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第01课 函数的概念及其表示（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023·山东潍坊·统考一模）存在函数 满足：对任意 都有（ ）
A． B． C． D．
2．（2005·江西·高考真题）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，则（ ）
A． 的最小值为2 B．
C． 的最大值为2 D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，若存在 ，使得
，则 的取值范围是
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是一次函数，且 恒成立，则
A．1 B．3 C．5 D．7
6．（2023·高一课时练习）已知函数 在定义域 上单调，且均有 ，则 的值为
（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
7．（2022秋·广西防城港·高一防城港市高级中学校考阶段练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．（2007·安徽·高考真题）如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2021·陕西咸阳·校考模拟预测）对于函数 ，部分x与y的对应关系如下表：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
y … 3 7 5 9 6 1 8 2 4 …
数列 满足： ，且对于任意 ，点 都在函数 的图象上，则
（ ）
A．7576 B．7575 C．7569 D．756410．（2012·江西·高考真题）设函数f(x)＝ 则f(f(3))＝( )
A． B．3 C． D．
11．（2019·福建泉州·福建省永春第一中学校考模拟预测）已知函数 ，
，设 为实数，若存在实数 ，使得 成立，则 的取值范围为
A． B．
C． D．
12．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知函数 ，若 的值域是 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期中）已知函数 是(－∞，＋∞)
上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]
14．（2022秋·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）已知 的值域为 ，那
么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．二、多选题
15．（2023·高二课时练习）已知函数 ，则( )
A． ， ， 成等差数列 B． ， ， 成等差数列
C． ， ， 成等比数列 D． ， ， 成等比数列
16．（2022·高一单元测试）下列说法不正确的是（ ）
A．函数 在定义域内是减函数
B．若 是奇函数，则一定有
C．已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是
D．若 的定义域为 ，则 的定义域为
17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列叙述正确的是（ ）
A． 的值域为 B． 在区间 上单调递增
C． D．若 ，则 的最小值为-3
18．（2023·海南·校联考模拟预测）已知定义在 上的函数 不恒等于零，同时满足
，且当 时， ，那么当 时，下列结论不正确的为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则（ ）
A．f(g(1))=11 B．g(f(1))=35C．f(g(x))=3·2x+3x+2 D．
20．（2022秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）函数 分别是定义在 上的奇函数和偶函
数，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
21．（2021秋·全国·高一期中）已知函数 ，则有（ ）
A．存在 ，使得
B．存在 ，使得
C．函数 与 的单调区间和单调性相同
D．若 且 ，则
22．（2021秋·湖北荆门·高一荆门市龙泉中学校考阶段练习）已知函数 ，若
的最小值为 ，则实数a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、填空题
23．（2018·山西·校联考一模）设 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则方程
的解集为 ．24．（2022·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数 ，则
.
25．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数 是定义在 上的减函数，且 ，
则 的取值范围是 ．
26．（2023·全国·高二专题练习）写出一个同时具备下列性质①②③的函数 .
①定义城为 ，②导函数 ；③值域为
27．（2022·高二课时练习）已知函数 的值域为 ，则 的定义域可以是
．(写出一个符合条件的即可)
28．（2021·全国·高三专题练习）设函数 ，若 恒成立，则实数 的值为 .
29．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ，图象如图1所示，函数 的定义域为
，图象如图2所示.若集合 ， ，则 中有 个
元素.
30．（2022秋·高一单元测试）已知函数 ，则不等式 的解集为 ．
31．（2022·全国·高三专题练习）若a＞0且a≠1，且函数 在R上单调递增，那么a的
取值范围是 ．
【二层练综合】一、单选题
1．（2013·陕西·高考真题）设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有
A．[－x] ＝ －[x] B．[2x] ＝ 2[x]
C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]
2．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考期中）已知定义域为 的偶函数 满足
，且当 时， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．3
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中a，b，c为常数，
若 ，则c＝（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知函数 的定义域是 ，则 的定
义域是（ ）
A． B． C． D．
5．（2008·江西·高考真题）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则函数 的
定义域是
A． B．
C．R D．
7．（2022·全国·高一专题练习）已知函数 的定义域与值域均为 ，则 （ ）
A． B． C． D．18．（2020秋·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）已知函数 则函数
的值域为（ ）
A． B． C． D．
9．（2010·江西·高考真题）给出下列三个命题：
①函数 与 是同一函数；
②若函数 与 的图像关于直线 对称，则函数 与 的图像也关于直线
对称；
③若奇函数 对定义域内任意 都有 ,则 为周期函数．
其中真命题是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②
10．（2021秋·甘肃兰州·高一西北师大附中校考期中）已知函数 满足 ，则
A． B．
C． D．
11．（2015·全国·高考真题）设函数 ,
A．3 B．6 C．9 D．12
12．（2022秋·四川眉山·高三校考开学考试）若函数 在R上单调递增，则
实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
13．（2018·全国·高考真题）设函数 ，则满足 的x的取值范围是
A． B． C． D．
14．（2019·天津·高考真题）已知函数 若关于 的方程 恰有
两个互异的实数解，则 的取值范围为
A． B． C． D．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，满足 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则当 时， 与 的大小
关系是（ ）
A．
B．
C．
D．不确定17．（2023·北京·高三专题练习）若函数 的定义域和值域的交集为空集，则正数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
18．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的定义域为
B． 在 上的值域为
C．若 在 上单调递减，则
D．若 ，则 在定义域上单调递增
19．（2022秋·河北唐山·高三唐山市第十一中学校考阶段练习）已知 表示不超过 的最大整数，例如
， 等，定义 ，则下列结论正确的有（ ）
A． ，
B．不等式 的解集为
C． 的值域为
D． 是周期函数
20．（2022秋·河南郑州·高一校联考期中）已知一次函数 满足 ，且点在 的图象上，其中 ， ，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·全国·高三专题练习） 是定义在 上的函数，若 是奇函数， 是偶函数，
函数 ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C． D．
22．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且
， 时， ， ，则（ ）
A．
B．函数 在区间 单调递增
C．函数 是奇函数
D．函数 的一个解析式为
三、填空题
23．（2022·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，当
时， ，函数 ,如果对于任意的 ，总存在 ，使得，则实数 的取值范围是 .
24．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则实数 的一个取值可以为
.
25．（2011·上海·高考真题）设 是定义在 上、以1为周期的函数，若 在 上的值域
为 ，则 在区间 上的值域为 ．
26．（2020秋·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）已知函数 满足：(1)对任意 ，恒
有 成立；(2)当 时， .若 ，则满足条件的最小的正实数 是
27．（2021秋·甘肃兰州·高三兰州一中阶段练习）已知函数 对 均有 ，若
恒成立，则实数m的取值范围是 .
28．（2020·河南信阳·校考模拟预测）如图放置的边长为1的正方形 沿 轴滚动，点 恰好经过原点.
设顶点 的轨迹方程是 ，则对函数 有下列判断：①函数 是偶函数；②对任
意的 ，都有 ；③函数 在区间 上单调递减；④函数 的值域是
；⑤ .其中判断正确的序号是 ．
29．（2023春·高一统考阶段练习）设函数 = ，若函数 f(x)-a有两个不同的零点，则实
数a的取值范围是 ．30．（2022·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）设 表示p，q，r三者中最小的一个.若函数
，则当 时， 的值域是 .
【三层练能力】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ， 为 的导函数，且
， ，若 为偶函数，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·福建龙岩·高一上杭一中校考期末）已知函数 的值
域为 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
3．（2023·江西吉安·吉安三中校考一模）已知函数 是定义在R上的函数，其中 是奇函数，
是偶函数，且 ，若对于任意 ，都有 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021秋·湖北·高一校联考阶段练习）对函数 ，如果存在 使得 ，则称
与 为函数图像的一组奇对称点.若 （ 为自然数的底数）存在奇对称点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知函数 ， ， ，
则下列结论正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．当 时，方程 有且只有3个不同实根
C． 的值域为
D．若对于任意的 ，都有 成立，则
6．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，
使得函数 同时满足① 在 上是单调函数；② 在 上的值域为 ，则称区
间 为 的“ 倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（ ）
A． B．
C． D．
【一层练基础】参考答案
1．D
【分析】根据函数的定义一一判断各选项中函数是否符合，即可判断出答案.
【详解】对于A，当 时， ；当 时， ，不符合函数定义，A错误；
对于B,令 ，则 ，令 ，则 ，
不符合函数定义，B错误；
对于C, 令 ，则 ，令 ，则 ，
不符合函数定义，C错误；
对于D, , ,则 ，则存在 时， ，
符合函数定义，即存在函数 满足：对任意 都有 ，D正确，
故选：D
2．B
【分析】首先，考查对数的定义域问题，也就是 的真数 一定要大于零，其次，
分母不能是零．
【详解】解：由 ，得 ，
又因为 ，即 ，得
故， 的取值范围是 ，且 ．
定义域就是
故选：B．
3．B
【分析】首先根据题意得到 ，再结合二次函数的性质依次判断选项即可.
【详解】因为 ， ，
所以 .
所以 ，所以 的最小值 ，无最大值，为故A，C错误.
对选项B， ，因为 ，所以 ，即 ，
故B正确.
对选项D， ，
因为 ，所以 ，即 ，
故D错误.
故选：B
4．A
【解析】根据条件求出两个函数的值域，结合若存在 ，使得f（x）＝g（x），等价为两个
1 2
集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．
【详解】当 x≤2时，log f（x）≤log 2，即﹣1≤f（x）≤1，则f（x）的值域为[﹣1，1]，
2 2
当 x≤2时，2 a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为[1+a，4+a]，
若存在 ，使得f（x）＝g（x），
1 2
则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠ ，
若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅ ，
则1+a＞1或4+a＜﹣1， ∅
得a＞0或a＜﹣5，
则当[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠ 时，﹣5≤a≤0，
即实数a的取值范围是[﹣5∅，0]，
故选A．
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是
解决本题的关键．
5．D
【分析】先设出函数解析式，利用 恒成立，求出解析式，然后可得 .【详解】设 ， ，
则
因为 恒成立，所以 且 ，解得 ，
所以 ，即有 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，明确函数类型时，常用待定系数法求解函数解析式，侧重考查
数学抽象的核心素养.
6．A
【分析】设 ，则 ，即可由 得 ，解出 ，从而得到
，进而求出 的值．
【详解】根据题意，函数 在定义域 上单调，且均有 ，
则 为常数，设 ，则 ，
则有 ，解可得 ，则 ，故 ；
故选：A.
7．A
【分析】根据同一函数的定义，逐项验证定义域和对应法则是否相同，即得．
【详解】对于A中，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，定义域相同，
对应法则相同，所以是同一个函数；
对于B中，函数 和 的定义域都是 ，但对应法则不同，所以不是同一
个函数；
对于C中，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，定义域不相同，所以
不是同一个函数；
对于D中，函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不相同，所以不
是同一个函数.故选：A．
8．B
【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可．
【详解】当0≤x≤1时，设f（x）=kx，由图象过点（1， ），得k= ，所以此时f（x）= x；
当1≤x≤2时，设f（x）=mx+n，由图象过点（1， ），（2，0），得 ，解得 所以此
时f（x）= ．函数表达式可转化为：y＝ |x－1|(0≤x≤2)
故答案为B
【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求
得．
9．A
【分析】由表格对应关系，依次求解 ，发现周期特点，再并项求和.
【详解】 ， ， ， ， ，
，
数列 满足 ，
则 .
故选：A.
【点睛】周期数列的求和一般可以从并项求和或分组求和的两种思路出发：并项是指先每个周期进行求和，
再计算多个周期的和，注意剩余项的处理；分组是指先将相等的项组合在一起求和，然后再整体求和.
10．D
【详解】 ,
,故选D.
11．A【分析】先由 ，求出函数 的值域，再由存在实数 ，使得 成立，
只需 即可，进而可求出结果.
【详解】因为 ，
当 时， 单调递增，故 ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时，取等号；
综上可得， ；
又因为存在实数 ，使得 成立，
所以只需 ，即 ，
解得 .
故选A
【点睛】本题主要考查分段函数的值域，存在实数 ，使得 成立，转化为
是解题的关键，属于常考题型.
12．B
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数 的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数 和 的图象如下图所示：由图可知，当 或 时，两图象相交，
若 的值域是 ，以实数 为分界点，可进行如下分类讨论：
当 时，显然两图象之间不连续，即值域不为 ；
同理当 ,值域也不是 ；
当 时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是 ；
综上可知，实数 的取值范围是 .
故选：B
13．D
【分析】直接由两段函数分别为减函数以及端点值的大小关系解不等式组即可.
【详解】由函数是(－∞，＋∞)上的减函数可得 解得 .
故选：D.
14．C
【解析】先求得 时 的值域，再根据题意，当 时， 值域最小需满足 ，
分析整理，即可得结果.
【详解】当 ， ，
所以当 时， ，
因为 的值域为R，
所以当 时， 值域最小需满足
所以 ，解得 ，
故选：C
【点睛】本题考查已知函数值域求参数问题，解题要点在于，根据 时 的值域，可得 时 的
值域，结合一次函数的图像与性质，即可求得结果，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.
15．ABD
【分析】根据函数解析式，求出选项对应的函数值，结合等差数列的等差中项和等比数列的等比中项的应
用依次判断选项即可.【详解】A： ， ，
则 ，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以A正确；
B： ， ， ，
则 ，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以B正确；
C： ， ，
则 ， ， 成等差数列，又 ，所以C错误；
D： ， ， ，
则 ，由等比中项的应用知，
成等比数列，所以D正确.
故选：ABD.
16．ABC
【分析】A选项，单调区间不能用 号连接，即在定义域 不是单调递减函数，A错误；
B选项，可举出反例；
C选项，分段函数单调递增，则在每段上函数均单调递增，且在端点处，左边函数值小于等于右边函数的
值；
D选项，利用抽象函数求定义域的方法进行求解.
【详解】函数 在 和 上都是减函数，但在定义域 上不是减函数，故
A不正确；
当 是奇函数时， 可能无意义，比如 ，故B不正确；因为 是增函数，所以 ，解得 ，故C不正确；
因为 的定义域为 ，所以 ，
解得 ，即 的定义域为 ，故D正确.
故选：ABC.
17．BCD
【分析】将函数转化为 ，再逐项判断.
【详解】函数 ，
A. 的值域为 ，故错误；
B. 在区间 上单调递增，故正确；
C. ，故正确；
D. 因为 ，则 的最小值为 ，故正确；
故选：BCD
18．ABC
【分析】令 可得 ，令 可得 ．当 时, ,根据已知条件得
,即 ，所以 .
【详解】对任意 ,恒有 ，
令 可得 ，因为当 时, 故 ，所以 ，
令 可得 ，所以 ，
当 时, ,根据已知条件得 ,即 ，所以 .
故选：ABC.
19．ACD
【分析】由 ，分别代入求 ， ， ， .
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
，
.
故选：ACD．
20．AC
【分析】根据奇函数和偶函数定义可构造方程组求得 ，由此依次判断各个选项即可.
【详解】由 得： ，
又 分别是定义在 上的奇函数和偶函数， ；
由 得： ， ；
对于A， ，A正确；
对于B， ，B错误；对于CD， ，C正确，D错误.
故选：AC.
21．BC
【分析】根据函数解析式，分别解AB选项对应的方程，即可判定A错，B正确；求出 的解析式，
判定 与 的单调区间与单调性，即可得出C正确；利用特殊值法，即可判断D错.
【详解】因为 ，
当 时， ，由 可得 ，解得 或 ，显然都不满足 ，故A错；
当 时， ，由 可得 ，解得 或 ，显然 满足 ，故B正确；
当 时， 显然单调递减，即 的减区间为 ；当 时， 显然单调递增，即
的增区间为 ；
又 ，因此 在 上单调递减，在 上单调递增；即函数
与 的单调区间和单调性相同，故C正确；
D选项，若不妨令 ， ，则 ， ，此时 ，故D错；
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于根据解析式判定分段函数的性质，利用分段函数的性质，结合选项即可得解.
22．BCD
【分析】分别求得 和 时的最小值，结合题意，即可得答案.
【详解】当 , ，
当且仅当 时,等号成立，当 时, 为二次函数，要想在 处取最小，
则对称轴要满足 ,且 ,
即 ，解得 ,
故选：BCD.
【点睛】本题考查分段函数的应用，考查分析理解，求值化简的能力，考查分类讨论的思想，属中档题.
23．
【分析】由题可得 或 ，然后根据 的定义即得.
【详解】由 ，可得 或 ，
所以 或 .
故答案为： .
24．
【分析】先求出函数 的定义域，进而求出 的定义域，求出 的解析式，即可
得出结论.
【详解】 ，定义域均为 ，
，定义域为 ，
的定义域为 ，
.
故答案为：
【点睛】本题考查函数解析式的求解，根据已知先确定函数的定义域是解题的关键，容易被忽略，属于基
础题.25．
【分析】根据函数的定义域，结合函数的单调性求解即可.
【详解】函数 是定义在 上的减函数，且 ，
∴ ，解得 ．
故答案为：
26． （答案不唯一）
【分析】取 ，验证定义域，导数，值域即可.
【详解】取 ，
因为 ，解得 ，所以 的定义城为 ，符合①；
，符合②；
因为 ，所以 的值域为 ，符合③.
故答案为： （答案不唯一）
27． （答案不唯一）
【分析】利用导数求出函数的单调性，再求出 时所对应的自变量，即可求解.
【详解】 ，
令 可得 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，
由此可知定义域可以是 ，
故答案为： （答案不唯一）28．
【分析】因为 恒成立，所以 ，解得 或 ，验证 和 ，即可得出
的值.
【详解】因为 恒成立，所以
即 ，解得： 或
当 时， ， ，则 不满足条件
当 时， ， ，则 满足条件
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求解析式中参数的值，属于基础题.
29．3
【分析】利用数形结合分别求出集合 与集合 ，再利用交集运算法则即可求出结果.
【详解】若 ，则 或 或1，∴ ，
若 ，则 或2，∴ ，
∴ .
故答案为：3.
30．
【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答.
【详解】当 时， ，解得 ，于是得： ，
当 时， ，解得 ，于是得 ，
所以 的解集为 ．
故答案为：
31．【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，然后求解即可．
【详解】 且 ，函数 在 上单调递增，
可得： ，解得 ，
故答案为： .
【二层练综合】参考答案
1．D
【详解】取 ，则 ，所以A项错误； ，
所以B项错误；再取 ，则 ，所以C项错误.
【考点定位】本题考查取整函数(即高斯函数)，分段函数思想.属于难题.
2．D
【分析】根据给定条件，探讨出函数 的周期，再结合已知函数式求解作答.
【详解】因 上的偶函数 满足 ，即有 ，则
，
因此，函数 是周期为8的周期函数， .
故选：D
3．C
【分析】先化简函数解析式，然后由 列方程可求出 .
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴ ，
又 ，
∴ ，即 ，解得 ．
故选：C
4．D
【分析】利用复合函数求函数的定义域的原则及分式有意义即可求解.
【详解】因为函数 的定义域是 ，
所以 ，所以
所以函数 的定义域为 ，
要使 有意义，则需要 ，解得 ，
所以 的定义域是 .
故选：D.
5．B
【详解】根据已知可得函数 的定义域需满足： ,
解得 ，
即函数定义域为 ，故选B.
考点：求函数定义域
6．D
【分析】由已知函数的定义域可得 ，求解不等式组得答案．
【详解】由 的定义域为 ，
则函数 的定义域满足 ，解得 或 ．即函数 的定义域是 ．
故选：D．
7．A
【分析】根据函数的定义域可得 ， ， ，再根据函数的值域即可得出答案.
【详解】解：∵ 的解集为 ，
∴方程 的解为 或4，
则 ， ， ，
∴ ，
又因函数的值域为 ，
∴ ，∴ .
故选：A.
8．D
【分析】由已知求得函数 的定义域，换元后利用配方法求函数的值域．
【详解】 ，
由 ，解得 .
.
令 ，
函数 .
当 时， ；
当 时， ，函数 的值域为 .
故选：D.
【点睛】本题考查函数的定义域、值域及其求法，训练了利用换元法与配方法求函数的值域，是中档题．
9．C
【分析】根据函数的三要素可判断①；设 是函数 图像上任一点，结合 与
是反函数可得到 ，即可判断②；根据奇函数的定义和周期函数的定义可得到 为周期函数，即
可判断
【详解】解：对于①，由 得 解得 ，即函数 的定义域
是 ；
由 得 ，解得 ，即函数 的定义域是
，
两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故错误；
对于②，设 是函数 图像上任一点，所以点 关于直线 对称的对称点是 ，
，
所以点 是函数 图像上一点，
由于函数 与 的图像关于直线 对称，于是点 关于直线 对称点
在 的图像上，即 从而 ，此式说明点 在函数 的图像上，故正
确；
对于③，由 可得 ，
由函数 是奇函数，所以 ，所以 ，所以 ，故 是周期为4的函数，故正确；
故选：C
10．C
【分析】令 ，代入解析式，通过解方程组即可求得 的解析式，进而求得 的值．
【详解】由 ,
可得 (2),
将(1) +(2)得:
,
故选C．
【点睛】本题考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题．
11．C
【详解】 .故选C.
12．A
【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得.
【详解】因函数 在R上单调递增，
则有 在 上递增， 在 上也递增，
根据增函数图象特征知，点 不能在点 上方，于是得 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：A
13．D
【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有
成立，一定会有 ，从而求得结果.
详解：将函数 的图像画出来，观察图像可知会有 ，解得 ，所以满足
的x的取值范围是 ，故选D.
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，
在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，
从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，
从而求得结果.
【详解】
14．D
【分析】画出 图象及直线 ，借助图象分析．
【详解】如图，当直线 位于 点及其上方且位于 点及其下方，或者直线 与曲线 相切在第一象限时符合要求．
即 ，即 ，
或者 ，得 ， ，即 ，得 ，
所以 的取值范围是 ．
故选D．
【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此
法．
15．D
【分析】由题，分 ， 两种情况讨论求解即可.
【详解】解：当 时， ，
所以 ，即 ，解得 ，
当 时， ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以， 的取值范围是
故选：D
16．B
【分析】求出函数 的单调区间，令 ，得 或 ，结合图像可得 ， ， 三段 和 的大小关系，再根据函数 的单调性即可得出 与 的大小关系.
【详解】解：由函数 ，
得函数 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
作出函数 和 的图像，如图所示，
令 ，得 或 ，
结合图像可知，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
综上所述，当 时， .
故选：B.17．B
【分析】首先得到函数的定义域，再分析当 时 的取值，即可得到 ，再对 时分
和 两种情况讨论，求出此时 的取值，即可得到 的值域，从而得到不等式，解得即可；
【详解】解：因为 ，所以 的定义域为 ， ，
当 时 ，则 在 上单调递增，所以 ；
要使定义域和值域的交集为空集，显然 ，
当 时 ，若 则 ，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若 时 在 上单调递减，此时 ，
则 ，
所以 ，解得 ，即
故选：B
18．AC
【分析】求得 的定义域判断选项A；求得 在 上的值域判断选项B；求得a的取值范围判断
选项C；求得 时 的单调性判断选项D.
【详解】选项A：由 得 ，则 的定义域为 .判断正确；
选项B： ，
由 ，可得 ，则 ，
当 时， ，则 在 上的值域为 ；
当 时， ， ，
即 在 上的值域为 ；
当 时， ， ，
即 在 上的值域为 .
综上，当 时， 在 上的值域为 ；
当 时， 在 上的值域为 ；当 时， 在 上的值域为 .判断错误；
选项C： ，
若 在 上单调递减，则 ，解之得 .判断正确；
选项D： ，
则 时， 在 和 上单调递增.判断错误.
故选：AC
19．CD
【分析】利用特殊值法可判断A选项的正误；解不等式 可判断B选项的正误；取
可判断C选项的正误；验证 可判断D选项的正误.
【详解】对于A，当 时， ， ，不满足 ，故A错误；
对于B，由 可得 ，故 的取值集合为 ，故 ，故B错误；
对于C，对于函数 ，若 且 ，则 ，则 ，C选项正
确；
对于D，对任意的 ，存在 使得 ，则 ，
，故 ，
所以， ，
故函数 为周期函数，D选项正确.
故选：CD.
20．BCD
【分析】根据 求出b判断A,根据点在函数图象上判断B，由均值不等式判断CD.【详解】 ，
，
即 ，故A不正确；
由 在函数图象上可得 ，即 ，故B正确；
由均值不等式可得 ，即 ，故C正确；
因为 ，
所以D正确.
故选：BCD
21．AD
【分析】先求出 ，对四个选项一一一验证：
对于A、B：利用代入法求解析式,即可判断；对于C:分别求出 和 ，求出
.即可判断;对于D：由 ，利用等比数列的求和公式即可求得
.
【详解】因为 是奇函数, 是偶函数,则有 ，解得 .
对于A：任取 ，则 ，所以 .故A正确；
对于B：任取 ，则 ，所以 .故B错误；
对于C:当x∈(2,3)时,有x-1∈(1,2),x-2∈(0,1).所以 ，则有
， ，故 .故C错误;
对于D：由C的结论, ，则 .故D正确.
故选：AD
22．ABD
【分析】赋值法求值判断A选项，定义法判断单调性判断B选项，特殊值法判断C选项，根据题干要求判
断解析式符合题意判断D选项.
【详解】A项：因为 ，
当 时， ，令 ，
则 ，解得 ，A正确；
B项：任取： ，
则 ，
因为当 时， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以函数 在区间 单调递增，B正确；
C项：令 ，则 ，解得 或 ，当 ，且 时，令 ，
则 ，
若 为奇函数，则 ，即 ，
解得 ，与题意矛盾；
当 时 不为奇函数．
综上所述，函数 不是奇函数，C错误；
D项：当 ，
则 ，
，
所以 ，易得 在 上单调递增，
所以 时， ， ，
故函数 的一个解析式为 ，D正确．
故选 :ABD
23．
【分析】分别求出 和 在 上的最大值,然后将问题转化为 即可得到.
【详解】当 时， ，函数 为递增函数,
又因为 是定义在 上的奇函数，所以函数 在 上也是递增函数,
所以 时,函数 取得最大值,且 ,因为 的对称轴为 ,
所以 时, 取得最大值,且最大值为 ,
因为对于任意的 ，总存在 ，使得 ，
所以 ,所以 ,即 .
故答案为 .
【点睛】本题考查了函数最值的求法,用最值解决不等式恒成立和能成立问题,属于中档题.
24．1
【分析】考察函数 的图像，
就是先把 向上或向下平移 个单位（取决于 的符号），
如果图像存在小于零的部分，则再把小于零的部分以x轴为对称轴翻折上去，
最后再把整个图像向下平移一个单位.
【详解】如果 ， ，其值域为 ，
，不符合题意；
如果 ，当 时， ，
就是把函数 的部分 以x轴为对称轴翻折上去，
∴此时 的最小值为0， 的最小值为-1，值域为 ，
所以 ，不妨取 ；
故答案为：1.
25．
【分析】可根据 是定义在 上，以1为周期的函数，研究函数 的性质，得
，由此关系求出函数在 在区间 ， 上的值域即可．
【详解】由题意 在 上成立，故 ，
因为 为 上周期为1的函数，
所以
由此知自变量增大1，函数值也增大1
由 在 上的值域为 ，
可得 在 上的值域为 ，
在 上的值域为 ，
……
在 上的值域为 ，
在 上的值域为 ，
……
在 上的值域为 ，
故 在 ， 上的值域为 ，
故答案为： ，
26．
【详解】分析：取 则 ，从而 根据
进行化简，设 则 求出 的取值范围．
详解：取 则 ，从而 其中，
，
设 则
即 ∴满足条件的最小的正实数 是36．
即答案为36.
点睛：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了计算能力，分析问题解决问题的能力，转化与划归
的思想，属于中档题．27．
【分析】根据题意得 ，进而根据已知条件解方程得 ，进而将问题转
化为 恒成立，再构造函数，求函数最值即可.
【详解】∵函数 对 均有 ①，
∴将 换为x，得 ②，
∴由①②，解得 .
∴ 恒成立， 恒成立，
∴只需 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，∴ ，
∴m的取值范围为 .
故答案为：
28．①②⑤
【分析】根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．
【详解】当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的 圆，
当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为 的 圆，
当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的 圆，当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的 圆，
∴函数的周期是4．
因此最终构成图象如下：
①，根据图象的对称性可知函数y＝f（x）是偶函数，故①正确；
②，由图象即分析可知函数的周期是4．
即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正确；
③，函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递增，
故③错误；
④，由图象可得f（x）的值域为[0， ]，故④错误；
⑤，根据积分的几何意义可知 f（x）dx π•（ ）2 1×1 π×12 ，
故⑤正确．
故答案为①②⑤．
【点睛】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，
利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．
29．[0, 2)
【分析】先将方程 变形为 ,根据数形结合思想,y=a与f(x)必须有两个交点,即可求出a的
范围.
【详解】函数 有两个不同的零点,即 有两个不同的交点,
所以函数 与函数y=a有两个交点,如图所示:所以a的范围是[0, 2)
【点睛】本题考查了数形结合和化归转化的数学思想，将函数的零点、方程的根、函数的交点的转化，再
利用数形结合确定参数a的范围，属于中档题目；解题中关键是将方程的根转化为两个函数交点的问题.
30．
【分析】通过题意得到 为一个分段函数，并画出该分段函数的图像，结合图像得到 的值域
【详解】 时， ﹒
画出函数 的大致图象如图所示，结合图象可得，
所以当 时，最低点为A点，最高点为C点，
且 ，
所以 的值域是 .故答案为：
【三层练能力】参考答案
1．C
【分析】先证明 为奇函数，再进行合理赋值逐个分析判断.
【详解】对A：∵ 为偶函数，则
两边求导可得
∴ 为奇函数，则
令 ，则可得 ，则 ，A成立；
对B：令 ，则可得 ，则 ，B成立；
∵ ，则可得
，则可得两式相加可得： ，
∴ 关于点 成中心对称
则 ，D成立
又∵ ，则可得
，则可得
∴ 以4为周期的周期函数
根据以上性质只能推出 ，不能推出 ，C不一定成立
故选：C.
【点睛】对于抽象函数的问题，一般通过赋值结合定义分析运算.
2．C
【分析】由题可得 ，令 ，设 ，则
，再利用二次函数的性质分类讨论即求.
【详解】∵ ，
∴ ，
令 ，设 ，则 ，
当 时， 在 上单调递减，
∴ ，解得 ，∴ ，
当 时， 在 上单调递增，∴ ，解得 ，∴ ，
当 时， ，无解，
当 时， ，无解.
综上， 或 .
故选：C.
3．C
【分析】题目比较综合，先要通过 的奇偶性，列出关于 的方程组，用方程组的方
法求出关于 的解析式， ，可以变形为 ，是单调性的定义，
说明构造新函数之后，函数在 单调递增，最后根据新函数在区间 的单调性，可以分类讨论得到
函数中参数的范围
【详解】由题得： 是奇函数，所以 ； 是偶函数，所以
将 代入 得：
联立 解得：
， 等价于 ，
即： ，令 ，则 在 单增①当 时，函数的对称轴为 ，所以 在 单增
②当 时，函数的对称轴为 ，若 在 单增，则 ，得：
③当 时， 单增，满足题意
综上可得：
故选：C
【点睛】题目考察的知识点比较综合，涉及到：
①函数奇偶性的应用
②通过方程组法求解函数的解析式
③构造新函数
④已知函数在某一区间内的单调性，求解参数的范围
需要对函数整个章节的内容都掌握比较好，才能够顺利解决
4．B
【详解】由题意，函数存在奇对称点，即函数图像上存在两点关于原点对称，可设两点为 ，
，即 ， ，因为关于原点对称，所以 ，即
，因为 ，所以 ，故选B．
5．BCD
【分析】对于A：取特殊函数值 否定结论；
对于B：当 时，解方程 得到 和 是方程的根.利用零点存在定理证明在 上
有且只有一个零点.即可证明.
对于C：根据单调性求出 的值域.
对于D：对x分类讨论： 、 和 三种情况，利用分离参数法分别求出k得到范围，取交集即
可.【详解】对于A： .
因为 ， ，
所以 ，所以 .
所以 在 上不是增函数.
故A错误；
对于B：当 时，方程 可化为： 或 .
由 可解得： .
对于 ，显然 代入方程成立，所以 是方程的根.
当 时，记 .
.
所以令 ，解得： ；令 ，解得： ；
所以 在 上单增，在 上单减.
所以 .所以 在 上没有零点；
而 在 上单减，且 ， ，
所以在 上有且只有一个零点.综上所述：当 时，方程 有且只有3个不同实根.
故B正确；
对于C：对于 .
当 时， . ，所以 ；
当 时， . .
令 ，解得： ；令 ，解得： ；
所以 在 上单减，在 上单增.
所以 ；
故 的值域为 成立.
故C正确.
对于D：对于任意的 ，都有 成立，
所以 及 恒成立.
若 恒成立，则有 .
令 ，只需 .
令 ，则 .则 .
所以 ，即 .若 恒成立，
当 ，无论k取何值，不等式均成立，所以 .
当 ，则有 .
令 ，只需 .
.
记 ，则 ，所以 在 上单减，所以
，即 ，所以 在 上单减，所以
所以 .
综上所述： .
故D正确.
故选：BCD
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围；
（4）利用导数处理恒（能）成立问题.
6．BC
【分析】根据函数新定义，结合各选项中函数的单调性判断a、b的存在性，即可得答案.
【详解】A： 为增函数，
若 存在“3倍值区间” ，则 ，结合 及 的图象知，方程 无解，
故 不存在“3倍值区间”，A错误；
B： 为减函数，
若存在“3倍值区间” ，则有 ，得 ，又 ， ，
所以可取 ， ，
所以 存在“3倍值区间”，B正确；
C： 为增函数，
若 存在“3倍值区间” ，则 ，得 ，
所以 存在“3倍值区间”，C正确；
D：当 时， ；当 时， ，从而可得 在 上单调递增，
若 存在“3倍值区间” 且 ，则有 ，解得 ，不符合题
意，
所以 不存在“3倍值区间”，D错误．
故选：BC
