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第2课时 切线的判定与性质
1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．
2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明．
3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．
一、情境导入
约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘，你能设计
一个办法测量这个圆形物体的半径吗？
二、合作探究
探究点一：切线的判定
【类型一】判定圆的切线
如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求
证：CD是⊙O的切线．
证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝
30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．
方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直
线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直
于这条半径的直线是圆的切线．
探究点二：切线的性质
【类型一】利用切线进行证明和计算
如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(2)若AP＝，求⊙O的半径．
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝
60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝，∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，即⊙O
的半径为1.
【类型二】切线的性质与判定的综合应用
如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且AF＝FC＝CB，连接AC、
AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD＝2，求⊙O的半径．
分析：(1)连接OC，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD＝
∠B，再根据等量代换得到∠ACO＋∠ACD＝90°，从而证明CD是⊙O的切线；(2)由AF＝FC＝
CB推得∠DAC＝∠BAC＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即
可求得AB的长，进而求得⊙O的半径．
(1)证明：连接OC，BC.∵FC＝CB，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°.∵AB
是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ACO＋∠OCB＝
90°，∠OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O
的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)解：∵AF＝FC＝CB，∴∠DAC＝∠BAC＝30°.∵CD⊥AF，CD＝2，∴AC＝4.在Rt△ABC中
∠BAC＝30°，AC＝4，∴BC＝4，AB＝8，∴⊙O的半径为4.
【类型三】探究圆的切线的条件
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是BC上的一个动点，过点
P作BC的平行线交AB的延长线于点D.
(1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；
(2)当DP为⊙O的切线时，求线段BP的长．
解析：(1)当点P是BC的中点时，得PBA＝PCA，得出PA是⊙O的直径，再利用
DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证；
(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出△ABE∽△ADP，即可求出DP的长．
解：(1)当点P是BC的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：∵AB＝AC，∴AB＝AC，又
∵PB＝PC，∴PBA＝PCA，∴PA是⊙O的直径．∵PB＝PC，∴∠1＝∠2，又AB＝AC，
∴PA⊥BC.又∵DP∥BC，∴DP⊥PA，∴DP是⊙O的切线．
(2)连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理，
得BE＝BC＝6.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝＝8.设⊙O的半径为r，则OE＝8－
r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得r2＝62＋(8－r)2，解得r＝.在Rt△ABC中，AP＝2r
＝，AB＝10，∴BP＝＝.
三、板书设计
教学过程中，强调只要出现切线就要想到半径，就要想到有垂直的关系，要形成一个定势
思维.
