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2025-2026学年四川省名校联盟高三（上）期末数学试卷
一.单选题：共40分
1．（5分）已知集合M＝{x|0≤x≤4，且x Z}，N＝{﹣2，0，2}，则（ ）
A．N M B．M∪N＝M ∈ C．M∩N＝{2} D．M∩N＝{0，2}
2．（5分⊆）复数的虚部是（ ）
A．﹣1 B．﹣i C． D．
3．（5分）已知平面向量（1，2），（﹣2，m），且∥，则23等于（ ）
A．（﹣5，﹣10） B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）
4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8
组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，
86）内的影视作品数量是（ ）
A．20 B．40 C．64 D．80
5．（5分）已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使
得xy是“DE∥平面ABC”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B
两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 和d ，且d +d ＝6，则双曲线的方程为（
1 2 1 2
）
A．1 B．1
第1页（共17页）C．1 D．1
7．（5分）已知在等比数列{a }中，a ＝1，a ＝2，若函数f（x）＝x（x﹣a ）（x﹣a ）…（x﹣
n 1 2020 1 2
a ）．则f′（0）＝（ ）
2020
A．2 B．21010 C．210 D．22020
8．（5分）用0，2，3，5，7，8这6个数字可以组成N个无重复数字的六位数，其中偶数有M个，则（
）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（6分）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基
米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x R，用[x]表示不超过x的
最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f∈（x）＝sin|x|+|sinx|，函数
g（x）＝[f（x）]，则（ ）
A．函数g（x）的值域是{0，1，2}
B．函数g（x）是周期函数
C．函数g（x）的图象关于x对称
D．方程•g（x）＝x只有一个实数根
（多选）10．（6分）已知：A（﹣1，0），B（1，0），直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分
别为k ，k ，则（ ）
1 2
A．当k •k ＝﹣2时，P点的轨迹为除去A，B两点的椭圆
1 2
B．当k •k ＝2时，P点的轨迹为除去A，B两点的双曲线
1 2
C．当时，P点的轨迹为一条直线
D．当k ﹣k ＝2时，P的轨迹为除去A，B两点的抛物线
1 2
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝sinx，记u（x）＝f（x）g（x），v（x）＝f（x）+ag
（x），则（ ）
第2页（共17页）A．若正数x 为u（x）的从小到大的第n个极值点（n N*），则{x }为等差数列
n n
B．若正数x
n
为u（x）的从小到大的第n个极值点（n∈N*），则{u（x
n
）}为等比数列
C． a＞0，v（x）在（﹣ ，+∞）上有零点 ∈
D．∀a＜0，v（x）在（﹣π，+∞）上有且仅有一个零点
三.填空∃题：共15分 π
12．（5分）在1与4中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数的乘积为 ．
13．（5分）已知，则f（x）的解析式为 ．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（m＞4），点A（﹣2，2）是椭圆内一点，B（0，
﹣2），若椭圆上存在一点P，使得|PA|+|PB|＝8，则m的范围是 ，；当m
取得最大值时，椭圆的离心率为
四.解答题：共77分：作答时必须写出详尽的解答过程
15．（13分）已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a ＝20，a ＝8．
n 2 4 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）记b 为{a }在区间（0，m]（m N*）中的项的个数，求数列{b }的前100项和S ．
m n m 100
16．（15分）会员足够多的某知名咖啡∈店，男会员占60%，女会员占40%．现对会员进行服务质量满意
度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为．
（1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
（2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为X，求X的分布列和数学期
望．
17．（15分）已知函数f（x）＝nsinx+tanx，n N*．
（Ⅰ）求f（x）的导数f'（x）； ∈
（Ⅱ）当n＝1时，求证：f（x）＞2x在上恒成立；
（Ⅲ）若f（x）＞（n+1）x在上恒成立，求n的最大值．
18．（17分）如图，已知椭圆的标准方程为，F ，F 分别为椭圆的左、右焦点，点A为椭圆上一动点，
1 2
且在x轴上方，延长AF ，AF 分别交椭圆于点B，C．
1 2
（1）证明：△ABC的周长大于；
（2）若|AF |＝3|AF |，求直线BC的方程；
1 2
（3）设A（x ，y ），用y 表示△ABC的面积．
0 0 0
第3页（共17页）19．（17分）已知直三棱柱ABC﹣A B C ，AB⊥AC，D，E分别是边AB，B C 的中点．
1 1 1 1 1
（1）证明：DE∥平面ACC A ；
1 1
（2）若三棱锥C ﹣A CB体积为，且AB＝2，设BC 与平面ACC A 所成的角为 ，求tan 的最大值；
1 1 1 1 1
（3）在第二问tan 取最大值的条件下，在平面C
1
A
1
B
1
内将C
1
绕着A
1
顺时针旋转θ角后，得θ 到新的位置
点M，求平面MAθB与平面A BB 夹角的余弦值．
1 1 1
第4页（共17页）2025-2026学年四川省名校联盟高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B D B C B B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD ABD ABD
一.单选题：共40分
1．（5分）已知集合M＝{x|0≤x≤4，且x Z}，N＝{﹣2，0，2}，则（ ）
A．N M B．M∪N＝M ∈ C．M∩N＝{2} D．M∩N＝{0，2}
【分析⊆】先求出集合M，N，再利用集合的基本运算求解．
【解答】解：集合M＝{x|0≤x≤4，且x Z}＝{0，1，2，3，4}，
又∵N＝{﹣2，0，2}， ∈
∴M∪N＝{﹣2，0，1，2，3，4}，M∩N＝{0，2}．
故选：D．
2．（5分）复数的虚部是（ ）
A．﹣1 B．﹣i C． D．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．
【解答】解：，
则复数的虚部是．
故选：C．
3．（5分）已知平面向量（1，2），（﹣2，m），且∥，则23等于（ ）
A．（﹣5，﹣10） B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）
【分析】利用向量共线定理、坐标运算性质即可得出．
【解答】解：∵∥，∴﹣4﹣m＝0，解得m＝﹣4．
则23（2，4）+（﹣6，﹣12）＝（﹣4，﹣8）．
故选：B．
4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8
第5页（共17页）组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，
86）内的影视作品数量是（ ）
A．20 B．40 C．64 D．80
【分析】由频率分布直方图先求频率，再求频数，即评分在区间[82，86）内的影视作品数量即可．
【解答】解：由频率分布直方图知，
评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，
故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，
故选：D．
5．（5分）已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使
得xy是“DE∥平面ABC”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，由充分必要条件的定义结合向量共面定理分析，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若存在实数x，y，使得xy，则DE∥平面ABC或DE 平面ABC，
反之，若DE∥平面ABC，则向量与、共面，又由点A，B，C不共线，故一⊂定存在实数x，y，使得
xy，
故“存在实数x，y，使得xy是“DE∥平面ABC”的必要不充分条件；
故选：B．
6．（5分）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B
两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 和d ，且d +d ＝6，则双曲线的方程为（
1 2 1 2
）
第6页（共17页）A．1 B．1
C．1 D．1
【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．
【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线
y，即bx﹣ay＝0，F（c，0），
AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，
F是AB的中点，EF3，
EFb，
所以b＝3，双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，
可得：，解得a．
则双曲线的方程为：1．
故选：C．
7．（5分）已知在等比数列{a }中，a ＝1，a ＝2，若函数f（x）＝x（x﹣a ）（x﹣a ）…（x﹣
n 1 2020 1 2
a ）．则f′（0）＝（ ）
2020
A．2 B．21010 C．210 D．22020
【分析】根据等比数列的通项公式即可求出a a •••a 的值，然后根据基本初等函数和积的导数的求
1 2 2020
导公式求导即可．
【解答】解：由f（x）＝x（x﹣a ）（x﹣a ）•••（x﹣a ），
1 2 2020
可知f′（x）＝（x﹣a ）（x﹣a ）•••（x﹣a ）+x[（x﹣a ）（x﹣a ）•••（x﹣a ）]′，
1 2 2020 1 2 2020
又等比数列{a }中，a ＝1，a ＝2，∴a a •••a ＝（a a ）（a a ）•••（a a ）＝21010，
n 1 2020 1 2 2020 1 2020 2 2019 1010 1011
∴．
故选：B．
8．（5分）用0，2，3，5，7，8这6个数字可以组成N个无重复数字的六位数，其中偶数有M个，则（
）
第7页（共17页）A． B． C． D．
【分析】根据排列组合知识求出N，M，代入可得结果．
【解答】解：从2，3，5，7，8中任选一个数字排在首位，其余5个数字全排可得，
0排在个位的无重复数字的六位偶数有个，
0不排在个位的无重复数字的六位偶数有个，
故．
所以．
故选：B．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（6分）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基
米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x R，用[x]表示不超过x的
最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f∈（x）＝sin|x|+|sinx|，函数
g（x）＝[f（x）]，则（ ）
A．函数g（x）的值域是{0，1，2}
B．函数g（x）是周期函数
C．函数g（x）的图象关于x对称
D．方程•g（x）＝x只有一个实数根
【分析】先根据函数奇偶性的定义进行判定，然后考虑x＞0的部分，讨论x的范围求出g（x）的解析
式，从而可得结论．
【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x），
所以f（x）是偶函数，而sin|x|不是周期函数，|sinx|为周期函数，
对于x＞0，当2k ＜x＜ +2k 时，f（x）＝2sinx，
当 +2k ＜x＜2 π+2k 时π，f（πx）＝0，
所以π g（πx），k＝π0，π±1，±2，…，
故A正确，由f（x）是偶函数，则g（x）为偶函数，
第8页（共17页）x＞0时，f（x）成周期性，但起点为x＝0，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上不是周期函数，故B不正
确；
函数g（x）的图象关于x＝0对称，不关于x对称，故C不正确；
，当x＝0时，g（0）＝0，当x时，g（）＝1，与g（x）只有（0，0）交点即方程•g（x）＝x只有一
个实数根，故D正确．
故选：AD．
（多选）10．（6分）已知：A（﹣1，0），B（1，0），直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分
别为k ，k ，则（ ）
1 2
A．当k •k ＝﹣2时，P点的轨迹为除去A，B两点的椭圆
1 2
B．当k •k ＝2时，P点的轨迹为除去A，B两点的双曲线
1 2
C．当时，P点的轨迹为一条直线
D．当k ﹣k ＝2时，P的轨迹为除去A，B两点的抛物线
1 2
【分析】设P（x，y），则k ，k ，依据每个选项条件计算可判断各项的正确性．
1 2
【解答】解：设P（x，y），则k ，k ，
1 2
对于A：当k •k ＝﹣2时，•2，化简可得x21（y≠0），∴P点的轨迹为除去A，B两点的椭圆，故A
1 2
正确；
对于B：当k •k ＝2时，•2，化简得x21（y≠0），∴P点的迹为除去A，B两点的双曲线，故B正确；
1 2
对于C：当时，可得2，化简得x＝﹣3（y≠0），∴P点的轨迹为一条直线（除去与x轴的交点），故
C错误；
对于D：当k ﹣k ＝2时，可得2时，可得x2＝﹣y+1（y≠0），∴P的轨迹为除去A，B两点的抛物线，
1 2
故D正确；
故选：ABD．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝sinx，记u（x）＝f（x）g（x），v（x）＝f（x）+ag
（x），则（ ）
A．若正数x 为u（x）的从小到大的第n个极值点（n N*），则{x }为等差数列
n n
B．若正数x
n
为u（x）的从小到大的第n个极值点（n∈N*），则{u（x
n
）}为等比数列
C． a＞0，v（x）在（﹣ ，+∞）上有零点 ∈
D．∀a＜0，v（x）在（﹣π，+∞）上有且仅有一个零点
【分∃析】由u′（x）＝0，π求得，结合等差数列的定义，可判定A正确；由 ，结合等比数列的定义，
可判定B正确；令v（x）＝0，即ex+asinx＝0，转化为，令，利用导数求得函数F（x）的单调性与极
值，进而可判定C错误，D正确．
第9页（共17页）【解答】解：由函数f（x）＝ex，g（x）＝sinx，
得u（x）＝f（x）g（x）＝exsinx，v（x）＝f（x）+ag（x）＝ex+asinx，
对于A，由，
令u′（x）＝0，得，解得，即，
∴数列{x }的通项公式为，则x ﹣x ＝ （常数），
n n+1 n
∴数列{x n }为等差数列，故A正确； π
对于B，由u（x）＝exsinx，得，
则（常数），
∴数列{u（x ）}为等比数列，故B正确；
n
对于C、D，令v（x）＝ex+asinx＝0，
显然x＝k ，k＞﹣1且k Z时，不是函数v（x）＝ex+asinx的零点；
当x≠k ，πk＞﹣1且k Z∈时，sinx≠0，得，
令，其中π x≠k ，k＞﹣∈1且k Z，可得，
令F′（x）＝π0，得cosx﹣sin∈x＝0，即tanx＝1，解得，k≥﹣1且k Z，
当时，F′（x）＞0，F（x）单调递增； ∈
当时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；
则当时，F（x）有极小值，且，
当时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；
当时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；
∴当时，F（x）有极大值，且，
∴函数的值域为，
当时，函数y＝a与没有公共点，
∴函数v（x）在（﹣ ，+∞）上没有零点，所以C错误；
当时，函数y＝a与只π有一个公共点，
即函数v（x）在（﹣ ，+∞）上有且仅有一个零点，所以D正确．
故选：ABD． π
三.填空题：共15分
12．（5分）在1与4中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数的乘积为 8 ．
【分析】根据等比中项的性质即可求解．
【解答】解：由题意，设插入的3个数为x，y，z，
则1，x，y，z，4成等比数列，
第10页（共17页）设此等比数列的公比为q，
可得y＝1×q2＝q2＞0，
又y2＝1×4，解得y＝2，
又由于xz＝y2＝4，
可得xyz＝8．
故答案为：8．
13．（5分）已知，则f（x）的解析式为 f （ x ）＝ x 2 ﹣ 4 （ x ≥ 2 ） ．
【分析】令t，则x＝（t﹣2）2且t≥2，然后根据已知解析式代入即可求解．
【解答】解：令t，则x＝（t﹣2）2且t≥2，
∵，
∴f（t）＝t2﹣4，t≥2
则f（x）＝x2﹣4（x≥2）
故答案为：f（x）＝x2﹣4（x≥2）
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（m＞4），点A（﹣2，2）是椭圆内一点，B（0，
﹣2），若椭圆上存在一点P，使得|PA|+|PB|＝8，则m的范围是 （ 6+2 ， 25 ] ，；当m取得最大
值时，椭圆的离心率为
【分析】用a表示出|PB|，|PF|，根据三角形的三边关系列出不等式即可得出a的范围，再结合A在椭
圆内部从而求出m的范围．
【解答】解：显然椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的半焦距为c，则c2，
故B为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为F（0，2），
则由椭圆定义可知|PF|+|PB|＝2a，
∵|PA|+|PB|＝8，∴|PA|＝8﹣|PB|，
于是||PA|﹣|PF||＝|8﹣|PB|﹣|PF||＝|8﹣2a|，
又||PA|﹣|PF||≤|AF|＝2，
∴|8﹣2a|≤2，解得：3≤a≤5，即35，
∴9≤m≤25．
又A（﹣2，2）在椭圆内部，∴1，又m＞4，
解得m＞6+2．
综上可得：6+2m≤25．
当m取得最大值25时，a＝5，此时椭圆的离心率为．
故答案为：（6+2，25]，．
第11页（共17页）四.解答题：共77分：作答时必须写出详尽的解答过程
15．（13分）已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a ＝20，a ＝8．
n 2 4 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）记b 为{a }在区间（0，m]（m N*）中的项的个数，求数列{b }的前100项和S ．
m n m 100
【分析】（1）设出等比数列的公比，∈由已知列式求得公比，进一步求出首项，可得等比数列的通项公
式；
（2）由题意求得0在数列{b }中有1项，1在数列{b }中有2项，2在数列{b }中有4项，…，可知
m m m
b ＝5，b ＝b ＝…＝b ＝6．则数列{b }的前100项和S 可求．
63 64 65 100 m 100
【解答】解：（1）设等比数列{a }的公比为q（q＞1），
n
∵a +a ＝20，a ＝8，
2 4 3
∴8q＝20，
解得q＝2或q（舍去），
∴a ＝2，
1
∴a ＝2•2n﹣1＝2n，
n
（2）记b 为{a }在区间（0，m]（m N*）中的项的个数，
m n
∴2n≤m，
∈
∴n≤log m，
2
故b ＝0，b ＝1，b ＝1，b ＝2，b ＝2，b ＝2，b ＝2，
1 2 3 4 5 6 7
b ＝3，b ＝3，b ＝3，b ＝3，b ＝3，b ＝3，b ＝3，b ＝3，b ＝4，…，
8 9 10 11 12 13 14 15 16
可知0在数列{b }中有1项，1在数列{b }中有2项，2在数列{b }中有4项，…，
m m m
由100，100
第12页（共17页）可知b ＝5，b ＝b ＝…＝b ＝6．
63 64 65 100
∴数列{b }的前100项和S ＝0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37＝480．
m 100
16．（15分）会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60%，女会员占40%．现对会员进行服务质量满意
度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为．
（1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
（2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为X，求X的分布列和数学期
望．
【分析】（1）利用全概率公式求解；
（2）由题意可知，X可能的取值为0，1，2，3，利用二项分布的概率公式求出相应的概率，进而得到
X的分布列，再结合期望公式求解即可．
【解答】解：（1）记事件A ：会员为男会员，A ：会员为女会员，事件B：对服务质量满意，
1 2
则由题可知，，，，，
所以；
（2）X可能的取值为0，1，2，3，
则，P（X＝1），P（X＝2），P（X＝3），
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以E（X）＝0．
17．（15分）已知函数f（x）＝nsinx+tanx，n N*．
（Ⅰ）求f（x）的导数f'（x）； ∈
（Ⅱ）当n＝1时，求证：f（x）＞2x在上恒成立；
（Ⅲ）若f（x）＞（n+1）x在上恒成立，求n的最大值．
【分析】（I）直接利用导数公式求解；
（II）构造函数g（x）＝f（x）﹣2x，转化为函数g（x）的最小值问题；
（III）先利用特值缩小n的范围，再构造函数h（x）＝f（x）﹣3x，证明这个取值符合条件即可．
【解答】解：（I）由f（x）＝nsinx+tanx，得；
（II）当n＝1时，令g（x）＝f（x）﹣2x＝sinx+tanx﹣2x，则；
当时，因为，所以，
所以g（x）在上单调递增，所以g（x）＞g（0）＝0，
即f（x）＞2x在上恒成立．
（III）由条件知，当时，不等式成立，
第13页（共17页）即，解得，
所以正整数n最大为2．
当n＝2时，令h（x）＝f（x）﹣3x，则
．
所以h（x）在上单调递增，所以h（x）＞h（0）＝0，
即h（x）＞3x在上恒成立，
所以n的最大值为2．
18．（17分）如图，已知椭圆的标准方程为，F ，F 分别为椭圆的左、右焦点，点A为椭圆上一动点，
1 2
且在x轴上方，延长AF ，AF 分别交椭圆于点B，C．
1 2
（1）证明：△ABC的周长大于；
（2）若|AF |＝3|AF |，求直线BC的方程；
1 2
（3）设A（x ，y ），用y 表示△ABC的面积．
0 0 0
【分析】（1）连接BF ，由题可知|F C|+|BC|＞|BF |，两边同时加上|AB|+|AF |即可；
2 2 2 2
（2）设A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），由椭圆的定义和两点间距离公式计算得出x ＝1，
0 0 1 1 2 2 0
联立，求得，，根据两点求出直线BC的方程；
（3）联立和方程，利用韦达定理得出和，再利用面积比求出即可．
【解答】解：（1）连接BF ，注意到|F C|+|BC|＞|BF |，
2 2 2
故△ABC的周长为．
（2）设A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），
0 0 1 1 2 2
由，且|AF |＝3|AF |，故，
1 2
又，
则，即x ＝1，因此，
0
故直线AB的方程为：，即，
直线AC的方程为：x＝1，联立，得，
则，即，因此，
而，因此，
故直线BC的方程为：，即．
第14页（共17页）（3）因为点A在x轴上方，所以直线AB，AC斜率不为0，
设直线AB：x＝my﹣1，直线AC：x＝ny+1，A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），y ＞0，
0 0 1 1 2 2 0
联立，可得（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，则，
注意到，故．
联立，可得（n2+2）y2+2ny﹣1＝0，则，
注意到，故．
则，．
注意到，因为，，
所以，
则．
19．（17分）已知直三棱柱ABC﹣A B C ，AB⊥AC，D，E分别是边AB，B C 的中点．
1 1 1 1 1
（1）证明：DE∥平面ACC A ；
1 1
（2）若三棱锥C ﹣A CB体积为，且AB＝2，设BC 与平面ACC A 所成的角为 ，求tan 的最大值；
1 1 1 1 1
（3）在第二问tan 取最大值的条件下，在平面C
1
A
1
B
1
内将C
1
绕着A
1
顺时针旋转θ角后，得θ 到新的位置
点M，求平面MAθB与平面A BB 夹角的余弦值．
1 1 1
【分析】（1）取A C 中点F，连接EF、FA，证明出四边形ADEF为平行四边形，则DE∥AF，再利
1 1
用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出AB⊥平面AA C C，可知∠BC A即为BC 与平面ACC A 所成的角，利用锥体的体积可得
1 1 1 1 1 1
出AC•AA ＝8，利用基本不等式可求得tan 的最大值；
1
（3）以A点为原点，AB、AC、AA
1
所在直θ线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用空间
向量法可求得平面MA B与平面A BB 夹角的余弦值．
1 1 1
【解答】证明：（1）如下图所示，取A C 中点F，连接EF、FA，
1 1
第15页（共17页）因为E是B C 的中点，所以EF为△A B C的中位线，所以EF∥A B且，
1 1 1 1 1
又AD∥A B 且，所以EF∥AD且EF＝AD，
1 1
所以四边形ADEF为平行四边形，所以DE∥AF，
又因为AF 平面ACC A ，DE 平面ACC A ，
1 1 1 1
所以DE∥⊂平面ACC 1 A 1 ； ⊄
（2）如下图所示，连接AC ，
1
因为ABC﹣A B C 是直三棱柱，所以AA ⊥平面ABC，
1 1 1 1
因为AB 平面ABC，所以AA ⊥AB，
1
因为AB⊂⊥AC，AA
1
∩AC＝A，A
1
A，AC 平面AA
1
C
1
C，
所以AB⊥平面AA 1 C 1 C， ⊂
所以AC 就是BC 在平面ACC A 内的射影，
1 1 1 1
所以∠BC A即为BC 与平面ACC A 所成的角 ，
1 1 1 1
因为， θ
所以，则AC•AA ＝8，
1
所以AC22AC•AA ＝16（当且仅当AC＝AA ＝2时等号成立），
1 1
所以在Rt△ABC 中，，
1
故tan 的最大值为；
θ 第16页（共17页）（3）由（2）可得，
以A点为原点，AB、AC、AA 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
1
则，B（2，0，0），
因为，∠MA B ，所以M（，，2），
1 1
设平面A MB的一个法向量为（x，y，z），
1
则，，
则，取，可得，
易得平面A BB 的一个法向量为，
1 1
cos|＝||，
故平面MA B与平面A BB 夹角的余弦值为．
1 1 1
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