[A4版]25李林108题数一做题本_考研_数学_02.李林_25李林《108题》做题本

李林 108 · 目录 目录 高等数学 ....................................................................................................................................................................... 3 高频考点1 函数的性质 ............................................................................................................................... 3 高频考点2 极限的定义和性质 ................................................................................................................. 5 高频考点3 函数极限计算 .......................................................................................................................... 6 高频考点4 已知极限，确定参数等 ....................................................................................................... 8 高频考点5 数列极限 ................................................................................................................................. 11 高频考点6 函数的连续性与间断点 .................................................................................................... 15 高频考点7 导数的定义 ............................................................................................................................ 16 高频考点8 导数计算、相关变化率 .................................................................................................... 20 高频考点9 微分中值定理和泰勒公式 ............................................................................................... 22 高频考点10 导数的应用 ......................................................................................................................... 28 高频考点11 积分计算 .............................................................................................................................. 33 高频考点12 积分变限函数及原函数 ................................................................................................. 36 高频考点13 积分等式、不等式 ........................................................................................................... 38 高频考点14 定积分应用 ......................................................................................................................... 42 高频考点15 多元函数微分学的概念 ................................................................................................. 45 高频考点16 复合函数、隐函数的偏导数、全微分计算 .......................................................... 47 高频考点17 含偏导数等式 ..................................................................................................................... 49 高频考点18 多元函数极值与最值 ...................................................................................................... 51 高频考点19 多元函数微分学几何应用、方向导数、梯度、散度和旋度(仅数学一要 求) ....................................................................................................................................................................... 55 高频考点20 微分方程及其应用 ........................................................................................................... 58 高频考点21 二重积分 .............................................................................................................................. 62 高频考点22 空间解析几何(仅数学一要求) .................................................................................... 69 高频考点24 无穷级数(仅数学一、三要求) .................................................................................... 70 第 1 页，共136页李林 108 · 目录 高频考点25 三重积分、曲线积分、曲面积分(仅数学一要求) ............................................. 75 线性代数 .................................................................................................................................................................... 82 高频考点26 行列式计算 ......................................................................................................................... 82 高频考点27 矩阵的计算 ......................................................................................................................... 84 高频考点28 矩阵方程 .............................................................................................................................. 86 高频考点29 初等矩阵 .............................................................................................................................. 87 高频考点30 矩阵的秩 .............................................................................................................................. 88 高频考点31 向量相关性 ......................................................................................................................... 91 高频考点32 含参数线性方程组 ........................................................................................................... 93 高频考点33 抽象线性方程组及两个方程组公共解、同解 ..................................................... 94 高频考点34 相似矩阵 .............................................................................................................................. 96 高频考点35 实对称矩阵相似 ................................................................................................................ 99 高频考点36 二次型的标准形和规范形 .......................................................................................... 101 高频考点37 二次型正定及正负惯性指数 ..................................................................................... 105 概率论与数理统计 .............................................................................................................................................. 108 高频考点38 概率公式有关计算 ......................................................................................................... 108 高频考点39 随机变量的分布函数、概率密度的性质 ............................................................. 110 高频考点40 常用分布有关概率计算 ............................................................................................... 111 高频考点41 一维随机变量的函数的分布 ..................................................................................... 114 高频考点42 二维随机变量 第 2 页，共136页 ( X ， Y ) 的分布及 ( X , Y ) 函数的分布 ............................................ 116 高频考点43 分布已知，求数字特征 ............................................................................................... 123 高频考点44 分布未知，求数字特征 ............................................................................................... 128 高频考点452,t,F分布及参数估计 ................................................................................................. 131李林 108 · 1.函数的性质 高等数学 高频考点1 函数的性质 (1)设g(u)= u sin(cost)dt, f (x)= x g(u)du,则正确的是( ). 0 0 A. 第 3 页，共136页 f ( x ) 是不可导的偶函数 B. f ( x ) 是可导的偶函数 C. f ( x ) 是不可导的奇函数 D. f ( x ) 是可导的奇函数 1 ex x te−t4 dt (2)设 f (x)= −1 ,则 x −1 f ( x ) 在下列哪个区间内无界( ). A.(−,−1) B.(−1,0) C.(0,1) D.(1,+)李林 108 · 1.函数的性质 (3)设 f (x)在(−,+)内连续,且 f (x)关于点(a,0)对称,计算 第 4 页，共136页 I =  a a + − c c f ( t ) d t . (a,c为不为零的常数) (4)设可导函数 f ( x ) 在 ( , )   − + 内是奇函数, y = f ( x ) 的图形关于直线 x = 2 对称,证明: f ( x ) 是以8为 周期的周期函数,并求 f  ( 1 8 ) 的值.李林 108 · 2.极限的定义和性质 高频考点2 极限的定义和性质 (1)下列结论中错误的是( ). A.设 第 5 页，共136页 lim n a n a 0  → =  ,则当 n 充分大时,有 a n  a 2 B.设 lim n a n a 0  → =  1 ,则当n充分大时,有a a− n n C.设 lim n a n a b lim n b n   → =  = → ,则当 n 充分大时,有 a n  b n D.设 M  a n  N ( n = 1 , 2 , ) ,若 lim n a n a  → = ,则 M  a  N (2)设 f (x)=ln2x,g(x)=x2,h(x)=xx(x1),当x充分大时,有( ). A. f ( x )  g ( x )  h ( x ) B. g ( x )  h ( x )  f ( x ) C.h(x)g(x) f (x) D.g(x) f (x)h(x)公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 3.函数极限计算 高频考点3 函数极限计算  x1+x x  (1)求 lim  − . x→+(1+x)x e   (2)计算极限 第 6 页，共136页 lim x → 0  x 0  ( 2 + e s in tanx t − ) t e − x 2 t  d t .李林 108 · 3.函数极限计算 (3)计算极限 第 7 页，共136页 lim x→ 0 ta n ( ta n ta x n ) x − − s s in in ( x s in x ) . (4)计算极限 lim x 1 x 3 x 1 ( 1 2 t 1 ) s in 1 e x 1 t c o s t d t  → +   + − −  .李林 108 · 4.已知极限,确定参数等 高频考点4 已知极限，确定参数等 (1)设常数 第 8 页，共136页 a  0 ,若 lim x x p a 1x a 1x 1 q 0  → +  − +  =  ,求 p , q 的值. (2)设 f (x)是连续函数, lim x→ 0 1 f − ( c x o ) s x = − 1 ,当 x → 0 时,  1− 0 cosx f ( t ) d t 是关于x的n阶无穷小,求n.李林 108 · 4.已知极限,确定参数等 (3)设 第 9 页，共136页 lim x x a ln 1 b x x c  → +   +  −  = ,其中a0,b0,c0,求a,b,c的值. (4)设当x→0时, f ( x ) = x + a ln ( 1 + x ) + b x s in x 与 g ( x ) = x − ta n x 是等价无穷小,求 a , b 的值.李林 108 · 4.已知极限,确定参数等  f (x) ln1+  x2   (5)设lim =1,求 x→0 arctanx 第 10 页，共136页 lim x → 0 ( 1 − c f o ( s x x )) ta n x . (6)求曲线 y = 2 x + ln ( 1 + e x ) 的全部渐近线.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 5.数列极限 高频考点5 数列极限 (1)求极限 第 11 页，共136页 lim n 2 n 1n n 2 1 n  →   −  . n 1 (2)求极限lim (n+k)(n+k+1). n→ n2 k=1李林 108 · 5.数列极限  (3)设a = 1 xn 1−x2 dx,b =2sinntdt(n=1,2, ). n n 0 0 (I)求极限 第 12 页，共136页 lim n a b n n  → ; (II)(仅数学一、三要求)证明:级数 n 1 ( 1 ) n 1 a b n n   = − − 收敛,并求其和. (4)设函数 f (x)可导, f ( 0 ) = 0 , f  ( x ) 单调减少. (I)证明:当 x  ( 0 ,1 ) 时,有 f ( 1 ) x  f ( x )  f  ( 0 ) x ; (II)若 f (1)0, f(0)1,任取x (0,1),x = f (x ),n=1,2, ,证明: 0 n n−1 lim n x n  → 存在,并求其值.李林 108 · 5.数列极限 (5)设 f (x)在 第 13 页，共136页  a , b  上二阶可导, f  ( x )  k  1 , f  ( x 0 ) = 0 , f  ( x 0 )  0 , x 0  ( a , b ) ,且满足 x 0 = f ( x 0 ) . (I)x a,b,x = f (x )(n=1,2, ),证明: 1 n+1 n lim n x n  → 存在,且 lim n x n x 0  → = ; (II)求 lim n ( x x n n 1 x x 0 0) 2  → + − − . (6)设 f (x)二阶可导, f  ( x )  0 , f  ( x )  0 , a  b , f ( b ) = 0 ,过点 ( a , f ( a ) ) 作曲线 y = f ( x ) 的切线与 x 轴 相交于点 ( x 0 , 0 ) . (I)证明: a  x 0  b ; (II)若过点 ( x 0 , 0 ) 作x轴的垂线,交 y = f ( x ) 于点 A 1 ,再过点 A 1 作 y = f ( x ) 的切线交x轴于点 ( x 1 , 0 ) ,重 复以上过程 n 次,如图所示,得数列  x n  ,证明; lim n x n b  → = .李林 108 · 5.数列极限 (7)设 第 14 页，共136页 x 1 0 , 4     ,数列  x n  满足 x n = 1 2 ( x n + 1 + ta n x n ) ( n = 1 , 2 , ) . (I)证明: lim n x n  → 存在,并求其值; (II)求 lim n x n x n 1 12xn  →  +  . (8)设 f n ( x ) = s in x + s in 2 x + + s in n x , n = 1 , 2 , . (I)证明:方程 f n ( x ) = 1   在 , 上有且只有一个实根;   6 2 (II)若 x n 6 , 2      是 f n ( x ) = 1 的实根,求 lim n x n  → .李林 108 · 6.函数的连续性与间断点 高频考点6 函数的连续性与间断点 (1)求函数 第 15 页，共136页 f ( x ) = lim u → x  ta ta n n u x  ln (1+ x tanu − tan x ) 的间断点,并指出其类型. (2)确定a,b的值,使得 f ( x ) = ( x − e x a −) ( b x − 1 ) 有无穷间断点 x = 0 和可去间断点 x = 1 . (3)证明:方程1−e−2x =x在 ( 0 , )  + 内有唯一实根.李林 108 · 7.导数的定义 高频考点7 导数的定义  2 2 (1)设 f (x)=ln1+x3−x3,则正确的是( ).   A. 第 16 页，共136页 f  ( 0 ) 不存在, f  ( 0 ) 不存在 B. f  ( 0 ) 存在, f  ( 0 ) 不存在 C. f(0)存在, f  ( 0 ) 存在 D.无法确定 f  ( 0 ) 是否存在 1 1 1 (2)设 f(x )= ,x =sin + ,n=1,2, ,求 0 2 n n n2 lim n f x 0 1 n s in f 1 n ( x 0 x n )  →  +  − − .李林 108 · 7.导数的定义 (3)设 f (x)在 第 17 页，共136页 x = 1 处可导,且 lim x → 1 f ( x 1 ) − + e x x x − 1 − 1 = 1 ,求 f  ( 1 ) . (4)设 f ( x ) ta n 4 x 1 ta n 4 x 2 2 ta n 4 x n n , n 2    =    −     −     −   ,求 f  ( 1 ) .李林 108 · 7.导数的定义 (5)设 f (x)严格单调可导, 第 18 页，共136页 f  ( x )  0 ,且 f ( x ) 在 x = 1 处二阶可导, f ( 1 ) = − 2 , f  ( 1 ) = − 2 2 , f ( 1 ) 2 , x ( y )   = = 是 y = f ( x ) 的反函数,求 d d 2 y x 2 y = − 2 . (6)设曲线 y = f ( x ) 与 y = ( x + 1 ) 2 在点 ( 0 ,1 ) 处有公切线,求极限 lim n n s in 1 n 1 n f 1n  →   −   .李林 108 · 7.导数的定义 (7)设 f (x)在 第 19 页，共136页 ( 0 , )  + 内可导, f ( x ) 0 , lim x f ( x ) 1   → + = ,且满足 lim h → 0  f ( x f − ( x h ) x )  1h = e 1x ,求 f ( x ) 的表达式. (8)设y= f (x)由  x y = = t t t  te 0 u 2 d u 确定,则下列选项中正确的是( ). A. f  ( x ) 在 x = 0 处连续 B. f  ( x ) 在 x = 0 处不连续 C. f  ( 0 ) 不存在 D. f  ( 0 ) 存在李林 108 · 8.导数计算、相关变化率 高频考点8 导数计算、相关变化率 (1)设可导函数 第 20 页，共136页 y = f ( x ) 有反函数 g ( x ) ,且 f ( x 0 ) = 2 , f  ( x 0 ) = 1 , f  ( x 0 ) = 2 ,求 g  ( 2 ) . (2)(仅数学一、二要求)设 y =  1+ 1 sint  1 + e 1u  d u , t = t ( x ) 由  x t = = c o s in s v 2 v , 确定,求 d d y x . (3)设 f (x)=x2ln(1+x),求 f(n)(0)(n3).公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 8.导数计算、相关变化率 (4)设y= f (x)由方程 第 21 页，共136页 x y 1 xs in 2 4 t d t  =  −   确定. (I)求 f(0)和 f  ( 0 ) ; (II)求极限 lim n n f 1 n 1  →    −  . (5)(仅数学一、二要求)溶液从深 1 8 c m 、顶面直径 1 2 c m 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 1 0 c m 的圆 柱形筒中,开始时漏斗中盛满了溶液,已知当溶液在漏斗中深为12cm时,其表面下降的速率为 1 c m / m in ,问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?李林 108 · 9.微分中值定理和泰勒公式 高频考点9 微分中值定理和泰勒公式 (1)设 f (x),g(x)均在 第 22 页，共136页  − 1 ,1  上可导,且  0 − 1 f ( x ) d x =  1 0 f ( x ) d x = 0 , f ( x ) 只有有限个零点, g ( x )  0 . (I)证明:方程 f ( x ) = 0 在 ( − 1 ,1 ) 内至少有两个不同实根; (II)证明:方程 f  ( x ) g ( x ) − f ( x ) g  ( x ) = 0 在(−1,1)内至少有一个实根. (2)设 f (x)在  0 ,1  上二阶可导,且 lim x→ 0 + f ( x x ) = 1 , lim − x→ 1 f x ( − ) x 1 = 2 ,证明: (I)存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 0   = ; (II)存在不同的, (0,1),使得 1 2 f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 1 ) f ( 2 )      −  = − ; (III)存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f()= f ().李林 108 · 9.微分中值定理和泰勒公式 (3)设 f (x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f (0)=0, f (1)=1. (I)证明:存在 第 23 页，共136页 1 与 2 满足 0 1 2 1      ,使得 f ( 1 ) f ( 2 ) 2    +  = ; (II)证明:在(0,1)内存在与,使得 f ( ) f ( ) f ( )      =  . (4)设 f (x)在  0 ,1  上有二阶导数,且 f ( 1 ) = 0 ,方程 f ( x ) = 0 在 ( 0 ,1 ) 内有实根 x 0 . (I)证明:在 ( 0 ,1 ) 内存在不同的 1 与 2 ,使得f()+ f ()= f()+ f ()=0; 1 1 1 2 2 2 (II)证明:若 f ( 0 )  0 ,且x(x ,1),有 0 f  ( x )  0 ,则存在 ( 0 ,1 )   ,使得 f()=0.李林 108 · 9.微分中值定理和泰勒公式 (5)设 f (x),g(x)在a,b上二阶可导,且 f (a)g(a), f (b)g(b), 第 24 页，共136页  b a f ( x ) d x =  b a g ( x ) d x . 证明:至少存 在一点 ( a , b )   ,使得 f ( ) g ( )      . (6)设 f (x)在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内二阶可导,有 f (0)= 1 ( x+ 1−x2 )2 dx, f (1)= +lnx dx, −1 1 x2  1 0 f ( x ) d x = 3 . 证明:至少存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 0    .李林 108 · 9.微分中值定理和泰勒公式 (7)在x=0的邻域内,用 第 25 页，共136页 a x + b x 2 + c x 3 近似表示函数 a r c ta n x ,使其误差是比 x 3 高阶的无穷小 ( x → 0 ) ,求 a , b , c 的值. (8)设不恒为零的函数 f ( x ) 在0,1上有连续导数,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , M = mx a0  x  ,1 f ( x )  . (I)证明:至少存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 2 M    ; (II)证明: 1 f (x)+xf(x)dx=0;   0 (III)证明:存在一点(0,1),使得 f ( ) M     .李林 108 · 9.微分中值定理和泰勒公式 (9)设 f(x) M ,且 第 26 页，共136页 lim x→ 1 ( f x ( − x 1 ) ) 2 存在, f (0)=0. (I)证明:存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 0   = ; (II)证明:对任意a1,有 f  ( 0 ) + f  ( a )  M a . (10)设 f (x)在  a , b  上有二阶连续导数,证明:至少存在一点 ( a , b )   ,使得 f ( b ) f ( a ) 2 f a 2 b ( b 4 a ) 2 f ( ) .  + −  +  = − 李林 108 · 9.微分中值定理和泰勒公式 (11)设 f (x)在 第 27 页，共136页  a , b  上有连续的二阶导数,且M =max  f(x) . xa,b (I)证明:  b a f ( x ) d x − ( b − a ) f  a + 2 b   ( b − 2 a 4 ) 3 M ; (II)证明:存在 ( a , b )   ,使得 b a f ( x ) d x ( b a ) f a 2 b ( b 2 a 4 ) 3 f ( )   = −  +  + −  . (12)设 f (x)在  a , b  上有连续的二阶导数,且 f  ( a ) = f  ( b ) ,证明:存在 ( a , b )   ,使得 b a f ( x ) d x 1 2 ( b a ) f ( a ) f ( b ) 1 2 4 ( b a ) 3 f ( ) .   = −  +  + − 李林 108 · 10.导数的应用 高频考点10 导数的应用 (1)证明: 第 28 页，共136页  ln 1 + x x − 1 1 + x  2  x ( 1 1 + x ) 2 ( x  0 ) . (2)设在0,+)上的可导函数 y = f ( x ) 满足 y  − p ( x ) y  0 ,且 f ( 0 )  0 ,其中 p ( x ) 在  0 , )  + 上为正值 连续函数,当 0  a  b 时,下列选项中正确的是( ). A. f ( 0 )  f ( a )  f ( b ) B. f ( b )  f ( a )  f ( 0 ) C. f ( b )  f ( 0 )  f ( a ) D. f ( a )  f ( 0 )  f ( b )李林 108 · 10.导数的应用 x x, x0, (3)设函数 f (x)= 讨论 f (x)的连续性,并求其单调区间、极值.  0, x=0, (4)(仅数学一、二要求)设函数 第 29 页，共136页 y = y ( x ) x=tlnt,  由 lnt (t1)确定. y=   t (I)求y= y(x)的单调区间与极值; (II)求 y = y ( x ) 的凹凸区间与拐点.李林 108 · 10.导数的应用 (5)设 f (x)在 第 30 页，共136页 ( , )   − + 内满足 e − x − x 2 2 − 1 =  x 0 f ( t − x ) d t ,求 f ( x ) 的单调区间和最值,并求其渐近线. (6)求函数 f ( x ) =  1 − 1 t − x e − 2t d t ( − 1  x  1 ) 的单调区间与极值.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 10.导数的应用 (7)设函数 第 31 页，共136页 y = y ( x ) 由方程y=x2 + y2确定,且 y ( 0 ) = 0 ,求 y = y ( x ) 的单调区间和凹凸区间,并计算 lim x → 0 y ( x x 3 ) . (8)设 f (x)是 ( , )   − + 内的偶函数, f ( 0 ) = 1 ,且当 x  0 时, f ( x ) lim n 1 n 1 c o s x n c o s 2 n x c o s ( n n 1 ) x .  = →  + + + + −  (I)求 f (x)和 f  ( 0 ) ; (II)求 f (x)在  ,   − 上的最大值.李林 108 · 10.导数的应用 (9)设y= y(x)满足 第 32 页，共136页 x 2 y  + y = x 2 e 1x ( x  0 ) ,且 y ( 1 ) = 3 e . (I)求y= y(x)的全部渐近线方程; (II)讨论曲线 y = y ( x ) 与y=k(k 0)不同交点的个数.李林 108 · 11.积分计算 高频考点11 积分计算 e−sinxsin2x (1)计算I = dx. (1−sinx)2 (2)设 第 33 页，共136页 f ( x ) =  xe 1 − 2t d t ,求 I =  1 x0 2 f ( x ) d x . (3)计算 f (x)= 2x x−t costdt(x0),并求 f(2). 0李林 108 · 11.积分计算 (4)计算积分 第 34 页，共136页 I =  1 x0 a r c s in 2 x − x 2 d x . (5)求a = 1 xlnnxdx(n=0,1,2, ),并计算 n 0 lim n k n 0 a k k!  →  = .  (6)计算I =2cosnxsinnxdx( n 0 n 为正整数).李林 108 · 11.积分计算 ln(1+x) + (7)讨论反常积分I = dx的敛散性. 0 xp 第 35 页，共136页李林 108 · 12.积分变限函数及原函数 高频考点12 积分变限函数及原函数 (1)设 f (x)在 第 36 页，共136页 1 , )  + 上有一阶导数, f ( 1 ) = 1 , g ( x ) 为 f ( x ) 的反函数,且满足 2 x f ( x ) −  x 1 f ( x − t + 1 ) d t −  f 1 (x )g ( t ) d t = ( x − 1 ) e x + 2 , 求 f ( x ) . (2)设 f (x)可导,且满足  xtf 0 ( 2 x − t ) d t = 1 2 a r c ta n x 2 , f ( 1 ) = 1 2 . (I)求 2 f (x)dx; 1 (II)证明:至少存在一点 ( 1 , 2 )   ,使得 f ( ) 0   = .李林 108 · 12.积分变限函数及原函数 (3)设 第 37 页，共136页 f ( x ) lim n x 1 2 2 nx nx  = → + + ,则 F ( x ) =  x − 1 f ( t ) d t 在 x = 0 处( ). A.可导 B.间断 C.不可导但连续 D.无法判定李林 108 · 13.积分等式、不等式 高频考点13 积分等式、不等式 sinxcosx  sinx  cosx (1)设I =2 dx,I =2 dx,I =2 dx,则( ). 1 0 1+x2 2 01+x2 3 01+x2 A.I I I B.I I I C.I I I D.I I I 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 1 3 (2)设 f (x)在0,a(a0)上有二阶连续导数,且 f (x)0, f (0)=0, f(x)0,证明:  a xf (x)dx 2 a a f (x)dx. 0 3 0 第 38 页，共136页李林 108 · 13.积分等式、不等式 (3)设周期为1的周期函数 f (x)=x−x(x表示不超过x的最大整数). (I)当nxn+1时,n为正整数,证明: n  x f (t)dt n+1 ; 2 0 2 (II)求 第 39 页，共136页 lim x 1 x x 0 f ( t ) d t  → +  . (4)设 f (x)在 ( , )   − + 内连续,n为正整数. (I)证明: (2 0 n )1 x f ( s in x ) d x ( 2 n 2 1 ) (2 0 n )1 f ( s in x ) d x     − = −  − ; (II)若 f ( x ) 1 x c o s 2 x f ( x ) s in x d x   = + +  − ,求 f (x).李林 108 · 13.积分等式、不等式 (5)设 f (x)和g(x)在a,b上连续,g(x)在(a,b)内可导,且g(x)0,证明:至少存在一点a,b,使 得 b f (x)g(x)dx=g(b) b f (x)dx+g(a)  f (x)dx. a  a (6)设 f (x)在 第 40 页，共136页 ( , )   − + 内连续, f (x+T)= f (x),T 0,且 f (−x)= f (x). (I)证明:  nT 0 x f ( x ) d x = n 2T 2  T 0 f ( x ) d x (n为正整数); (II)(仅数学一、三要求)记 a n n 0 x c o s 2 x d x  =  ,求 n a 1 n x n 1   = − 的和函数.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 13.积分等式、不等式 (7)设 f (x)在 第 41 页，共136页  0 ,1  上有二阶连续导数, f ( x ) 不恒为零,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , f ( x ) 在 x = x 0 处取得最大值, x (0,1). 0 (I)证明:至少存在 1 ( 0 , x 0 ) , 2 ( x 0 ,1 )     ,使得 f ( 2 ) f ( 1 ) 1 x 0 f ( 2 )     −  =  ; (II)证明: 1 f(x)dx4 f (x ) . 0 0李林 108 · 14.定积分的应用 高频考点14 定积分应用 (1)(I)求 第 42 页，共136页 y y e x 2 c o s s x in x , y 2 e 2    + = −   = − 的特解; (II)求 y = e − x s in x ( x  0 ) 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (2)设曲线 y = s in x 与 y = c o s x 在 0 , 4    上所围平面图形为 D . (I)求D绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 1 ; (II)求D绕直线 y = 1 旋转一周所得旋转体的体积 V 2 ; (III)求D绕直线 x 4  = 旋转一周所得旋转体的体积 V 3 .李林 108 · 14.定积分的应用 (3)(仅数学一、二要求)设 第 43 页，共136页 D 是由 y = a 2 − x 2 ( 0  x  a ) 与 x y a a c s o s in 3 t 3 t , 0 t 2 , a 0   = =      所围平面区域, L 为 D 的边界. (I)求D的面积 A ; (II)求曲线 L 的全长; (III)求D绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 和表面积 S .李林 108 · 14.定积分的应用 (4)设一高为4的椭圆底柱形容器内有某种液体,将容器沿母线(高线)水平放置,已知椭圆方程为 第 44 页，共136页 x 4 2 + y 2 = 1 (单位: m ). (I)若容器内储满了液体,现以 0 .1 6 m 3 / m in 的速率将液体从容器顶端抽出,当液面在 y = 0 时,液面下降 的速率是多少? (II)(仅数学一、二要求)若液体的密度与重力加速度的乘积为g =104 N/m3,则抽完全部液体需做功 多少? (5)设曲线y=ax2(a0)与 y = c o s x 在 x = t   处相交,t0,  ,记y=ax2,y=cost及  2 x = 0 所围面积为 S 1 , y = c o s x , y = c o s t  及x= 所围面积为S . 2 2 (I)求面积S =S +S ; 1 2   (II)证明:S =S +S 在 0,  内有唯一最大值. 1 2  2李林 108 · 15.多元函数微分学的概念 高频考点15 多元函数微分学的概念 (1)设 第 45 页，共136页 f ( x , y ) = ( x + y ) ( x + y ) ,则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处( ). A.偏导数不存在 B.偏导数存在但不连续 C.可微 D.不可微 (2)设函数z= f (x,y)在点 ( 0 ,1 ) 的某邻域内可微,且在该邻域内有 f (x,y+1)=1+2x+3y+ o ( ) , x 2 y 2   = + ,则极限 lim n f 0 , e 1n n  →     = __________.李林 108 · 15.多元函数微分学的概念 (3)设函数 第 46 页，共136页 f ( x , y ) x 2 y 2 ( x , y )  = + ,其中 ( x , y )  在点 ( 0 , 0 ) 处连续且(0,0)=0. (I)求 f'(0,0),f'(0,0); x y (II)证明: f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微.李林 108 · 16.复合、隐函数的偏导数及全微分 高频考点16 复合函数、隐函数的偏导数、全微分计算 (1)设函数 第 47 页，共136页 z = z ( x , y ) 由方程 z + ln z =  xey − 2t d t ( z  0 ) 确定,求 d z 和   x 2 z  y . (2)设 f (x,y),g(x,y)有二阶连续偏导数, ( x ) f x , g ( x 2 , x 2 )  =   ,求 d d 2 x 2  .李林 108 · 16.复合、隐函数的偏导数及全微分 (3)设y=g(x,z),z=z(x,y)由方程 第 48 页，共136页 f ( x − z , x y ) = 0 确定,其中 f , g 均可微,求 d d y x , d d z x .李林 108 · 17.含偏导数等式 高频考点17 含偏导数等式 (1)(仅数学一、二要求)设 第 49 页，共136页 z ( x , y ) = f ( x y ) 满足   x 2 z  y = ( 2 x 2 y 2 + 1 ) e 2x 2y ,其中 f ( t ) ( t  0 ) 有二阶连续导 数,求z= f (xy)(可用变限积分表示). (2)设u=u(x,y)有二阶连续偏导数,且满足 a   2 x u 2 + 2 b   x 2 u  y + c   2 y u 2 = 0 , 其中 a 、 b 、 c 为常数,且 a c − b 2  0 ( c  0 ) =x+ky, 2u ,求线性变换  将方程化简为 =0. =x+y, 李林 108 · 17.含偏导数等式 ( ) (3)设u(x,y)= f x2 +y2 在 第 50 页，共136页 D : x 2 + y 2  4 上有二阶连续偏导数,且满足    u 2 x ( u 2 0 + , 0   ) 2 y = u 2 0 − , u 1 x ( 1  u  x ) ,1 + = u 2 = c o x s 2 + 2 , y 2 , 求函数u的表达式及u在 D 上的最大值.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 18.多元函数极值与最值 高频考点18 多元函数极值与最值 (1)求 f (x,y)=x3+y3−3x2 −3y2的极值. (2)已知z= f (x,y)的全微分 第 51 页，共136页 d z = ( 2 x − 2 x y 2 ) d x + ( 4 y − 2 x 2 y ) d y ,且 f ( 1 ,1 ) = 2 ,求 f ( x , y ) 在 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  4 , y  0  上的最大值和最小值.李林 108 · 18.多元函数极值与最值 (3)求由方程2x2 +2y2 +z2 +8xz−z+8=0所确定的函数 第 52 页，共136页 z = z ( x , y ) 的极值. (4)设z=z(x,y)具有二阶连续偏导数,且满足   x 2 z  y = − 2 , z ( x , 0 ) = x 4 − x 2 ,   z y (0 ,y ) = 4 y 3 − 2 y , 求 z = z ( x , y ) 的极值.李林 108 · 18.多元函数极值与最值 (5)设 f (x,y)=x2 +(y−1)2(x0)在条件 第 53 页，共136页 x a 2 2 + y b 2 2 = 1 ( a  0 , b  0 且, a  b ) 下取得最小值1,且椭圆 x a 2 2 + y b 2 2 = 1 所围面积最小,求 a , b 的值. (6)设当x0,y0时,有 x 2 − y 2  k e 2x + 2y 成立,求 k 的最小值.李林 108 · 18.多元函数极值与最值 (7)(仅数学一要求)设 第 54 页，共136页  为平面 x a + y b + z c = 1 ( a , b , c 均 大 于 ?0 ) 与三个坐标面所围的四面体区域,  为  的 全表面的外侧. (I)计算曲面积分 I ( a , b , c ) =   1 2 z 2 d x d y ; (II)若 a + b + c = 1 ,求使得 I ( a , b , c ) 最大的 a , b , c 的值,并求 I ( a , b , c ) 的最大值.李林 108 · 19.多元几何、梯度散度与旋度 高频考点19 多元函数微分学几何应用、方向导数、梯度、散度和旋度(仅数学一要求) (1)设 f (x,y,z)有二阶连续偏导数,求 第 55 页，共136页 d iv  r o t ( g r a d f )  . (2)设可微函数 f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 处沿 l1 = ( 1 ,1 ) 的方向导数为 2 2  2 x y 4 x + − 2 x 2 y ,沿 l2 = ( 0 , − 2 ) 的方向导数 为 x 4 x + 2 y 2 . (I)求全微分 d f ; (II)若 f ( 1 ,1 ) = 0 ,求函数 f ( x , y ) .李林 108 · 19.多元几何、梯度散度与旋度 第 56 页，共136页李林 108 · 19.多元几何、梯度散度与旋度 (3)在曲面x2 + y2 +z2 =1上求点P (x ,y ,z )(z 0),使得函数u=x2 −y2 +4z2在点P 处沿 0 0 0 0 0 0 f (x,y,z)=2xy+z2的梯度方向的方向导数最大,并求其最大值. (4)设z= xy . (I)证明: 第 57 页，共136页 z 在点 ( 0 , 0 ) 处可微; (II)求函数 z 在点 ( 0 ,1 ) 处沿 l1 = − i + 0 j 和 l2 = i + j 的方向导数.李林 108 · 20.微分方程及其应用 高频考点20 微分方程及其应用 (1)设y= y(x)是微分方程 第 58 页，共136页 y  − 4 y  + 3 y = x e x 的一个解,且其图形在点(0,1)处的切线与 y = x 2 − 1 4 x + 1 在该点处的切线重合,求 y = y ( x ) . (2)设微分方程 y  + a y = f ( x ) ( a  0 ) , f ( x ) 为 R 上的连续函数. (I)若 f (x)在0,+)上有界,证明:微分方程的任一解在0,+)上有界; (II)若 f (x)是周期为 T 的函数,证明:微分方程存在以 T 为周期的解.李林 108 · 20.微分方程及其应用 (3)设 f (x),g(x)满足 第 59 页，共136页 f  ( x ) = g ( x ) , g ( x ) =  x 0  1 − f ( t )  d t + 1 ,且 f (0)=1,求 I 20 e 2 x g ( x ) 2 f ( x ) d x .  =  −  −  (4)设 f (t)有一阶连续导数,且满足 f ( t ) +  te0 x f 3 ( t − x ) d x = a e t ( 0  a  1 ) , 求 f ( t ) 的表达式.李林 108 · 20.微分方程及其应用 (5)利用变换 第 60 页，共136页 t = e − x ,将微分方程 d d 2 x y 2 + d d y x + e − 2 x  y = e − 3 x 化为 y 关于 t 的微分方程,并求原微分方程的通 解. (6)(仅数学一、二要求)设飞机以匀速 v (v为常数)沿垂直于 x 轴的方向向上飞行,飞机在 ( a , 0 ) ( a  0) 处被发现,随即从原点(0,0)处发射导弹,导弹的速度为2v,方向始终指向飞机,如图所示. (I)求导弹飞行轨迹 y = y ( x ) 的表达式; (II)求导弹自发射到击中飞机所需时间 T .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 20.微分方程及其应用 (7)(仅数学一、二要求)设在第一象限内的曲线y= y(x)满足y(0)=0,且y(x)0,曲线上任一点 M(x,y)处的切线段为 第 61 页，共136页 M T ,点 M 到x轴的垂线为 P M ,如图所示, P M T 的面积与曲边三角形OPM 的 面积之比恒为常数 k  k  1 2  ,求 y = y ( x ) 的表达式.李林 108 · 21.二重积分 高频考点21 二重积分 (1)设 第 62 页，共136页 D = { ( x , y ) ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2  2 } , 1 x+ yk I =   dxdy,k =1,2,3,4, k  4  D 则 m1 a x k  4  I k  = ( ). A. I 1 B. I 2 C. I 3 D. I 4 (2)设D= (x,y∣)1x+y2,0x2,0 y2 ,计算 I =  D e − (x + y 2) ( s in 2 x + c o s 2 y ) d x d y .李林 108 · 21.二重积分 (3)计算 第 63 页，共136页 I 2 0 d 2 ( 2 1 ) e 2r d r      =   − . (4)设 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  4 , x  0 , y  0  , f ( x , y ) 在 D 上连续,且 f ( x , y ) = x 2 + y 2 − s in x + s in y +  D f ( x , y ) ( x 2 + y 2 ) d x d y , 求 f ( x , y ) .李林 108 · 21.二重积分 (5)(仅数学一、二要求)设平面区域 第 64 页，共136页 D 由曲线 x y 1 t c s o s t in t , ( 0 t 2 )   = = − −   与 y 轴围成,计算二重积分 I =  D ( 2 x + y ) d x d y . (6)(仅数学一要求)设 f ( x , y ) 在D= (x,y∣) x2 +y2 1  上有二阶连续偏导数,且 2f + 2f = x2 y2 e 2x + 2y ,计 算 I =  D  x   f x + y   f y  d x d y .李林 108 · 21.二重积分 (7)设 f (x)在0,1上连续,且满足 第 65 页，共136页  x 0 f ( t ) d t = 3 2 x 2 −  1 2 a r c s in x + 1 2 x 1 − x 2   1 0 f 2 ( x ) d x . (I)求 f (x)的表达式; (II)求I = f (x−y)dxdy,其中D:0 yx1. D (8)设 D =  ( x , y )∣ x + y  1 , x  0 , y  0   x−y x−y .计算I = sin +cos dxdy.  x+ y x+ y D李林 108 · 21.二重积分 (9)设D是由 第 66 页，共136页 y = 1 − x 2 , y = 4 − x 2 与 x + y = 0 及x轴所围且位于 x + y  0 部分的区域,计算 I =  D x x 2 2 + + 2 y y 2 2 d x d y .   (10)设D= (x,y∣)0x2,0 y 2x−x2 ,计算 I =  D x + y − 2 d x d y .李林 108 · 21.二重积分 (11)设D= (x,y∣) x2 +y2 1,0 yx  ,计算 第 67 页，共136页 I = ∬ D 1 + x x y 2 − y 2 d x d y . (12)设 f (x)在  0 ,1  上有连续的二阶导数, f ( 0 ) = 1 , f 't ( 0 ) = 1 ,且  D t f  ( x + y ) d x d y =  D t  f ( x + y ) + ( x − y )  d x d y . 其中 D t =  ( x , y )∣ 0  y  t − x , 0  x  t ( 0  t  1 ) ,求 f ( x ) .李林 108 · 21.二重积分 (13)设在第一象限内, 第 68 页，共136页 x 2 + y 2 = 1 4 与 x 2 + y 2 = x 4 + y 4 及 x = 0 、 y = 0 所围区域为 D ,计算 I = xy  dxdy. x2 + y2 D李林 108 · 22.空间解析几何 高频考点22 空间解析几何(仅数学一要求) (1)求曲面 第 69 页，共136页 y 2 + z 2 = x 与平面 x + 2 y − z = 0 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程. x−3 y−1 z+1 (2)求直线L: = = 绕直线 2 3 1  x y = = 2 3 , 旋转一周所得的曲面方程.李林 108 · 24.无穷级数 高频考点24 无穷级数(仅数学一、三要求) (1)设正项数列a ,b 满足 n n 第 70 页，共136页 a n = ln ( a n + e bn ) ( n = 1 , 2 , ) ,则下列选项中错误的是( ). A.若 n a 1 n   = 收敛,则 n b 1 n   = 收敛. B.若 n a 1 n   = 发散,则 n b 1 n   = 发散. C.若 n a 1 n   = 收敛,则 n b 1 2n   = 收敛. D.若 n b 1 2n   = 发散,则 n a 1 n   = 发散.  ann! (2)设a0, 发散, nn n=1 n 1 n 1 n a n 1   = + − − 收敛,求 a 的取值范围.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 24.无穷级数 n (3)设a = xsinxdx,n=1,2, . n 0 (I)证明: 第 71 页，共136页 lim n a 12 a 2 22 a 2 nn n 1 n 2 2 n    →  + + +  =  = ; (II)求级数 n 1 n 2 2 n   = 的和. (4)设 a 0 0 , a 1 1 , a n 1 3 a n 2 a n 1 ( n 1 , 2 , ) , f ( x ) n 0 a n n! x n  = = + = − − = =  = . (I)求 f (x)满足的二阶微分方程; (II)求 f (x)及 a n .李林 108 · 24.无穷级数  (−1)n 4n (5)将 f (x)=3cos2x−sin2x展开为x的幂级数,并求级数 (2n)! n=0 (6)求级数 第 72 页，共136页 n 0 ( 1 ( 2 n ) n ( n 3 ) 1 ! ) x 2 n   = − + + 的收敛域与和函数,并求 n 0 ( 1 )( n 2 ( n n ) 1 ) 3 ! 2 n    = − + + .李林 108 · 24.无穷级数 (7)设a = + xne−x dx(n=0,1,2, ). n 0 a (I)求lim n−1 ; n→ a n (II)求级数 第 73 页，共136页 n 0 1 a n n 2   = + 的和. (8)设 f (x)二阶可导, f  ( x )  0 f (x) 且lim =0,曲线 x→0 x y = f ( x ) 在点( x,f (x))处的切线在 x 轴上的截距 为u(x),记 a n = lim x → 0 +  u ( x x )  n ( n 为正整数). (I)求a ; n (II)(仅数学一、三要求)求级数 n n 1 2 a n   = 的和.李林 108 · 24.无穷级数 (9)(仅数学一要求)(I)求形如 第 74 页，共136页 n b 1 n s in n x   = 的级数,使得其在 ( 0 , )  内的和函数为 1 2 ( x )  − .当 x = 2  时,求 此级数. (II)设 f (x)在  ,   − 上有二阶连续导数, f ( x ) 的傅里叶级数为 a 02 n a 1 n c o s n x , a n  +  = 是 f ( x ) 的傅里叶系  数.证明:级数a 绝对收敛. n n=1李林 108 · 25.三重/曲线/曲面积分 高频考点25 三重积分、曲线积分、曲面积分(仅数学一要求) (1)设V 是由曲面 第 75 页，共136页 z = 1 − x 2 − y 2 与曲面 z = x 2 + y 2 − 1 所围成的立体. (I)计算 I =  V  ( 2 x + z ) 2 d V ; (II)若流速场 v = ( P , Q , R ) x y z ,其中P= ,Q= ,R= ,r =x2 + y2 +z2,求v由V 内部流向外部的流量. 3 3 3 0 r2 r2 r2 0 0 0 (2)设 P ( x , y ) = ( x − − 1 ) y 2 + y 2 , Q ( x , y ) = ( x − x 1 − 2 ) 1 + y 2 . (I)设L为 x 2 + y 2 = 4 ,取逆时针方向,求 I =  L P d x + Q d y ; (II)设 D 1 = { ( x , y )∣ y  0 } , D 2 = { ( x , y )∣ x  0 ,且 ( x , y )  ( 1 , 0 )} ,问积分I = Pdx+Qdy在D 与D 内是 L 1 2 否与路径无关?李林 108 · 25.三重/曲线/曲面积分 ( )k ( )k x x2 +y2 x2 x2 +y2 (3)设P(x,y)= ,Q(x,y)=− . y y2 (I)若积分 第 76 页，共136页 I =  L P d x + Q d y 在 D = { ( x , y )∣ y  0 } 内与路径无关,求 k 的值; (II)在D内求函数u(x,y),使得 d u = P d x + Q d y ,并计算 I =  ( ) 2 ,2 P ( ) 1,1 d x + Q d y . (4)设由旋转抛物面S:z=x2 + y2和平面 z = 1 所围均匀立体为V . (I)求V 的质心坐标; (II)求S上的点 P  1 2 , 1 2 , 1 2  处的切平面的方程,并求 V 的质心到此切平面的距离; (III)在S上求出使其切平面与V 的质心距离最近的点的轨迹.李林 108 · 25.三重/曲线/曲面积分 (5)计算曲面积分 第 77 页，共136页 I =    c o 2 s 2 x + c o y s 2 y − c o 1 s 2 z  d S ,其中  为 x 2 + y 2 + z 2 = 1 . (6)设曲面 S 为z= x2 +y2 被柱面 x 2 + y 2 = 2 x 所截下的部分. (I)求曲面 S 的面积A; (II)若曲面 S 的密度为 x y + y z + z x ,求曲面S的质量 m ; (III)若曲面S的密度为常数,求S的质心坐标z.李林 108 · 25.三重/曲线/曲面积分 (7)设 f (x)有连续导数, 第 78 页，共136页 f ( x )  0 , f ( 1 ) = 1 ,在区域 D : y  0 内存在 u ( x , y ) ,使得 d u = x f d y( x −) y + d y x 2 . (I)求 f (x)及 u ( x , y ) ; (II)若 L 为从点A(0,1)到点B(1,1)的光滑曲线,计算 I =  L x f d y( x −) y + d y x 2 . (8)设曲线L为从点A(2,2)沿 ( x 1 ) 2 ( y ) 2 1 2   − + − = + 的上半圆周到点 O ( 0 , 0 ) ,计算I =  exsinydx+ ( excosy−x ) dy. L李林 108 · 25.三重/曲线/曲面积分 (9)计算I =  ydx+zdy+xdz,其中 L 第 79 页，共136页 L 是球面x2 + y2 +z2 =4z与平面 x + z = 2 的交线,从 z 轴正向看去为 逆时针方向. (10)设曲面  为柱面x2 + y2 =1介于 z = 0 与x+ y+z=2之间部分的外侧,计算 I =   x 2 d y d z + y x 2 2 d + z d y x 2 + z 2 d x d y .李林 108 · 25.三重/曲线/曲面积分 (11)设 第 80 页，共136页 S 为曲面 z = x 2 + y 2 ( 1  x 2 + y 2  4 ) 的下侧,计算 I =  S ( x 2 y + 2 x − y ) d y d z + ( y 2 x + 2 y + x ) d z d x + ( x y z + z ) d x d y . (12)设 S 是上半空间 z  0 中任意光滑闭曲面,取外侧,由S围成的区域为 V ,函数 u = r k ( r ) (其中 r = x 2 + y 2 + z 2 )在上半空间有二阶连续偏导数,且满足 u u u  dydz+ dzdx+ dxdy=e x2+y2+z2 dV,求k(r)的表达式. x y z S V公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 25.三重/曲线/曲面积分 (13)设过点 第 81 页，共136页 O ( 0 , 0 , 0 ) 与点 A ( 0 ,1 ,1 ) 的直线段 O A 绕 z 轴旋转一周所得曲面为  ,取  的下侧, f (x)为连 续函数.计算I =−xf (x+ y)−2xdydz+−2y−yf (x+y)dzdx+−zf (x+y)dxdy.        (14)设曲线为锥面 z = x 2 + y 2 与圆柱面 x 2 + y 2 = 2 x 的交线,从 z 轴正向往负向看去, L 为逆时针方向, 计算I = ( y2 +z2) dx+ ( z2 −x2) dy+ ( x2 +y2) dz. L李林 108 · 26.行列式计算 线性代数 高频考点26 行列式计算 a +1 a a a a a 1 2 3 n−2 n−1 n −1 1 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 (1)计算D = . n 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 −1 1 2 2 2 2 1 a a a (2)设行列式 A = 1 2 3 =1,A 是 A 中元素a 的代数余子式,求 1 b b b ij ij 1 2 3 1 c c c 1 2 3 第 82 页，共136页 4 i= 1 4 j= 1 A ij .李林 108 · 26.行列式计算 (3)设A是3阶方阵,α ,α ,α 线性无关,且A=+,A = +,A = +,求行列式 A−E . 1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 1 (4)设A为3阶非零实矩阵,且AT =kA*( 第 83 页，共136页 k 为非零常数). (I)证明: A 是可逆矩阵; (II)求行列式 A − 1 + ( A * ) − 1 .李林 108 · 27.矩阵的计算 高频考点27 矩阵的计算 (1)设A=E−2ααT,α为n维列向量,且αTα=1,求 第 84 页，共136页 A 2 n . 1 −2 0   (2)设矩阵A= 1 2 0 ,B为3阶矩阵,且满足     0 0 2 2 B − 1 A + 4 E = A ,证明: B − 2 E 可逆,并求 ( B − 2E)−1.李林 108 · 27.矩阵的计算 (3)设3阶矩阵A的特征值为1,2,−1,对应的特征向量分别为 第 85 页，共136页 α 1 = ( 1 ,1 ,1 ) T , α =(0,1,2)T, 2 α 3 = ( 1 , 0 ,1 ) T ,求 A 3 − 2 A . (4)设 A =  0 0 1 0 1 0 1 0 0  ,已知矩阵B与矩阵 A 相似,求 r ( B − 2 E ) + r ( B − E ) 及 ( A − E ) n ( n 为大于1的正整 数).李林 108 · 28.矩阵方程 高频考点28 矩阵方程 (1)设 第 86 页，共136页 A * =  1 1 0 0 2 0 0 4 2  满足 A X + ( A − 1 ) * X ( A * ) * = E ,且 A  0 ,求矩阵 X . (2)设矩阵 X 满足  − 1 2 1 − 1 k 1 − 1 1 k  X =  − k 2 1 − 1 2 k − 2  ,求矩阵 X .李林 108 · 29.初等矩阵 高频考点29 初等矩阵 (1)设 第 87 页，共136页 A =  0 1 0 1 0 0 0 0 1  , B =  1 0 0 0 0 1 0 1 0  , C =  1 2 1 − − 4 0 2 − 3 1 0  ,且 A 3 X B 3 = C ,求矩阵 X . (2)设 A =  2 0 3 0 2 0 1 0 2  满足 A * B ( A * ) − 1 = 6 A + 2 B A ,其中 A * 是 A 的伴随矩阵, B 为3阶矩阵. (I)求矩阵 B ; (II)求可逆矩阵 P 和 Q ,使得 P A Q = B .李林 108 · 30.矩阵的秩 高频考点30 矩阵的秩 (1)设矩阵A= ( a ) ,r(A)=n−1,证明:存在常数k,使得( A*)2 =kA*. ij nn (2)设A,B均是 第 88 页，共136页 n 阶可逆矩阵,且AB=B−1A−1,证明: r ( E + A B ) + r ( E − A B ) = n .李林 108 · 30.矩阵的秩 (3)设α,β是3维单位列向量,且 第 89 页，共136页 α 与β正交,求A=2ααT +ββT的特征值及r(A). (4)设α,β为 n 维列向量,A=E−kαβT,且常数 1 k 1  0 , β T α  1 k 1 .证明:矩阵 A 可逆,且A−1=E− k 2 α β T , 其中 β T α = 1 k 1 + 1 k 2 .李林 108 · 30.矩阵的秩 1 0 −1   (5)设A= 2 a 1 ,B是3阶矩阵,且     1 2 1 第 90 页，共136页 r ( B ) = 2 , r ( A B ) = 1 , A * 与 B * 分别是 A 与 B 的伴随矩阵,则正确 的是( ). A. r   A A * O B   = 3 . B. r   A O O B *   = 3 . C. r   A O * B A   = 3 . D. r   A O B B *   = 3 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 31.向量相关性 高频考点31 向量相关性 (1)设向量组 第 91 页，共136页 α 1 , α 2 , , α s 是 A x = 0 的一个基础解系,向量 β 满足 A β  0 ,证明:向量组 β , β + α 1 , β + α 2 , , β + α s 线性无关. 1 2 2  1 2 2     (2)设A= 1 3 0 =(α ,α ,α ),B= 0 1 1 =(β ,β ,β ).   1 2 3   1 2 3     2 7 −2 −1 1 1 (I)求α ,α ,α ,β ,β ,β 的一个极大线性无关组; 1 2 3 1 2 3 (II)求3阶可逆矩阵Q,使得AQ=B.李林 108 · 31.向量相关性 (3)设向量 第 92 页，共136页 α 1 = ( 1 , − 1 , 2 , − 1 ) T , α 2 = ( − 3 , 4 , − 1 , 2 ) T , α 3 = ( 4 , − 5 , 3 , − 3 ) T , α 4 = ( − 1 , a , 3 , 0 ) T , β=(0,b,5,−1)T. (I)问a,b为何值时, β 不能由α ,α ,α ,α 线性表示? 1 2 3 4 (II)问 a , b 为何值时, β 可由α ,α ,α ,α 线性表示?并写成表达式. 1 2 3 4 (4)设向量组①为 α 1 = ( 1 , 0 , 2 ) T , α 2 = ( 1 ,1 , 3 ) T , α 3 = (1 , − 1 , k + 2 ) T ,向量组②为β =(1,2, 1 k + 3 ) T , β 2 = ( 2 ,1 , k + 6 ) T , β 3 = ( 2 ,1 , k + 4 ) T . (I)问k为何值时,向量组①与②等价? (II)问 k 为何值时,向量组①与②不等价?李林 108 · 32.含参数线性方程组 高频考点32 含参数线性方程组 (1)设方程组 第 93 页，共136页  x − x 1 x 1 + 1 − x + x 2 a 2 + x + 2 a x + 2 x 3 x 3 = 3 = 4 = − , a 4 2 , , 问 a 分别为何值时,方程组有解、无解?有解时,求出通解. (2)问a,b为何值时,方程组  x 2 3 x 1 x x 1 + 1 1 − x + + x 2 x 2 2 − 2 x − 2 x − 6 + 2 6 x 3 x a 3 + 3 x − 3 x + 4 + 3 x 4 4 x 7 = = 0 , = − 4 x = 4 b 1 − , 1 , 有解、无解?当有解时,求方程组的通解.李林 108 · 33.抽象方程组/公共解/同解 高频考点33 抽象线性方程组及两个方程组公共解、同解 (1)设 第 94 页，共136页 B = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 是4阶矩阵,非齐次线性方程组 B x = β 的通解为 ( 1 , − 1 , 0 ,1 ) T + k ( 1 , 0 , − 3 , 2 ) T . (k为 任意常数)记 A = ( β + α 2 , α 4 , α 3 , α 2 , α 1 ) ,求方程组 A x = β 的通解. x +2x +x −x =0, 1 2 3 4  (2)设方程组①2x +3x +x −3x =0, ② 1 2 3 4  3x +5x +2x −4x =0,  1 2 3 4  x x 1 1 + + x b 2 x + 2 + a x 2 4 x = 3 = 0 , 0 . (I)求方程组①的通解; (II)问 a , b 为何值时,方程组①与②同解、①与②有非零公共解?李林 108 · 33.抽象方程组/公共解/同解 (3)设齐次线性方程组(I)的基础解系为ξ =(1,1,0,0)T,ξ =(1,0,1,0)T,ξ =(1,0,0,1)T,齐次线性方程组 1 2 3 (II)的基础解系为 第 95 页，共136页 η 1 = ( 0 , 0 ,1 ,1 ) T , η 2 = ( 0 ,1 , 0 ,1 ) T ,求方程组(I)与(II)的非零公共解. (4)设方程组(I)  4 x 1 x 1 3 + − x 1 x x − 2 2 − − x 2 2 x − x 4 − 3 x 3 = x = − 6 = 4 3 , , 1 , (II)  x b x 1 x 3 + 2 − a − 2 x x x 2 3 4 − − = x − 3 2 x 4 − c x 4 = − + 1 , = 1 − 1 , 5 , 问 a , b , c 为何值时,方程组(I)与(II) 同解?李林 108 · 34.相似矩阵 高频考点34 相似矩阵 (1)设齐次线性方程组 第 96 页，共136页 A x = 0 的通解为 k 1 ( 1 , 0 , 2 ) T + k 2 ( 0 ,1 , − 1 ) T , k 1 , k 2 为任意常数,且 α = (1 , 2 , 3 ) T 满足 ( 3 E + A ) α = 0 ,求可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = Λ ,并求矩阵 A . (2)设 A =  2 1 0 1 2 0 0 0 1  与 B =  − a 0 1 − b 1 2 c 0 4  相似. (I)求a,b,c的值; (II)求可逆矩阵 P ,使得P−1AP=B; (III)A的伴随矩阵为A*,求方程组 ( 3 E − A * ) X = 0 的通解.李林 108 · 34.相似矩阵  3 2 −2   (3)设A= −a −1 a 有三个线性无关的特征向量.      4 2 −3 (I)求a的值,并求可逆矩阵 第 97 页，共136页 P 及对角矩阵 Λ ,使得P−1AP=Λ; (II)求可逆的实对称矩阵Q,使得Q−1AQ= AT. 1 1 a  1     (4)设A= 1 a 1 ,b= 1 ,方程组         a 1 1 −2 A X = b 有无穷多解. (I)求a的值及AX=b的通解; (II)求正交矩阵 Q 及对角矩阵 Λ ,使得 Q T A Q = Λ .李林 108 · 34.相似矩阵 (5)设A是2阶矩阵,2维非零列向量α不是A的特征向量. (I)证明: 第 98 页，共136页 α , A α 线性无关. (II)若 A 2 α − A α − 2 α = 0 ,求可逆矩阵 P 和对角阵 Λ ,使得 P − 1 A P = Λ . (6)(仅数学一要求)设A是3阶矩阵, α 1 , α 2 , α 3 是3维列向量且 α 1  0 ,A =k, 1 1 A 2 1 k 2 ,    A 3 2 k 3 = +    = + (I)证明: α 1 , α 2 , α 3 是R3的一组基; (II)若 A α 1 , A α 2 , A α 3 线性相关,求 k 的值,并求满足条件的一个可逆矩阵 P (用α ,α ,α 表示)与矩阵B, 1 2 3 使得P−1AP=B.李林 108 · 35.实对称矩阵相似 高频考点35 实对称矩阵相似 (1)设3阶实对称矩阵 第 99 页，共136页 A 的特征值为 1 1 , 2 3 1 , 1     = = = − 对应的特征向量为 α 1 = ( 1 , 0 ,1 ) T . (I)求A2; (II)若β=(1,2,3)T,求 A n β . (2)设A是3阶实对称矩阵,=2是A的特征值,其对应的特征向量为 1 α 1 = ( − 1 ,1 ,1 ) T . (I)当r(A)=1时, k 1 ( 1 ,1 , 0 ) T + k 2 ( 1 , − 1 , 0 ) T ( k 1 , k 2 为任意常数)是否为方程组 A x = 0 的通解?说明理由; (II)当 r ( A ) = 1 时,求方程组Ax=0的通解,并求矩阵 A .李林 108 · 35.实对称矩阵相似 (3)设A是3阶实对称矩阵,存在可逆矩阵 第 100 页，共136页 P ,使得 P − 1 A P = d ia g ( 1 , 2 , − 1 ) ,且 α 1 = ( 1 , a + 1 , 2 ) T , α 2 = ( a − 1 , − a ,1 ) T 分别为A的特征值 1 1 , 2 2   = = 对应的特征向量, A * 的特征值 0 对应的特征向量为 β = ( 2 , − 5 a , 2 a + 1 ) T . (I)求a与的值; 0 (II)求矩阵 A . (4)设3阶实对称矩阵 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) , r ( A ) = 2 ,且满足 α 1 + 2 α 2 + α 3 = ( 3 , 6 , 3 ) T , α 1 − α 2 + α 3 = ( − 1 ,1 , − 1 ) T . (I)求A; (II)若 X = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T ,求方程 X T ( A + E ) X = 0 的全部解.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 36.二次型的标准形和规范形 高频考点36 二次型的标准形和规范形 (1)设二次型 第 101 页，共136页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 4 x 22 + x 23 + 2 a x 1 x 2 + 8 x 1 x 3 + 2 b x 2 x 3 ( b  0 ) ,经过正交变换 x = Q y 化为标准形 为 5 y 21 + 5 y 22 − 4 y 23 . (I)求a,b的值及一个正交矩阵 Q ; (II)利用配方法化二次型 f 为规范形. (2)设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x , A = ( a ij ) 3 3 为实对称矩阵, α 1 = ( 1 ,1 ,1 ) T , α 2 = ( − 1 ,1 , 0 ) T , α 3 = ( 0 , 2 ,1 ) T 是方 程组 A x = 0 的三个解向量,且 3 i=1 a ii = 2 . (I)证明: r ( A ) = 1 ; (II)求二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 的表达式.李林 108 · 36.二次型的标准形和规范形 (3)设二次型 f (x,x ,x )=2xx +3x x +4xx ,利用可逆线性变换化 f 为标准形,并求 f 的正、负惯性 1 2 3 1 2 2 3 1 3 指数及 第 102 页，共136页 f 的秩. (4)设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + x 2 ) 2 + ( x 2 − x 3 ) 2 + ( x 1 + a x 3 ) 2 . (I)求 f (x,x ,x )=0的解; 1 2 3 (II)当 f (x,x ,x )=0有非零解时,求正交变换 1 2 3 X = Q Y ,将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为标准形; (III)求 f (x,x ,x )的规范形. 1 2 3李林 108 · 36.二次型的标准形和规范形 (5)已知二次型 第 103 页，共136页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 2 x 22 + 2 x 23 + 2 a x 2 x 3 ( a  0 ) ,在正交变换 X = Q Y 下化为 g ( y 1 , y 2 , y 3 ) = 2 y 21 + b y 22 + 2 y 23 − 2 y 1 y 3 . (I)求a,b的值; (II)求正交矩阵 Q . (6)设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + x 22 + x 23 + 2 a x 1 x 2 + 2 a x 1 x 3 + 2 a x 2 x 3 ,经过可逆线性变换 X = P Y 化为 g ( y 1 , y 2 , y 3 ) = y 21 + y 22 + 3 y 23 + 2 y 1 y 2 . (I)求a的值; (II)求可逆矩阵 P .李林 108 · 36.二次型的标准形和规范形 (7)已知二次型 第 104 页，共136页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 2 x 22 + a x 23 + 2 x 1 x 2 经过可逆线性变换 X = P Y 化为 y 21 + y 23 . (I)求a的值及可逆矩阵P; (II)设 X = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T ,当 X T X = 1 时,求 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 的最大值,并求满足 x 1 = x 2  0 的最大值点.李林 108 · 37.二次型正定及惯性指数 高频考点37 二次型正定及正负惯性指数 (1)设二次型 第 105 页，共136页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 4 x 22 − 3 x 23 + 2 a x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 + 8 x 2 x 3 (a为整数)经过正交变换 x = Q y 化为标准形 为 y 21 + 6 y 22 + b y 23 . (I)求a,b的值及正交变换; (II)证明:二次型 x T ( A * + 3 7 E ) x 正定,其中 A * 为 A 的伴随矩阵. (2)设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x 经正交变换化为标准形为 2 y 21 − y 22 − y 23 ,又 A * α = α , α = ( 1 ,1 , − 1 ) T . (I)求此二次型的表达式; (II)证明: A + 2 E 是正定矩阵.李林 108 · 37.二次型正定及惯性指数 (3)设A是3阶实对称矩阵,二次型 第 106 页，共136页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x 在正交变换下的标准形为y2 + y2 − y2,求二次型 1 2 3 g ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A * x 及 h ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A A * x 的规范形. (4)二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x ,其中 A =  1 0 0 2 2 7 2 2 1 2 1  ,求 f 的正惯性指数.李林 108 · 37.二次型正定及惯性指数 (5)设二次型 第 107 页，共136页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = X T A X ( A T = A ) 经过正交变换 X = Q Y 化为标准形 2 y 21 − y 22 − y 23 ;又 A *α = α , 其中 α = ( 1 ,1 , − 1 ) T , A * 是 A 的伴随矩阵. (I)求正交矩阵Q及实对称矩阵A; (II)若正定矩阵 B 满足 B 2 = A + 2 E ,求 B ; (III)求可逆矩阵P,使得A+2E=PTP.李林 108 · 38.概率公式有关计算 概率论与数理统计 高频考点38 概率公式有关计算 (1)设事件A,B相互独立, 第 108 页，共136页 A , C 互不相容,且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(C)=0.4, P ( ∣B C ) = 0 .2 . (I)求 P ( ∣C A  B ) ; (II)求 P ( A ∣B C ) . (2)设有甲、乙、丙三门炮,同时独立地射击某目标,各炮的命中率分别为0.2,0.3和0.5.目标被命中一 发就被击毁的概率为0.2,命中两发被击毁的概率为0.6,命中三发被击毁的概率为0.9. (I)求三门炮在一次射击中击毁目标的概率; (II)在目标被击毁的条件下,求只由甲炮击中的概率.李林 108 · 38.概率公式有关计算 (3)将一枚硬币独立地掷两次, 第 109 页，共136页 A 1 = {第一次出现正面 } , A 2 = { 第二次出现正面 } , A 3 = { 正、反各出现一次 } , A 4 = { 正面出现两次 } ,则事件( ). A. A 1 , A 2 , A 3 两两独立 B. A 1 , A 2 , A 3 相互独立 C. A 2 , A 3 , A 4 相互独立 D. A 2 , A 3 , A 4 两两独立李林 108 · 39.随机变量的分布函数、概率密度 高频考点39 随机变量的分布函数、概率密度的性质 (1)设随机变量X 的分布函数为 第 110 页，共136页 F ( x ) ,其概率密度为 f ( x ) ,则可分别作为某一随机变量的分布函数与 概率密度的为( ). A.F ( x2) 与 f ( 2 x ) B. F ( − 2 x ) 与 f ( x2) C. F ( x 3 ) 与 f ( 1 − x ) D. F ( x ) 与  f ( x )  2 (2)设连续型随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) =  a b 1 e , − x , a e − (x − )1 , x 0 x    0 x 1 ,  . 1 , (I)求a,b的值; (II)求 X 的概率密度 f ( x ) ; (III)求 P  X  1 2  .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 40.常用分布有关概率 高频考点40 常用分布有关概率计算 (1)设随机变量X 服从参数为 第 111 页，共136页 ( 0 )   的指数分布,求概率 P { X  ∣8 X  4 } . (2)设随机变量X 服从参数为 ( 0 )   ke− 的泊松分布,其分布律为PX =k= k! ( k = 0 ,1 , 2 , ) , 若概率 P  X = k  取得最大,求k的取值.李林 108 · 40.常用分布有关概率 (3)设总体X N ( ,2) ,(X ,X , ,X )为总体X 的简单随机样本,X = 1  16 X ,且P∣{ X − 1 2 16 16 i i=1 第 112 页，共136页 k } P { X 4 }   ∣  = −  ,则 k = _________. (4)设随机变量X 在2,5上服从均匀分布,对 X 进行三次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概 率.李林 108 · 40.常用分布有关概率 (5)设甲、乙两人进行定点独立投篮比赛,投中者在投中之后停止投篮,两人投中的概率均为 第 113 页，共136页 p , X 1 与 X 2 分别表示甲、乙需要投篮的次数,求 P  X 1 + X 2 = k  ( k  2 ) .李林 108 · 41.一维随机变量的函数分布 高频考点41 一维随机变量的函数的分布 (1)设随机变量X 在 第 114 页，共136页 ( 0 ,1 ) 内服从均匀分布,求 Y = − 2 ln X 的分布函数和概率密度. (2)设随机变量X 的概率密度为 f ( x ) ( 1 1 x 2 )  = + ,求 Y = 1 − 3 X 的分布函数和概率密度.李林 108 · 41.一维随机变量的函数分布 (3)设随机变量 第 115 页，共136页 Y ln X N ( , 2 )  =  ,求 X 的概率密度.李林 108 · 42.二维随机变量的函数分布 高频考点42 二维随机变量 第 116 页，共136页 ( X ， Y ) 的分布及 ( X , Y ) 函数的分布 (1)设随机变量X 与 Y 均服从同一几何分布,且 X 与 Y 相互独立, P  X = k  = p q k − 1 ( k = 1 , 2 , ) , p + q = 1 ,求 Z = m a x  X , Y  的分布律. (2)设随机变量X 的分布律为 (I)求a的值;   (II)求Y =sin X 的分布律. 2 李林 108 · 42.二维随机变量的函数分布 (3)设二维随机变量 第 117 页，共136页 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) k 0 x , e y , 0 x . y ,  =  − 其  他   + (I)求常数 k ; (II)求X,Y的边缘概率密度,问 X , Y 是否相互独立? (III)求 f ∣X Y ( ∣x y ) , f ∣Y X ( ∣y x ) ; (IV)求P{X ∣1 Y 2},P{X ∣1 Y =2}; (V)求(X,Y)的联合分布函数; (VI)求 Z = X + Y 的概率密度及 E  ( X + Y ) 2  .李林 108 · 42.二维随机变量的函数分布 (4)设二维随机变量 第 118 页，共136页 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) = k e − 12 ( 2x + 2y ) ( 1 + s in x s in y ) , x ,   −   + y   −   + (I)求常数 k ; (II)求X,Y的边缘概率密度,并判别 X 与 Y 是否相互独立. (5)设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) =  2 0 e , − x − 2 y , x 其  他 0 , , y  0 , 求Z =X −2Y的概率密度,并求 E Z .李林 108 · 42.二维随机变量的函数分布 (6)设随机变量X 与 第 119 页，共136页 Y 相互独立, X  N ( 0 ,1 ) ,且 Y 的分布律为 P  Y = − 1  = 1 3 , P  Y = 1  = 2 3 , Z = X Y . (I)求Z的概率密度; (II)求 zx  . (7)设随机变量X 与 Y 相互独立, X 在  0 , 4  上服从均匀分布, Y 的概率密度为 4e−4y, y0, 1, X Y, f (y)= 记 U = Y 0, y0, 0, X Y. (I)求Z =X +Y的概率密度; (II)求U 的分布律.李林 108 · 42.二维随机变量的函数分布 (8)设随机变量X 与Y相互独立,且均服从N(0,1),令U =maxX,Y,V =minX,Y. (I)求 第 120 页，共136页 Z 1 = U + V , Z 2 = U − V 的概率密度 f1 ( z ) , f 2 ( z ) ; (II)求二维随机变量 ( U ,V ) 的分布函数 F ( u , v ) . (9)设二维随机变量 ( X , Y ) 服从区域 D =  ( x , y ) x + ∣y  1  上的均匀分布,令 U =  − 1 1 , , X X   − − 1 21 2 , , V =  − 1 1 , , Y Y   1 21 2 , . (I)求二维随机变量 ( U ,V ) 的概率分布及 C o v ( U ,V ) ; (II)求 ( U ,V ) 的分布函数.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 42.二维随机变量的函数分布 (10)(I)设X 与Y相互独立,X 的概率密度为 f (x),Y 的分布律为PY =a= p, 第 121 页，共136页 P  Y = b  = 1 − p ( 0  p  1 ) , 求 Z = X + Y 的分布函数 F Z ( z ) 与概率密度 f Z ( z ) ; (II)设 X 与 Y 相互独立, X 的概率密度为 f (x)= 1 e − x 2 2 (−x+),且 2 P  Y = 0  = 1 4 , P  Y = 1  = 3 4 ,求Z =XY的分布函数 F Z ( z ) . (11)设随机变量(X,Y)服从 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  1 , y  0  上的均匀分布,记 Z 2 =  0 1 , , X X   3 3 Y Y , . Z 1 =  0 1 2 , , , X 0 X    0 X Y ,  , Y , (I)求二维随机变量 ( Z 1 , Z 2 ) 的概率分布; (II)求相关系数 z z1 2  .李林 108 · 42.二维随机变量的函数分布 (12)设随机变量是X 的概率密度为 f (x),当x0时, f (x)=0;当x0时, f (x)是微分方程 1 f(x)+f (x)=0(0)的解.Y的分布律为PY =0=PY =1= ,且X 与Y相互独立,记 2 Z =X −Y. (I)求Z的概率密度 第 122 页，共136页 f Z ( z ) ; (II)求 E Z ; (III)X 与 Z 是否相关?说明理由.李林 108 · 43.分布已知,求数字特征 高频考点43 分布已知，求数字特征 (1)设随机变量X 服从参数为的泊松分布,已知 第 123 页，共136页 P { X  0 } = 1 − e − 1 .  EX  (I)求E  ; 1+ X  (II)求 C o v ( X , X 2 ) . (2)设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) 2 0 , ( 1 x 2 y 2 ) , x 2 y . 2 1 ,  =  − − 其 + 他  (I)X 与 Y 是否相互独立?说明理由; (II)求 ; XY (III)求Z = X2 +Y2 的概率密度.李林 108 · 43.分布已知,求数字特征 (3)设随机变量X 与 第 124 页，共136页 Y 相互独立,且均服从 N ( , 2 )  ,记 U = a X + b Y ,V = a X − b Y ,其中 a , b 不同时为 零. (I)求相关系数 ; uv (II)求U 与V 相互独立的条件. (4)设随机变量X 的概率密度 f ( x ) e 1 e (x 2 x ) , x ( , ) , Y 2 ( X E X )    = −  − + = − ,求 与D ( Y2) . XY李林 108 · 43.分布已知,求数字特征 (5)设随机变量X 服从参数为 第 125 页，共136页 ( 0 )   的指数分布,求使 E ( X − a ) ( a  0 ) 取得最小值的常数 a ,并求 PX a. (6)设随机事件 A , B 相互独立, 0  P ( A ) = p  1 ,且 P ( A B ) = P ( B A ) .令 X =  1 0 , , 若 若 A A 发 不 生 发 , 生 , Y =  1 0 , , 若 若 A A B B 发 不 生 发 , 生 , 求 C o v ( X , Y ) 和 X Y  .李林 108 · 43.分布已知,求数字特征 (7)设X ,X , ,X 为来自总体X 的简单随机样, 1 2 n 第 126 页，共136页 X 的概率密度为 f ( x ) =  x n 0 n ! , e − x , x x   0 0 , . (I)利用切比雪夫不等式证明: P { 0  X  2 ( n + 1 )}  n n + 1 . (II)求 lim n P n i 1 X n i n n ( n 1 1 ) 1  →   = − + +   . (III)是否存在正实数 a ,对任意 0   ,都有 lim n P 1 n n i 1 X 2i a 1   →   = −   =李林 108 · 43.分布已知,求数字特征 (8)设随机变量 第 127 页，共136页 X 1 与 X 2 相互独立,且均服从 N ( 0 ,1 ) , X 3 的分布律为 P  X 3 = − 1  = 1 4 , P  x 3 = 1 } = 3 4 ,且X 1 与 X 3 相互独立. (I)求Z =X X 的概率密度 1 3 f Z ( z ) ; (II)求 X 1 与 Z 的相关系数 X Z1  ; (III) ( X 1 + X 2 ) 2 与 ( X 1 − X 2 ) 2 是否相互独立?说明理由.李林 108 · 44.分布未知,求数字特征 高频考点44 分布未知，求数字特征 (1)设袋中装有红球16个、白球3个、黑球1个,且三种颜色球的大小和质地相同,现从袋中随机取一 个球,记 第 128 页，共136页 X i =  1 0 , , 取 其 到 他 第 . 种i 颜 色 球 ( i = 1 红, ;i = 2 白, ;i = 3 黑, ) ; (I)求二维随机变量 ( X 1 , X 2 ) 的概率分布; (II)问 X 1 与 X 2 是否相关? (2)设随机变量(X,Y)服从 N  1 , 0 , 9 ,1 6 ; − 1 2  , Z = 1 3 X + 1 2 Y . (I)求Z的期望和方差; (II)问 X 与 Z 是否相互独立?说明理由.李林 108 · 44.分布未知,求数字特征 (3)设X ,X , ,X (n2)为相互独立且同分布的随机变量,均服从 1 2 n 第 129 页，共136页 N ( 0 ,1 ) , Y i = X i − X ( i = 1 , 2, ,n),X = 1  n X ,S2 = 1  n ( X −X )2 ,T = X 2 − 1 S2. n i n−1 i n i=1 i=1 (I)求DY ; i (II)求 Y Y1 n  ; (III)求ET 和 D T . (4)设随机变量X 的概率密度为 f ( x ) ,若 f ( a + x ) = f ( a − x ) , x  0 , a 为常数,且 E X 存在,求 E X .李林 108 · 44.分布未知,求数字特征 2e−2x, x0, (5)设X ,X , ,X 相互独立且同分布,其相同的概率密度为 f (x)= 求 1 2 n 0, x0, 第 130 页，共136页 Z = m in  X 1 , X 2 , , X n  的数学期望 E Z 和方差 D Z .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 45.参数估计 高频考点45 第 131 页，共136页 2 , t , F  分布及参数估计 (1)设总体 X  N ( 0 ,1 ) , ( X 1 , X 2 , , X 10 ) 为 X 的简单随机样本. (I)若 T = 1 3  3 i= 1 X i  2 + 1 7  10 i= 4 X i  2 ,求 T 服从的分布; 3 7X2 i (II)若T = i=1 ,求 10 3X2 i i=4 T 服从的分布; 3X (III)若T = 1 ,求T服从的分布. 10 X2 i i=2李林 108 · 45.参数估计 (2)设X ,X , ,X ,X 为总体X N ( ,2) 的简单随机样本,X = 1  n X ,T = 1 2 n n+1 n i i=1 第 132 页，共136页 ( n n 1 ) 2 ( X n 1 X ) 2  + + − , 求 T 服从的分布,并计算 E T 和DT . (3)设总体 X 服从参数为 ( 0 )   的泊松分布, ( X 1 , X 2 , , X n ) 为总体 X 的简单随机样本,求的矩估计 量和最大似然估计量.李林 108 · 45.参数估计 (4)设总体 第 133 页，共136页 X 的简单随机样本为 X 1 , X 2 , , X n , X 的概率密度函数为 f ( x ) 1 0 , e x , x , ,     =  − − 其  他 其中 0,,为未知参数,求和的最大似然估计值. (5)设X ,X , ,X (n2)为总体X N ( 0,2) 的简单随机样本, 1 2 2n 0   且为未知参数. (I)求2的最大似然估计量 ˆ 2  ; n+1 2n (II)记U =X ,V =X ,利用(I)中的 i i i=1 i=n ˆ 2  ,求相关系数 U V  .李林 108 · 45.参数估计 (6)(仅数学一要求)设总体 第 134 页，共136页 X 2e−2(x−) , x, 的概率密度为 f (x;)= 0为未知参数, 0, x, ( X 1 , X 2 , , X n ) 为来自总体 X 的简单随机样本.   (I)求的矩估计量 与最大似然估计量 ; 1 2  (II)问 和 1 2   是否为的无偏估计量? (III)将 1 , 2  修正为 3 , 4   ,使 3 , 4   为的无偏估计,并比较 3 , 4   的有效性. (7)设二维总体随机变量 ( X , Y ) 的概率密度函数为 f ( x , y ) 2 2 e x y , 0 x y ,    = − − +    + 其中 0   为未知参 数,(X ,Y ),(X ,Y ), ,(X ,Y )为总体 1 1 2 2 n n ( X , Y ) 的一组简单随机样本. (I)求的最大似然估计量 ˆ; (II)求E ˆ.李林 108 · 45.参数估计 (8)设总体X U(0,)(0),X ,X , ,X 为来自总体X 的简单随机样本,若的最大似然估计量为 1 2 n 第 135 页，共136页 ˆ . (I)求E ˆ和D ˆ; (II)利用切比雪夫不等式证明:对任意 0   ,有 lim n P  ˆ  0     → −  = ; (III)(仅数学一要求)若以 ( ˆ , a ˆ ) ( a 0 )    作为的置信区间,置信度为0.95,求 a 的值. (9)设相互独立的随机变量 X 1 , X 2 , , X n 均服从N ( ,2) , Y i X i ( i 1 , 2 , , n ) ,  = − = Y = 1 n n  Y i= 1 .i (I)求Y 的概率密度; 1 (II)利用一阶矩求的矩估计量; (III)求 E Y 和 D Y .李林 108 · 45.参数估计 (10)(仅数学一要求)设某校学生身高的总体X 服从N(,16),要使其平均身高置信度为0.95的置信区 间长度小于1.2,求至少应抽查多少名学生的身高.(已知单位: 第 136 页，共136页 c m ,  ( 1 .9 6 ) = 0 .9 7 5 ) (11)(仅数学一要求)设学生完成考试的时间服从正态分布,其标准差为6分钟,若随机样本为20名学 生,其标准差 S = 4 .5 1 分钟,在 0 .0 5  = 的显著性水平下,是否可认为标准差减少?(已知 20.05 ( 1 9 )  = 10.117)