 2 ]2 [R 2+(a-r) 2 ]2
1 2
Q
【解答】解：与点电荷的场强公式 E＝k ，比较可知，A、C两项表达式的单位不是场强的单
r2
位，故可以排除AC；
当r＝a时，右侧圆环在A点产生的场强为零，则A处场强只由左侧圆环上的电荷产生，即场强
表达式只有一项，故B错误。综上所述，可知D正确。
故选：D。
三.举一反三，巩固训练1. 如图，电荷量分别为2q和﹣q（q＞0）的点电荷固定在边长为L的正方体的两个顶点
上，A是正方体的另一个顶点，如果点电荷2q、﹣q连线中点O的电场强度大小是E，则正方
体A点的电场强度大小是（ ）
√2 3 3√5 9√5
A． E B． E C． E D． E
4 4 16 16
√3
【解答】解：根据几何知识得O点到两个电荷的距离都是d= L
2
kq k2q 4kq
即O点场强为E= + =
d2 d2 L2
√2kq √2
A点电场E =√E2 +E2 = = E
A 2q -q L2 4
故A正确，BCD错误；
故选：A。
2. 如图所示，两正四面体边长均为l ，两正四面体bcd面完全重合，电荷量为Q的两正、
0
负电荷A、B分别置于两四面体左、右两顶点，静电力常量为k，则（ ）
A．b、c、d三点的电场强度大小相等，方向不同
B．b、c、d三点的电势不相等
C．平面bcd上电场强度的最大值为3kQ
l2
0
D．平面bcd上电场强度的最大值为3kQ
2l2
0kQ
【解答】解：AB.根据库仑定律可知，点电荷的场强为E= ，由图可知，b、c、d三点到两电
r2
荷的距离相等，且A处为正电荷，B处为负电荷，故两电荷在三点的场强的矢量和大小相等，
kQ
方向都与AB连线平行，故三点场强大小相等，方向相同；根据点电荷的电势公式φ= ，可
r
知正电荷在三点的电势相等，负电荷在三点的电势也相等，且和都是零，故AB错误；
C.在平面bcd上，根据矢量叠加原理和几何关系得：AB连线与平面的交点电场强度最大，根据
√2
几 何 知 识 可 得 该 点 到 A 、 B 两 点 距 离 为 l ， 为 两 点 电 荷 场 强 的 矢 量 和 ， 即
3 0
kQ 3kQ
E =2 =
max √2 l2 ，故C正确，D错误。
( l ) 2 0
3 0
故选：C。
3. （多选）如图所示，竖直面内一绝缘细圆环，关于水平直径 PQ上下对称各镶嵌7个
电荷量相等的正、负点电荷，上边为正，下边为负，在竖直直径上各有一个正负电荷，其余 6
个正、负电荷关于竖直直径对称。a、b、c、d分别为水平和竖直直径上的四个点，四点连线构
成一正方形，圆心O位于正方形的中心。则以下说法正确的是（ ）
A．a、b两点的场强不相等
B．c、d两点的场强相等
C．c、d两点的电势相等
D．带正电的试探电荷沿着直线cOd，由c运动到d过程，电场力先减小后增大
【解答】解：A、将带电圆环看成若干个点电荷，取关于水平直径对称的两个点电荷，依据点电
荷的电场强度大小与方向，结合矢量的合成法则，如图所示，那么此两个点电荷在a、b 两点产
生电场强度大小相等，方向相同，故A错误；
BC、将带电圆环看成若干个点电荷，取上半圆关于竖直直径对称的两个点电荷，依据点电荷的电场强度大小与方向，结合矢量的合成法则，如上图所示，那么此两个点电荷在c点产生电场强
度的方向竖直向下，同理，取下半圆关于竖直直径对称的两个点电荷，依据点电荷的电场强度
大小与方向，结合矢量的合成法则，如上图所示，那么此两个点电荷在d点产生电场强度的方向
也竖直向下，由于c、d两点关于水平直径对称，那么c、d两点的场强相等，因此任意两个关于
竖直直径对称的两个点电荷在c、d两点产生的合电场强度大小相等，方向都相同，那么带异种
电荷的上、下半圆在c、d两点的场强相等，方向相同，再依据沿着电场线方向电势降低，可知，
c点的电势高于d，故B正确，C错误；
D、根据电场的叠加可知，在O点场强大小为零，故从由c运动到d过程，电场力先减小后增大，
故D正确；
故选：BD。
4. 如图所示，正电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球顶点
R
C和球心O的轴线。P、M为CD轴线上的两点，距球心O的距离均为 在M右侧轴线上O′
2
3kQ
点固定正点电荷Q，点O′、M间距离为R，已知M点的场强方向水平向左、大小为 ，
4R2
带电均匀的封闭球壳内部电场强度处处为零，则P点的场强为（ ）
3kq 3kQ kQ kq
A．0 B． C． D． -
4R2 4R2 R2 4R2
【解答】解：设半球面ACB上的电荷在M点的场强大小为E ，O′点固定正点电荷Q在M点
1
的场强大小为E ，如图1：
2kQ 3kQ kQ kQ
由点电荷场强公式有E = ，又M点的场强E＝E ﹣E ，即： = -E ，解得：E =
2 R2 2 1 4R2 R2 1 1 4R2
将半球面补全为一个完整的球面，根据电荷分布及对称性可知：半球面ACB上电荷q在P点的
场强与补上的半球面带相同电荷在M点形成的场强大小相等，方向相反；
又有带电均匀的封闭球壳内部电场强度处处为零，故半球面 ACB上电荷q在M点的场强与在P
kQ
点的场强相同，大小均为
4R2
所以，P点的场强如图2：
kQ kQ
= =
由点电荷场强公式有E ′
2 (2R) 2 4R2
所以P点的场强E＝E ﹣E ′＝0，故A正确，BCD错误；
1 2
故选：A。
5. 如图所示，两条完全相同的圆弧形材料AOB和COD，圆弧对应的圆心角都为120°，
圆弧AOB在竖直平面内，圆弧COD在水平面内，以O点为坐标原点、水平向右为x轴正方向，
两弧形材料均匀分布正电荷，P点为两段圆弧的圆心，已知P点处的电场强度为E 、电势为
O
，设圆弧AO在圆心P处产生的电场强度大小为E，产生的电势为 ，选无穷远的电势为零，
O
φ以下说法正确的是（ ） φ
√3 1
A．E= E =
O O
3 4
φ φB．E √3E 3 √φ e
= O = O O
6 4 2m
φ
C．将质子（比荷e ）从P点无初速释放，则质子的最大速度为√φ e
O
m 2m
D．若两段弧形材料带上的是等量异种电荷，x轴上各点电场强度为零，电势为零
【解答】解：AB、圆弧AO在圆心P点产生的场强大小与圆弧OB在P点产生的场强大小相等，
两个场强方向夹角为60°，电势相等，同理圆弧OC在圆心P点产生的场强大小与圆弧OD在P
点产生的场强大小相等，且夹角也为60°，电势相等，根据电场强度矢量叠加法则有4Ecos30°＝
√3 φ
E ，计算解得E= E ，根据电势标量的叠加法则有 ＝4 ，得φ= 0，故AB错误；
0 6 0 0 4
φ φ
1
C、从P点无初速释放质子，到达无穷远处时速度最大，根据动能定理有eφ = mv2，得
0 2
√2φ e，故C错误；
v= 0
m
D、若两段弧形材料带上的是等量异种电荷，正电荷和负电荷在x轴上各点产生电场强度大小相
等，方向相反，其合场强为零，正、负电荷产生电势数值相等，电势叠加结果为零，故D正确。
故选：D。
6. 均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所
示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球
心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R，已知M点的场强大小为E，则N点的
场强大小为（ ）
kq kq kq kq
A． -E B． +E C． -E D． +E
4R2 4R2 2R2 2R2
【解答】解：若将带电量为2q的球面放在O处，
均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。k⋅2q kq
则在M、N点所产生的电场为E = = ，
(2R) 2 2R2
由题知当半球面如图所示产生的场强为E，则N点的场强为
kq
E′= -E，
2R2
故选：C。
7. 在x轴上固定有两个正、负点电荷，一个带电量为+Q 、一个带电量为﹣Q （Q ＞
1 2 2
0），用E 表示Q 在x轴上产生的电场强度大小，E 表示Q 在x轴上产生的电场强度大小。
1 1 2 2
当Q ＞Q 时，E ＝E 的点有两个，分别为M点和N点，M、N两点距Q 的距离分别为r 和
1 2 1 2 2 1
r ，如图所示。则当Q 的比值增大时（ ）
2 1
Q
2
A．r 、r 都减小 B．r 、r 都增大
1 2 1 2
C．r 减小，r 增大 D．r 增大，r 减小
1 2 1 2
kQ
【解答】解：设两电荷间的距离为R，则Q 1 在M点产生的场强大小为 E = 1 ，在N点产
1 (R-r ) 2
1
kQ
生的场强大小为 E' = 1
1 (R+r ) 2
2
kQ kQ
Q 2 在M点产生的场强大小为： E = 2，在N点产生的场强大小为 E' = 2
2 r2 2 r2
1 2
根据电场的叠加可知E 1 ＝E 2 ，E′ 1 ＝E′ 2 ，则 Q 1= (R-r 1 ) 2 ， Q 1= (R+r 2 ) 2 ，当 Q 1的比值增
Q r2 Q r2 Q
2 1 2 2 2
大，则r 和r 都将减小，故A正确，BCD错误；
1 2故选：A。
