文档内容
2025-2026学年重庆一中高三（上）一诊模拟数学试卷
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要
求。
1．（5分）已知集合M＝{x|log （x﹣1）＞1}，N＝{1，2，3，4，5}，则集合M∩N的子集个数为（
2
）
A．16 B．8 C．4 D．2
2．（5分）若复数z满足z＝2i﹣iz，则复数z的虚部为（ ）
A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i
3．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则2x+4y的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（5分）已知 m，n，l为三条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，则下列说法正确的是
（ ） α β γ
A．若m∥n，n ，则m∥
B．若m∥ ，n⊂∥α，则m∥αn
C．若 ⊥α， ⊥α， ∩ ＝l，则l⊥
D．若α⊥γ，β⊥γ，α则 β∥ γ
5．（5分）α 定γ义在β Rγ上的奇α函β数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝0，且x （﹣1，0）时，f（x）＝3x+1，则
f（log 162）＝（ ） ∈
3
A． B． C．1 D．﹣1
6．（5分）抛一枚质地均匀的骰子3次，事件M：3次中既有奇数点又有偶数点，事件N：3次中至多一
次奇数点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．事件M与N独立 D．
7．（5分）双曲线的左，右两个焦点分别为F ，F ，M（2，1）为第一象限内一点，P是双曲线C上一
1 2
点且满足，则符合条件的点P的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（5分）函数f（x）＝2+3sin（x+ ）（ R）为偶函数，，使得f（x ）＝3﹣2f（x + ）成立，则实
1 2
数 可以是（ ） φ φ∈ θ
A．θ B． C． D．
二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
第1页（共16页）部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知 ， 为锐角，，则下列结论正确的是（ ）
A． α β B．
C．tan +tan ＝1 D．
（多选）1α0．（β6分）已知曲线C：（1+ ）x2+（1﹣ ）y2﹣2x﹣4y＝0， R，则下列结论正确的是（
） λ λ λ∈
A．存在 R，使得曲线C为圆，且圆心在直线y＝2x上
B．当 ＝λ1∈时，曲线C的离心率为
C．当λ＝1时，曲线C在点（0，0）处切线方程为x+2y＝0
D． λR，曲线C恒过3个定点
（多选）∀λ1∈1．（6分）已知f（x）＝lnx+m，g（x）＝nex，其中m，n R，则下列结论正确的是（ ）
A．当m＝2，n＝1时，函数f（x）的图像恒在g（x）图像的下方∈
B．当m＝1，n＞0时，h（x）＝f（x）•g（x）在（0，+∞）上单调递增
C．若m＝1，且f（x）≤g（x）恒成立，则实数
D．当n＝1时，将g（x）的图像绕原点顺时针旋转 后，第一次与x轴相切，则tan ＝e
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。θ θ
12．（5分）设S 为等差数列{a }的前n项和，满足a +a ＝14，a a ＝77，则S ＝ ．
n n 3 5 4 6 9
13．（5分）某圆台的上，下底面半径分别为r ，r ，且r r ＝4，此圆台内有一内切球（与圆台的上，下
1 2 1 2
底面和任意一条母线均相切），则该内切球的表面积为 ．
14．（5分）已知向量满足，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝2，D是AB中点，，求△ABC的面积．
16．（15分）小文在重庆某高校就读，他每天中午都要去学校的一食堂或二食堂用餐，且只去其中一个
食堂用餐．如果当天中午选择一食堂用餐，则第二天中午仍然选择一食堂用餐的概率为；如果当天中
午选择二食堂用餐，则第二天中午选择一食堂用餐的概率为.已知小文第一天中午选择一食堂用餐，记
小文第n天中午选择一食堂用餐的概率为p ．
n
（1）求p ，p ；
2 3
（2）若p ＞a对一切正整数n都成立，求实数a的取值范围．
n
17．（15分）已知椭圆的焦点为F ，F ，M（0，1）是椭圆C上一点，△MF F 周长为．
1 2 1 2
第2页（共16页）（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A（1，0）的直线l与椭圆C相交于P（x ，y ），Q（x ，y ）两点，G（4，y ），其中y
1 1 2 2 1 1
＞0，直线GQ交x轴于点B，若四边形ABGP为等腰梯形，求直线l的方程．
18．（17分）已知函数f（x）＝ex，g（x）是f（x）的反函数．
（1）讨论函数F（x）＝g（x）﹣mx的单调性；
（2）若函数恰有三个极值点x ，x ，x ，
1 2 3
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：．
19．（17分）如图，在四棱台ABCD﹣A B C D 中，底面ABCD是菱形，直线BB 与底面ABCD所成角
1 1 1 1 1
为30°，∠B BA＝∠B BC，∠ABC＝60°，AB＝2A B ＝2，BB ＝3，E是棱CD的中点．
1 1 1 1 1
（1）求证：平面ACC A ⊥平面BDD B ；
1 1 1 1
（2）求直线CD与平面ACC A 所成角的正弦值；
1 1
（3）在棱AA 上是否存在一点F，使得过B，E，F三点的平面将四棱台ABCD﹣A B C D 分成两个多
1 1 1 1 1
面体，且在平面BEF的上方部分和下方部分的体积之比为37：12？若存在，求出AF的长度；若不存
在，请说明理由．
第3页（共16页）2025-2026学年重庆一中高三（上）一诊模拟数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B C B C A D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD ACD ABD
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要
求。
1．（5分）已知集合M＝{x|log （x﹣1）＞1}，N＝{1，2，3，4，5}，则集合M∩N的子集个数为（
2
）
A．16 B．8 C．4 D．2
【分析】结合交集、子集的定义，即可求解．
【解答】解：集合M＝{x|log （x﹣1）＞1}＝{x|x＞3}，N＝{1，2，3，4，5}，
2
则M∩N＝{4，5}，该集合元素个数为2，
故集合M∩N的子集个数为22＝4．
故选：C．
2．（5分）若复数z满足z＝2i﹣iz，则复数z的虚部为（ ）
A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由z＝2i﹣iz，得（1+i）z＝2i，
则z，
可得复数z的虚部为1．
故选：A．
3．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则2x+4y的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则2x+4y≥2224，
第4页（共16页）当且仅当x＝1，y，
∴2x+4y的最小值为4，
故选：B．
4．（5分）已知 m，n，l为三条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，则下列说法正确的是
（ ） α β γ
A．若m∥n，n ，则m∥
B．若m∥ ，n⊂∥α，则m∥αn
C．若 ⊥α， ⊥α， ∩ ＝l，则l⊥
D．若α⊥γ，β⊥γ，α则 β∥ γ
【分析α】根γ据β空间γ中各要α素β的位置关系逐一判断即可．
【解答】解：因为m，n，l为三条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，
所以若m∥n，n ，则m∥ 或m ，所以A选α项错β误γ；
若m∥ ，n∥ ，⊂则α m∥n或αm与n⊂相α交或异面，所以B选项错误；
若 ⊥α， ⊥α， ∩ ＝l，则根据美线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理可得l⊥ ，所以C选
项正α确γ； β γ α β γ
若 ⊥ ， ⊥ ，则 ∥ 或 与 相交，所以D选项错误．
故选α：γC．β γ α β α β
5．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝0，且x （﹣1，0）时，f（x）＝3x+1，则
f（log 162）＝（ ） ∈
3
A． B． C．1 D．﹣1
【分析】利用奇函数定义及给定的等式，求出函数的周期，再利用函数性质及给定函数式求值即可．
【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝0，
∴f（x+2）＝﹣f（x），
∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，
又x （﹣1，0）时，f（x）＝3x+1，
则f（∈log
3
162）＝f（4+log
3
2）＝f（log
3
2）＝﹣f（﹣log
3
2）＝﹣（1）＝﹣（1）．
故选：B．
6．（5分）抛一枚质地均匀的骰子3次，事件M：3次中既有奇数点又有偶数点，事件N：3次中至多一
次奇数点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
第5页（共16页）C．事件M与N独立 D．
【分析】根据题意，由古典概型公式分析A、B，由相互独立事件的判断方法分析C，由概率的性质分
析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，抛一枚质地均匀的骰子3次，则n（ ）＝6×6×6＝216，
其中只有奇数点的情况有3×3×3＝27种，只有偶数点的情况有Ω3×3×3＝27种，
事件M：3次中既有奇数点又有偶数点，则n（M）＝216﹣27﹣27＝162，故P（M），A错误；
事件N：3次中至多一次奇数点，3次中至多一次奇数点，即三次都是偶数点或一次奇数点和两次偶数
点，
则n（N）＝273×3×3＝108，故P（N），B错误；
事件MN，即一次奇数点和两次偶数点，n（MN）3×3×3＝81，故P（MN），
则有P（M）P（N）＝P（MN），事件M、N相互独立，C正确；
P（M∪N）＝P（M）+P（N）﹣P（MN），D错误．
故选：C．
7．（5分）双曲线的左，右两个焦点分别为F ，F ，M（2，1）为第一象限内一点，P是双曲线C上一
1 2
点且满足，则符合条件的点P的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】设出P的坐标，利用三角形的面积关系，结合双曲线方程，即可求解点P的个数．
【解答】解：设p（x，y），满足，F （﹣2，0），F （2，0），M（2，1），
1 2
可得，即|y|＝|x﹣2|，
，可得2x2﹣12x+15＝0，Δ＝122﹣4×2×15＝24＞0，x有两个大于的实数解，
由双曲线的对称性可知P的个数为4个．
故选：A．
8．（5分）函数f（x）＝2+3sin（x+ ）（ R）为偶函数，，使得f（x ）＝3﹣2f（x + ）成立，则实
1 2
数 可以是（ ） φ φ∈ θ
A．θ B． C． D．
【分析】依题意，可得f（x）＝2+3cosx， x [，0]，f（x）＝2+3cosx [2，5]，﹣1，令A＝[﹣1，]，y
＝f（x + ）的值域为B，则A B，据此逐项∀分∈析即可． ∈
2
【解答】θ解：f（x）＝2+3sin（⊆x+ ）（ R）为偶函数，则 ＝k （k Z），
又f（0）＝2+3sin ＞0，即sin ＝φsin（kφ∈）， φ π ∈
故 ＝2k （k Z）φ，不防取 ，φ则f（x）π＝2+3sin（x）＝2+3cosx．
xφ[，0]，π f（∈x）＝2+3cosx φ[2，5]，则﹣5≤﹣f（x）≤﹣2，﹣2≤3﹣f（x）≤1，﹣1，
∀ ∈ ∈
第6页（共16页）令A＝[﹣1，]，
y＝f（x + ）的值域为B，则A B，
2
即当x [，θ0]，﹣1≥f（x 2 + ） m⊆in 且f（x 2 + ） max ，
又x [，∈ 0]， θ θ
当 ∈时，x+ [，]，f（x+ ）
min
＝2+3cos2，不符合题意，A错误；
当θ时，x+θ∈[，]，f（x+θ）
min
＝2+3cos2+3×（），不符合题意，B错误；
当θ时，x+θ∈[，]，f（x+θ）
min
＝2+3cos2+3×（﹣1）＝﹣1，不符合题意，C错误；
当θ时，x+θ∈[，]，f（x+θ）
min
＝2+3cos ＝﹣1，f（x+ ）
max
＝2+3cos2﹣3cos72°＞2﹣3×cos60°，符合
题意θ，D正确θ∈． θ π θ
故选：D．
二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知 ， 为锐角，，则下列结论正确的是（ ）
A． α β B．
C．tan +tan ＝1 D．
【分析α】根据β两角和的余弦公式、同角三角函数的商数关系化简已知等式，解出 sin sin ，cos cos ，
可判断出 A、B 两项的正误；根据 cos（ + ），运用同角三角函数的关系求出αsinβ（ + α）、βtan
（ + ），然后根据两角和的正切公式、二倍α 角β 的正切公式，对C、D两项进行判断，进而α可β得本题答
案α．β
【解答】解：根据题意，可得cos（ + ）＝cos cos ﹣sin sin ①，tan tan ②，
由①②组成方程组，解得，可知Aα正β确，B不正α 确β； α β α β
根据 、 为锐角，可得 + （0， ），所以sin（ + ），
可得αtan（β + ）， α β∈ π α β
由，可得tαanβ+tan （1﹣tan tan ）1，故C正确；
根据tan2（ α+ ），β可知D正α确．β
故选：ACDα．β
（多选）10．（6分）已知曲线C：（1+ ）x2+（1﹣ ）y2﹣2x﹣4y＝0， R，则下列结论正确的是（
） λ λ λ∈
A．存在 R，使得曲线C为圆，且圆心在直线y＝2x上
B．当 ＝λ1∈时，曲线C的离心率为
C．当λ＝1时，曲线C在点（0，0）处切线方程为x+2y＝0
λ
第7页（共16页）D． R，曲线C恒过3个定点
【分∀析λ∈】选项A：当曲线为圆时，由1+ ＝1﹣ ≠0，可得 的值，从而可得圆的圆心，即可判断A；
选项B：当 ＝1时，求出曲线方程，从λ而可判λ断B；选项Cλ：利用导数的几何意义可得切线方程，即
可判断C；将λ 曲线方程变形，可得关于x，y的方程，求解即可判断D．
【解答】解：选项A：当曲线为圆时，需满足1+ ＝1﹣ ≠0，即 ＝0，
此时曲线方程为x2+y2﹣2x﹣4y＝0，配方得（x﹣λ1）2+（λ y﹣2）2＝λ 5，圆心为（1，2），满足y＝2x，
故A正确；
选项B：当 ＝1时，曲线方程为2x2﹣2x﹣4y＝0，化简为，
这是一条抛物λ 线，抛物线的离心率为1，故B错误；
选项C：当 ＝1时，曲线为，
求导得，在点λ （0，0）处的切线斜率为，
切线方程为，即x+2y＝0，故C正确；
选项D：将曲线方程整理为 （x2﹣y2）+（x2+y2﹣2x﹣4y）＝0，
令，解得或或， λ
所以曲线C恒过3个定点：（0，0）、（3，3）、（﹣1，1），故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（6分）已知f（x）＝lnx+m，g（x）＝nex，其中m，n R，则下列结论正确的是（ ）
A．当m＝2，n＝1时，函数f（x）的图像恒在g（x）图像的下方∈
B．当m＝1，n＞0时，h（x）＝f（x）•g（x）在（0，+∞）上单调递增
C．若m＝1，且f（x）≤g（x）恒成立，则实数
D．当n＝1时，将g（x）的图像绕原点顺时针旋转 后，第一次与x轴相切，则tan ＝e
【分析】A选项：利用已知不等式ex≥x+1和x≥lnx+θ1，通过叠加得到ex＞lnx+2，直θ接验证成立；
B选项：对函数求导，结合不等式判断导数恒正，证明函数单调递增；
C选项：分离参数得到n≥T（x），求T（x）的最大值后发现结论与选项矛盾，判定为错误；
D选项：将图像旋转问题转化为切线斜率问题，找到过原点的切线y＝ex，从而得到tan ＝e．
【解答】解：对于A，当m＝2，n＝1时， θ
f（x）＝lnx+2，g（x）＝ex，
令y＝ex﹣x﹣1，x R，
则y'＝ex﹣1，
∈
所以当x＜0时，y'＜0，y＝ex﹣x﹣1单调递减；
当x＞0时，y'＞0，y＝ex﹣x﹣1单调递增；
第8页（共16页）所以ex﹣x﹣1≥e0﹣0﹣1＝0，
即ex≥x+1，
同理可得x≥lnx+1，
由不等式的性质可得ex＞lnx+2（两等号不能同时成立，故不能取等号），故A正确；
对于B，当m＝1，n＞0时，
h（x）＝f（x）•g（x）＝nex（lnx+1），
则，
令y＝lnx1，x＞0，
则y'，
所以当0＜x＜1时，y'＜0，原函数单调递减；
当x＞1时，y'＞0，原函数单调递增；
所以y＝lnx1≥ln1+1+1＝2＞0，
所以h′（x）＞0，
所以h（x）＝f（x）•g（x）在（0，+∞）上单调递增，故B正确；
对于C，若m＝1，nex≥lnx+1恒成立，
则，，
易知y＝﹣lnx1在（0，+∞）上单调递增，
又当x＝1时，y＝0，
所以当x （0，1）时，T'（x）＞0，当x （1，+∞）时，T'（x）＜0，
所以T（∈x）在（0，1）单调递增，（1，∈+∞）单调递减，
则T（x）最大值，
所以，故C错误；
对于D，考虑过原点（0，0）且与y＝ex相切的切线y＝ex，
将g（x）的图像绕原点顺时针旋转 后，
第一次与x轴相切，等效于切线y＝θex绕原点顺时针旋转 ，则tan ＝e，故D正确．
故选：ABD． θ θ
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）设S 为等差数列{a }的前n项和，满足a +a ＝14，a a ＝77，则S ＝ 8 1 ．
n n 3 5 4 6 9
【分析】结合等差数列的性质及求和公式即可求解．
【解答】解：等差数列{a }中，a +a ＝2a ＝14，a a ＝77，
n 3 5 4 4 6
则a ＝7，a ＝11，a +a ＝a +a ＝18，
4 6 1 9 4 6
第9页（共16页）则S 81．
9
故答案为：81．
13．（5分）某圆台的上，下底面半径分别为r ，r ，且r r ＝4，此圆台内有一内切球（与圆台的上，下
1 2 1 2
底面和任意一条母线均相切），则该内切球的表面积为 1 6 ．
【分析】画出圆台的截面图，由几何知识确定球的半径，进π而求解即可．
【解答】解：如图为该几何体的轴截面，其中圆O为等腰梯形ABCD的内切圆，
设圆O与梯形的腰相切于点M，与上、下底分别切于点O ，O ，球的半径为r，
1 2
因为|OO |＝|OM|，所以ΔOO A与△OMA全等，所以OA平分∠O OM，
1 1 1
同理可得OB平分∠O OM，所以∠AOB＝90°，
2
所以由∠AOO +∠OAO ＝∠AOO +∠BOO ＝90°得∠OAO ＝∠BOO ，
1 1 1 2 1 2
同理可得∠AOO ＝∠OBO ，
1 2
所以ΔAOO ∽ΔOBO ，
1 2
所以r2＝r r ＝4，r＝2，
1 2
球O的表面积为S＝4 r2＝16 ．
故答案为：16 ． π π
14．（5分）已知π向量满足，，则的最大值为 ．
【分析】利用平面向量数量积的性质及运算可得m2+n2﹣mn＝4，结合，可得，然后可得m2+mn+n2＝
4+2mn，即可求解．
【解答】解：因为，
则1+11，
所以，又，
所以
＝m2+n2﹣mn＝4，又，
解得：，
所以
第10页（共16页），
所以，
所以最大值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝2，D是AB中点，，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据正弦定理即可求解；
（2）根据余弦定理，中点的性质，向量的性质即可求解．
【解答】解：（1）由正弦定理，因为，
所以，
故，
整理得；，
因为sinA＞0，故，因为C （0， ），所以；
（2）在△ABC中，由余弦∈定理有π：c2＝a2+b2﹣2abcosC a2+b2﹣ab＝4，
又因为D是AB中点，所以， ⇒
故，
由①②可得：ab＝2，从而△ABC的面积为absinC．
16．（15分）小文在重庆某高校就读，他每天中午都要去学校的一食堂或二食堂用餐，且只去其中一个
食堂用餐．如果当天中午选择一食堂用餐，则第二天中午仍然选择一食堂用餐的概率为；如果当天中
午选择二食堂用餐，则第二天中午选择一食堂用餐的概率为.已知小文第一天中午选择一食堂用餐，记
小文第n天中午选择一食堂用餐的概率为p ．
n
（1）求p ，p ；
2 3
（2）若p ＞a对一切正整数n都成立，求实数a的取值范围．
n
【分析】（1）先利用全概率公式计算出第2天、第3天选择一食堂用餐的概率p ，p ，再递推得到
2 3
p 与p 的关系式，构造等比数列求出通项公式p ；
n+1 n n
（2）由数列单调性可知恒成立，从而确定实数a的取值范围为．
【解答】解：（1）设A ＝“第n天中午选择一食堂用餐（n N*），“第n天中午选择二食堂用餐”，
n
由题意得：P）＝0，，，，， ∈
由全概率公式得：，
第11页（共16页）；
（2）由（1）得，
由全概率公式得：，
则，而，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，，
故，
显然{p }是递减数列，故当n→∞时，，所以恒成立，
n
故实数a的取值范围为（．
17．（15分）已知椭圆的焦点为F ，F ，M（0，1）是椭圆C上一点，△MF F 周长为．
1 2 1 2
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A（1，0）的直线l与椭圆C相交于P（x ，y ），Q（x ，y ）两点，G（4，y ），其中y
1 1 2 2 1 1
＞0，直线GQ交x轴于点B，若四边形ABGP为等腰梯形，求直线l的方程．
【分析】（1）利用M的坐标求解b，结合三角形的周长，求解a，即可得到椭圆方程．
（2）设出直线方程，P、Q的坐标，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过四边形的等腰梯形，
综合求解直线方程即可．
【解答】解：（1）由椭圆定义知，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于长轴2a，两焦点间距离为
2c．
已知△MF F 周长为，即2a+2c＝4+2，M（0，1），可得b＝1，
1 2
a+c＝2，a2＝c2+1，
解得a＝2，．
根据b2＝a2﹣c2，可得．
所以椭圆C的方程为．
（2）设直线l的方程为x＝my+1，P（x ，y ），Q（x ，y ），
1 1 2 2
联立，
将x＝my+1代入，得：
，
整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0由韦达定理得，
第12页（共16页）y y ．
1 2
因为四边形ABGP为等腰梯形，所以k +k ＝0．
PQ BG
即，
又x ＝my +1，x ＝my +1，
1 1 2 2
代入上式得：
，
即．
因为y ≠y ，所以，
1 2
通分得，
即2my ﹣3＝0，，
2
将代入（m2+4）y2+2my﹣3＝0，
得：，
解得m＝±1．
所以直线l的方程为x＝y+1或x＝﹣y+1，即x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0．
18．（17分）已知函数f（x）＝ex，g（x）是f（x）的反函数．
（1）讨论函数F（x）＝g（x）﹣mx的单调性；
（2）若函数恰有三个极值点x ，x ，x ，
1 2 3
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：．
【分析】（1）求出g（x），进而可得F（x），对F（x）求导，再对m分类讨论，利用导数与单调性
的关系求解即可；
（2）（i）求出h（x），再对h（x）求导，由极值点的性质可得h′（x）恰有三个变号零点，易知x
＝2是h（x）的一个极值点，记x ＝2，因此在（0，+∞）有两个不等实根x ，x ，且x ，x ≠2，不妨
1 2 3 2 3
设x ＜x ，令，对p（x）求导，利用导数判断p（x）的单调性与最值，从而可得a的取值范围；
2 3
（ii）令，根据题意将x ，x 用t的式子表示，从而可得，令，对 （t）求导，利用导数判断 （t）的
2 3
单调性，从而可得x +x 的取值范围，进而可得x +x +x 的范围，即φ可得证． φ
2 3 1 2 3
【解答】解：（1）由题意知：g（x）＝lnx，F（x）＝lnx﹣mx（x＞0），，
当m≤0时，F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）单调递增；
当m＞0时，令F'（x）＞0，得，令F′（x）＜0，得，
故F（x）在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当m≤0时，F（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；
第13页（共16页）当m＞0时，F（x）的增区间为，减区间为．
（2）（i）由题意：，
，
因为h（x）恰有三个极值点，故h′（x）恰有三个变号零点，
当x＝2时，h′（x）＝0，因此x＝2是h（x）的一个极值点，记x ＝2，
1
因此在（0，+∞）有两个不等实根x ，x ，且x ，x ≠2，不妨设x ＜x ，
2 3 2 3 2 3
令，则，
当x （0，1）时，p′（x）＜0，p（x）单调递减：当x （1，+∞）时，p′（x）＞0，p（x）单调递
增，∈ ∈
所以p（x） ＝p（1）＝e，且x→0时，p（x）→+∞；x→+∞时，p（x）→+∞，
min
当a＜e时，方程在（0，+∞）上无实根，不符合题意：
当a＝e时，方程在（0，+∞）上有且仅有一个实根，不符合题意；
当a＞e时，方程在（0，+∞）上有两个不等实根x ，x ，
2 3
又x ，x ≠2，p（2），所以，
2 3
综上，实数a的取值范围为．
（ⅱ）证明：由（i）知：x ＝2，x ＜x ，令，则x ＝tx ，
1 2 3 3 2
又，
故，从而，
令， '（t），
令，φ，
故k（t）在（1，+∞）单调递增，从而k（t）＞k（1）＝0，
所以 '（t）＞0在（1，+∞）上恒成立， （t）在（1，+∞）单调递增，
当t→φ1时， （t）→2，故 （t）＞2，即φx
2
+x
3
＞2，
从而x
1
+x
2
+xφ3 ＞4，又a ，故φ，
故． ∈
19．（17分）如图，在四棱台ABCD﹣A B C D 中，底面ABCD是菱形，直线BB 与底面ABCD所成角
1 1 1 1 1
为30°，∠B BA＝∠B BC，∠ABC＝60°，AB＝2A B ＝2，BB ＝3，E是棱CD的中点．
1 1 1 1 1
（1）求证：平面ACC A ⊥平面BDD B ；
1 1 1 1
（2）求直线CD与平面ACC A 所成角的正弦值；
1 1
（3）在棱AA 上是否存在一点F，使得过B，E，F三点的平面将四棱台ABCD﹣A B C D 分成两个多
1 1 1 1 1
面体，且在平面BEF的上方部分和下方部分的体积之比为37：12？若存在，求出AF的长度；若不存
第14页（共16页）在，请说明理由．
【分析】（1）通过证明三角形全等得到B A＝B C，结合菱形对角线垂直的性质，推出AC⊥平面
1 1
BDD B ，从而证得平面ACC A ⊥平面BDD B ；
1 1 1 1 1 1
（2）建立空间直角坐标系，求出平面ACC A 的法向量，利用向量夹角公式计算出直线CD与该平面
1 1
所成角的正弦值为；
（3）通过设比例参数t，利用三点共线条件和台体、锥体体积公式建立方程，求解得出点F为棱AA
1
的中点．
【解答】解：（1）证明：连接AC，BD交于O点，连接B A，B C，
1 1
因为BC＝BA，∠B BA＝∠B BC，B B＝B B，
1 1 1 1
所以△B
1
BC≅△B
1
BA，故B
1
A＝B
1
C，
又因为O是菱形对角线的交点，即是线段AC的中点，
所以B O⊥AC，又四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD，
1
而B O∩BD＝O，故AC⊥平面BDD B ，AC 平面ACC A ，
1 1 1 1 1
故平面ACC 1 A 1 ⊥平面BDD 1 B 1 ； ⊂
（2）延长AA ，BB ，CC ，DD 交于点P，设直线CD与平面ACC A 所成角为 ，
1 1 1 1 1 1
过P点作PG⊥BD，垂足为G，由（1）知PG⊥平面ABCD， θ
因为BP＝6，所以，
以O为坐标原点，分别以，为x轴，y轴正方向，作OZ∥PG，
第15页（共16页）则A（0，﹣1，0），，
，，，
设平面平面ACC A 的一个法向量为，则，
1 1
取z＝1，得：，
，
故；
（3）假设在棱AA 上存在一点F满足题意，设，（因为A 是PA的中点），
1 1
连接BE交AD延长线于M点，连接FM交PD于N点，故可设，
于是有①，
因为F，N，M三点共线，故②，
由①②可得：，
由（2）知：棱台ABCD﹣A B C D 的高，体积为v，棱锥F﹣ABM的高h ＝3t，体积为v ，
1 1 1 1 1 1
棱锥N﹣DEM的高为h ，体积为v ，，，，
2 2
于是，
，，
故，
从而，
整理得：196t2﹣385t+84＝0，解得：或（舍），
故F为棱AA 的中点，易得：．
1
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