文档内容
2025-2026 学年重庆一中高三（上）一诊模拟数学试卷
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要
求。
1．（5分）已知集合M＝{x|log2 （x﹣1）＞1}，N＝{1，2，3，4，5}，则集合M∩N的子集个数为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
2．（5分）若复数z满足z＝2i﹣iz，则复数z的虚部为（ ）
A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i
3．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则2x+4y的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（5分）已知m，n，l为三条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若m∥n，n ，则m∥ α β γ
B．若m∥ ，n⊂∥α，则m∥αn
C．若 ⊥ α， ⊥ α， ∩ ＝l，则l⊥
D．若α⊥γ，β⊥γ，α则 β∥ γ
5．（5分）α定γ义在β Rγ上的奇α函β数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝0，且x （﹣1，0）时，f（x）＝3x+1，则
f（log3162）＝（ ） ∈
A． B． C．1 D．﹣1
3 3
6．（5分
2
）抛一枚质地均匀的骰− 2子3次，事件M：3次中既有奇数点又有偶数点，事件N：3次中至多一次
奇数点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
5 1
( )= ( )=
C．事件M与8 N独立 D． 4
3
( ∪ )=
7．（5分）双曲线 ： 的左，右两个焦点分别为F1 ，F 4
2
，M（2，1）为第一象限内一点，P是
2
2
双曲线C上一点 且满
3
足− =1 ，则符合条件的点P的个数为（ ）
A．4 B ．△ 3 1 2 =4 △ 2 C．2 D．1
8．（5分）函数f（x）＝2+3sin（x+ ）（ R）为偶函数， ＞， ， ， ， ，
φ φ∈ (0) 0 ∀ 1 ∈[− 0] ∃ 2 ∈[− 0]
使得f（x1 ）＝3﹣2f（x2+ ）成立，则实数 可以是（ ） 2 2
θ θ
A． B． C． D．
2 3 4 7
5 5 5 5
第1页（共20页）二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知 ， 为锐角， ， ，则下列结论正确的是（ ）
3 1
α β ( + )= =
A． B．5 4
4 4
= =
C．tan +tan ＝1 5 D． 5
24
（多选）1 α 0．（6 β分）已知曲线C：（1+ ）x2+（1﹣ ） y 22﹣( 2x +﹣ 4 ) y＝=− 0，7 R，则下列结论正确的是（ ）
A．存在 R，使得曲线C为圆，且λ圆心在直线λy＝2x上 λ∈
B．当 ＝λ1∈时，曲线C的离心率为
C．当λ＝1时，曲线C在点（0，0）3处切线方程为x+2y＝0
D． λ R，曲线C恒过3个定点
（多选）∀λ1∈1．（6分）已知f（x）＝lnx+m，g（x）＝nex，其中m，n R，则下列结论正确的是（ ）
A．当m＝2，n＝1时，函数f（x）的图像恒在g（x）图像的下方∈
B．当m＝1，n＞0时，h（x）＝f（x）•g（x）在（0，+∞）上单调递增
C．若m＝1，且f（x）≤g（x）恒成立，则实数
1
D．当n＝1时，将g（x）的图像绕原点顺时针旋 转≥ 后2，第一次与x轴相切，则tan ＝e
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。θ θ
12．（5分）设Sn 为等差数列{an}的前n项和，满足a3+a5 ＝14，a4a6 ＝77，则S9 ＝ ．
13．（5分）某圆台的上，下底面半径分别为r1 ，r2 ，且r1r2 ＝4，此圆台内有一内切球（与圆台的上，下底
面和任意一条母线均相切），则该内切球的表面积为 ．
14．（5分）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 的最大值
→ → → → → → → → → →
为 ． | |= | |= | + |=1 | + |= 2( ∈ ) | − |
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且 ．
（1）求角C的大小； 3 + = 3
（2）若c＝2，D是AB中点， ，求△ABC的面积．
16．（15分）小文在重庆某高校就 读 ，=他每2 天中午都要去学校的一食堂或二食堂用餐，且只去其中一个食
堂用餐．如果当天中午选择一食堂用餐，则第二天中午仍然选择一食堂用餐的概率为 ；如果当天中午
2
3
第2页（共20页）选择二食堂用餐，则第二天中午选择一食堂用餐的概率为 .已知小文第一天中午选择一食堂用餐，记小
2
文第n天中午选择一食堂用餐的概率为pn ．
5
（1）求p2 ，p3 ；
（2）若pn ＞a对一切正整数n都成立，求实数a的取值范围．
17．（15分）已知椭圆 ： ＞＞ 的焦点为F1 ，F2 ，M（0，1）是椭圆C上一点，△MF1F2
2 2
周长为 ． 2+ 2 =1( 0)
（1）求4椭+圆2C3的方程；
（2）过点A（1，0）的直线l与椭圆C相交于P（x1 ，y1 ），Q（x2 ，y2 ）两点，G（4，y1 ），其中y1 ＞0，
直线GQ交x轴于点B，若四边形ABGP为等腰梯形，求直线l的方程．
18．（17分）已知函数f（x）＝ex，g（x）是f（x）的反函数．
（1）讨论函数F（x）＝g（x）﹣mx的单调性；
（2）若函数 恰有三个极值点x1 ，x2 ，x3 ，
( )
（i）求实数ℎ
a
(的 )取=值
范2围−； [ ( )+2′ ( )]+1
（ii）证明： ＞ ．
4
19．（17分）如图 1 ，+在 2 四+棱 台 3 AB CD﹣A1B1C1D1 中，底面ABCD是菱形，直线BB1 与底面ABCD所成角为
30°，∠B1BA＝∠B1BC，∠ABC＝60°，AB＝2A1B1 ＝2，BB1 ＝3，E是棱CD的中点．
（1）求证：平面ACC1A1 ⊥平面BDD1B1 ；
（2）求直线CD与平面ACC1A1 所成角的正弦值；
（3）在棱AA1 上是否存在一点F，使得过B，E，F三点的平面将四棱台ABCD﹣A1B1C1D1 分成两个多
面体，且在平面BEF的上方部分和下方部分的体积之比为37：12？若存在，求出AF的长度；若不存
在，请说明理由．
第3页（共20页）第4页（共20页）2025-2026 学年重庆一中高三（上）一诊模拟数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B C B C A D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD ACD ABD
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要
求。
1．（5分）已知集合M＝{x|log2 （x﹣1）＞1}，N＝{1，2，3，4，5}，则集合M∩N的子集个数为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【分析】结合交集、子集的定义，即可求解．
【解答】解：集合M＝{x|log2 （x﹣1）＞1}＝{x|x＞3}，N＝{1，2，3，4，5}，
则M∩N＝{4，5}，该集合元素个数为2，
故集合M∩N的子集个数为22＝4．
故选：C．
2．（5分）若复数z满足z＝2i﹣iz，则复数z的虚部为（ ）
A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由z＝2i﹣iz，得（1+i）z＝2i，
则z ，
2 2 (1− ) 2+2
= = = =1+
可得复1数+ z的(1虚+部 )(为1−1 ．) 2
故选：A．
3．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则2x+4y的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
第5页（共20页）【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则2x+4y≥2 2 2 4，
+2 2
2 ⋅4 = 2 = 2 =
当且仅当x＝1，y ，
1
∴2x+4y的最小值为= 24，
故选：B．
4．（5分）已知m，n，l为三条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若m∥n，n ，则m∥ α β γ
B．若m∥ ，n⊂∥α，则m∥αn
C．若 ⊥ α， ⊥ α， ∩ ＝l，则l⊥
D．若α⊥γ，β⊥γ，α则 β∥ γ
【分析α】根γ据β空间γ中各α要素β的位置关系逐一判断即可．
【解答】解：因为m，n，l为三条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，
所以若m∥n，n ，则m∥ 或m ，所以A选α项错β误γ；
若m∥ ，n∥ ，⊂则α m∥n或αm与⊂nα相交或异面，所以B选项错误；
若 ⊥ α， ⊥ α， ∩ ＝l，则根据美线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理可得l⊥ ，所以C选项
正确α ；γ β γ α β γ
若 ⊥ ， ⊥ ，则 ∥ 或 与 相交，所以D选项错误．
故选α ：γC．β γ α β α β
5．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝0，且x （﹣1，0）时，f（x）＝3x+1，则
f（log3162）＝（ ） ∈
A． B． C．1 D．﹣1
3 3
【分
2
析】利用奇函数定义及−给2定的等式，求出函数的周期，再利用函数性质及给定函数式求值即可．
【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝0，
∴f（x+2）＝﹣f（x），
∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，
又x （﹣1，0）时，f（x）＝3x+1，
∈
则f（log3162）＝f（4+log32）＝f（log32）＝﹣f（﹣log32）＝﹣（ 1）＝﹣（ 1） ．
− 32 1 3
故选：B． 3 + 2 + =− 2
第6页（共20页）6．（5分）抛一枚质地均匀的骰子3次，事件M：3次中既有奇数点又有偶数点，事件N：3次中至多一次
奇数点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
5 1
( )= ( )=
C．事件M与8 N独立 D． 4
3
【分析】根据题意，由古典概型公式分析A、B， 由( 相∪互 独)立=事4件的判断方法分析C，由概率的性质分
析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，抛一枚质地均匀的骰子3次，则n（ ）＝6×6×6＝216，
其中只有奇数点的情况有3×3×3＝27种，只有偶数点的情况Ω有3×3×3＝27种，
事件M：3次中既有奇数点又有偶数点，则n（M）＝216﹣27﹣27＝162，故P（M） ，A错
162 3
误； = 216 = 4
事件N：3次中至多一次奇数点，3次中至多一次奇数点，即三次都是偶数点或一次奇数点和两次偶数
点，
则n（N）＝27 3×3×3＝108，故P（N） ，B错误；
1 108 1
+ 3× = =
事件MN，即一次奇数点和两次偶数点，n（MN）216 3 2×3×3＝81，故P（MN） ，
1 81 3
则有P（M）P（N）＝P（MN），事件M、N相互独=立 3 ，× C正确； = 216 = 8
P（M∪N）＝P（M）+P（N）﹣P（MN） ，D错误．
3 1 3 7
故选：C． = 4 + 2 − 8 = 8
7．（5分）双曲线 ： 的左，右两个焦点分别为F1 ，F2 ，M（2，1）为第一象限内一点，P是
2
2
双曲线C上一点 且满
3
足− =1 ，则符合条件的点P的个数为（ ）
A．4 B ．△ 3 1 2 =4 △ 2 C．2 D．1
【分析】设出P的坐标，利用三角形的面积关系，结合双曲线方程，即可求解点P的个数．
【解答】解：设p（x，y），满足 ，F1 （﹣2，0），F2 （2，0），M（2，1），
△ 1 2 =4 △ 2
可得 ，即|y|＝|x﹣2|，
1 1
× 4 × | | = 4 × × 1 × | − 2|
2 2
，可得2x2﹣12x+15＝0，Δ＝122﹣4×2×15＝24＞0，x有两个大于 的实数解，
| |= | −2|
2
2 3
− =1
由3双曲线的对称性可知P的个数为4个．
故选：A．
第7页（共20页）8．（5分）函数f（x）＝2+3sin（x+ ）（ R）为偶函数， ＞， ， ， ， ，
φ φ∈ (0) 0 ∀ 1 ∈[− 0] ∃ 2 ∈[− 0]
使得f（x1 ）＝3﹣2f（x2+ ）成立，则实数 可以是（ ） 2 2
θ θ
A． B． C． D．
2 3 4 7
【分5析】依题意，可得f（5x）＝2+3cosx， x [ 5，0]，f（x）＝2+3co5sx [2，5]，﹣1 ，
3− ( ) 1
∀ ∈ − ∈ ≤ ≤
令A＝[﹣1， ]，y＝f（x2+ ）的值域为B，则A 2 B，据此逐项分析即可． 2 2
1
θ ⊆
【解答】解：2f（x）＝2+3sin（x+ ）（ R）为偶函数，则 ＝k （k Z），
φ φ∈ φ π+ ∈
2
又f（0）＝2+3sin ＞0，即sin ＝sin（k ）＞ ，
2
φ φ π+ −
故 ＝2k （k Z），不防取 ，则f（x）2 ＝2+3s 3 in（x ）＝2+3cosx．
φ π+ ∈ φ= +
2 2 2
x [ ，0]，f（x）＝2+3cosx [2，5]，则﹣5≤﹣f（x）≤﹣2，﹣2≤3﹣f（x）≤1，﹣1 ，
3− ( ) 1
∀ ∈ − ∈ ≤ ≤
令A＝[ 2﹣1， ]， 2 2
1
y＝f（x2+ ）的
2
值域为B，则A B，
θ ⊆
即当x [ ，0]，﹣1≥f（x2+ ） min 且 f（x2+ ） max ，
1
∈ − θ ≤ θ
又x [ ，20]， 2
∈ −
2
当 时，x+ [ ， ]，f（x+ ） min ＝2+3cos ＞2，不符合题意，A错误；
2 2 2
θ= θ∈ − θ
当 5 时，x+ [ 1，0 ]5，f（x+ ） min ＝2+3cos 5＞2+3×（ ） ，不符合题意，B错误；
3 3 3 1 1
θ= θ∈ θ − =
当 5 时，x+ [10，5 ]，f（x+ ）
min
＝2+3cos5 ＞2+3×（﹣2 1）＝2﹣1，不符合题意，C错误；
4 3 4 4
θ= θ∈ θ
当 5 时，x+ [10，5]，f（x+ ）
min
＝2+3cos 5＝﹣1，f（x+ ）
max
＝2+3cos 2﹣3cos72°＞2﹣
7 9 7 7
θ= θ∈ θ π θ =
3×cos6 5 0° ，符1合0题意5 ，D正确． 5
1
故选：D．=
2
二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知 ， 为锐角， ， ，则下列结论正确的是（ ）
3 1
α β ( + )= =
A． B．5 4
4 4
= =
5 5
第8页（共20页）C．tan +tan ＝1 D．
24
α β 2( + )=−
【分析】根据两角和的余弦公式、同角三角函数的商数关系化简已知7等式，解出sin sin ，cos cos ，
1 4
α β= α β=
可判断出A、B两项的正误；根据cos（ + ） ，运用同角三角函数的关系求出sin（ + 5）、tan（ + ）5，
3
然后根据两角和的正切公式、二倍角的α正β切公=式5，对C、D两项进行判断，进而可得α本题β 答案．α β
【解答】解：根据题意，可得cos（ + ）＝cos cos ﹣sin sin ①，tan tan
3 1
α β α β α β= ⋯ α β= = ⋯
②， 5 4
由①②组成方程组，解得 ，可知A正确，B不正确；
1
=
5
4
=
根据 、 为锐角，可得 + （0， ），所5以sin（ + ） ，
2 4
α β α β∈ π α β = 1− ( + )=
可得tan（ + ） ， 5
( + ) 4
α β = =
由 ， 可( 得+ t ) an + 3 tan （1﹣tan tan ） 1，故C正确；
+ 4 4 4 1
= α β= α β = (1− )=
1− 3 3 3 4
根据tan2（ + ） ，可知D正确．
4
2 ( + ) 2×3 24
α β = 2 = 16=−
故选：ACD．
1− ( + ) 1−9 7
（多选）10．（6分）已知曲线C：（1+ ）x2+（1﹣ ）y2﹣2x﹣4y＝0， R，则下列结论正确的是（ ）
A．存在 R，使得曲线C为圆，且λ圆心在直线λy＝2x上 λ∈
B．当 ＝λ1∈时，曲线C的离心率为
C．当λ＝1时，曲线C在点（0，0）3处切线方程为x+2y＝0
D． λ R，曲线C恒过3个定点
【分∀析λ∈】选项A：当曲线为圆时，由1+ ＝1﹣ ≠0，可得 的值，从而可得圆的圆心，即可判断A；选
项B：当 ＝1时，求出曲线方程，从而可λ判断λB；选项C：λ利用导数的几何意义可得切线方程，即可判
断C；将λ曲线方程变形，可得关于x，y的方程，求解即可判断D．
【解答】解：选项A：当曲线为圆时，需满足1+ ＝1﹣ ≠0，即 ＝0，
此时曲线方程为x2+y2﹣2x﹣4y＝0，配方得（x﹣λ1）2+（λy﹣2）2＝λ 5，圆心为（1，2），满足y＝2x，故
A正确；
选项B：当 ＝1时，曲线方程为2x2﹣2x﹣4y＝0，化简为 ，
1 2 1
这是一条抛λ物线，抛物线的离心率为1，故B错误； =
2
−
2
第9页（共20页）选项C：当 ＝1时，曲线为 ，
1 2 1
λ = −
求导得 ，在点（0，0）2处的切2线斜率为 ，
1 1
′ = − ′ | =0 =−
切线方程为 2 ，即x+2y＝0，故C正确； 2
1
选项D：将曲 =线−方2程 整理为 （x2﹣y2）+（x2+y2﹣2x﹣4y）＝0，
令 ，λ解得 或 或 ，
2 2
− =0 =0 =3 =−1
2 2
所以 曲 + 线 C− 恒 2 过 −34 个 定 = 点 0 ：（0，0 ）、=（03，3 ）=、（3﹣1 ，=1）1，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（6分）已知f（x）＝lnx+m，g（x）＝nex，其中m，n R，则下列结论正确的是（ ）
A．当m＝2，n＝1时，函数f（x）的图像恒在g（x）图像的下方∈
B．当m＝1，n＞0时，h（x）＝f（x）•g（x）在（0，+∞）上单调递增
C．若m＝1，且f（x）≤g（x）恒成立，则实数
1
D．当n＝1时，将g（x）的图像绕原点顺时针旋 转≥ 后2，第一次与x轴相切，则tan ＝e
【分析】A选项：利用已知不等式ex≥x+1和x≥lnxθ+1，通过叠加得到ex＞lnx+2，直θ接验证成立；
B选项：对函数求导，结合不等式 判断导数恒正，证明函数单调递增；
1
C选项：分离参数得到n≥T（x）， 求 T ≥（1 x −） 的最大值后发现结论与选项矛盾，判定为错误；
D选项：将图像旋转问题转化为切线斜率问题，找到过原点的切线y＝ex，从而得到tan ＝e．
【解答】解：对于A，当m＝2，n＝1时， θ
f（x）＝lnx+2，g（x）＝ex，
令y＝ex﹣x﹣1，x R，
则y'＝ex﹣1， ∈
所以当x＜0时，y'＜0，y＝ex﹣x﹣1单调递减；
当x＞0时，y'＞0，y＝ex﹣x﹣1单调递增；
所以ex﹣x﹣1≥e0﹣0﹣1＝0，
即ex≥x+1，
同理可得x≥lnx+1，
由不等式的性质可得ex＞lnx+2（两等号不能同时成立，故不能取等号），故A正确；
对于B，当m＝1，n＞0时，
h（x）＝f（x）•g（x）＝nex（lnx+1），
第10页（共20页）则 ，
1
′ℎ( )= ( +1+ )
令y＝lnx 1，x＞0，
1
+ +
则y' ，
1 1 −1
所以=当 0 −＜ x 2＜= 1时 2，y'＜0，原函数单调递减；
当x＞1时，y'＞0，原函数单调递增；
所以y＝lnx 1≥ln1+1+1＝2＞0，
1
所以h′（x +） ＞+ 0，
所以h（x）＝f（x）•g（x）在（0，+∞）上单调递增，故B正确；
对于C，若m＝1，nex≥lnx+1恒成立，
则 ， ，
1
1+ − −1
≥ = ( ) ′ ( )=
易知y＝﹣ lnx 1在（0，+∞） 上单调递增，
1
又当x＝1时，+ y ＝− 0，
所以当x （0，1）时，T'（x）＞0，当x （1，+∞）时，T'（x）＜0，
所以T（∈x）在（0，1）单调递增，（1，+∈∞）单调递减，
则T（x）最大值 ，
1
(1)=
所以 ，故C错误；
1
对于 D ≥， 考虑过原点（0，0）且与y＝ex相切的切线y＝ex，
将g（x）的图像绕原点顺时针旋转 后，
第一次与x轴相切，等效于切线y＝θex绕原点顺时针旋转 ，则tan ＝e，故D正确．
故选：ABD． θ θ
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）设Sn 为等差数列{an}的前n项和，满足a3+a5 ＝14，a4a6 ＝77，则S9 ＝ 81 ．
【分析】结合等差数列的性质及求和公式即可求解．
【解答】解：等差数列{an}中，a3+a5 ＝2a4 ＝14，a4a6 ＝77，
则a4 ＝7，a6 ＝11，a1+a9 ＝a4+a6 ＝18，
则S9 81．
9( 1+ 9) 9×18
故答案=为：281． =
2
=
第11页（共20页）13．（5分）某圆台的上，下底面半径分别为r1 ，r2 ，且r1r2 ＝4，此圆台内有一内切球（与圆台的上，下底
面和任意一条母线均相切），则该内切球的表面积为 16 ．
【分析】画出圆台的截面图，由几何知识确定球的半径，π进而求解即可．
【解答】解：如图为该几何体的轴截面，其中圆O为等腰梯形ABCD的内切圆，
设圆O与梯形的腰相切于点M，与上、下底分别切于点O1 ，O2 ，球的半径为r，
因为|OO1|＝|OM|，所以ΔOO1A与△OMA全等，所以OA平分∠O1OM，
同理可得OB平分∠O2OM，所以∠AOB＝90°，
所以由∠AOO1+∠OAO1 ＝∠AOO1+∠BOO2 ＝90°得∠OAO1 ＝∠BOO2 ，
同理可得∠AOO1 ＝∠OBO2 ，
所以ΔAOO1 ∽ΔOBO2 ，
所以r2＝r1r2 ＝4，r＝2，
球O的表面积为S＝4 r2＝16 ．
故答案为：16 ． π π
π
14．（5分）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 的最大值
→ → → → → → → → → →
为 ． | |= | |= | + |=1 | + |= 2( ∈ ) | − |
2 3
【分析】利用平面向量数量积的性质及运算可得m2+n2﹣mn＝4，结合 ，可得
2 2 2 2
+ +
− ≤ ≤
，然后可得 m2+mn+n2＝4+2mn，即可求解． 2 2
→ →
4 2
− ≤ ≤ 4 | − | =
3
【解答】解：因为 ，
→ → → →
| |=| |= | + |= 1
则 1+1 1，
→ → → → → → → →
2 2 2
| + | = + +2 ⋅ = +2 ⋅ =
所以 ，又 ，
→ → →
1
=− | + |= 2
2
所以
→ → → → → →
2 2 2 2 2
| + | = + +2 ⋅
＝m2+n2﹣mn＝4，又 ，
2 2 2 2
+ +
− ≤ ≤
2 第212页（共20页）解得： ，
4
− ≤ ≤4
3
所以
→ → → → → →
2 2 2 2 2
| − | = + −2 ⋅
， ，
2 2 4
= + + =4+2 ∈[ 12]
3
所以 ， ，
→ →
2 3
| − |∈[ 2 3]
所以 最大值3为 ．
→ →
故答案| 为 −： | ． 2 3
四、解答题：本2题3共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且 ．
（1）求角C的大小； 3 + = 3
（2）若c＝2，D是AB中点， ，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据正弦定理即可 求=解；2
（2）根据余弦定理，中点的性质，向量的性质即可求解．
【解答】解：（1）由正弦定理，因为 ，
所以 3 + =， 3
故 3 + = 3 = 3 ( + ) ，
整理3得 ； + = 3 ， + 3
因为sinA ＞ 0 ， 故 = 3 ， 因 为C （0， ），所以 ；
= 3 ∈ π =
（2）在△ABC中，由余弦定理有：c2＝a2+b2﹣2abcosC a32+b2﹣ab＝4，
⇒
又因为D是AB中点，所以 ，
→ → →
2 = +
故 ，
→ → → → →
2 2 2 2 2
4 = + +2 ⋅ ⇒ + + =8
由①②可得：ab＝2，从而△ABC的面积为 absinC ．
1 3
16．（15分）小文在重庆某高校就读，他每天中
2
午都要去=学2校的一食堂或二食堂用餐，且只去其中一个食
堂用餐．如果当天中午选择一食堂用餐，则第二天中午仍然选择一食堂用餐的概率为 ；如果当天中午
2
选择二食堂用餐，则第二天中午选择一食堂用餐的概率为 .已知小文第一天中午选择一3食堂用餐，记小
2
文第n天中午选择一食堂用餐的概率为pn ．
5
（1）求p2 ，p3 ；
第13页（共20页）（2）若pn ＞a对一切正整数n都成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）先利用全概率公式计算出第2天、第3天选择一食堂用餐的概率p2 ，p3 ，再递推得到pn+1
与pn 的关系式，构造等比数列求出通项公式pn ；
（2）由数列单调性可知 ＞ 恒成立，从而确定实数a的取值范围为 ， ．
6 6
【解答】解：（1）设An ＝ “ 第11n天中午选择一食堂用餐（n N*）， “(−第∞ n天1中1 ]午选择二食堂用餐”，
∈ =
由题意得：P ， ）＝0， ， ， ， ，
2 2 2 2
( 1)=1 ( 1 ( 2| 1)= ( 2| 1)= ( 3| 2)= ( 3| 2)=
由全概率公式得： 3 5 3 ， 5
2 2 2
2 = ( 2)= ( 1) ( 2| 1)+ ( 1) ( 2| 1)=1× +0× =
； 3 5 3
2 2 1 2 26
3 = ( 3)= ( 2) ( 3| 2)+ ( 2) ( 3| 2)= × + × =
（2）由（1）得： ， ，3 3 3 5 ，45 ，
2 2
= ( ) ( )=1− ( +1| )= ( +1| )=
由全概率公式得： 3 5
2 2 4
+1 = ( +1)= ( ) ( +1| )+ ( ) ( +1| )= + (1− )= +
， 3 5 15
2
5则 ，而 ，
6 4 6 6 5
+1− = ( − ) 1− =
因此数列11 15 是以11为首项， 1为1公比11的等比数列， ，
6 5 4 6 5 4 −1
{ − } − = ⋅( )
故 11 11， 15 11 11 15
5 4 −1 6
= ⋅( ) +
显然{pn 1 } 1是递1减5数列，故11当n→∞时， ，所以 ＞ 恒成立，
6 6
→
故实数a的取值范围为（ ， ． 11 11
6
−∞ ]
17．（15分）已知椭圆 ： 11 ＞＞ 的焦点为F1 ，F2 ，M（0，1）是椭圆C上一点，△MF1F2
2 2
周长为 ． 2+ 2 =1( 0)
（1）求4椭+圆2C3的方程；
（2）过点A（1，0）的直线l与椭圆C相交于P（x1 ，y1 ），Q（x2 ，y2 ）两点，G（4，y1 ），其中y1 ＞0，
直线GQ交x轴于点B，若四边形ABGP为等腰梯形，求直线l的方程．
第14页（共20页）【分析】（1）利用M的坐标求解b，结合三角形的周长，求解a，即可得到椭圆方程．
（2）设出直线方程，P、Q的坐标，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过四边形的等腰梯形，综
合求解直线方程即可．
【解答】解：（1）由椭圆定义知，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于长轴2a，两焦点间距离为2c．
已知△MF1F2 周长为 ，即2a+2c＝4+2 ，M（0，1），可得b＝1，
a+c＝2 ，a2＝c2+41，+2 3 3
解得a＝+2，3 ．
根据b2＝a2﹣ =c2，3可得 ．
2 2 2
=2 −( 3) =1
所以椭圆C的方程为 ．
2
2
（2）设直线l的方程为
4
+x＝ my=+11，P（x1 ，y1 ），Q（x2 ，y2 ），
联立 ，
= +1
2
2
+ =1
4
将x＝my+1代入 ，得：
2
2
+ = 1
4 ，
2
( +1) 2
+ = 1
整理4得（m2+4）y2+2my﹣3＝0由韦达定理得 ，
2
1+ 2 =− 2
y1y2 ． +4
3
=− 2
因为四边 形+A4BGP为等腰梯形，所以kPQ+kBG ＝0．
即 ，
1− 2 2
+ = 0
又 x1 1−＝ m2y1+ 12，−x42 ＝my2+1，
代入上式得：
，
1− 2 2
+ = 0
即 1+1−( 2+1) 2+1．−4
1− 2 2
+ = 0
因为 ( y1 1≠− y 2 2 )，所 以 2−3 ，
1 2
+ = 0
通分得 ， 2−3
2−3+ 2
= 0
即2my2 ﹣ ( 3 ＝ 0 2，−3) ，
3
2 =
将 代入（m2+4 2） y2+2my﹣3＝0，
3
2 =
2 第15页（共20页）得： ，
2 3 2 3
解得(
m
＝+±4
1
)．(
2
) +2 ×
2
−3=0
所以直线l的方程为x＝y+1或x＝﹣y+1，即x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0．
18．（17分）已知函数f（x）＝ex，g（x）是f（x）的反函数．
（1）讨论函数F（x）＝g（x）﹣mx的单调性；
（2）若函数 恰有三个极值点x1 ，x2 ，x3 ，
( )
（i）求实数ℎ
a
(的 )取=值
范2围−； [ ( )+2′ ( )]+1
（ii）证明： ＞ ．
4
【分析】（1） 求 1+出 g 2 （+ x ） 3 ，进 而可得F（x），对F（x）求导，再对m分类讨论，利用导数与单调性的关
系求解即可；
（2）（i）求出h（x），再对h（x）求导，由极值点的性质可得h′（x）恰有三个变号零点，易知x＝2
是h（x）的一个极值点，记x1 ＝2，因此 在（0，+∞）有两个不等实根x2 ，x3 ，且x2 ，x3 ≠2，不
=
妨设x2 ＜x3 ，令 ＞ ，对p（ x）求导，利用导数判断p（x）的单调性与最值，从而可得a
的取值范围； ( )= ( 0)
（ii）令 ＞ ，根据题意将 x2 ，x3 用 t 的式子表示，从而可得 ，令
3 ( +1)
= ( 1) 2+ 3 = ( )=
2 ＞ ，对 （t）求导，利用导数判断 （t）的单调性，从而可得x2+x3 的取 − 值 1 范围，进而可
( +1)
得 x−1+1x2+ ( x 3 的1范) 围，φ即可得证． φ
【解答】解：（1）由题意知：g（x）＝lnx，F（x）＝lnx﹣mx（x＞0）， ，
1
当m≤0时，F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）单调递增； ′ ( )= −
当m＞0时，令F'（x）＞0，得 ＜ ，令F′（x）＜0，得 ＞ ，
1 1
故F（x）在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
1 1
综上所述，当(0 m≤ 0 )时，F（x）的增区( 间为+（∞ 0，) +∞），无减区间；
当m＞0时，F（x）的增区间为 ， ，减区间为 ， ．
1 1
(0 ) ( +∞)
（2）（i）由题意： ，
2
ℎ( )= 2− ( + )+1
，
2
−2 2 −2 1
′ℎ( )= 4 + 2 − = 3 ( − )= 2( −2)( − )
第16页（共20页）因为h（x）恰有三个极值点，故h′（x）恰有三个变号零点，
当x＝2时，h′（x）＝0，因此x＝2是h（x）的一个极值点，记x1 ＝2，
因此 在（0，+∞）有两个不等实根x2 ，x3 ，且x2 ，x3 ≠2，不妨设x2 ＜x3 ，
=
令 ＞ ，则 ，
( −1)
当 x ( （)= 0， 1 (） 时0，) p′（′ x (） )＜= 0，p （2 x）单调递减：当x （1，+∞）时，p′（x）＞0，p（x）单调递
增，∈ ∈
所以p（x）
min
＝p（1）＝e，且x→0时，p（x）→+∞；x→+∞时，p（x）→+∞，
当a＜e时，方程 在（0，+∞）上无实根，不符合题意：
( )= =
当a＝e时，方程 在（0，+∞）上有且仅有一个实根，不符合题意；
( )= =
当a＞e时，方程 在（0，+∞）上有两个不等实根x2 ，x3 ，
( )= =
又x2 ，x3 ≠2，p（2） ，所以 ， ， ，
2 2 2
= ∈( )∪( +∞)
综上，实数a的取值范围2为 ， 2， 2．
2 2
( )∪( +∞)
（ⅱ）证明：由（i）知：x1 ＝2，2x2 ＜x3 ，2令 ＞ ，则x3 ＝tx2 ，
3
= ( 1)
又 2 ，
2
= 2 3− 2 3
3 ⇒ = = ⇒ 3− 2 = ⇒ 2 =
故 = ， 3 从而 2 ， −1
( +1)
3 = 2+ 3 =
−1 −1
令 ＞ ， '（t） ，
1
( +1) − −2
( )= ( 1) φ = 2
令 −1 ， ( −1) ＞，
2
1 1 2 ( −1)
故 k (（ ) t）=在 −（ 1 −，2 + ∞ ）′单 调( )递=增1，+从 2而− k （= t）＞ 2 k（1）0＝0，
所以 '（t）＞0在（1，+∞）上恒成立， （t）在（1，+∞）单调递增，
当t→φ1时， （t）→2，故 （t）＞2，即φx2+x3 ＞2，
φ φ
从而x1+x2+x3 ＞4，又a ， ， ，故 ＜，
2 2
4
∈( )∪( +∞) 4
故 ＞ ． 2 2
4
19．（ 1 1 7 +分 ） 2+如 图 3 ，在 四棱台ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面ABCD是菱形，直线BB1 与底面ABCD所成角为
30°，∠B1BA＝∠B1BC，∠ABC＝60°，AB＝2A1B1 ＝2，BB1 ＝3，E是棱CD的中点．
（1）求证：平面ACC1A1 ⊥平面BDD1B1 ；
第17页（共20页）（2）求直线CD与平面ACC1A1 所成角的正弦值；
（3）在棱AA1 上是否存在一点F，使得过B，E，F三点的平面将四棱台ABCD﹣A1B1C1D1 分成两个多
面体，且在平面BEF的上方部分和下方部分的体积之比为37：12？若存在，求出AF的长度；若不存
在，请说明理由．
【分析】（1）通过证明三角形全等得到B1A＝B1C，结合菱形对角线垂直的性质，推出AC⊥平面BDD1B1 ，
从而证得平面ACC1A1 ⊥平面BDD1B1 ；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面ACC1A1 的法向量，利用向量夹角公式计算出直线CD与该平面
所成角的正弦值为 ；
3 7
（3）通过设比例参
1
数
4
t，利用三点共线条件和台体、锥体体积公式建立方程，求解得出点F为棱AA1
的中点．
【解答】解：（1）证明：连接AC，BD交于O点，连接B1A，B1C，
因为BC＝BA，∠B1BA＝∠B1BC，B1B＝B1B，
所以△B1BC
≅
△B1BA，故B1A＝B1C，
又因为O是菱形对角线的交点，即是线段AC的中点，
所以B1O⊥AC，又四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD，
而B1O∩BD＝O，故AC⊥平面BDD1B1 ，AC 平面ACC1A1 ，
故平面ACC1A1 ⊥平面BDD1B1 ； ⊂
（2）延长AA1 ，BB1 ，CC1 ，DD1 交于点P，设直线CD与平面ACC1A1 所成角为 ，
过P点作PG⊥BD，垂足为G，由（1）知PG⊥平面ABCD， θ
第18页（共20页）因为BP＝6，所以 ，
=3 3
以O为坐标原点，分别以 ， 为x轴，y轴正方向，作OZ∥PG，
→ →
则A（0，﹣1，0）， ，， ，， ， ，， ， ，， ，
( 3 0 0) (0 1 0) (− 3 0 0) (−2 3 0 3)
， ， ， ，， ， ，， ，
→ → →
=(− 3 −1 0) =(0 2 0) =(−2 3 1 3)
设平面平面ACC1A1 的一个法向量为 ，， ，则 ，
→
2 =0
=( )
取z＝1，得： ，， ， −2 3 + +3 =0
→
3
=( 0 1)
2
， ＜ ，
→ → → → 3
⋅ −2 3 7
〈 〉= → → = 3 14
| || | 2× 4+1
故 ；
3 7
=
（3）假设1在4棱AA1 上存在一点F满足题意，设 ， ＜＜ （因为A1 是PA的中点），
→ →
1
= (0 )
2
连接BE交AD延长线于M点，连接FM交PD于N点，故可设 ，
→ →
=
于是有 ①，
→ → →
= +(1− )
因为F，N，M三点共线，故 ②，
→ → → → →
= +(1− ) = +2(1− )
由①②可得： ，
=
⇒ =
由（2）知：棱台2( A 1 B − CD )﹣= A1 1 B − 1C 1D1 的高 2− ，体积为v，棱锥F﹣ABM的高h1 ＝3t，体积为v1 ，
3
ℎ=
2
棱锥N﹣DEM的高为h2 ，体积为v2 ，
下
，
上
， ， ，
3 3 3
=2 3 = △ = △ =
于是 2 2 ， 2
上 下 上 下
1 1 3 3 3 7 3
= ( + + )ℎ= ×( +2 3+ ×2 3)× =
3 ， 3 2 ， 2 2 4
1 1 3
1 = △ ℎ1 =2 3 2 = △ ℎ2 =
3 3 2(2− )
故 ，
下
2
7 3 −4 3
= 1− 2 =
4−2 第19页（共20页）上 下
从而 7 3 7 3 −4 3 2 21 2 ，
下 −下 4 − 4−2 7−2 +4 37
= = 7 3 −4 3 2 = 2 =
7 −4 12
整理得：196t2﹣385t+84＝0 4，解得： 或 （舍），
1 84
=
故F为棱AA1 的中点，易得： ． 4 49
22
=
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第20页（共20页）
