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小题满分练 5
一、选择题
1．(2022·济宁模拟)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则的虚部为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案 B
解析 因为z·i3＝1－2i，
可得z＝＝＝(1－2i)i＝2＋i，
所以＝2－i，所以的虚部为－1.
2．(2022·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(x－1)}，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝R，则实数a的取
值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
答案 B
解析 由题意可知A＝{x|y＝ln(x－1)}＝{x|x>1}，所以由A∪B＝R得a≥1.
3．(2022·莆田质检)若sin 12°＋cos 12°＝a，则cos 66°等于( )
A．1－a B．a－1
C．1－a2 D．a2－1
答案 D
解析 依题意知sin 12°＋cos 12°＝a，
两边平方并化简得1＋sin 24°＝a2，
则sin 24°＝a2－1，
所以cos 66°＝cos(90°－24°)＝sin 24°＝a2－1.
4．(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水
蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔
157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则
该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)( )
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
答案 C
解析 如图，由已知得该棱台的高为157．5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积
V ＝ ×9×(140 ＋ ＋ 180)×106 ＝ 60×(16 ＋ 3)×106≈60×(16 ＋ 3×2.65)×106 ＝
1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C.
5．(2022·赣州模拟)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中面积的最大值
为( )
A. B．2 C. D.
答案 B
解析 由三视图作出原几何体的直观图如图所示，
由三视图可知，该几何体为三棱锥，且AB⊥平面BCD，
且AB＝BC＝2，BD＝CD＝，则BD2＋CD2＝BC2，所以BD⊥CD，
所以S ＝BD·CD＝1，
△BCD
因为BD，BC⊂平面BCD，则AB⊥BD，AB⊥BC，
S ＝AB·BD＝，S ＝BC·AB＝2，
△ABD △ABC
AD＝＝，AC＝＝2，
所以AD2＋CD2＝AC2，所以AD⊥CD，S ＝CD·AD＝，
△ACD
因此，该三棱锥中四个面中面积的最大值为2.
6．(2022·遂宁模拟)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋3y－1的取值范围为( )
A．[－34,8] B．[－35,8]
C．[－35,7] D．[－34,7]
答案 C解析 作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分(含边界)所示，
联立解得
即点A，
联立解得即点C(－4，－10)，
平移直线z＝x＋3y－1，当直线z＝x＋3y－1经过点A时，
该直线在x轴上的截距最大，此时z取得最大值，即z ＝＋3×－1＝7，
max
当直线z＝x＋3y－1经过点C时，该直线在x轴上的截距最小，
此时z取得最小值，即z ＝－4＋3×(－10)－1＝－35.
min
因此，z＝x＋3y－1的取值范围是[－35,7]．
7．(2022·淄博模拟)若4x＝5y＝20，z＝logy，则x，y，z的大小关系为( )
x
A．x1)为增函数，得x＝log 20>log 16＝2，
a 4 4
y＝log 20，
5
由log 50，
n 5 6
所以
解得－50，b>0)的左、
1 2
右焦点，过F 的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点T在x轴上，满足BT＝
1
3AF2，且BF 经过△BFT的内切圆圆心，则双曲线C的离心率为________．
2 1
答案
解析 如图所示，
设|AF|＝m，因为|FF|＝2c，BT＝3AF2，
1 1 2
则AF∥BT，所以△FAF∽△FBT，
2 1 2 1
所以＝＝＝，
所以|BF|＝3m，|FT|＝4c，
1 2由双曲线的定义可得，
|AF|＝|AF|＋2a＝m＋2a，
2 1
|BF|＝|BF|－2a＝3m－2a，
2 1
因为BF 经过△BFT的内切圆圆心，即BF 平分∠FBT，
2 1 2 1
所以 ＝＝＝，
则|BT|＝2|BF|＝6m，
1
所以|AF|＝|BT|＝2m，
2
所以2m＝m＋2a，则m＝2a，
则|AB|＝2m＝4a＝|AF|，|BF|＝3m－2a＝4a，
2 2
故△ABF 为等边三角形，
2
则∠BAF＝，
2
故∠FAF＝，
1 2
在△FAF 中，
1 2
|AF|＝2a，|AF|＝4a，|FF|＝2c，
1 2 1 2
由余弦定理可得|FF|2＝|AF|2＋|AF|2－2|AF|·|AF|cos ，
1 2 1 2 1 2
即4c2＝4a2＋16a2－16a2×，
可得c＝a，
因此，该双曲线的离心率为e＝＝.
