文档内容
专题 1.2 有理数的运算全章知识典例详解
【人教版2024】
知识点1 有理数的加法运算法则
1．有理数的加法运算法则
（1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的
绝对值减去较小的绝对值；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．符号 数值
正数+正数 正 绝对值相加
负数+负数 负 绝对值相加
正数+负数 取绝大 绝大减绝小
【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立．
2．加法运算技巧
（1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式；
（2）符号相同的数可以先结合在一起；
（3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先
结合相加得零；
（4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起．
【典例1】根据有理数加法法则填空：
（1）若a＞0，b＞0，则a+b 0；若a＜0，b＜0，则a+b 0．
（2）若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a+b 0；若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b ．
（3）若a，b互为相反数，则a+b 0；若a+b＝0，则a与b ．
【分析】根据有理数加法法则求解即可求得答案．
【解答】解：（1）若a＞0，b＞0，则a+b＞0；若a＜0，b＜0，则a+b＜0．
（2）若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a+b＞0；若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b＜0．
（3）若a，b互为相反数，则a+b＝0；若a+b＝0，则a与b互为相反数．
故答案为：（1）＞，＜；（2）＞，＜0；（3）＝，互为相反数．
【典例2】下列说法中，正确的在题后打“√”．错误的在题后打“×”．
（1）两个有理数相加，其和一定大于其中的一个加数； （判断对错）
（2）若两个有理数的和为正数，则这两个数都是正数； （判断对错）
（3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数； （判断对错）
（4）如果某数比﹣5大2，那么这个数的绝对值是3； （判断对错）
（5）绝对值相等的两个数相加，和为0； （判断对错）
（6）绝对值相同的两个数相加，和是加数的2倍． （判断对错）
【分析】可用举特殊例子法解决本题．可以举个例子．
（1）（﹣3）+（﹣1）＝﹣4，得出（1）是错误的；
（2）3+（﹣1）＝2，得出（2）是错误的；
（3）由加法法则可以得出（3）是正确的；
（4）先根据加法的意义求出比﹣5大2的数，再根据绝对值的性质可以得出（4）是正确的；
（5）由绝对值的意义得出这两个数可能相等，也可能互为相反数，从而可以得出（5）是错误的；（6）由加法法则可以得出（6）是错误的．
【解答】解：（1）如（﹣3）+（﹣1）＝﹣4，故两个有理数相加，其和一定大于其中的一个加数是错
误的；×（判断对错）
（2）如3+（﹣1）＝2，故若两个有理数的和为正数，则这两个数都是正数是错误的；×（判断对错）
（3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数是正确的；√（判断对错）
（4）|﹣5+2|＝3．
故如果某数比﹣5大2，那么这个数的绝对值是3是正确的；√（判断对错）
（5）如|2|＝|2|，但是2+2＝4≠0，所以绝对值相等的两个数相加，和为0是错误的；×（判断对错）
（6）如﹣3+3＝0．
故绝对值相同的两个数相加，和是加数的2倍是错误的．×（判断对错）
故答案为：×，×，√，√，×，×．
【典例3】计算：
（1）3+（﹣6）＝ （2）（﹣4）+（﹣9）＝ （3）（﹣4）+（+6）＝
1 1 3 2 3
（4）2 +（﹣2 ）＝ （5）（− ）+0＝ （6） +（− ）＝ ．
3 3 5 5 5
【分析】根据有理数的加法，即可解答．
【解答】解：（1）3+（﹣6）＝﹣（6﹣3）＝﹣3；
（2）（﹣4）+（﹣9）＝﹣（4+9）＝﹣13；
（3）（﹣4）+（+6）＝6﹣4＝2；
1 1
（4）2 +（﹣2 ）＝0；
3 3
3 3
（5）（− ）+0=− ；
5 5
2 3 3 2 1
（6） +（− ）＝﹣（ − ）=− ．
5 5 5 5 5
3 1
故答案为：（1）﹣2；（﹣2）﹣13；（﹣3）2；（4）0；（5）− ；（6）− ．
5 5
【典例4】（2024秋•定远县校级月考）计算：
（1）（+7）+（﹣19）+（+23）+（﹣15）．
1 1
（2）(−2.125)+(+3 )+(+5 )+(−3.2)．
5 8
3 1 2 1
（3）(− )+(+ )+(+ )+(−1 )．
7 5 7 51 1
（4）(−7 )+(−3.37)+6 +2.125+(−0.25)+(−2.63)．
8 4
【分析】（1）利用加法结合律及交换律计算即可；
（2）利用加法的运算法则，把分母相同的结合到一起解答即可；
（3）利用加法结合律及交换律计算即可；
（4）利用加法结合律及交换律计算即可．
【解答】解：（1）（+7）+（﹣19）+（+23）+（﹣15）
＝（7+23）+[﹣19+（﹣15）]
＝30+（﹣34）
＝﹣4；
1 1
（2）(−2.125)+(+3 )+(+5 )+(−3.2)
5 8
1 1 1
=(−2 +5 )+(3 −3.2)
8 8 5
＝3+0
＝3；
3 1 2 1
（3）(− )+(+ )+(+ )+(−1 )
7 5 7 5
2 3 1 1
=( − )−(1 − )
7 7 5 5
1
=− −1
7
1
=−1 ；
7
1 1
（4）(−7 )+(−3.37)+6 +2.125+(−0.25)+(−2.63)
8 4
1 1 1 1
=(−7 +2 )+(−3.37−2.63)+(6 − )
8 8 4 4
＝﹣5﹣6+6
＝﹣5．
【典例5】（2024秋•萍乡月考）若有理数m，n满足|m|＝3，|n|＝2，且m+n＜|m|+|n|．
（1）分别求m，n的值；
（2）求m+n的值．
【分析】（1）利用绝对值的意义有理数的加法法则解答即可；（2）将（1）中的结论代入运算即可．
【解答】解：（1）∵|m|＝3，|n|＝2，
∴m＝±3，n＝±2．
∵m+n＜|m|+|n|，
∴m＝3，n＝﹣2或m＝﹣3，n＝2或m＝﹣3，n＝﹣2．
（2）当m＝3，n＝﹣2时，
m+n＝3+（﹣2）＝1；
当m＝﹣3，n＝2时，
m+n＝﹣3+2＝﹣1；
当m＝﹣3，n＝﹣2时，
m+n＝﹣3﹣2＝﹣5，
综上，m+n的值为﹣1或1或﹣5．
知识点2 有理数的减法运算法则
1．有理数的减法运算法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数，即： ．
2．有理数的减法运算步骤
（1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数；
（2）按照加法运算进行计算．
3．有理数加减法混合运算技巧
（1）把算式中的减法转化为加法；
（2）去括号时注意符号，能省掉的“ ”号要省掉；
（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算．
【典例1】用“＞”或“＜”号填空：
（1）如果a＞0，b＜0，那么a﹣b 0；
（2）如果a＜0，b＞0，那么a﹣b 0；
（3）如果a＜0，b＜0，|a|＞|b|，那么a﹣b 0；
（4）如果a＜0，b＜0，那么a﹣（﹣b） 0．
【分析】先根据有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．（1）（2）（4）再根据有
理数加法法则：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．（3）再根据有理数加法法则：绝对值不等
的异号加法，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值作答．
【解答】解：（1）∵a＞0，b＜0，∴﹣b＞0，
∴a﹣b＝a+（﹣b）＞0；
（2）∵a＜0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴a﹣b＝a+（﹣b）＜0；
（3）∵a＜0，b＜0，|a|＞|b|，
∴﹣b＞0，
∴a﹣b＝a+（﹣b）＜0；
（4）∵a＜0，b＜0，
∴a﹣（﹣b）＝a+b＜0．
故答案为：＞，＜，＜，＜．
【典例2】（2024秋•宛城区校级月考）下列说法中：①减去一个负数等于加上这个数的相反数；②正数
减负数，差为正数；③零减去一个数，仍得这个数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两个数相
减，差不一定小于被减数；⑥互为相反数的两数相减得零，正确的有（ ）个
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】依次判断各个说法，得出结论即可．
【解答】解：①减去一个负数等于加上这个数的相反数，说法正确；
②正数减负数，差为正数，说法正确；
③零减去一个数，仍得这个数，说法错误，应得这个数的相反数；
④两数相减，差一定小于被减数，说法错误，应该是不一定小于被减数；
⑤两个数相减，差不一定小于被减数，说法正确；
⑥互为相反数的两数相减得零，说法错误，应该是相加得零；
故选：B．
【典例3】计算：
（1）（﹣7）﹣（+3）＝ ； （2）（﹣30）﹣（﹣32）＝ ； （3）0﹣（+9）＝ ；
1
（4）2﹣（−3 ）＝ ； （5）（+1.73）﹣（﹣2.27）＝ ； （6）27﹣（+10）＝
2
．
【分析】各项中利用减法法则变形，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）（﹣7）﹣（+3）＝﹣7﹣3＝﹣10；
（2）（﹣30）﹣（﹣32）＝﹣30+32＝2；（3）0﹣（+9）＝0﹣9＝﹣9；
1 1 1
（4）2﹣（﹣3 ）＝2+3 =5 ；
2 2 2
（5）（+1.73）﹣（﹣2.27）＝1.73+2.27＝4；
（6）27﹣（+10）＝27﹣10＝17．
1
故答案为：（1）﹣10；（2）2；（3）﹣9；（4）5 ；（5）4；（6）17
2
【典例4】（2024秋•邹城市校级月考）36℃比24℃高 ℃，19℃比﹣5℃高 ℃．A、B、C三点相
对于海平面分别是﹣13米、﹣7米、﹣20米，那么最高的地方比最低的地方高 米．
【分析】首先根据题意分别列出式子，再根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上它的相反数，进
行计算即可．
【解答】解：36﹣24＝12（℃），
19﹣（﹣5）＝24（℃），
﹣7﹣（﹣20）＝﹣7+20＝13（米）．
故答案为：12，24，13．
【典例5】（1）若|m|＝5，|n|＝2，且m，n异号，则|m﹣n|的值为 ．
（2）已知|a|＝5，|b|＝3，且a+b＜0，则a﹣b的值为 ．
【分析】（1）先根据绝对值的性质得出m＝±5，n＝±2，再结合m、n异号知m＝5、n＝﹣2或m＝﹣
5、n＝2，继而分别代入计算可得答案；
（2）根据绝对值的意义及a+b＜0，可得a，b的值，再根据有理数的减法，可得答案．
【解答】解：（1）∵|m|＝5，|n|＝2，
∴m＝±5，n＝±2，
又∵m、n异号，
∴m＝5、n＝﹣2或m＝﹣5、n＝2，
当m＝5、n＝﹣2时，|m﹣n|＝|5﹣（﹣2）|＝7；
当m＝﹣5、n＝2时，|m﹣n|＝|﹣5﹣2|＝7；
综上|m﹣n|的值为7，
故答案为：7；
（2）由|a|＝5，|b|＝3，且满足a+b＜0，得
a＝﹣5，b＝3或a＝﹣5，b＝﹣3．
当a＝﹣5，b＝3时，a﹣b＝﹣5﹣3＝﹣8，
当a＝﹣5，b＝﹣3时，a﹣b＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2，∴a+b的值为﹣8或﹣2，
故答案为：﹣8或﹣2．
【典例6】（2024秋•太康县月考）计算：
（1）﹣12﹣（+5）+（﹣14）﹣（﹣25）；
1 1 1 2
（2）3 +(− )+(− )+(+2 )；
2 2 3 3
1 1 1 1
（3）− +[ −( − )]；
2 3 4 6
1 1 1
（4）2 +（﹣3 ）﹣|（﹣3 ）﹣（+0.25）|．
3 6 4
【分析】（1）（2）运用有理数的加法交换结合律进行计算即可．
（3）先去括号，按照有理数的加减混合运算法则计算，再将同分母的先计算，最后进行异分母的减法
运算．
（4）先去括号，同时对绝对值进行化简，再按照有理数的加减混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）﹣12﹣（+5）+（﹣14）﹣（﹣25）；
＝﹣12﹣5﹣14+25
＝﹣31+25
＝﹣6；
1 1 1 2
（2）3 +（− ）+（− ）+（+2 ）
2 2 3 3
1 1 1 2
＝3 − − +2
2 2 3 3
1
＝3+2
3
1
＝5 ；
3
1 1 1 1
（3）− +[ −( − )]
2 3 4 6
1 1 1 1
=− + − +
2 3 4 6
1 1 1
=− + −
6 6 4
1
=− ；
41 1 1
（4）2 +(−3 )−|(−3 )−(+0.25)|
3 6 4
1 1 1
＝2 −3 −3
3 6 2
1
＝﹣4 ．
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
【典例7】（2024秋•衡阳期末）若| −1|＝1− ，| − |= − ，| − |= − ，…，照此规律试求：
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4
1 1 1 1
（1）| − |＝ − ；
19 18 18 19
1 1 1 1 1 1 1
（2）计算| −1|+| − |+| − |+| − |；
2 3 2 4 3 5 4
1 1 1 1 1 1 1
（3）计算| −1|+| − |+| − |+…+| + |．
2 3 2 4 3 2023 2022
【分析】根据有理数的减法法则以及绝对值的定义计算即可．
1 1 1 1
【解答】解：（1）| − |= − ．
19 18 18 19
1 1
故答案为： − ；
18 19
1 1 1 1 1 1 1
（2）原式=1− + − + − + −
2 2 3 3 4 4 5
1
=1−
5
4
= ；
5
1 1 1 1 1 1
（3）原式＝1− + − + ...+ −
2 2 3 3 2022 2023
1
＝1−
2023
2022
= ．
2023
【典例8】（2024秋•重庆期末）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾
民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5．
（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升
油？
【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则 B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在
A地的西方；
（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；
（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油
量．
【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20，
∴B地在A地的东边20千米；
（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；14﹣9＝5千米；
14﹣9+8＝13千米；
14﹣9+8﹣7＝6千米；
14﹣9+8﹣7+13＝19千米；
14﹣9+8﹣7+13﹣6＝13千米；
14﹣9+8﹣7+13﹣6+12＝25千米；
14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20千米．
∴最远处离出发点25千米；
（3）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12|+|﹣5|＝74千米，
应耗油74×0.5＝37（升），
故还需补充的油量为：37﹣28＝9（升）．
知识点3 有理数的乘法运算
1．有理数的乘法运算法则
两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘．
任何数与0相乘，积仍为0．
2．有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律： ；
（2）乘法结合律： ；
（3）乘法分配律： ．
3．有理数乘法运算技巧：
（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0；
（3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分
数，便于约分．简记为：化小为分，化带为假．
【典例1】用字母表示有理数乘法的符号法则：
（1）若a＞0，b＞0，则ab 0，若a＞0，b＜0，则ab 0
（2）若a＜0，b＞0，则ab 0，若a＜0，b＜0，则ab 0
（3）若a＞0，b＝0，则ab 0．
【分析】根据乘法法则：两个数相乘，同号得正，异号得负，任何数同0相乘得0．
【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，∴ab＞0，
∵a＞0，b＜0，则ab＜0；
（2）∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，
∵a＜0，b＜0，∴ab＞0；
（3）∵a＞0，b＝0，∴ab＝0；
故答案为＞，＜，＜，＞，＝．
【典例2】（1）若a＞b＞0，则ab 0，b（a﹣b） 0；
（2）若b＜0＜a，则ab 0，b（a﹣b） 0；
（3）若ab＞0，a+b＞0，则a 0，b 0；
（4）若ab＜0，a+b＞0，且a﹣b＜0，则a 0，b 0，|a| |b|
【分析】（1）根据两数相乘同号得正可得；
（2）根据两数相乘异号得负可得；
（3）由ab＞0知a、b同号，结合a+b＞0知a＞0，b＞0；
（4）由ab＜0知a、b异号，结合a﹣b＜0得a＜0＜b，根据a+b＞0得|a|＜|b|．
【解答】解：（1）∵a＞b＞0，
∴ab＞0，b（a﹣b）＞0，
故答案为：＞，＞；
（2）∵b＜0＜a，
∴ab＜0，b（a﹣b）＜0，
故答案为：＜，＜；
（3）∵ab＞0，
∴a、b同号，
又∵a+b＞0，∴a＞0，b＞0，
故答案为：＞，＞；
（4）∵ab＜0，
∴a、b异号，
∵a﹣b＜0，
∴a＜0＜b，
∵a+b＞0，
∴|a|＜|b|，
故答案为：＜，＞，＜．
【典例3】下列判断正确的是
①若3个有理数的乘积为正，则这3个有理数均为正数；
②若abc＜0，则a、b、c中至少有一个负数；
③若a+b+C＝0，则a、b、c中至少有一个负数；
④几个数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数；若有偶数个负因数，则积为正数；
⑤绝对值不超过20的所有有理数的和为0．
【分析】根据有理数的乘法法则、有理数的加法法则、相反数、绝对值逐个判断即可．
【解答】解：若3个有理数的乘积为正，则这3个有理数均为正数或两个正数、一个负数，故①错误；
若abc＜0，则a、b、c中都是负数或有一个数是负数，即可a、b、c中至少有一个负数，故②正确；
若a+b+C＝0，则a、b、c中可以两个数是负数或一个数是负数，即a、b、c中至少有一个负数，故③
正确；
几个不等于0的数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数；若有偶数个负因数，则积为正数，故④错
误；
绝对值不超过20的所有有理数的和为0，故⑤正确；
即正确的有3个，
故答案为：3．
【典例4】（2024秋•十堰期中）有理数a、b在数轴上表示如图所示，则下列结论中正确的有：
①ab＞0②a+b＜0③a﹣b＜0 ④a＜|b|⑤﹣a＞﹣b⑥（b﹣1）（a﹣1）＞0
【分析】根据数轴知b＜﹣1＜0＜a＜1，且|a|＜|b|，再利用有理数的乘法、加法、减法及绝对值性质等
知识点逐一判断可得．【解答】解：由数轴知b＜﹣1＜0＜a＜1，
则①ab＜0，此结论错误；
②a+b＜0，此结论正确；
③a﹣b＞0，此结论错误；
④a＜|b|，此结论正确；
⑤﹣a＜﹣b，此结论错误；
⑥（b﹣1）（a﹣1）＞0，此结论正确．
故正确的有：②④⑥
故答案为：②④⑥
【典例5】（2024秋•兴化市月考）用简便方法计算：
1 1 1
①(− − + )×(−36)；
12 36 6
11
②(−99 )×24．
12
【分析】①利用乘法分配律计算即可；
②利用乘法分配律计算即可．
1 1 1
【解答】解：①原式＝（− ）×（﹣36）− ×（﹣36）+ ×（﹣36）
12 36 6
＝3+1﹣6
＝﹣2．
1
②原式＝（﹣100+ ）×24
12
1
＝﹣100×24+ ×24
12
＝﹣2400+2
＝﹣2398．
【典例6】（2024秋•沙坪坝区校级月考）计算
1 3 1 3 1
（1）[1 −( + − )×24]×(− )
24 8 6 4 5
11 11 22
（2）−5×(− )+11×(− )−3×(− )．
5 5 5
【分析】（1）先把括号里面的利用乘法分配律进行计算，然后再次利用乘法分配律进行计算即可得
解；（2）先把第三项整理，然后逆运用乘法分配律进行计算即可得解．
1 3 1 3 1
【解答】解：（1）[1 −（ + − ）×24]×（− ），
24 8 6 4 5
1 3 1 3 1
＝[1 −（ ×24+ ×24− ×24）]×（− ），
24 8 6 4 5
25 1
＝[ −（9+4﹣18）]×（− ），
24 5
25 1
＝（ +5）×（− ），
24 5
25 1 1
= ×（− ）+5×（− ），
24 5 5
5
=− −1，
24
29
=− ；
24
11 11 22
（2）﹣5×（− ）+11×（− ）﹣3×（− ），
5 5 5
11 11 11
＝﹣5×（− ）+11×（− ）﹣6×（− ），
5 5 5
11
＝（﹣5+11﹣6）×（− ），
5
＝0．
【典例7】（2024•西城区校级一模）若a、b、c都是有理数，|a|＝4，|b|＝9，|c|＝6，且ab＞0，bc＜0，求
a﹣b﹣（﹣c）的值．
【分析】根据绝对值的性质得到a＝±4，b＝±9，c＝±6，分a＝4和a＝﹣4两种情况，根据有理数的乘
法法则，减法法则计算．
【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝9，|c|＝6，
∴a＝±4，b＝±9，c＝±6，
当a＝4时，b＝9，c＝﹣6，
a﹣b﹣（﹣c）＝4﹣9﹣6＝﹣11；
当a＝﹣4时，b＝﹣9，c＝6，
a﹣b﹣（﹣c）＝﹣4﹣（﹣9）+6＝11，
综上所述，a﹣b﹣（﹣c）的值为﹣11或11．知识点4 有理数的除法运算
1．有理数除法运算法则
一个数除以一个 不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数． ， ．
2．有理数除法的运算步骤：
（1）把除号变为乘号；
（2）把除数变为它的倒数；
（3）把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算．
【典例1】阅读理解：
b
（1）若a+b＜0，且 ＞0，试确定a、b的正负性．
a
（2）依照（1）的解法解答下题：
b
①若a+b＞0，且 ＞0，则a为 ，b为 （填“正数”或“负数”）；
a
b
②若a+b＜0，且 ＜0，a＞b，则|a| |b|（填“＞”或“＜”）；
a
b
③若a+b＞0，且 ＜0，a＞b，则|a| |b|（填“＞”或“＜”）．
a
【分析】对于（1），由有理数除法中，同号相除为正数可以得到a、b同号，然后结合a+b＜0解答；
对于（2）①，同（1）得到a、b同号，然后结合有理数加法法则判断a、b的正负；
对于（2）②，由有理数除法中，异号相除为负数可以得到 a、b异号，至此不难解答题目，同理解答
③．
b
【解答】解：（1）因为 ＞0，
a
所以a、b同号．
因为a+b＜0，
所以a、b同负．
b
（2）①因为 ＞0，
a
所以a、b同号．
因为a+b＞0，
所以a、b都为正数，
故答案为：正数，正数．b
②因为 ＜0，
a
所以a、b异号．
因为a+b＜0，a＞b，
所以|a|＜|b|，
故答案为：＜．
b
③因为 ＜0，
a
所以a、b异号．
因为a+b＞0，a＞b，
所以|a|＞|b|．
故答案为：＞．
【典例2】（2024秋•东西湖区校级月考）计算：
5 2 2
（1）( )×(−4 )÷1 ；
7 3 3
1 2
（2）(−2 )÷(−1.2)×(−1 )．
7 5
【分析】（1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可．
5 2 2
【解答】解：（1）( )×(−4 )÷1
7 3 3
5 14 3
=( )×(− )×
7 3 5
＝﹣2；
1 2
（2）(−2 )÷(−1.2)×(−1 )
7 5
15 5 7
=(− )×(− )×(− )
7 6 5
5
=− ．
2
【典例3】（2024秋•官渡区校级期中）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3．
根据已知条件请回答：
c
（1）ab＝ ，c+d＝ ，m＝ ， = ．
dm c+d c
（2）求： +ab+ − 的值．
3 4m d
【分析】（1）根据倒数，相反数，绝对值的意义可得结论；
（2）将（1）所得式子代入可得结论．
【解答】解：（1）∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，
∵c，d互为相反数，
c
∴c+d＝0， =−1，
d
∵|m|＝3，
∴m＝±3，
故答案为：1，0，±3，﹣1；
3
（2）当m＝3时，原式= +1+0﹣（﹣1）＝3，
3
−3
当m＝﹣3时，原式= +1+0﹣（﹣1）＝1．
3
|a| b |c| abc
【典例4】（2024秋•金牛区校级期中）设a，b，c都是非零有理数，试求 + + + 的
a |b| c |abc|
值．
【分析】根据a、b、c是非零实数，分两正一负或两负一正两种情况分别讨论求值即可．
【解答】解：由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．
|a| b |c| abc
①当a，b，c为两正一负时： + + + =0；
a |b| c |abc|
|a| b |c| abc
②当a，b，c为两负一正时： + + + =0；
a |b| c |abc|
|a| b |c| abc
③当a，b，c都为正数时： + + + =4；
a |b| c |abc|
|a| b |c| abc
④当a，b，c都为负数时： + + + =−4；
a |b| c |abc|
|a| b |c| abc
综上所述 + + + 值为0或4或﹣4．
a |b| c |abc|
知识点5 有理数的乘方
1．乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在 中， 读作“a的n次幂”或者
“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数．
【注】 表示有 n 个 a 连续相乘；
当n为奇数时， ；当n为偶数时， ．
2．有理数混合运算规则
加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算．
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）．
3．“奇负偶正”
（1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“ ”号的个数，正、负指的是化简结果的符号；
（2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中
积的符号；
（3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶
数，则幂为正．
【典例1】（2024春•宁津县校级月考）计算
3+3+3+⋯+3+4×4×4×⋯×4
的结果是（ ）
¿ ¿
A．3m+4ⁿ B．m3+4n C．3m+4n D．3m+n4
【分析】根据乘法的定义：m个3相加表示为3m，根据乘方的定义：n个4相乘表示为4n，由此求解即
可．
【解答】解：m个3相加表示为3m，根据乘方的定义：n个4相乘表示为4n，
故
3+3+3+⋯+3+4×4×4×⋯×4
的结果是3m+4n．
¿ ¿
故选：A．
4
【典例2】（2024秋•临沭县校级月考）−( ) 7 的底数是 ，指数是 ．
9
【分析】根据乘方的定义解决此题．
4 4
【解答】解：−( ) 7 的底数是 ，指数是7．
9 9
4
故答案为： ，7．
9
【典例3】（2024秋•皇姑区校级月考）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持
平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕比第5次对折后得到的折痕多 条．
【分析】由题意得出对折n+1次比对折n次折痕多2n条，据此可得．
【解答】解：∵对折2次比对折1次折痕多3﹣1＝2条，
对折3次比对折2次折痕多7﹣3＝4＝22条，
对折4次比对折3次折痕多15﹣7＝8＝23条，
……
∴对折6次比对折5次折痕多25＝32条，对折7次比对折6次折痕多26＝64条，
∴对折7次比对折5次折痕多64+32＝96条，
故答案为：96．
【典例4】（2024秋•丰城市校级月考）若有理数a，b满足|a|＝3，b2＝9，且|a+b|＝﹣（a+b），则a﹣2b
的值为 ．
【分析】根据绝对值、平方根、有理数的加法法则解决此题．
【解答】解：∵|a|＝3，b2＝9，
∴a＝±3，b＝±3．
∵|a+b|＝﹣（a+b），
∴a+b≤0．
∴当a＝3时，则b＝﹣3，此时a﹣2b＝3﹣（﹣6）＝9；
当a＝﹣3时，则b＝﹣3，此时a﹣2b＝﹣3﹣（﹣6）＝3．
当a＝﹣3时，则b＝3，此时a﹣2b＝﹣3﹣6＝﹣9．
综上：a﹣2b＝9或3或﹣9．
故答案为：9或3或﹣9．
【典例5】（2024秋•定远县校级月考）计算：
1 1
（1）﹣（ ）2×（﹣42）÷（− ）2；
4 8
7
（2）（﹣3）3×（﹣1 ）÷（﹣42）×（﹣1）25．
25
【分析】利用有理数的乘法法则、除法法则以及有理数的乘方运算法则即可进行计算，注意符号的变
换．1 1
【解答】解：（1）原式=− ×（﹣16）÷
16 64
＝1×64
＝64；
32
（2）原式＝﹣27×（− ）÷（﹣16）×（﹣1）
25
32 1
＝﹣27×（− ）×（− ）×（﹣1）
25 16
54
= ．
25
【典例6】（2024秋•江宁区校级月考）阅读材料：根据乘方的意义可得：24＝2×2×2×2；34＝3×3×3×3；
（2×3）4＝（2×3）×（2×3）×（2×3）×（2×3）＝（2×2×2×2）×（3×3×3×3），即24×34＝（2×3）4
通过观察上面的计算过程，完成以下问题：
（1）计算：22022×32022＝ ；猜想：an•5n＝ ；
（2）根据上述提供的信息，计算：（﹣0.125）2021×82022．
【分析】（1）根据积的乘方解决此题．
（2）根据积的乘方解决此题．
【解答】解：（1）22022×32022＝（2×3）2022＝62022；
an•5n＝（5a）n．
故答案为：62022；（5a）n．
（2）（﹣0.125）2021×82022
1
=(− ) 2021×82021×8
8
1
=(− ×8) 2021×8
8
＝（﹣1）2021×8
＝﹣1×8
＝﹣8．
【典例7】（2024秋•通州区校级月考）（1）已知有理数x，y满足（x+y）2+|3﹣y|＝0，求xy的值；
（2）已知有理数x，y，则式子2023﹣（x+y）2有最 值为 ；此时x与y的关系为 ．
【分析】（1）先根据非负数的性质求出x、y的值，再求出xy的值即可；
（2）根据偶次方的非负数性质解答即可．
【解答】解：（1）∵（x+y）2+|3﹣y|＝0，{x+ y=0)
∴ ，
3−y=0
{x=−3)
解得 ，
y=3
∴xy＝（﹣3）×3＝﹣9；
（2）∵（x+y）2≥0，
∴当x+y＝0时，式子2023﹣（x+y）2有最大值为2023，此时x与y的关系为互为相反数．
故答案为：大，2023，互为相反数．
知识点6 科学记数法与近似数
1.科学记数法
把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中 1 ≤ a ＜ 10 ，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法；
【注】用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数.
2.近似数的精确位
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
【典例1】（2024•济源模拟）国家电影局2024年1月1日公布2023年中国电影行业重要指标．全年电影
票房为549.15亿元，其中国产影片票房为460.05亿元，占比为83.77%；城市院线观影人次为12.99
亿．其中460.05亿用科学记数法表示为（ ）
A．46.005×109 B．0.46005×1011
C．4.6005×1011 D．4.6005×1010
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10
时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：460.05亿＝46005000000＝4.6005×1010．
故选：D．
【典例2】（2024•威县校级模拟）若一个整数20240…0用科学记数法表示为2.024×1010，则原数中“0”
的个数为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10
时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此将科学记数法表示的数还原成原来的数即可得到答案．
【解答】解：∵2.024×1010＝20240000000，
∴原数中“0”的个数为8．
故选：B．
【典例3】（2024•连州市二模）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十
条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达为
8.016×109元，创造了新的春节档票房纪录，8.016×109的原数为（ ）
A．80160000 B．801600000
C．8016000000 D．80160000000
【分析】将8.016×109化成原数即可．
【解答】解：8.016×109＝8016000000，
故选：C．
【典例4】（2024春•新华区期末）我国陆地上风能储量约为253000兆瓦，将253000用科学记数法表示为
2.53×10n，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．﹣5
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的
整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：将253000用科学记数法表示为2.53×105，
∴n＝5，
故选：B．
【典例5】（2023秋•溧阳市期末）由四舍五入得到的近似数8.01×104，精确到（ ）
A．10 000 B．100 C．0.01 D．0.000 1
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：近似数8.01×104精确到百位．
故选：B．
【典例 6】（2023 秋•高阳县期末）一个数 a 精确到十分位的结果是 3.6，那么这个数 a 的范围满足
（ ）
A．3.55≤a≤3.65 B．3.55＜a≤3.65
C．3.55＜a＜3.65 D．3.55≤a＜3.65
【分析】利用近似数的精确度，一个数a精确到十分位的结果是3.6，则这个数最小为3.55，最大小于
3.65．【解答】解：根据题意，这个数a的范围满足3.55≤a＜3.65．
故选：D．
