文档内容
专题 7.2 空间点、直线、平面之间的位置
关系
目录
题型一： 位置关系的判定...............................................................................................................4
题型二： 共点、共线、共面的证明..............................................................................................7
题型三： 异面直线所成角.............................................................................................................10
题型四： 综合运用.........................................................................................................................17
知识点总结
知识点一、平面的基本事实及推论
(1)基本事实
基本
文字语言 图形语言 符号语言 作用
事实
基本 A，B，C三点不
过不在一条直线
共线⇒存在唯一 确定平面；判定
上的三个点，有
的平面 α 使 A， 点线共面
且只有一个平面
事实1 B，C∈α
如果一条直线上
基本
的两个点在一个 A∈l，B∈l，且 确定直线在平面
平面内，那么这 A∈ α ， 内；判定点在平
事实2
条直线在这个平 B∈α⇒l⊂α 面内
面内
如果两个不重合
基本
的平面有一个公 P∈ α ， 且 判定两平面相
共点，那么它们 P∈β⇒α∩β＝l， 交；判定点在直
事实3
有且只有一条过 且P∈l 线上
该点的公共直线(2)基本事实1与2的推论
推论 文字语言 图形语言 符号语言
经过一条直线和这条 A∉l⇒有且只有一个
推论1 直线外一点，有且只 平面 α，使 A∈α，
有一个平面 l⊂α
a∩b＝P⇒有且只有
经过两条相交直线，
推论2 一 个 平 面 α ， 使
有且只有一个平面
a⊂α，b⊂α
a∥b⇒有且只有一个
经过两条平行直线，
推论3 平面 α，使 a⊂α，
有且只有一个平面
b⊂α
知识点二、空间点、直线、平面之间的位置关系
(1)空间中直线与直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
共面 相交直线 在同一个平面内 1
直线 平行直线 在同一个平面内 0
异面直线 不同在任何一个平面内 0
(2)空间中直线与平面的位置关系
位置 直线在 直线与 直线与
关系 平面内 平面相交 平面平行
公共点个数 无数个 1 0
图形表示
当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．(3)空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两个平面相交 两个平面平行
无数个
公共点个数 0
(有一条公共直线)
符号表示 α∩β＝a α∥β
图形表示
知识点三、常用唯一性结论
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
知识点四、异面直线
(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
(2)判定方法：
①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．
②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O分别作直线
a′∥a，b′∥b，我们把直线 a ′ 与 b ′ 所成的角 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 异面直线
所成角的范围是 (0° ， 90°] ．
例题精讲
题型一：位置关系的判定
【要点讲解】结合平面的基本事实及其相关推论进行判断，必要时画出图形分析.
【例1】设 、 、 、 为空间中的四个不同点，则“ 、 、 、 在同一个平面
上”是“ 、 、 、 中有三点在同一直线上”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，
可得若 、 、 、 中有三点在同一直线上，则 、 、 、 在同一个平面上，则
必要性成立，
由推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面，则若 、 、 、 在同一个平面上，
不能得到 、 、 、 中有三点在同一直线上，则充分性不成立，
故“ 、 、 、 在同一个平面上”是“ 、 、 、 中有三点在同一直线上”必
要不充分条件．
故选： ．
【变式训练1】下列说法中正确的是
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个互异平面 和 有三个不共线的交点
【解答】解： 中，不在同一直线上的三点确定一个平面，所以 不正确；中，四边形有可能是空间几何体，即三棱锥，所以 不正确；
中，因为梯形的两底平行，两条平行线确定一个平面，所以梯形是平面图形，所以 正
确；
中，两个互异平面 和 有交点，则交点在同一条直线上，所以 不正确．
故选： ．
【变式训练2】空间不重合的三个平面可以把空间分成
A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分
C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分
【解答】解：空间不重合的三个平面，
若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；
若三个平面有两个平面平行，则第三个平面与其它两个平面相交，可将空间分为6部分；
若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为 7
部分；
若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为
8部分．
所以空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分．
故选： ．
【变式训练3】在正方体 中，点 是棱 的中点，点 是平面 内的一点，且 ，则点 为
A．一个定点 B．一个平面上任意一点
C．一条直线上任意一点 D．一个圆上任意一点
【解答】解：在正方体 中，因为 ，
所以点 在过点 且与 垂直的一个平面 内，
即 为平面 的一个法向量，
又平面 的法向量为 ，且 与 不平行，
所以平面 与平面 一定相交于直线 ，
所以点 在直线 上运动．
故选： ．
题型二：共点、共线、共面的证明
【要点讲解】(1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接
证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可；(2)
要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用基本事实 3，即证点在两
个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点
也在直线上；(3)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过
这点，把问题转化为证明点在直线上.
【例2】在 四 棱 柱 中 ， ， ， ，
．
（1）当 时，试用 表示 ；
（2）证明： ， ， ， 四点共面；
（3）判断直线 能否是平面 和平面 的交线，并说明理由．【解答】解：（1）由三角形相似及几何关系，得 ；
（2）证明：由三角形相似原理可得 ， ， ， ，
所以，四边形 与四边形 相似，所以 ， ， ， 四点共面；
（3）可以，
理由如下：若四棱柱 为正四棱柱，则 与 平行且相等，
所以四边形 是平行四边形，平面 与平面 重合，
又 与 平行且相等，所以四边形 是平行四边形，平面 与平面
重合，
此时 即为平面 和平面 的交线．
【变式训练1】如图，在正方体 ，对角线 与平面 交于点 ． 、
交于点 、 为 的中点， 为 的中点，
求证：（1） 、 、 三点共线
（2） 、 、 、 四点共面
（3） 、 、 三线共点．【解答】证明：（1） 平面 ， ， 平面 ；
又 平面 ， 平面 ；
、 交于点 ， ， ；
又 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ；
又 平面 ， 平面 ；
、 、 三点在平面 与平面 的交线上，
、 、 三点共线；
（2） 为 的中点， 为 的中点，
，
又 ， ，
四边形 是平行四边形，
；
，
、 、 、 四点共面；（3） 平面 平面 ，
设 与 交于一点 ，则：
， 平面 ，
平面 ；
同理， 平面 ，
平面 平面 ，
直线 、 、 三线交于一点 ，
即三线共点．
【变式训练2】如图所示，在空间四边形 中， ， 分别为 ， 的中点， ，
分别在 ， 上，且 ，求证：
（1） ， ， ， 四点共面；
（2） 与 的交点在直线 上．
【解答】证明：（1） ，
，
， 分别为 ， 的中点， ，
，
， ， ， 四点共面．
（2） 、 不是 、 的中点，
，且 ，
与 必相交，设交点为 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，且 平面 ，平面 平面 ，
，
与 的交点在直线 上．
题型三：异面直线所成角
【要点讲解】求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【例3】直线 与直线 相交，直线 也与直线 相交，则直线 与直线 的位置关系是
A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能
【解答】解：根据题意，直线 与 相交， 与 相交，
直线 与直线 可能相交、平行、异面，
故选： ．
【变式训练1】在长方体 中，已知 ， ， ， 为 的
中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【解答】解：以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图
所示的空间直角坐标系，则 ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，2， ，
所以 ，1， ， ，2， ，
所以 ， ，
因为异面直线夹角的取值范围为 ， ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选： ．
【变式训练2】已知平面 平面 ，直线 ，直线 ，则 与 的位置关系是
A．平行 B．平行或异面 C．异面 D．异面或相交
【解答】解：因为平面 平面 ，直线 ，直线 ，
所以 与 没有交点，即 与 可能平行，也可能异面．
故选： ．
【变式训练3】堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵
中， ，若 ，则异面直线 与 所成角的
余弦值为A． B． C． D．
【解答】解：以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图
所示的空间直角坐标系，
则 ，1， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ，
所以 ，1， ， ， ， ，
所以 ， ，
因为异面直线夹角的取值范围为 ， ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选： ．
【变式训练4】如图在棱长为2的正方体 中，点 是 的中点，那么异
面直线 和 所成的角的余弦值等于
A． B． C． D．
【解答】解：建立空间直角坐标系，如图所示；
，0， ， ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ；
，0， ， ，2， ， ，
， ；所以 ， ；
所以异面直线 和 所成角的余弦值为 ．
故选： ．
在正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点，则直线 和 所
成角的余弦值是
A． B． C． D．
【解答】解：如图，以点 为原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴，建
立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则：
，0， ， ，1， ， ，2， ， ，0， ，
，
，
直线 和 所成角的余弦值是 ．
故选： ．【变式训练5】在正四面体 中，棱长为2，且 是棱 中点，则异面直线 与
夹角的余弦值为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ，
因为 是棱 中点，
所以 ，故 或其补角为异面直线 与 夹角，
又正四面体棱长为2，故 ，
，
故异面直线 与 夹角的余弦值为 ．
故选： ．
【变式训练6】已知直三棱柱 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，把三棱柱补成四棱柱，由题意得 ，
易知该四棱柱为长方体， ，异面直线 与 所成角为 （或其补
角），
，
．
故选： ．
【变式训练7】如图，已知正方形 所在平面与正方形 所在平面构成二面角的平
面 角 为 ， 且 异 面 直 线 与 所 成 角 为 ， 则
A．2 B． C．0 D．
【解答】解：根据题意可知， 即为平面 与平面 构成二面角的平面角，所以 ，
设正方形边长为1，异面直线 与 所成的角为 ，
故 或 ，
又 ，
所以 ，
即
所以 ，
所以 ，所以 或2（舍去）．
故选： ．
【变式训练8】如图， ， 分别是二面角 的两个半平面内两点， ，
， ， ，若 ，则异面直线 ， 的夹角的
余弦值为
A． B． C． D．
【解答】解：在 中，由余弦定理得：
，
，
在 中，由余弦定理得：，
， ．
故选： ．
题型四：综合运用
【例4】如图，在正方体 中， ， 分别是 和 的中点．
（1）求证： ， ， ， 四点共面；
（2）求异面直线 且 所成的角．
【解答】解：（1）证明：连接 ，
因为 ， 分别是 和 的中点，
所以 且 ，
又因为 且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
所以 ，
所以 与 确定一个平面 ，
所以 ， ， ， ，
即 ， ， ， 四点共面；
（2）连结 ， ，
在正方体 中， 平行且等于 ，
所以四边形 为平行四边形，可得 ，
因此 （或其补角）是异面直线 与 所成的角，
设正方体的棱长为 ，则△ 中 ，
所以△ 是等边三角形，可得 ，
即异面直线 与 所成的角等于 ．
【变式训练1】如图，直四棱柱 的底面 为直角梯形， ，
， ， ， ， 分别为棱 ， 的中点．（1）在图中作出平面 与该棱柱的截面图形，并用阴影部分表示（不必写出作图过
程）；
（2） 为棱 的中点，求异面直线 与 所成角的正弦值．
【解答】解：（1）取 中点 ，连结 ， ，则四边形 是平面 与该棱
柱的截面图形．
（2）因为直四棱柱 的底面 为直角梯形， ， ，
， ， ， 分别为棱 ， 的中点，
所以以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，则 ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，2， ， ，1， ，
，1， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
，
异面直线 与 所成角的正弦值为 ．
【变式训练2】如图，所有棱长均为2的斜三棱柱 中，
， 分别是 ， 的中点．
（1）求四边形 的面积；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．【解答】解：（1）令 ， ， ，
则 ， ．
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以四边形 是边长为2的正方形．
所以四边形 的面积为4；
（ 2 ） 如 图 ， 连 接 ， ， 由 （ 1 ） 易 得
，
所以 ，
因为 ，所以异面直线 与 所成的角，即直线 与 所成的角．
因为 ，所以
所以 ，
设直线 与 所成的角为 ．则 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
