文档内容
2025-2026 学年山东省青岛市城阳第一高级中学高三（上）月考数学试卷
（1 月份）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的）.
1．（5分）若复数z满足（2﹣i）z＝i2022，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
1 1 2 2
2．（5分
5
） 设全集为R，集合 5A＝{x||x|≥1}，B＝{x|lg3x ≤0}，则（ RA）∪B3 ＝（ ）
A．（0，1] B．（﹣1，1] C．（﹣1，1） ∁ D．（﹣∞，1]
3．（5分）已知直线l：y＝kx﹣2，k R，圆C：x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0，则直线l和圆C的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 ∈ C．相切 D．无法确定
4．（5分）若f（x）＝（x+a） 为偶函数，则a＝（ ）
2 −1
A．﹣1 B．0 2 +1 C． D．1
1
5．（5分）记Sn 为等比数列{an}的前n项和，若S9+72S6 ＝8S3 ，则{an}的公比为（ ）
A．2 B． C． D．﹣2
1 1
6．（5分）如图，一个正八面
2
体，八个面分别标以数−字21到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地
面接触的面上的数字，得到样本空间为 ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A＝“得到的点数为奇
数”，记事件B＝“得到的点数不大于4”，Ω记事件C＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件B与C互斥
B．
5
C． P（( A ∪ B C )）=＝8P（A）P（B）P（C）
D．A，B，C两两相互独立
7．（5分）把函数y＝f（x）的图象向左平移 个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，
纵坐标不变，可以得到函数 6 的图象，则y＝f（x）的图象与直线 的交点个数为
1
= (2 + ) = −
6第1页（共23页） 2（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）已知正实数a，b，c满足 2a﹣a， 3b﹣b， 4c﹣c，则a，b，c的大小关系
2 +1 3 +1 4 +1
为（ ） = = =
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）.
（多选）9．（6分）如图，六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是
（ ）
A．CF⊥平面PAD B．DF⊥平面PAF
C．CF∥平面PAB D．CD∥平面PAF
（多选）10．（6分）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平
整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的
蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的
动点，则（ ）
A．
→ → →
1
= −
B． 2
→ →
3
⋅ =
4
第2页（共23页）C．若P为EF的中点，则 在 上的投影向量为
→ → →
− 3
D． 的最大值为
→ →
（多选）|
1
1
+．（
6
|分）如图，阴7影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分
别逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线及C围成的，若p＝1，则下列说法正确的是（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
1 2
B．四叶图上两点间距离的最大值 =为2
2 2
C．动直线x+y＝t（t R）被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为
2
D．四叶图的面积大于∈ 4且小于8
2
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a6 ，a8 是方程x2﹣8x+5＝0的两根，则S13 ＝ ．
13．（5分）已知 ，则cos2 ＝ ．
6
14．（5分）设 为 随 机 变=量7−， 从 棱长为1的α正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时， ＝0；当两条棱
异面时，＝ξ1；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望E ＝ ξ ．
四、解答题ξ（本题共5小题，共7ξ7分.解答应写出文字说明，证明过程或演ξ算步骤.）
15．（13分）某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为[0，50]，（50，100]，（100，150]，
（150，200]的4组，画出频率分布直方图如图所示．若AQI≤100，称当天空气质量达标；若AQI＞100，
称当天空气质量不达标．
（1）求a；
（2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率；
（3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值 ＝0.1
的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ α
月份 空气质量 合计
第3页（共23页）达标 不达标
4月
6月
合计
附：χ2 ，
2
( − )
=
( + )×( + )×( + )×( 0.+1 ) 0.05 0.01
α
x 2.706 3.841 6.635
α
16．（15分）已知数列{an}中，a1 ＝4，an ＝an﹣1+2n﹣1+3（n≥2，n N*）．
（1）证明数列{an ﹣2n}是等差数列，并求{an}的通项公式； ∈
（2）设bn ，求bn 的前n项和Sn ．
=
17．（15分）如图2 ，在四棱锥P﹣ABCD中，E为AD的中点，BE⊥平面PAD，PA⊥AD，BE∥CD，PA＝
AE＝BE＝2，CD＝1．
（1）若平面PCD∩平面PBE＝l，求证：CD∥l；
（2）求平面CPB与平面PBE夹角的余弦值．
18．（17分）已知椭圆 ， ＞＞ 的短轴长为2，且过点 ， ，设点P（x0 ，y0 ）为椭圆
2 2
3
在第一象限内一点．2 + 2 = 1 ( 0) (1 )
2
（1）求椭圆方程；
（2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为B，线段AP交y轴于点C，线段BP交x轴于点D，若△PAB的
第4页（共23页）面积是△PCD的6倍，求P点的坐标；
（3）点P关于原点的对称点为Q，点R（x0 ，0），点T为PR中点，QT的延长线交椭圆于点S，当∠
QPS最大时，求直线PQ方程．
19．（17分）已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）＝f（x﹣1）﹣m在定义域内有两个不同零点，求实数m的取值范围；
（3）若F（x）＝（x﹣1）ex﹣f（x）， x1 ，x2 （0，+∞）且x1 ≠x2 ，有 ＞恒成立，求实
( 1)− ( 2)
∀ ∈ 1 2 1 2
数a的取值范围． 2 1−2 2
第5页（共23页）2025-2026 学年山东省青岛市城阳第一高级中学高三（上）月考数学试卷
（1 月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A B D C C A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD AD ACD
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的）.
1．（5分）若复数z满足（2﹣i）z＝i2022，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
1 1 2 2
【分
5
析 】利用复数的乘方、
5
除法化简复数z，结合
3
共 轭复数的定义写出
3
，即可得答案．
【解答】解：由（2﹣i）z＝i4×505+2＝﹣1，
得 ，
1 2+ 2+
=− =− =−
2− (2− )(2+ ) 5
则 ，即 的虚部为 ．
2 1 1
故选 =：− B5．+ 5 5
2．（5分）设全集为R，集合A＝{x||x|≥1}，B＝{x|lgx≤0}，则（ RA）∪B＝（ ）
A．（0，1] B．（﹣1，1] C．（﹣1，1） ∁ D．（﹣∞，1]
【分析】可求出集合A，B，然后进行补集和并集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x≤﹣1或x≥1}，B＝{x|0＜x≤1}，
∴ RA＝（﹣1，1），（ RA）∪B＝（﹣1，1]．
故选∁ ：B． ∁
3．（5分）已知直线l：y＝kx﹣2，k R，圆C：x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0，则直线l和圆C的位置关系为（ ）
∈
第6页（共23页）A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
【分析】求得直线l的定点M（0，﹣2），求得圆C的圆心与半径，计算可得|CM|＜r，可得结论．
【解答】解：直线l：y＝kx﹣2，k R，可知直线l恒过定点M（0，﹣2），
圆C：x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的标准方∈程为（x﹣1）2+（y+1）2＝3，可得圆心为C（1，﹣1），圆的半径 ，
因为 ＜ ，所以点M在圆C内， = 3
2 2
直线|l 和 |圆=C相(0交−．1) +(−2+1) = 2 3
故选：A．
4．（5分）若f（x）＝（x+a） 为偶函数，则a＝（ ）
2 −1
A．﹣1 B．0 2 +1 C． D．1
1
【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．
2
【解答】解：由 ＞0，得x＞ 或x＜ ，
2 −1 1 1
由f（x）是偶函数 2 ， +1 2 − 2
∴f（﹣x）＝f（x），
得（﹣x+a）ln （x+a） ，
−2 −1 2 −1
=
即（﹣x+a）ln−2 +1 （x+a） 2 +，1
2 +1 2 −1
=
即（﹣x+a）ln2（ −1 ）﹣1＝（x+ 2 a ）+1 ，
2 −1 2 −1
则（x﹣a）ln 2 +1（x+a） ，2 +1
2 −1 2 −1
∴x﹣a＝x+a， 2 得 + ﹣ 1 = a＝a， 2 +1
得a＝0．
故选：B．
5．（5分）记Sn 为等比数列{an}的前n项和，若S9+7S6 ＝8S3 ，则{an}的公比为（ ）
A．2 B． C． D．﹣2
1 1
【分析】关于公比是否为12 进行分类讨论，得到关−于2 q的方程，可解出q．
【解答】解：若公比为1，则S9+7S6 ＝51a1 ≠8S3 ＝24a1 ，故不符合题意，所以公比不为1，
设公比为q（q不为1），则 ，
9 6 3
1(1− ) 7 1(1− ) 8 1(1− )
整理得8﹣q9﹣7q6＝8﹣8q3，即
1−
q9+7 + q6﹣8q1 3
−
＝
0，解=得q1 3＝
−
﹣8或q3＝1（舍去），
故q＝﹣2．
第7页（共23页）故选：D．
6．（5分）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地
面接触的面上的数字，得到样本空间为 ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A＝“得到的点数为奇
数”，记事件B＝“得到的点数不大于4”，Ω记事件C＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件B与C互斥
B．
5
C． P（( A ∪ B C )）=＝8P（A）P（B）P（C）
D．A，B，C两两相互独立
【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由古典概型公式分析B、C，由相互独立事件的定义分
析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，样本空间为 ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A＝“得到的点数为奇数”，
记事件B＝“得到的点数不大于4”，Ω记事件C＝“得到的点数为质数”，
则A＝{1，3，5，7}，B＝{1，2，3，4}，C＝{2，3，5，7}，
则P（A）＝P（B）＝P（C） ，
1
依次分析选项： = 2
对于A，BC＝{2，3}，事件B、C可以同时发生，不是互斥事件，A错误；
对于B，A∪B＝{1，2，3，4，5，7}，则P（A∪B） ，B错误；
6 3
= =
对于C，ABC＝{3}，则P（ABC） ，故P（ABC）＝8 P（A 4）P（B）P（C），C正确；
1
=
对于D，AC＝{3，5，7}，P（AC） 8 P（A）P（C），事件A、C不相互独立，D错误．
3
故选：C． = 8 ≠
7．（5分）把函数y＝f（x）的图象向左平移 个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，
纵坐标不变，可以得到函数 6 的图象，则y＝f（x）的图象与直线 的交点个数为
1
（ ） = (2 + 6 ) = − 2
第8页（共23页）A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换可得到函数y＝f（x）的解析式，作出函数y＝f（x）以
及 的图象，数形结合，即可得答案．
1
= −
【解答】解2：由题意将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，
1
= (2 + )
得到 的图象，再将该图象6向右平移 个单位长度， 2
= (4 + )
得到函数 6 6 的图象，
= [4( − )+ ]= (4 − )=− 4
即f（x）＝﹣cos4x， 6 6 2
作出f（x）＝﹣cos4x以及 的图象，如图，
1
= −
2
由图象可知y＝f（x）的图象与直线 的交点个数为3．
1
故选：C． = − 2
8．（5分）已知正实数a，b，c满足 2a﹣a， 3b﹣b， 4c﹣c，则a，b，c的大小关系
2 +1 3 +1 4 +1
为（ ） = = =
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c
【分析】由题意可知，函数y＝x 与函数y＝2x﹣2的图象在（0，+∞）上交点的横坐标为a，同理，
1
+
函数y＝x 与函数y＝3x﹣3的图象 在（0，+∞）上交点的横坐标为b，函数y＝x 与函数y＝4x﹣4
1 1
的图象在（+ 0 ，+∞）上交点的横坐标为c，在同一个平面直角坐标系中画出4个函数+的 图象，数形结合
求解即可．
【解答】解：由 2a﹣a得，2 2a﹣a，
2 +1 1
= + =
∴ ，
1
+ =2 −2
∴函数 y＝x 与函数y＝2x﹣2的图象在（0，+∞）上交点的横坐标为a，
1
+
第9页（共23页）同理，函数y＝x 与函数y＝3x﹣3的图象在（0，+∞）上交点的横坐标为b，
1
+
函数y＝x 与函数 y＝4x﹣4的图象在（0，+∞）上交点的横坐标为c，
1
+
在同一个平面 直角坐标系中画出函数函数y＝x ，y＝2x﹣2，y＝3x﹣3，y＝4x﹣4的图象，如图所示：
1
+
由图可知，c＜b＜a．
故选：A．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）.
（多选）9．（6分）如图，六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是
（ ）
A．CF⊥平面PAD B．DF⊥平面PAF
C．CF∥平面PAB D．CD∥平面PAF
【分析】A，B中，由正六边形的性质及线面垂直的判定定理，判断出A，B的真假；C，D中，由线面
平行的判定定理，可判断出C，D的真假．
第10页（共23页）【解答】解：A中，六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，
若CF⊥平面PAD，由AD 平面PAD，则CF⊥AD，
可得四边形ACDF为正方形⊂，即AC＝CD＝BC＝AB，
则△ABC为等边三角形，则∠ABC＝60°，
这与∠ABC＝120°相矛盾，所以CF与平面PAD不垂直，故A不正确；
B中，因为PA⊥平面ABC，DF 平面ABC，则PA⊥DF，
且AF⊥DF，AF∩PA＝A，AF，⊂PA 平面PAF，
所以DF⊥平面PAF，故B正确； ⊂
C中，由正六边形的性质可知：CF∥AB，
且CF 平面PAB，AB 平面PAB，可得CF∥平面PAB，故C正确；
D中，⊄因为六棱锥P﹣⊂ABCDEF的底面是正六边形，则CD∥AF，
且CD 平面PAF，AF 平面PAF，可得CD∥平面PAF，故D正确．
故选：⊄BCD． ⊂
（多选）10．（6分）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平
整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的
蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的
动点，则（ ）
A．
→ → →
1
= −
2
第11页（共23页）B．
→ →
3
⋅ =
4
C．若P为EF的中点，则 在 上的投影向量为
→ → →
− 3
D． 的最大值为
→ →
【分|析 】+对 于 |A：根据正六7边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据CE⊥EF结合投影向量
的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解．
【解答】解：已知正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，
对于选项A：因为 ，
→ → → → →
1
故A正确； = − = − 2
对于选项C：由题意可知：CE⊥EF，
若P为EF的中点，
所以 在 上的投影向量为 ，
→ → →
故C 错 误； −
对于选项BD：建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
1 3 1 3 1 3 1 3
(− − ) ( − ) (1 0) ( ) ( − ) (−1 0)
可得 2 ，2 ，2 2， ， 2 2 2 2
→ →
3 3
=( ) =(0 3)
所以 2 2 ，
→ →
3 3 3
故B 错 误⋅ ； =
2
×0+
2
× 3=
2
设P（x，y），可知 ， ，
1 3
−1≤ ≤ 0≤ ≤
则 ， ， 2 ， ， 2
→ →
1 3
=( ) =( +1 )
可得 2 2 ， ，
→ →
3 3
+ =( + + )
2 2
则 ，
→ →
3 2 3 2
| + |= ( + ) +( + )
可知当 ， ，2 即点P与点2 D重合时， 的最大值为 ，
→ →
1 3
故D正 确=．
2
=
2
| + | 7
故选：AD．
第12页（共23页）（多选）11．（6分）如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分
别逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线及C围成的，若p＝1，则下列说法正确的是（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
1 2
B．四叶图上两点间距离的最大值 =为2
2 2
C．动直线x+y＝t（t R）被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为
2
D．四叶图的面积大于∈ 4且小于8
2
【分析】对于A，由题意可得C：y2＝2x可求得逆时针旋转90°的抛物线方程判断A；
对于B，逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线为x2＝2y，y2＝﹣2x，x2＝﹣2y，根据对称
性可知，（2，2）到（﹣2，2）的距离即是最大，计算可判断B；
对于C，分别求出抛物线x2＝2y与抛物线y2＝2x斜率为1的切线方程，再求出它们的距离即可判断C；
对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断．
【解答】解：由逆时针旋转90°所得的曲线为x2＝2y，A正确；
由题知，C：y2＝2x，
逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线为x2＝2y，y2＝﹣2x，x2＝﹣2y，
联立 ，解得 或 ，
2
=2 =0 =2
2
根据对 称 = 性 2 可 知，（2， 2=）0到（ ﹣=22，2）的距离即是最大，且为2 ，B错误；
如图，设直线x+y＝t与第一象限叶子分别交于M，N， 4+4 =4 2
第13页（共23页）由 ，解得 （舍去）或 ，
=− + = +1+ 2 +1 = +1− 2 +1
2
由 =2 ，解得 =−1− 2 +1 或 =−1+ （2舍 +去1），
=− + =−1+ 2 +1 =−1− 2 +1
2
即 =2 ， ﹣ = 1 1+ − ） 2 ， + N（ 1 ﹣1 =1+ ， + 1+ 2 t +1 ），
( +1− 2 +1 + 2 +1 + 2 +1 − 2 +1
则弦长 ，
2 2
由图知，| 直 |线= x+y [2＝t 2经 +过1点− A ( 时+ t 2取)]最+大( 值+ 4 2，−2 2 +1) = 2| +2−2 2 +1|
经过点O时，t取最小值0，即在第一象限部分满足0＜t≤4，
不妨设 ，则2＜ ≤6，且 ，
2
1
=2 2 +1 μ = −
代入得，|MN| | | |（ 8 2）2 |，
2
3 1
= 2 −μ+ = 2 − 2 −
所以当 ＝4时，|MN 8 |最大， 2 且为 ，2 C 2正确． 2
2
μ
2
如图，
由图像可知，四叶图的面积小于由各曲线交点围成的正方形面积的一半，
即四叶图的面积小于 ，
1
× 4 × 4 = 8
2
第14页（共23页）根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求 部分面积的近似值，
1
如图，
8
在抛物线 ，（x≥0）上取一点P，使过点P的切线与直线OA平行，
1 2
=
由y＝x＝1可2得切点坐标为 ， ，因lOA ：x﹣y＝0，
1
(1 )
2
则点P到直线OA的距离为 ，
1
2 2
= =
于是 2，由4图知，半个花瓣的面积必大于 ，
1 2 2 2 1 1
= × 2 +2 × =
故原图中的阴2影部分面积必大4于 2 ， 2
1
综上四叶图的面积大于4且小于8 8，×故2 =
D
4正确．
故选：ACD．
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a6 ，a8 是方程x2﹣8x+5＝0的两根，则S13 ＝ 52 ．
【分析】根据韦达定理，结合等差数列的性质和前n项和公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，a6+a8 ＝8，
由等差数列的性质可知，a1+a13 ＝a6+a8 ＝8，
所以 ．
13×( 1+ 13)
故答案 13 为=：52．2 =52
13．（5分）已知 ，则cos2 ＝ ．
6 7
【分析】切化 弦 ， 然=后7−整 理 可得sin ，α再利用 2 倍 5 角公式计算即可．
α
【解答】解：由tan ，
6
得（7﹣sin ）sin ＝α 6 = co s 2 ＝= 6（7−1 ﹣ s in2 ），
α α α α
第15页（共23页）解得sin ＝﹣2（舍），或 ，
3
α =
所以 5 ．
2 3 2 7
2 =1−2 =1−2×( ) =
故答案为： ． 5 25
7
14．（5分）设
2
为
5
随机变量，从棱长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时， ＝0；当两条棱
ξ ξ
异面时， ＝1；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离，则数学期望E ＝ ．
6+ 2
【分析】从ξ 棱长为1的正方体的12ξ条棱中任取两条，共有 种方法，若两条ξ棱相交，则交点必为正方
11
2
体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8 12对相交棱，两条棱平行，则它们的距离为
2
1或 ，其中距离为 的共有6对，由此能求出数学期望E 3．
【解答2】解：若两条棱2相交，则交点必为正方体8个顶点中的ξ 一个，过任意1个顶点恰有3条棱，
∴共有8 对相交棱，
2
3
∴P（ ＝0） ，
2
8 3 4
ξ = 2 =
若两条棱平行， 则12它们11的距离为1或 ，其中距离为 的共有6对，
∴P（ ） ， 2 2
6 1
ξ= 2 = 2 =
P（ ＝1）＝1﹣P （12 ＝ 1 0 1 ）﹣P（ ） ，
6
ξ ξ ξ= 2 =
11
∴随机变量 的数学期望E（ ）＝1 ．
6 1 6+ 2
ξ ξ × + 2× =
11 11 11
故答案为： ．
6+ 2
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
11
15．（13分）某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为[0，50]，（50，100]，（100，150]，
（150，200]的4组，画出频率分布直方图如图所示．若AQI≤100，称当天空气质量达标；若AQI＞100，
称当天空气质量不达标．
（1）求a；
（2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率；
（3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值 ＝0.1
的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ α
月份 空气质量 合计
达标 不达标
第16页（共23页）4月
6月
合计
附：χ2 ，
2
( − )
=
( + )×( + )×( + )×( 0.+1 ) 0.05 0.01
α
x 2.706 3.841 6.635
α
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，即可求解；
（2）根据古典概型的概率公式，对立事件的概率计算公式，即可求解；
（3）先求出列联表，再计算卡方值进行判断，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得（a+0.006+0.01+a）×50＝1，解得a＝0.002；
（2）由频率分布直方图知：
4月份的空气质量达标的天数为：50×（0.002+0.006）×30＝12，
所以4月份的空气质量不达标的天数为：30﹣12＝18，
所以从4月的30天中任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为1 ；
2
18 94
− 2 =
（3）列联表如下： 30 145
月份 空气质量 合计
达标 不达标
4月 12 18 30
6月 8 22 30
合计 20 40 60
假设H0 ：空气质量是否达标与月份无关，
第17页（共23页）则χ2 1.2＜2.706，
2
60×(12×22−8×18)
所以根=据小2概0×率4值0×3＝0×03.10，没=有充分理由推断H0 不成立，
所以不能认为空气质α 量是否达标与月份有关联．
16．（15分）已知数列{an}中，a1 ＝4，an ＝an﹣1+2n﹣1+3（n≥2，n N*）．
（1）证明数列{an ﹣2n}是等差数列，并求{an}的通项公式； ∈
（2）设bn ，求bn 的前n项和Sn ．
=
【分析】（1）2利用已知条件转化推出 是以2为首项，3为公差的等差数列，然后求解通项公式．
（2）化简bn ，然后利用错位相减{ 法 −求2和}求解即可．
=
【解答】解：（12）证明：当n≥2时， ，
−1 −1
∴ ， = −1+2 +3= −1+2 −2 +3
−1
又 a 1 ＝−42，−∴(a 1 ﹣−1 2−＝22， )=3
故 是以2为首项，3为公差的等差数列，
∴{ −2 } ，
∴ −2 =2+( ．−1)×3=3 −1
=2 +3 −1
（2） ，
2 +3 −1 3 −1
= = =1+
∴ 2 2 2 ，
2 5 3 −1 2 5 3 −1
=(1+ )+(1+ 2)+⋯+(1+ )= +( + 2+⋯+ )
令 2 2 ，① 2 2 2 2
2 5 3 −1
= + 2+⋯+
则 2 2 2 ，②
1 2 5 3 −1
= 2 + 3 + ⋯ + +1
①2﹣②得2： 2 2 ，
1 3 3 3 3 −1
= 1 + 2 + 3 + ⋯ + − +1
2 2 2 2， 2
1 1 −1
4[1−(2) ] 3 −1 5 3 +5
=1+3× 1 − +1 = − +1
∴ 1−2 ． 2 2 2
3 +5
17．（ 1 5 =分 ）+如5图−，2在 四棱锥P﹣ABCD中，E为AD的中点，BE⊥平面PAD，PA⊥AD，BE∥CD，PA＝
AE＝BE＝2，CD＝1．
（1）若平面PCD∩平面PBE＝l，求证：CD∥l；
（2）求平面CPB与平面PBE夹角的余弦值．
第18页（共23页）【分析】（1）根据BE∥CD由线面平行的判定定理得到线面平行，再根据线面平行的性质定理得到线
线平行；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面CPB与平面PBE的法向量，进而求得夹角的余弦值即可．
【解答】解：（1）证明：BE∥CD，且CD 面PBE，BE 面PBE，故CD∥面PBE，
又因为CD 面PCD，面PCD∩面PBE＝l，⊄故可以证得⊂CD∥l；
（2）取PD⊂的中点F，连接FE，易知PA∥FE，
又因为PA⊥AD，故FE⊥AD，
建立空间直角坐标系，如图所示：
C（1，2，0），P（0，﹣2，2），B（2，0，0），E（0，0，0），
，， ， ，， ， ， ， ，
→ → →
=(−1 2 0) =(2 2 −2) =(0 −2 2)
设平面CPB的法向量为 ，， ，
→
=( )
则 ， ，
→ →
→ ⋅ → =0 − +2 =0
2 +2 −2 =0
⋅ =0
令b＝1，则 ，， ，
→
=(2 1 3)
同理可得平面PBE的法向量为 ，， ，
→
=(0 1 1)
所以 ， ，
→ →
→ →
⋅ 4 2 7
〈 〉= → → = =
即平面CPB与平面| P | B | E |夹角 1 的 4× 余 2 弦值为 7 ．
2 7
18．（17分）已知椭圆 ， ＞＞7 的短轴长为2，且过点 ， ，设点P（x0 ，y0 ）为椭圆
2 2
3
在第一象限内一点．2 + 2 = 1 ( 0) (1 )
2
第19页（共23页）（1）求椭圆方程；
（2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为B，线段AP交y轴于点C，线段BP交x轴于点D，若△PAB的
面积是△PCD的6倍，求P点的坐标；
（3）点P关于原点的对称点为Q，点R（x0 ，0），点T为PR中点，QT的延长线交椭圆于点S，当∠
QPS最大时，求直线PQ方程．
【分析】（1）根据题意列出方程组求出a，b得解；
（2）根据三角形面积公式及面积比，利用相似转化为关于P点的坐标的方程，求解即可；
（3）利用直线PS，QS斜率之积为常数，转化为PS，PQ斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及
基本不等式求解即可．
【解答】解：（1）因为椭圆 ， ＞＞ 的短轴长为2，且过点 ， ，
2 2
3
2 + 2 = 1 ( 0) (1 )
所以 ， ，所 以a＝ 2， 2
1 3
=1 2+ =1
4
因此椭圆方程为： ．
2
2
（2）如图， + = 1
4
设P（x0 ，y0 ），那么 ： ， ： ，
0 0+1
= ( +2) = −1
对 ，令 0+2 ， 0
0+1 0
= −1 =0 ⇒ =
0 0+1
，
1
△ 2| |×| | ∠ | |×| |
= 1 =
△ 2| |×| | ∠ | |×| |
因此根据相似三角形性质可得： 0 ，
△ 0 0− 0+1 1
= =
△ 0+2 0 6
因此 ，
0+1
0 =2
5 0−1
又由于 ，因此 ，y0 ＞0，
2
0 2 0+1 2 2
+ 0 = 1 ( ) + 0 =1
解得 4 或 ，因此对5 应0−的1x0 分别为 或 ，
4 3 6 8
0 = 0 = 0 = 0 =
因此 ，5 或 5， ． 5 5
8 3 6 4
( ) ( )
5 5 5 5 第20页（共23页）（3）设S（m，n），
那么 ， ，
− 0 + 0
= =
− 0 + 0
那么 ．
2
2 2 2 0
− 0 −(1−4) 1
⋅ = 2 2 = 2 2 =−
− 0 4−4 − 0 4
又由于 ，
0
2+ 0 3 0 3
= = =
因此 0−(−， 0那) 么4 0 4 ，
1 1
⋅ =− =−
设 ＞，直线3 PQ倾斜角为3， 直 线PS倾斜角为 ，
0
= 0 β α
因此∠ Q0PS＝ ﹣ ，
那么 α β ，
− 3 1 3 2
∠ = =− ( + )≤− × =− 3
由于 1+ ， ，因 2 此 3 ， 2 此时3 ，
2 3
∠ = − ∈ ( ) ∠ ≤ =
因此QP： ． 2 3 3
3
19．（17分）已 =知函
3
数 f（x）＝xlnx．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）＝f（x﹣1）﹣m在定义域内有两个不同零点，求实数m的取值范围；
（3）若F（x）＝（x﹣1）ex﹣f（x）， x1 ，x2 （0，+∞）且x1 ≠x2 ，有 ＞恒成立，求实
( 1)− ( 2)
∀ ∈ 1 2 1 2
数a的取值范围． 2 1−2 2
【分析】（1）结合导函数求解切线方程即可．
（2）根据函数g（x）＝f（x﹣1）﹣m＝（x﹣1）ln（x﹣1）﹣m（x＞1）有两个不同零点，那么即为方
程（x﹣1）ln（x﹣1）＝m（x＞1）有两个不同的实数解，通过构造函数求解即可．
（3）设x1 ＞x2 ＞0，通过构造函数结合x的取值不同分类讨论求解即可．
【解答】解：（1）f（x）＝xlnx（x＞0），
则f′（x）＝lnx+1，
∵切点（1，f（1））即（1.0）．
∴切线的斜率k＝f′（1）＝1，
故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣y﹣1＝0．
（2）由函数g（x）＝f（x﹣1）﹣m＝（x﹣1）ln（x﹣1）﹣m（x＞1）有两个不同零点，
则方程（x﹣1）ln（x﹣1）＝m（x＞1）有两个不同的实数解，
第21页（共23页）即函数G（x）＝（x﹣1）ln（x﹣1）（x＞1）与y＝m有两个不同的交点，
G′（x）＝ln（x﹣1）+1，
令G′（x）＝ln（x﹣1）+1＝0，得 ，
1
=1+
当 ＞ 时，G′（x）＞0，所以函数G（ x）在 ， 上单调递增，
1 1
1+ (1+ +∞)
当 ＜＜ 时，G′（x）＜0，所以函数G（x）在 ， 上单调递减，
1 1
1 1+ (1 1+ )
， 又因为x→1时G（x）→0，x→+∞时G（x）→ +∞，
1
故(如 ) 图 使=得−函 数G（x）＝（x﹣1）ln（x﹣1）（x＞1）与y＝m有两个不同的交点，
∴ ＜ ＜，故实数m的取值范围是 ， ．
1 1
− 0 (− 0)
（3）不妨设x1 ＞x2 ＞0，
则不等式 ＞可化为 ＞ ，
( 1)− ( 2) 1 2 2
1 2 1 2 ( 1)− ( 2) ( 1− 2)
2
∴ 2 1−＞2 2 ，设 ，
1 2 1 2 1 2
( 1)− 1 ( 2)− 2 ( )= ( )−
由已知可得2 2 在（0，+∞）上单调2递增，
1 2
∴F′（x） ﹣( a x )≥= 0 在( （) 0 −，2+ ∞ ）上恒成立，
∴xex﹣lnx﹣1﹣ax≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴ 在（0，+∞）上恒成立，
1
− − ≥
设 ，则 ，
2
1 1− 1 +
ℎ( )= − − ′ℎ( )= − 2 + 2 = + 2 = 2
设 （x）＝x2ex +lnx， 则 ＞，
2 1
∴φ函数 （x）＝x2ex+lnx ′ 在(（ ) 0 =，( + ∞+）2上 )单 调+递 增，0
φ
又 （1）＝e＞0， ＜ ，
1
2
1 2
φ ( )= − 2 − =0
∴存在 ， ，满2 足 4（x0 ）＝0，4
1
0 ∈( 1) φ
2
第22页（共23页）即 ，所以 ，
1
设 0 2 （ x 0 ）+＝ x e 0 x（= x 0＞0），则 0 '（ 0 x =） ＝ 1 0 x ex 1 +0e =x＞ 0， 1 0 0
∴μ（x）＝xex在（0，+∞）μ上单调递增，又 ＞， ＞∴，
1
μ 0 0 0
． 0
1
0 = =− 0
0
∴当x＞x0 时， （x）＞0，h′（x）＞0，函数 在（x0 ，+∞）上单调递增，
1
φ ℎ( )= − −
当0＜x＜x0 时， （x）＜0，h′（x）＜0，函数 在（0，x0 ）上单调递减，
1
φ ℎ( )= − −
∴ ，又 与 ，
0 0 1 2 0 1
ℎ( )≥ℎ( 0)= − − 0 + 0 =0 0 = =− 0
∴ 0 0 ， 0
0 0 1 1 1
ℎ( )≥ + 0 − = +1− =1
∴a≤1，所以实数a的取 0值范 0围是（﹣ 0∞，1]．
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