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小题满分练 5
一、选择题
1．(2022·济宁模拟)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则的虚部为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案 B
解析 因为z·i3＝1－2i，
可得z＝＝＝(1－2i)i＝2＋i，
所以＝2－i，所以的虚部为－1.
2．(2022·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(x－1)}，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝R，则实数a的取
值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
答案 B
解析 由题意可知A＝{x|y＝ln(x－1)}＝{x|x>1}，所以由A∪B＝R得a≥1.
3．(2022·莆田质检)若sin 12°＋cos 12°＝a，则cos 66°等于( )
A．1－a B．a－1
C．1－a2 D．a2－1
答案 D
解析 依题意知sin 12°＋cos 12°＝a，
两边平方并化简得1＋sin 24°＝a2，
则sin 24°＝a2－1，
所以cos 66°＝cos(90°－24°)＝sin 24°＝a2－1.
4．(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水
蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔
157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则
该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)( )
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
答案 C
解析 如图，由已知得该棱台的高为157．5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积
V ＝ ×9×(140 ＋ ＋ 180)×106 ＝ 60×(16 ＋ 3)×106≈60×(16 ＋ 3×2.65)×106 ＝
1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C.
5．(2022·赣州模拟)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中面积的最大值
为( )
A. B．2 C. D.
答案 B
解析 由三视图作出原几何体的直观图如图所示，
由三视图可知，该几何体为三棱锥，且AB⊥平面BCD，
且AB＝BC＝2，BD＝CD＝，则BD2＋CD2＝BC2，所以BD⊥CD，
所以S ＝BD·CD＝1，
△BCD
因为BD，BC⊂平面BCD，则AB⊥BD，AB⊥BC，
S ＝AB·BD＝，S ＝BC·AB＝2，
△ABD △ABC
AD＝＝，AC＝＝2，
所以AD2＋CD2＝AC2，所以AD⊥CD，S ＝CD·AD＝，
△ACD
因此，该三棱锥中四个面中面积的最大值为2.
6．(2022·遂宁模拟)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋3y－1的取值范围为( )
A．[－34,8] B．[－35,8]
C．[－35,7] D．[－34,7]
答案 C解析 作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分(含边界)所示，
联立解得
即点A，
联立解得即点C(－4，－10)，
平移直线z＝x＋3y－1，当直线z＝x＋3y－1经过点A时，
该直线在x轴上的截距最大，此时z取得最大值，即z ＝＋3×－1＝7，
max
当直线z＝x＋3y－1经过点C时，该直线在x轴上的截距最小，
此时z取得最小值，即z ＝－4＋3×(－10)－1＝－35.
min
因此，z＝x＋3y－1的取值范围是[－35,7]．
7．(2022·淄博模拟)若4x＝5y＝20，z＝logy，则x，y，z的大小关系为( )
x
A．x<y<z B．z<x<y
C．y<x<z D．z<y<x
答案 D
解析 ∵4x＝5y＝20，
根据指数与对数的关系和y＝log x(a>1)为增函数，得x＝log 20>log 16＝2，
a 4 4
y＝log 20，
5
由log 5<log 20<log 25，
5 5 5
得1<log 20<2，
5
故1<y<2，∴1<y<x，
可得logy<logx＝1，即z<1，
x x
综上，z<y<x.
8．(2022·洛阳模拟)踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，是一项简便易行的健身活动．
某单位组织踢毽子比赛，有4名男员工和6名女员工参加．其中男员工每人1分钟内踢毽子
的数目为21,30,51,53；女员工每人1分钟内踢毽子的数目为31,38，46,52,57,65.则从1分钟
内踢毽子的数目大于50的员工中随机抽取2名，恰有1人是男员工的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 1分钟内踢毽子的数目大于50的男员工有2名，分别记为a，b，1分钟内踢毽子的数目大于50的女员工有3名，分别记为A，B，C，
从上述5人中随机抽取2名，所有的基本事件有 ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，
AC，BC，共10个基本事件，
其中，事件“恰有1人是男员工”所包含的基本事件有aA，aB，aC，bA，bB，bC，共6个
基本事件，
故所求概率为P＝＝.
9．(2022·泰安模拟)已知数列{a}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{b}满足b ＝.若对
n n n
任意的n∈N*，都有b≥b 成立，则实数a的取值范围是( )
n 5
A．[－6，－5] B．(－6，－5)
C．[－5，－4] D．(－5，－4)
答案 D
解析 根据题意，数列{a}是首项为a，公差为1的等差数列，所以a＝n＋a－1，
n n
由于数列{b}满足b＝＝＋1，
n n
所以≥对任意的n∈N*都成立，
故数列{a}单调递增，且满足a<0，a>0，
n 5 6
所以
解得－5<a<－4.
10．(2022·广州联考)将函数f(x)＝sin图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数g(x)的
图象，若f(x)＝，x∈，则( )
0 0
A．g(x)＝cos 2x
B．g(x)＝－
0
C．g(x)在上的最小值为－1
D．直线x＝为g(x)图象的一条对称轴
答案 B
解析 g(x)＝sin＝sin＝－cos 2x，A错误；
因为f(x)＝sin＝，x∈，所以－<2x －<，cos＝，所以g(x)＝－cos 2x ＝－cos＝sinsin －
0 0 0 0 0
coscos ＝－，B正确；
因为g(x)在上单调递增，所以g(x)在上无最小值，C错误；
当x＝时，求得g＝0，D错误．
11．(2022·唐山联考)若函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，则下列结论不正确的是(
)
A．函数f(x)的周期为4
B．函数f(x)的图象关于点(1,0)对称
C．f(2 021)＝0D．f(2 022)＝0
答案 D
解析 ∵函数f(2x＋1)(x∈R)是奇函数，∴f(2x＋1)＝－f(－2x＋1)⇒f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0，
函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，故B正确；∵函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，
∴f(x)的周期为 4，故 A 正确；f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝0，故 C 正确；f(2 022)＝
f(4×505＋2)＝f(2)，无法判断f(2)的值，故D错误．
12．如图，正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，点O为下底面的中心，
1 1 1 1
点E在棱BB 上运动，则下列四个结论：①OE⊥DE；②当点E运动到B处时，OE∥平面
1
ACD ；③四棱锥E－AACC 的体积不变；④AE＋EC的最小值为2，其中正确结论的个数
1 1 1 1
是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
答案 B
解析 对于①，因为OD2＝6，DE2＝8＋BE2，OE2＝2＋BE2，则OD2<DE2＋OE2，故①错误；
1
对于②，连接AC，BD交于点F，连接DF(图略)，则DF∥OB，由于OB⊄平面ACD ，
1 1 1
DF⊂平面ACD ，则OB∥平面ACD ，故当点E运动到B处时，OE∥平面ACD ，故②正确；
1 1 1 1
对于③，因为BB∥平面AACC ，所以点E到平面AACC 的距离不变，且四边形AACC 的
1 1 1 1 1 1 1
面积不变，故四棱锥E－AACC 的体积不变，故③正确；
1 1
对于④，如图，在展开图中，当A，E，C共线时，AE＋EC有最小值为＝2，故④正确．
1 1
二、填空题
13．(2022·大连模拟)一般认为，民用住宅窗户面积 a与地板面积b的比应不小于10%，即
≤<1，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是
变坏？请将你的判断用不等式表示为________．
答案 <
解析 若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好了，用不等式表示为<，
因为－＝＝<0，所以<成立．
14．(2022·六安模拟)若函数f(x)＝为奇函数，则实数a的值为________．答案 ±1
解析 因为函数f(x)＝为奇函数，
所以f(x)＋f(－x)＝0，
即＋＝0，
解得a＝±1.
15．(2022·威海模拟)已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，其外接圆的圆心为O，则AO·BC的
值为________．
答案 8
解析 如图，过O作OD⊥AB交AB于D，
OE⊥AC交AC于E，
可得D，E分别为AB，AC的中点，
则AO·BC＝AO·(AC－AB)
＝AO·AC－AO·AB
＝(AE＋EO)·AC－(AD＋DO)·AB
＝AE·AC＋EO·AC－AD·AB－DO·AB
＝AC2＋0－AB2－0
＝×(25－9)
＝8.
16．(2022·如皋模拟)在平面直角坐标系中，F ，F 分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、
1 2
右焦点，过F 的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点T在x轴上，满足BT＝
1
3AF2，且BF 经过△BFT的内切圆圆心，则双曲线C的离心率为________．
2 1
答案
解析 如图所示，
设|AF|＝m，因为|FF|＝2c，BT＝3AF2，
1 1 2
则AF∥BT，所以△FAF∽△FBT，
2 1 2 1
所以＝＝＝，
所以|BF|＝3m，|FT|＝4c，
1 2由双曲线的定义可得，
|AF|＝|AF|＋2a＝m＋2a，
2 1
|BF|＝|BF|－2a＝3m－2a，
2 1
因为BF 经过△BFT的内切圆圆心，即BF 平分∠FBT，
2 1 2 1
所以 ＝＝＝，
则|BT|＝2|BF|＝6m，
1
所以|AF|＝|BT|＝2m，
2
所以2m＝m＋2a，则m＝2a，
则|AB|＝2m＝4a＝|AF|，|BF|＝3m－2a＝4a，
2 2
故△ABF 为等边三角形，
2
则∠BAF＝，
2
故∠FAF＝，
1 2
在△FAF 中，
1 2
|AF|＝2a，|AF|＝4a，|FF|＝2c，
1 2 1 2
由余弦定理可得|FF|2＝|AF|2＋|AF|2－2|AF|·|AF|cos ，
1 2 1 2 1 2
即4c2＝4a2＋16a2－16a2×，
可得c＝a，
因此，该双曲线的离心率为e＝＝.
