文档内容
专题 03 利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）.................................2
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型......3
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型.....................................4
三、专项训练...........................................................................................................5
一、必备秘籍
一、含参问题讨论单调性
第一步：求 的定义域
第二步：求 （导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于 进行求导得到 ，对 初步处理（如通分），提出 的恒正部分，将该部分
省略，留下的部分则为 的有效部分（如： ，则记 为
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定 的正负.
第四步：确定导函数有效部分 的类型：
1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
借助导函数有效部分 的图象辅助解题：
①令 ，确定其零点 ，并在 轴上标出
②观察 的单调性，
③根据①②画出草图
2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型借助导函数有效部分 的图象辅助解题：
①对 因式分解，令 ，确定其零点 ， 并在 轴上标出这两个零点
②观察 的开口方向，
③根据①②画出草图
3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
①对 ，求
②分类讨论
③对于 ，利用求根公式求 的两根 ，
④判断两根 ， 是否在定义域内：对称轴+端点正负
⑤画出 草图
二、含参问题讨论单调性的原则
1、最高项系数含参，从0开始讨论
2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论
3、考虑根是否在定义域内
二、典型题型
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性.
3．（2023上·四川成都·高三成都外国语学校校考开学考试）已知函数 ，
(1)当 时，求 的最值；
(2)求 的单调区间．4．（2022上·湖南邵阳·高二统考期末）设函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 ；
(2)求函数 的单调区间．
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，讨论 的单调区间.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性．
3．（2023·全国·高三专题练习）讨论 的单调性．
4．（2023·全国·模拟预测）已知 .
(1)讨论函数 的单调性.
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型
1．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
2．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知函数 ，其中 .
(1)令 ，讨论 的单调性；
3．（2023上·安徽淮南·高三校考阶段练习）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
3．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；三、专项训练
1．（2024上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数 ，
其中a是正数．
(1)讨论 的单调性；
2．（2023上·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知 ，
，其中 是自然对数的底数.
(1)若 在 处取得极值，求 的值；
(2)讨论 的单调区间；
3．（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数 ，其中
是自然对数的底数.
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性，并写出相应的单调区间.
4．（2023上·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知函数 ，其中 ．
(1)若 是函数 的极值点，求a的值；
(2)若 ，讨论函数 的单调性．5．（2023上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)若 ，求函数 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性.
6．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的单调区间；
7．（2023上·河南·高三西平县高级中学校联考阶段练习）设函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
8．（2023上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）已知函数 ，
为 的导函数．
(1)当 时，讨论函数 的单调性9．（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知函数
(1)求函数 的单调区间；
10．（2023下·河北石家庄·高三校联考期中）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
