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第 88 讲 电磁感应中的双杆模型
（多选）1．（2022•湖南）如图，间距L＝1m的U形金属导轨，一端接有0.1 的定值电阻R，固
定在高h＝0.8m的绝缘水平桌面上。质量均为0.1kg的匀质导体棒a和b静止Ω在导轨上，两导体
棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为0.1 ，与导轨间的动摩擦因数均为
0.1（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），导体棒a距离导轨最右Ω端1.74m。整个空间存在竖直向
下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为0.1T。用F＝0.5N沿导轨水平向右的恒力拉
导体棒a，当导体棒a运动到导轨最右端时，导体棒b刚要滑动，撤去F，导体棒a离开导轨后
落到水平地面上。重力加速度取10m/s2，不计空气阻力，不计其他电阻，下列说法正确的是（
）
A．导体棒a离开导轨至落地过程中，水平位移为0.6m
B．导体棒a离开导轨至落地前，其感应电动势不变
C．导体棒a在导轨上运动的过程中，导体棒b有向右运动的趋势
D．导体棒a在导轨上运动的过程中，通过电阻R的电荷量为0.58C
【解答】解：A、导体棒b刚要滑动的条件是受到的安培力等于最大静摩擦力，b受到的最大静
摩擦力为：
f ＝ mg＝0.1×0.1×10N＝0.1N
max
根据平μ衡条件可得：BI L＝f ，
b max
代入数据可解得通过b的电流为：I ＝1A，
b
由于b与R并联后与a串联，根据闭合电路的欧姆定律可得导体棒a产生的感应电动势为：
E＝2I R +I R ，
b a b b
代入数据解得：E＝0.3V
设导体棒a刚要离开桌面时的速度大小为v，根据法拉第电磁感应定律可得：E＝BLv
解得：v＝3m/s
√2h √2×0.8
导体棒a做平抛运动的时间为t= = s＝0.4s
g 10
所以导体棒a离开导轨至落地过程中，水平位移大小为：x＝vt＝3×0.4m＝1.2m，故A错误；
B、导体棒a离开导轨至落地前，做平抛运动，水平方向的速度大小不变，即导体棒 a切割磁场
的有效速度不变，根据E＝BLv可知，其感应电动势不变，故B正确；
C、导体棒a在导轨上运动的过程中，根据右手定则可知电流方向为逆时针（俯视），根据左手
定则可知导体棒b受到的安培力方向向左，所以导体棒b有向左运动的趋势，故C错误；
D、导体棒a在导轨上运动的过程中，设通过a的电荷量为q ，根据电荷量的计算公式可得：q
0 0
ΔΦ BLd
=It= =
R R
总 总
R R
其中R总 ＝R
a
+
R
b
+R
b
代入数据解得：q ＝1.16C
0
则通过电阻R的电荷量为：
1 1
q= q = ×1.16C＝0.58C，故D正确。
2 0 2
故选：BD。
2．（2022•辽宁）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为 L。abcd区域有匀强磁场，
磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度v 向右运动，
0
磁场内的细金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。
两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小和方向；
v
（2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为 0，求：
3
①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量q；
②初始时刻N到ab的最小距离x；
（3）初始时刻，若N到cd的距离与第（2）问初始时刻的相同、到ab的距离为kx（k＞1），
求M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围。【解答】解：（1）细金属杆M以初速度v 向右刚进入磁场时，产生的动生电动势为
0
E＝BLv
0
电流方向为a→b，电流的大小为
E
I=
2R
则所受的安培力大小为
F＝BIL B2L2v
= 0
2R
安培力的方向由左手定则可知水平向左
（2）①金属杆N在磁场内运动过程中，由动量定理得：
v
BI LΔt=m⋅ 0-0
3
且q=I⋅Δt
mv
联立解得：q= 0
3BL
②设两杆在磁场中相对靠近的位移为Δx，有
E
I=
2R
BL⋅Δx
E=
Δt
整理可得：
BLΔx
q=
2R
联立解得：Δx 2mv R
= 0
3B2L2
若两杆在磁场内刚好相撞，N到ab的最小距离为x＝Δx 2mv R
= 0
3B2L2
（3）两杆出磁场后在平行光滑长直金属导轨上运动，若N到cd的距离与第（2）问初始时刻相
v
同，到ab的距离为kx（k＞1），则N到cd边的速度大小恒为 0，根据动量守恒定律得：
3
v
mv =mv +m⋅ 0
0 1 3
解得N出磁场时，M的速度大小为
2
v = v
1 3 0
由题意可知，此时M到cd边的距离为
s＝（k﹣1）x
若要保证M出磁场后不与N相撞，则有两种临界情况：
v
①M减速到 0时出磁场，速度刚好等于N的速度，一定不与N相撞，对M根据动量定理有
3
2 v
BI L⋅Δt=m⋅ v -m⋅ 0
1 3 0 3
BL(k-1)x
q =I ⋅Δt=
1 1 2R
联立解得：k＝2
②若M运动到cd边时，恰好减速到零，则对M由动量定理得：
2v
BI LΔt =m⋅ 0-0
2 2 3
BL(k-1)x
q =I ⋅Δt =
2 2 1 2R
解得：k＝3
综上所述，M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围为2≤k≤3.
答：（1）M刚进入磁场时受到的安培力F的大小为B2L2v ，方向水平向左；
0
2R
v
（2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为 0，
3
mv
①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量为 0；
3BL②初始时刻N到ab的最小距离为2mv R；
0
3B2L2
（3）初始时刻，若N到cd的距离与第（2）问初始时刻的相同、到ab的距离为kx（k＞1），M
出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围为2≤k≤3.。
一.知识回顾
双杆模型
1.模型特点
(1)一杆切割时，分析同单杆类似。
(2)两杆同时切割时，回路中的感应电动势由两杆共同决定，E＝＝Bl(v－v)。
1 2
2．电磁感应中的“双杆”问题分析
(1)初速度不为零，不受其他水平外力的作用
光滑的平行导轨 光滑不等距导轨
示意图
质量m 1 ＝m 2 质量m 1 ＝m 2不
电阻r 1 ＝r 2 电阻r 1 ＝r 2
长度l 1 ＝l 2 长度l 1 ＝2l 2
运动分析
杆MN做变减速运动，杆PQ做变
加速运动，稳定时，两杆的加速 稳定时，两杆的加速度均为零，
度均为零，以相等的速度匀速运 两杆的速度之比为1∶2
动
能量分析 一部分动能转化为内能，Q＝－ΔE
k
(2)初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用
光滑的平行导轨 不光滑平行导轨
示意图
质量m＝m 摩擦力F＝F
1 2 f1 f2
电阻r＝r 质量m＝m
1 2 1 2电阻r＝r
1 2
长度l＝l
1 2
长度l＝l
1 2
开始时，若F≤2F，则PQ杆先变
f
运动分析 加速后匀速运动；MN杆静止。若
开始时，两杆做变加速运动；稳 F>2F f ，PQ杆先变加速后匀加速
定时，两杆以相同的加速度做匀 运动，MN杆先静止后变加速最后
加速运动 和PQ杆同时做匀加速运动，且加
速度相同
外力做功转化为动能和内能(包
外力做功转化为动能和内能，W
F
能量分析 括电热和摩擦热)，W＝ΔE＋Q
F k 电
＝ΔE＋Q
k
＋Q
f
二.例题精析
题型一： 系统动量守恒的最终同速的双杆
例1．如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相
同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v 向右滑动。运动过程中，ab、
0
cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v 、v 表示，回路中的电流用I表示。下列图象
1 2
中可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：导体棒ab做减速运动、cd做加速运动，当两者速度相等后一起做匀速直线运动，
v
两导体棒组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv ＝2mv，解得：v= 0
0
2
，BL(v -v )
设电路总电阻为R，感应电流：I= 1 2 ，由于v 逐渐减小、v 逐渐变大，感应电流I逐
1 2
R
v
渐减小，当v ＝v = 0时I＝0，
1 2
2
F BIL
导体棒的加速度：a= = ，由于I逐渐减小，加速度a逐渐减小；
m m
v
A、导体棒ab做加速度减小的减速运动，最终以 0做匀速直线运动，故A正确；
2
v
B、导体棒cd做加速度逐渐减小的加速运动，最后以 0做匀速直线运动，故B错误；
2
CD、由于导体棒ab做加速度减小的减速运动、cd做加速度减小的加速运动，v ﹣v 逐渐减小且
1 2
BL(v -v )
减小的越来越慢，则感应电流I= 1 2 逐渐减小，且减小的越来越慢，故CD错误。
R
故选：A。
题型二：系统动量不守恒的同向运动的双杆
（多选）例2．如图，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直。
ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略，一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水
平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保
持良好接触，且与bc边保持平行，经过一段时间后（ ）
A．金属框和导体棒速度相等
B．金属框和导体棒加速度相等
C．导体棒所受安培力不变
D．金属框的加速度不变
【解答】解：金属框在恒力F作用下向右加速，由右手定则可知，bc边产生的感应电流从c流
向b，由左手定则可知，导体棒受到向右的安培力作用，导体棒向右做加速运动，设金属框的加
速度为a ，导体棒的加速度为a ，设金属框的速度为v ，导体棒的速度为v ，设导体棒的电阻
1 2 1 2
BLv -BLv
为R，回路的感应电流：I= 1 2，设金属框的质量为M，导体棒的质量为m，对金属
R框，牛顿第二定律得：F﹣BIL＝Ma ，对导体棒MN，由牛顿第二定律得：BIL＝ma ，金属框与
1 2
F
导体棒都做初速度为零的加速运动，v 、v 都变大，a 从 开始减小，导体棒的加速度a 从0
1 2 1 2
M
开始增大，当金属框与导体棒的加速度相等时，即a ＝a ＝a时，解得：F＝（M+m）a，加速度
1 2
mF BL(v -v ) BL△v
保持不变，回路感应电流：I= = 1 2 = ，此后金属框与导体棒的速度
(M+m)BL R R
差△v保持不变，感应电流不变，导体棒所受到的安培力不变，加速度不变，金属框与导体棒以
相等的加速度做匀加速直线运动，故A错误，BCD正确。
故选：BCD。
题型三：系统动量不守恒的反向运动的双杆
（多选）例3．如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角 ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，
间距L＝0.4m。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界θ与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀
强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B
＝0.5T。在区域Ⅰ中，将质量m ＝0.1kg、电阻R ＝0.1 的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下
1 1
滑。然后，在区域Ⅱ中将质量m ＝0.4kg、电阻R ＝0.1Ω 的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止
2 2
开始下滑。cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，Ωab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保
持良好接触，g取10m/s2。则（ ）
A．cd下滑的过程中，ab中的电流由a流向b
B．ab刚要向上滑动时，cd的速度v＝5m/s
C．若从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离s＝3.8m，则此过程中ab 上产
生的热量Q＝1.3J
D．若从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离s＝3.8m，则此过程中通过ab
的电荷量q＝1.9C
【解答】解：A、cd下滑的过程中，由右手定则可知cd中的电流方向从d到c，所以ab中的电流方向由a流向b，故A正确；
B、开始放置ab刚好不下滑时，ab所受摩擦力为最大摩擦力，设其为F ，有：F ＝m gsin
max max 1
设ab刚好要上滑时，cd棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有：E＝BLv θ
E
设电路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律有I=
R +R
1 2
设ab所受安培力为F安 ，有：F安 ＝BIL
此时ab受到的最大摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有：F安 ＝m
1
gsin +F
max
联立代入数据解得：v＝5m/s，故B正确； θ
C、设cd棒的运动过程中电路中产生的总热量为Q总 ，
1
由能量守恒定律有：m gxsinθ=Q + m v2
2 总 2 2
由串联电路规律有： R
Q= 1 Q
R +R 总
1 2
联立解得：Q＝1.3J，故C正确；
ΔΦ E ΔΦ
D、根据动生电动势公式E= ，欧姆定律I= 结合I＝qt联立解得：I= ，代入
Δt R +R R +R
1 2 1 2
数据得：q＝3.8C，故D错误；
故选：ABC。
题型四：无相对运动的双杆（巧用动量定理求解）
例4．（2018•天津）真空管道超高速列车的动力系统是一种将电能直接转换成平动动能的装置。图
1是某种动力系统的简化模型，图中粗实线表示固定在水平面上间距为 l的两条平行光滑金属导
轨，电阻忽略不计。ab和cd是两根与导轨垂直、长度均为l、电阻均为R的金属棒，通过绝缘
材料固定在列车底部，并与导轨良好接触，其间距也为 l，列车的总质量为m。列车启动前，
ab、cd处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，如图 1所示。为使
列车启动，需在M、N间连接电动势为E的直流电源，电源内阻及导线电阻忽略不计。列车启
动后电源自动关闭。
（1）要使列车向右运行，启动时图1中M、N哪个接电源正极，并简要说明理由；
（2）求刚接通电源时列车加速度a的大小；
（3）列车减速时，需在前方设置如图2所示的一系列磁感应强度为B的匀强磁场区域，磁场宽
度和相邻磁场间距均大于l。若某时刻列车的速度为v ，此时ab、cd均在无磁场区域，试讨论：
0
要使列车停下来，前方至少需要多少块这样的有界磁场？【解答】解：（1）M接电源正极，列车要向右运动，安培力方向向右，根据左手定则，接通电
源后，金属棒中电流方向由a到b、由c到d，故M接电源正极。
（2）由题意，启动时ab、cd并联，设回路总电阻为R总 ，由电阻的串并联知识可得：
R
R =
总 2
设回路总电流为I，根据闭合电路欧姆定律有：
E
I=
R
总
设两根金属棒所受安培力之和为F，有：
F＝BIl
根据牛顿第二定律有：
F＝ma
F BIl 2BEl
得：a= = =
m m mR
（3）设列车减速时，cd进入磁场后经△t时间ab恰好进入磁场，此过程中穿过金属棒与导轨所
围回路的磁通量的变化量为△ ，平均感应电动势为E ，则由法拉第电磁感应定律有：
1
△φ φ
E =
1 △t
其中△ ＝Bl2
设回路φ中平均电流为I′，由闭合电路欧姆定律有：
E
I'= 1
2R
设cd受到的平均安培力为F′，有：
F′＝BI′l
以向右为正方向，设△t时间内cd受到安培力冲量为I冲 ，有：
I冲 ＝﹣F′△t
同理可知，回路出磁场时ab受安培力冲量仍为上述值，设回路进出一块有界磁场区域安培力冲
量为I ，有：
0
I
0
＝2I冲设列车停下来受到的总冲量为I总 ，由动量定理有：
I总 ＝0﹣mv
0
联立上式解得：
I mv R
总= 0
I B2l3
0
讨论：若I 恰好为整数，设其为n，则需设置n块磁场，若I 不为整数，整数部分为N，则需
总 总
I I
0 0
设置N+1块磁场。
答：（1）要使列车向右运行，启动时图1中M接电源正极，理由见解答；
2BEl
（2）刚接通电源时列车加速度a的大小为 ；
mR
（3）若mv R恰好为整数，则需设置n块磁场，若mv R不为整数，整数部分为N，则需设置
0 0
B2l3 B2l3
N+1块磁场。
三.举一反三，巩固练习
1. 如图所示，相距为L的两条足够长的平行金属导轨右端连接有一定值电阻 R，整个装
置被固定在水平地面上，整个空间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为
B，两根质量均为m，电阻都为R，与导轨间的动摩擦因数都为 的相同金属棒MN、EF垂直
放在导轨上。现在给金属棒MN施加一水平向左的作用力F，使金μ 属棒MN从静止开始以加速
度a做匀加速直线运动，若重力加速度为g，导轨电阻不计，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等．
则下列说法正确的是（ ）
3μmgR
A．从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动经历的时间为t=
B2L2α
B．若从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动经历的时间为T，则金属棒EF开始运动时，水平拉力F的瞬时功率为P＝（ma+ mg）aT
C．若从金属棒MN开始运动到金μ属棒EF开始运动经历的时间为T，则此过程中流过电阻R的
BaT2
电荷量为 L
3R
D．从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动的过程中，两金属棒的发热量相等
RR
【解答】解：MN与电阻R的并联阻值R并 = =0.5R
R+R
A、以EF为研究对象，设EF刚开始运动时其电流大小为I，则通过MN的电流为2I，EF棒刚要
开始运动时，由平衡条件得：BIL＝ mg，
根据闭合电路欧姆定律得：E＝2I（Rμ+0.5R）＝3IR
感应电动势：E＝BLv
MN做匀速直线运动，MN的速度v＝at
3μmgR
解得：t= ，故A正确；
B2L2a
μmg
B、金属棒EF开始运动时，由平衡条件得：BIL＝ mg，解得：I=
BL
μ
金属棒MN所受的安培力大小为F安培 ＝B×2IL
以MN为研究对象，根据牛顿第二定律得：F﹣ mg﹣F安培 ＝ma
拉力的功率为P＝Fv μ
MN的速度大小v＝aT
解得：P＝（ma+3 mg）aT，故B错误；
C、MN棒在T时间 μ 内通过的位移为x= 1 aT2
2
ΔΦ BLx
由法拉第电磁感应定律可知，平均感应电动势：E= =
Δt Δt
E E E
平均感应电流：I= = =
R+R R+0.5R 1.5R
并
流过电阻R的电荷量：Q=IΔt
BLaT2
解得通过MN棒的电量为Q=
3R
1 BLaT2
由于两棒的电阻都为R，则此过程中流过电阻R的电荷量为q= Q= ，故C错误；
2 6R
D、由于MN棒切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，通过 MN的电流是EF电流的2倍，根据焦耳定律Q＝I2Rt可知，MN的发热量是EF的4倍，故D错误。
故选：A。
2. （多选）如图，“ ”型金属导轨固定放置于竖直向上的匀强磁场中。其中ab、de导
轨水平放置，ef、bc导轨竖直⅂ 放置，到过在转角处连接良好。AA'和BB'是电阻为r＝0.5 的两
根均质金属导体棒。已知水平和竖直导轨的宽度均为L＝1m，磁感应强度B＝2T，两根导Ω体棒
与导轨间的动摩擦因数为 ＝0.2，AA'导体棒质量为 m ＝2kg，BB'导体棒的质量为 m ＝
A B
0.2kg。初始时，两导体棒位μ于图示位置，且突然给AA'杆一水平向左的初速度v ＝5m/s，并同
0
时释放BB'杆，假如导轨无电阻且足够长，金属杆在运动中过程始终与导轨接触良好，g取
10m/s2，则（ ）
A．AA'杆初始时的加速度大小为10m/s2
B．BB'杆最终的加速度为10m/s2
C．若从开始至AA'杆静止，杆AA'产生的焦耳热为10.5J，则AA'的位移为1m
D．BB'杆开始运动时，AA'杆的速度为1m/s
【解答】解：A、初始时导体棒AA'切割磁感线，产生感应电动势，其大小为E＝E＝BLv ＝
0
E 10
2×1×5V＝10V，AA'、BB'杆和导轨构成的回路中感应电流大小为 I= = A＝10A，
2r 2×0.5
AA'杆在水平方向受到的安培力与滑动摩擦力作用，其中安培大小为F＝IBL＝10×2×1N＝20N，
滑动摩擦力大小为 f＝ m g＝0.2×2×10N＝4N，根据牛顿第二定律，有 ma＝F+f，得到 a＝
A
12m/s2，故A错误； μ
B、经运动分析可知，AA'杆在安培力和摩擦力作用下减速为0，回路中此时无电流，BB'杆不受
安培力做自由落体运动，故其加速度为g＝10m/s2，故B正确；C、分析AA'杆，AA'杆从初始时刻到停止，其受到安培力和滑动摩擦力的作用，安培力做功等
于回路中产生的总焦耳热，而回路中产生的总焦耳热为 AA'杆产生焦耳热的2倍，故AA'杆从初
始时刻到停止回路中产生的总焦耳热为Q＝2Q '＝2×10.5J＝21J。设AA'杆从初始时刻到停止运
AA
1
动的位移为x，依据动能定理，﹣Q﹣fx＝0- m v2，解得x＝1m，故C正确；
2 A 0
D、当BB'杆刚开始运动时，其所受的重力等于摩擦力，即有 m g＝f ，又f ＝ F，故可得此时
B B B
μ
BB'杆受到的安培力F＝10N，又F B2L2v ，解得此时a杆的速度v ＝2.5m/s，故D错误。
= A A
2r
故选：BC。
3. （多选）如图所示，两根平行且光滑的金属导轨由圆弧部分和水平部分组成，圆弧部
分由两段间距为2l、竖直放置的四分之一圆弧导轨构成，水平部分由足够长、但不等宽的水平
导轨构成，水平导轨的宽、窄部分间距分别为2l、l，虚线MN右侧导轨区域处于竖直向上的
匀强磁场中，宽、窄两部分区域内的磁感应强度大小分别为B、2B。金属棒ab与cd的质量均
为m、电阻均为R，长度分别为l、2l，金属棒ab静止在窄导轨上。现将金属棒cd从圆弧轨道
上距水平导轨h高度处由静止释放，在此后的运动过程中，cd始终在宽导轨上运动，ab始终在
窄导轨上运动，两金属棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好。导轨各部分之间均平滑连接，导
轨电阻不计，重力加速度为g，则（ ）
A．金属棒cd刚进入磁场时的速度大小为√gh
Bl
B．通过金属棒ab的最大电流为 √2gh
R
1
C．整个过程中金属棒cd上产生的焦耳热为 mgh
4m
D．整个过程中通过金属棒cd的电荷量为 √2gh
4Bl
1
【解答】解：A、金属棒cd沿圆弧导轨下滑的过程中，根揩机械能守恒定律可得mgh= mv2，
2
解得金属棒cd刚进入磁场时的速度大小为v=√2gh，故A错误；
B、金属棒cd刚进入磁场时速度最大，产生的感应电动势最大，感应电流最大，流过两个金属
B⋅2lv Bl
棒的电流相同，则通过金属棒ab的最大电流为I = = √2gh，故B正确；
max
2R R
C、金属棒cd进入磁场后的开始阶段，cd棒受到向左的安培力作用做减速运动，ab受到向右的
安培力作用做加速运动，两金属棒所受的安培力始终大小相等，方向相反，故两金属棒组成的
系统动量守恒，最终两金属棒共速，取向右为正方向，由动量守恒定律得：mv＝2mv共 ，整个
1 1 1 1 1
过程中金属棒cd上产生的焦耳热为Q= （ mv2- ×2mv共 2）= mv2= mgh，故C正确；
2 2 2 8 4
D、对金属棒cd，由动量定理得：﹣BI•2l•Δt＝mv共 ﹣mv，通过金属棒 cd的电荷量为q=I
m
•Δt，联立解得q= √2gh，故D正确。
4Bl
故选：BCD。
4. （多选）如图，两根足够长的固定的光滑平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间
的距离为l。导轨上面横放着两根导体棒1和2，构成矩形回路。两根导体棒的质量皆为m，电
阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感
应强度为B。初始棒2静止，棒1有指向棒2的初速度v 。若两导体棒在运动中始终不接触，
0
则（ ）
A．棒1的最小速度为零
B．棒2的最大加速度为B2L2v
0
2mRC．棒1两端电压的最大值为BLv
0
1
D．棒2产生的最大热量为 mv2
8 0
【解答】解：A、棒1向右做减速运动，棒2向右做加速运动，最终两棒速度相同，此时棒1的
v
速度最小，设为v。取向右为正方向，根据两棒组成的系统动量守恒得：mv ＝2mv，可得v= 0
0
2
，故A错误；
B、棒1开始运动时，回路中感应电动势最大，感应电流最大，棒2受到的安培力最大，加速度
最大，为a BIL，又I BLv ，可得a B2L2v ，故B正确；
= = 0 = 0
m 2R 2mR
E 1
C、棒1开始运动时，回路中感应电流最大，棒 1两端电压的最大值，为U= = BLv ，故C
0
2 2
错误；
1
D、设棒2产生的最大热量为Q，则两棒产生的最大热量为 2Q，由能量守恒定律得： mv 2
0
2
1 1
= ×2mv2+2Q，可得Q= mv2，故D正确。
2 8 0
故选：BD。
5. （多选）如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行
金属导轨相同的光滑金属棒P、Q静止在导轨上。t＝0时用水平恒力F向右拉动金属棒Q运动
过程中金属棒PQ始终与导轨垂直并接触良好金属棒P、Q与导轨构成的回路中的电流用I表示、
磁通量用 中表示：金属棒Q的加速度用a表示，其相对金属棒P的速度用v 表示。下列关
QP
于I、 、Φa、v 与时间t的关系图像中错误的是（ ）
QP
ΦA． B．
C． D．
【解答】解：ABD、由题意可知，Q棒由静止开始加速，对Q棒，根据牛顿第二定律可得
F﹣F安 ＝ma
Q
对P棒，根据牛顿第二定律有
F安 ＝ma
P
又F安 ＝BIL
根据闭合电路的欧姆定律有
BLv
I= QP
R
式中v ＝v ﹣v
QP Q P
故开始一段时间内棒的速度增大，F安 也逐渐增大，而a
Q
逐渐减小，a
P
逐渐增大，且有a
Q
＞a
P
，
故v 逐渐增大；当a 和a 相同时达到稳定状态，v 不再改变，电流不再增加，故金属棒Q先
QP Q P QP
做加速度减小的加速运动，后做匀速直线运动，故AB错误，D正确；
C、两金属棒达到稳定状态时，a 和a 相同且v ＞v ，故Q、P间的距离x 增大，根据
Q P Q P QP
＝BLx
QP
Φ可知 不断增大，故C错误。
题目要Φ求选择错误的，
故选：ABC。
6. （多选）如图所示，足够长的光滑平行金属直导轨固定在水平面上，左侧轨道间距为
2d，右侧轨道间距为d．轨道处于竖直向下的磁感应强度大小为 B的匀强磁场中．质量为
2m、有效电阻为2R的金属棒a静止在左侧轨道上，质量为m、有效电阻为R的金属棒b静止
在右侧轨道上．现给金属棒a一水平向右的初速度v ，经过一段时间两金属棒达到稳定状态．
0
已知两金属棒运动过程中始终相互平行且与导轨良好接触，导轨电阻忽略不计，金属棒 a始终
在左侧轨道上运动，则下列说法正确的是（ ）3v
A．金属棒b稳定时的速度大小为 0
5
2mv
B．整个运动过程中通过金属棒a的电荷量为 0
3Bd
C．整个运动过程中两金属棒扫过的面积差为2mRv
0
B2d
2
D．整个运动过程中金属棒b产生的焦耳热为 mv2
9 0
【解答】解：ABC、达到稳定运动时，电路中电流为零，设此时a、b棒的速度分别为v 、v ，
1 2
则有
2Bdv ＝Bdv
1 2
对变速运动中取极短时间Δt，以向右为正方向，根据动量定理，对a棒有
﹣2BId•Δt＝2m•Δv
1
对b棒有
BId•Δt＝m•Δv
2
对变速运动全过程有Bdq＝m（ v ﹣v ）
0 1
v ﹣v ＝v
0 1 2
2mv
联立解得从t＝0时到达到稳定运动的过程中，通过金属棒a的电荷量为q= 0；
3Bd
2 1
v = v v = v
2 0 1 0
3 3
设整个运动过程中两金属棒扫过的面积差为ΔS，则根据流过金属棒a的电荷量
ΔΦ B⋅ΔS
q= =
3R 3R
联立整理可得ΔS 2mRv
= 0
B2d
故A错误，BC正确；
D、根据能量守恒定律可知，从t＝0时至达到稳定运动的过程中，回路产生的内能为1 1 1
Q= •2mv2- •2mv2- mv2
2 0 2 1 2 2
2
整理可得Q= mv2
3 0
整个运动过程中金属棒b产生的焦耳热和金属棒a产生的焦耳热满足
Q 1
b=
Q 2
a
2
故整个运动过程中金属棒b产生的焦耳热Q = mv2
b 9 0
故D正确。
故选：BCD。
7. （多选）如图，两根足够长的平行光滑导轨固定在绝缘水平面上，所在空间有方向垂
直于水平面、磁感应强度为B的范围足够大的匀强磁场，导轨的间距为L，电阻不计；导轨上
静置两根长度均为L的导体棒PQ和MN，其中PQ的质量为2m、阻值为R，MN的质量为
m、阻值为2R.若在t＝0时刻给PQ一个平行于导轨向右的初速度 v ，不计运动过程中PQ和
0
MN的相互作用力，则（ ）
A．t＝0时刻，两导体棒的加速度大小相等
2
B．t＝0时刻，PQ两端的电压为 BLv
0
3
1
C．PQ匀速运动时的速度大小为 v
0
3
2
D．从t＝0时刻到PQ匀速运动的过程中，导体棒MN产生的焦耳热为 mv 2
9 0
【解答】解：A、t＝0时刻，两棒的安培力大小相等，根据牛顿第二定律可得MN的加速度大小
F F
为：a = A，NN的加速度大小为：a = A；二者的加速度大小不相等，故A错误；
1 2
2m m
B、t＝0时PQ切割磁感应线产生的感应电动势为E ＝BLv ，根据欧姆定律可得PQ两端的电压
0 02R 2
为U= E = BLv ，故B正确；
2R+R 0 3 0
C、由以上分析可知，两导体棒受的安培力大小相等，由左手定则可知，安培力方向相反，两棒
运动中，满足动量守恒，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得：2mv
0
＝（m+2m）v共 ，解
2
得：v共 =
3
v
0
，此后两棒以这个速度做匀速直线运动，故C错误；
1 1
D、根据能量守恒定律可得系统产生的热为：Q= ×2mv
0
2- （m+2m）v共 2，
2 2
2R 2
导体棒PQ和MN是串联关系，根据焦耳定律可得：Q = Q= Q，
MN
2R+R 3
2
联立解得：Q = mv 2，故D正确。
MN 9 0
故选：BD。
8. 如图所示，平行光滑的金属导轨由倾斜部分和水平部分组成，倾斜导轨与水平导轨由
两小段光滑绝缘圆弧（长度可忽略）相连，倾斜部分由倾角为 、间距为l的导轨ab、fg构成，
水平部分由两段足够长但不等宽的平行金属导轨构成，bc、gθh段间距为l，de、ij段间距为
2l，导轨的a、f之间接有阻值为R的定值电阻。倾斜导轨处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，
磁感应强度大小为2B，水平导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B（磁场方
向均未画出）。导体棒Ⅱ静止于de、ij段，导体棒Ⅰ从倾斜导轨上与bg相距为L处由静止释
放，到达bg前速度已达到最大。导体棒Ⅰ、Ⅱ的质量均为m，电阻均为R，两导体棒运动过
程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，导轨电阻和空气阻力均可忽略不计。求：
（1）导体棒Ⅰ到达bg时的速度大小；
（2）导体棒Ⅰ在水平导轨上运动的过程中，导体棒Ⅰ、Ⅱ达到稳定前，两导体棒和导轨围成的
回路面积的改变量大小；
（3）整个运动过程中，导体棒Ⅰ上产生的焦耳热。
【解答】解：（1）由题意知，导体棒Ⅰ从到达bg前速度已达到最大，由平衡条件可得：2BIl＝
mgsin
θ2Blv
又：I= m
2R
mgRsinθ
联立解得：v = ；
m 2B2l2
（2）稳定时，两导体棒两端的感应电动势相等，则有：Blv ＝B•2lv
1 2
解得：v ＝2v
1 2
取向右为正方向，对Ⅰ棒由动量定理得：﹣BIlt＝mv ﹣mvm
1
对Ⅱ棒由动量定理得：2BIlt＝mv
2
又：q=It
mv
解得：q= m
5Bl
ΔΦ B⋅ΔS
又有：q= =
2R 2R
解得：ΔS m2gR2sinθ；
=
5B4l3
（3）设导体棒Ⅰ在倾斜导轨上运动时产生的热为Q ，根据能量守恒定律可得：
1
1
mglsin ＝2Q + mv2
1 2 m
θ
解得：Q mglsinθ m3g2R2sin2θ
1= -
2 16B4l4
设导体棒Ⅰ在水平导轨上运动时产生的热为Q ，根据能量守恒定律可得：
2
1 1 1
mv2 = mv2+ mv2+2Q
2 m 2 1 2 2 2
解得：Q m3g2R2sin2θ
2=
80B4l4
整个运动过程中，导体棒Ⅰ上产生的焦耳热为：Q＝Q +Q
1 2
联立解得：Q mglsinθ m3g2R2sin2θ。
= -
2 20B4l4
mgRsinθ
答：（1）导体棒Ⅰ到达bg时的速度大小为 ；
2B2l2
（2）导体棒Ⅰ在水平导轨上运动的过程中，导体棒Ⅰ、Ⅱ达到稳定前，两导体棒和导轨围成的回路面积的改变量大小为m2gR2sinθ；
5B4l3
（3）整个运动过程中，导体棒Ⅰ上产生的焦耳热为mglsinθ m3g2R2sin2θ。
-
2 20B4l4
