文档内容
2024-2025 学年七年级数学下学期第一次月考卷
基础知识达标测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：相交线与平行线~实数（人教版2024）。
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的概念判断即可．
【解答】解：A、图中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意；
B、图中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意；
C、图中，∠1与∠2是对顶角，符合题意；
D、图中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意；
故选：C．
2．（3分）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【解答】解：A、∠3＝∠4，根据内错角相等，BD∥AC，故此选项不符合题意；B、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项符合题意；
C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项不符合题意；
D、∠D+∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项不符合题意．
故选：B．
2 π
⋅⋅
3．（3分）在下列各数 ，3.1415926，0.213 ，− ，❑√3，0.2020020002……（每两个2之间依次多1个0）
3 2
中无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数
与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择
项．
π
【解答】解：− ，❑√3，0.2020020002……（每两个2之间依次多1个0）是无理数，其它是有理数，
2
故无理数一共有3个，
故选：C．
4．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．平行于同一条直线的两条直线也互相平行
D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
【分析】利用点到直线的距离的定义、平行线的判定方法及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，正确，是真命题，不符合题
意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线也互相平行，正确，是真命题，不符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
5．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOF＝90°，OF平分∠AOE，若∠BOD＝32°，则∠BOE的度
数为（ ）
A．32° B．48° C．58° D．64°【分析】直接利用邻补角的定义得出∠AOF的度数，进而利用角平分线的定义得出答案．
【解答】解：∵∠DOF＝90°，∠BOD＝32°，
∴∠AOF＝90°﹣32°＝58°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝58°．
∴∠DOE＝90°﹣∠EOF＝32°，
∴∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝32°+32°＝64°．
故选：D．
6．（3分）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2cm，EF＝
4cm，则阴影部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
【分析】由平移的性质可知BC＝EF，BE＝AD＝2，∠ABC＝∠E＝90°，进而得出BH的长，S阴影 ＝S直角梯
，最后根据面积公式得出答案．
形BEFH
【解答】由平移的性质可知BC＝EF＝4，BE＝AD＝2，∠DEC＝∠ABC＝90°，S阴影 ＝S直角梯形BEFH ，
∴BH＝BC﹣CH＝2cm．
1 1
∴阴影部分的面积＝直角梯形BEFH的面积= （BH+EF）×BE= ×(2+4)×2=6（cm2）．
2 2
故选：A．
7．（3分）如图，AB∥EF，∠C＝60°，则 ， ， 的关系为（ ）
α β γ
A． ＝ + B． + ﹣ ＝60°
C． + ﹣ ＝90° D． + + ＝180°
β α γ α β γ
【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
β γ α α β γ【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在△BGC中，∠1＝60°﹣ ，
∵∠ ＝∠2+∠ ，
α
∴∠2＝ ﹣ ，
β γ
∵AB∥EF，
β γ
∴∠1＝∠2，
∴60°﹣ ＝ ﹣ ，即 + ﹣ ＝60°．
故选：B．
α β γ α β γ
8．（3分）正整数a、b分别满足√355＜a＜√3 97、❑√7＜b＜❑√15，则ba＝（ ）
A．16 B．27 C．64 D．81
【分析】根据立方根和算术平方根的概念进行估算，从而代入求值．
【解答】解：∵正整数a、b分别满足√355＜a＜√3 97、❑√7＜b＜❑√15，且√355＜√364＜√3 97＜√3125、
❑√7＜❑√9＜❑√15，
∴a＝4、b＝3，
∴ba＝34＝81，
故选：D．
9．（3分）已知a，b，c为实数，且c=❑√a+b−8−❑√8−a−b+25，则√3 a+b+❑√c的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
{a+b−8≥0)
【分析】根据实数的性质可得 ，据此可得a+b＝8，c＝25，再根据立方根和算术平方根的定
8−a−b≥0
义求解即可得到答案．
{a+b−8≥0)
【解答】解：由题意得， ，
8−a−b≥0
∴a+b＝8，
∴c＝25，
∴√3 a+b+❑√c=√38+❑√25=2+5=7，
故选：D．
10．（3分）如图a是长方形纸带，∠DEF＝23°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．97° B．105° C．107° D．111°
【分析】根据平行的性质得到图a中∠EFB＝∠DEF＝23°，再根据翻折的性质得到图b中∠FEG＝23°，故
可得∠FGD＝46°，再利用翻折和平行线的性质算出图c的∠CFG＝134°，即可解答．
【解答】解：由长方形纸带可得AD∥BC，
∴图a中∠EFB＝∠DEF＝23°，
根据翻折的性质，可得到图b中∠FEG＝23°，
∴∠FGD＝180°﹣∠EGF＝∠GEF+∠GFE＝46°，
∵CD∥FC，
∴∠GFC＝180°﹣∠FGD＝134°，
根据翻折的性质，可得图c中∠CFG＝134°，
∴∠EFC＝∠GFC﹣∠EFG＝134°﹣23°＝111°，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）❑√81的平方根是 ± 3 ．
【分析】根据算术平方根、平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：❑√81的平方根，即9的平方根，因此是±3，
故答案为：±3．
12．（3分）将命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果 两个角是同一个角的余
角 ，那么 这两个角相等 ．
【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，即可解决问题．
【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相
等．
故答案为：两个角是同一个角的余角，这两个角相等．
13．（3分）如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放，点A，B，D在同一条直线上，EF∥AD，∠E＝60°，
则∠BFD的度数为 1 5 度．【分析】通过平行线的性质，得出∠E的同旁内角∠ADE的度数，再由直角三角板的直角，求出∠BDF的
度数，再借助三角形的外角，求出∠BFD的度数．
【解答】解：∵EF∥AD，∠E＝60°，
∴∠ADE＝180°﹣∠E＝180°﹣60°＝120°，
由题可知，∠FDE＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BDF＝∠ADE﹣∠FDE＝120°﹣90°＝30°，
∴∠BFD＝∠ABC﹣∠BDF＝45°﹣30°＝15°，
故答案为15．
14．（3分）若❑√1.7201=1.312，❑√172.01=13.12，❑√17.201=4.147，❑√1720.1=41.47，则172010的算术
平方根是 414. 7 ．
【分析】根据算术平方根的变化规律，被开方数的小数点每移动两位，这个数的算术平方根小数点向相同
方向移动一位．
【解答】解：∵❑√17.201=4.147，
∴❑√172010=414.7．
故答案为：414.7．
15．（3分）已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的2倍多30°，则∠COD的度数
为 130 ° ．
【分析】有两种情况：①如图1，根据∠COD＝90°+90°﹣∠AOB，列方程可得结论；②如图2，根据
∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠AOC，列方程可得结论．
【解答】解：设∠AOB＝x°，则∠COD＝（2x+30）°，
分两种情况：①如图1，∵∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，
∴∠COD＝90°+90°﹣∠AOB，
即2x+30＝90+90﹣x，
解得x＝50，
∴∠COD＝2×50°+30°＝130°；
②如图2，
∵∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，
∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠AOC，
∴x+90＝2x+30+90，
x＝﹣30，不合题意，
综上所述，∠COD的度数为130°，
故答案为：130°．
16．（3分）如图，AB∥CD，点E，F在直线AB上（F在E的左侧），点G在直线CD上，EH⊥HG，垂足
为H，P为线段EH上的一动点，连接GP，GF，∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q，且点Q在直线
AB，CD之间的区域，下列结论：
①∠BEH+∠DGH＝90°；
②∠CGH+2∠FQG＝270°；
③若∠PGH＝3∠DGH，则3∠BEH+∠EPG＝360°；
1
④若∠PGH＝n∠DGH，则∠BEH+ ∠PGD=90°，其中n为正整数．
n+1
上述说法正确的是 ①③④ （写出所有正确结论的序号）．【分析】过点H作HL∥AB，利用平行线的性质可得∠BEH+∠DGH＝∠EHL+∠GHL＝∠EHG＝90°，即可
1 1
判断①；根据角平分的定义可得∠QFG= ∠BFG，∠QGF= ∠FGH，再根据三角形内角和定理
2 2
∠FQG＝180°﹣∠QFG﹣∠QGF，根据∠CGH＝180°﹣∠DGH，利用平行线的性质即可判断②；设
∠DGH＝x°，则∠PGH＝3∠DGH＝3x°，利用①的结论即可判断③，同上可判断④．
【解答】解：如图，过点H作HL∥AB，
∵AB∥CD，AB∥HL，
∴CD∥HL，
∴∠EHL＝∠HEB，∠GHL＝∠HGD，
∵EH⊥HG，
∴∠EHG＝90°，
∴∠BEH+∠DGH＝∠EHL+∠GHL＝∠EHG＝90°，故①正确；
∵∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q，
1 1
∴∠QFG= ∠BFG，∠QGF= ∠FGH，
2 2
∴∠FQG＝180°﹣∠QFG﹣∠QGF，
根据①中的结论，可得∠FQG＝∠BFQ+∠QGD，
∴∠CGH+2∠FQG＝180°﹣∠HGD+2（180°﹣∠QFG﹣∠QGF）
＝180°﹣∠HGD+360°﹣2QFG﹣2QGF
＝540°﹣（∠HGD+∠BFG+∠FGD），
∵AB∥CD，
∴∠BFG＝∠FGC，
∴∠HGD+∠BFG+∠FGD＝∠HGD+∠FGC+∠FGD＝180°，
∴∠CGH+2∠FQG＝540°﹣180°＝360°，故②错误；设∠DGH＝x°，则∠PGH＝3∠DGH＝3x°，
∴∠PGD＝4x°，
根据①中结论可得∠BEH＝90°﹣∠DGH＝90°﹣x°，∴∠EPG＝∠BEH+∠PGD＝90°﹣x°+4x°＝90°+3x°，
∴3∠BEH+∠EPG＝270°﹣3x°+90°+3x°＝360°，故③正确；
设∠DGH＝x°，则∠PGH＝n∠DGH＝nx°，
∴∠PGD＝（n+1）x°，
1
∴x°= ∠PGD=∠DGH，
n+1
1
根据①中结论可得∠BEH+∠DGH=∠BEH+ ∠PGD=90°，故④正确．
n+1
故答案为：①③④．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：√3−8+❑√(−2) 2+|1−❑√2|．
（2）解方程：4（x﹣1）2﹣16＝0．
【分析】（1）先根据立方根、算术平方根、绝对值的性质计算，再合并即可；
（2）利用平方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）√3−8+❑√(−2) 2+|1−❑√2|
＝﹣2+2+❑√2−1
=❑√2−1；
（2）4（x﹣1）2﹣16＝0，
4（x﹣1）2＝16，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
x＝3或x＝﹣1．
18．（8分）推理填空
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，FG⊥AB于点G，ED∥BC．求证：∠1＝∠2．
证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知），
∴∠CDB＝∠FGB＝90°（① 垂直的定义 ），
∴CD∥② FG （③ 同位角相等，两直线平行 ），
∴④ ∠ 2 ＝∠3（⑤ 两直线平行，同位角相等 ），
又∵DE∥BC（已知），
∴⑥ ∠ 1 ＝∠3（⑦ 两直线平行，内错角相等 ），
∴∠1＝∠2（⑧ 等量代换 ）．【分析】根据平行线的判定与性质求证即可．
【解答】证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知），
∴∠CDB＝∠FGB＝90°（垂直的定义），
∴CD∥FG（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵DE∥BC（已知），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：①垂直的定义；②FG；③同位角相等，两直线平行；④∠2；⑤两直线平行，同位角相
等；⑥∠1；⑦两直线平行，内错角相等；⑧等量代换．
19．（8分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF平分∠AOD．
（1）OE、OF有什么位置关系，请说明理由；
（2）若∠AOC：∠AOF＝2：3，求∠BOE的度数．
1 1
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠AOE= ∠AOC，∠AOF= ∠AOD，再由平角的定义可得
2 2
1 1
∠EOF=∠AOE+∠AOF= ∠AOD+ ∠AOC=90°，据此可得结论；
2 2
（2）先证明∠AOF＝3∠AOE，再由（1）得到3∠AOE+∠AOE＝90°，据此求出∠AOE＝22.5°，再利用平
角的定义求解即可．
【解答】解：（1）OE⊥OF，理由如下：
∵OE平分∠AOC，OF平分∠AOD，
1 1
∴∠AOE= ∠AOC，∠AOF= ∠AOD，
2 2
∵∠AOC+∠AOD＝180°，1 1
∴∠EOF=∠AOE+∠AOF= ∠AOD+ ∠AOC=90°，
2 2
∴OE⊥OF；
（2）由（1）得∠AOE+∠AOF＝90°，
∵∠AOC：∠AOF＝2：3，
∴2∠AOE：∠AOF＝2：3，
∴∠AOE：∠AOF＝1：3，即∠AOF＝3∠AOE，
∴3∠AOE+∠AOE＝90°，
∴∠AOE＝22.5°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝22.5°＝157.5°．
20．（8分）已知3a+2的立方根是﹣1，2a+b﹣1的算术平方根是3，c是❑√11的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求❑√2b−4a−c的平方根．
【分析】（1）运用平方根和立方根知识进行估算、求解；
（2）将a，b，c的值代入后，运用平方根知识进行求解．
{3a+2=(−1) 3 )
【解答】解：（1）由题意得 ，
2a+b−1=32
{a=−1)
解得 ，
b=12
∵3＜❑√11＜4，
∴❑√11的整数部分是3，
即c＝3，
∴a＝﹣1，b＝12，c＝3；
（2）由（1）所得a＝﹣1，b＝12，c＝3，
∴❑√2b−4a−c=❑√2×12−4×(−1)−3=❑√24+4−3=5，
∵5的平方根是±❑√5，
∴❑√2b−4a−c的平方根是±❑√5．
21．（8分）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点就是小正方形的
格点，将△ABC向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）请在方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
（2）在△ABC中，画出AB边上的高CN；
（3）△ABC的面积是 3 ．
（4）平移过程中，AC边扫过的面积是 ．【分析】（1）根据平移的性质，即可解答；
（2）根据三角形的高的定义作出图形即可解答；
（3）利用分割法把平行四边形的面积看成长方形面积减去周围三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图1，△A′B′C′即为所求，
（2）AB边上的高CN如图2所示；
1 1 1
（3）S =4×2− ×1×4− ×2×2− ×1×2=8−2−2−1=3，
△ABC 2 2 2
故答案为：3；
（4）如图3，AC边扫过的面积为平行四边形AA′C′C的面积，即：
1 1 1 1
∴S
AA′C′C
＝5×3−
2
×4×1−
2
×1×2−
2
×4×1
2
×1×2＝9，
▱
故答案为：9．
22．（10分）图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，
D，E，F顺次首尾连接，若AG恰好经过点C，且B，C，D在一条直线上，若AG∥EF，∠B＝∠D+15°，
∠E＝105°．
（1）求∠B﹣∠DCG的度数．
（2）连接AE，当∠AEF与∠DCG满足怎样数量关系时，BD∥AE．并说明理由．
【分析】（1）延长ED交AG于K，进而解答即可；
（2）根据平行线的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）延长ED交AG于K，∵AG∥EF，
∴∠CKD＝∠E．
∴∠B﹣∠DCG＝∠CDE+15°﹣∠DCG＝∠CKD+15°＝∠E+15°＝120°；
（2）如图，
当∠AEF+∠DCG＝180°时，BD∥AE，
∵AG∥EF，
∴∠GAE+∠AEF＝180°，
又∵∠AEF+∠DCG＝180°，
∴∠GAE＝∠DCG，
∴BD∥AE．
23．（10分）问题情景：如图1，AB∥CD．
（1）观察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．则∠P的度数为 90 ° ．
（2）探究问题：在图1中探究，∠EPF、∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由．
（3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF、∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关
系？并说明理由．【分析】（1）过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠QPE＝∠AEP＝
50°，∠QPF＝∠CFP＝40°，则∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°；
（2）同（1）求解即可；
（3）过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质得到∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝
180°，再证明∠QPF＝∠EPF+∠AEP，即可得到∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°．
【解答】解：（1）如图所示，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°，
∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°，
故答案为：90°；
（2）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下：
如图所示，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF＝∠CFP，
∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝∠AEP+∠CFP；
（3）解：∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°，理由如下：如图所示，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°，
∵∠QPF＝∠EPF+∠QPE，
∴∠QPF＝∠EPF+∠AEP，
∴∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°．
24．（12分）如图（a）所示，将一把含30°角的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边
上．
（1）填空：∠1＝ 12 0 °，∠2＝ 9 0 °．
（2）如图（b）所示，现把三角板绕点B逆时针旋转n°，当0°＜n＜90°，且点C恰好落在DG边上时，
①∠1＝ （ 12 0 ﹣ n ） °，∠2＝ （ 90+ n ） °；（结果用含n的代数式表示）
5
②若∠2恰好是∠1的 倍，求n的值．
4
（3）如图（a）所示放置的三角板ABC，现将射线BF绕点B以2°/s的速度逆时针旋转得到射线BM，同时
射线QA绕点Q以3°/s的速度顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线BM，QN
均停止转动，设旋转时间为t s．
①在旋转过程中，若射线BM与射线QN相交，设交点为P．当t＝15s时，则∠QPB＝ 15 ° ．
②在旋转过程中，是否存在BM∥QN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）①根据两直线平行，内错角相等求出∠BCD，再用三角形外角等于不相邻的两个内角和可得∠1，根
据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2；4
②根据∠2 恰好是∠1的 倍列方程，计算可求解；
3
（3）①画出图形，由平行线性质可得答案；②分两种情况，根据∠AQN＝∠ABM画出图形，列方程可解
得答案．
【解答】解：（1）∠1＝180°﹣60°＝120°，∠2＝90°；
故答案为：120，90；
（2）①如图2，
∵DG∥EF，
∴∠DCB＝∠CBF＝n°，
∴∠ACD＝90°﹣n°，
∴∠1＝∠A+∠ACD＝（120﹣n）°，
∵DG∥EF，
∴∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣n°，∠ACB+∠BCG+∠2＝360°，
∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣（180°﹣n°＝（90+n）°；
故答案为：（120﹣n），（90+n）；
5 5
②当∠2= ∠1时，90+n= (120−n)，
4 4
80
解得n= ，
3
80
∴n的值是 ；
3
（3）①如图：根据题意得：∠FBP＝15×2°＝30°，∠AQP＝15×3°＝45°，
∴∠QPB＝∠FBP＝30°﹣15°＝15°；
故答案为：15°；
②存在BM∥QN，理由如下：
如图：
∵QN∥BM，
∴∠AQN＝∠ABM，
∴3°t＝60°﹣2°t，
解得t＝12，
如图：
∵BM∥QN，
∴∠ABM＝∠BQN，
∴2°t﹣60°＝180°﹣3°t，
解得t＝48，
综上所述，t的值为12或48．
