文档内容
2023 年邵阳市高三第一次联考试题卷
数 学
本试卷共 页, 个小题。 满分 分。 考试用时 分钟。
4 22 150 120
注意事项:
答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 将条形码横贴在答题卡上
1.
“条形码粘贴区”。
作答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息
2. 2B
点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。 答案不能答在试卷上。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区
3.
域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和
涂改液。 不按以上要求作答无效。
保持答题卡的整洁。 考试结束后,只交答题卡,试题卷自行保存。
4.
一、选择题(本大题共 小题,每小题 分,共 分 在每小题给出的四个选项中,只有一项
8 5 40 .
是符合题目要求的)
.已知全集U R 集合A x x2 x B {x x k k Z} 则A B
1 = , ={ | +2 -3<0}, = =2 , ∈ , ∩ = ( )
{ , } { , } { , , } { , , }
A. 0 2 B. -2 0 C. -2 0 2 D. -2 -1 0
.已知复数z满足( z ) z 则z-
2 2 +3 i=3 , = ( )
6 9 6 9 6 9 6 9
A.- - i B.- + i C. - i D. + i
13 13 13 13 13 13 13 13
一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为 的半圆 则该圆锥的全面积为
3. 1 , ( )
3π π π 3π
A. B. C. D.
4 2 4 24
.设向量a b满足 a b a b 则 a b
4 , | - |=4, · =1, | + |= ( )
A.2 B.2 3 C.3 D.2 5
.某铅笔工厂有甲 乙两条生产线 甲生产线的产品次品率为 % 乙生产线的产品次品率
5 、 , 10 ,
为 %. 现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品 由甲 乙两条生产线同时生产 且甲
5 , 、 ,
生产线的产量是乙生产线产量的 . 倍.现在从这种铅笔产品中任取一件 则取到合格产
1 5 ,
品的概率为
( )
. . . .
A.0 92 B.0 08 C.0 54 D.0 38
.已知A B C分别是 ABC的内角 A 1 B 3 10 则C的值是
6 , , △ ,tan = ,cos = , ( )
2 10
3π π 2π 5π
A. B. C. D.
4 4 3 6
{a a b
. 设 {a b} , ≤ ,若函数 f (x) { x -1 x x2 mx }有且只有三个零点
7 min , = b a b = min e - ,- +2 -1 ,
, > ,
则实数m的取值范围为
( )
( ) ( ) ( )
1 , 3 , ( , ) 5 ,
A. +∞ B. +∞ C. 1 +∞ D. +∞
2 4 4
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2023 1 4.截角四面体是一种半正八面体 可由四面体经过适当的截角 即截去四面体的四个顶点所
8 , ,
产生的多面体.如图所示 将棱长为 a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面
, 3 ,
得到所有棱长均为a的截角四面体 则下列说法错误的是
, ( )
二面角A BC D的余弦值为 1
A. - - -
3
该截角四面体的体积为23 2a3
B.
12
该截角四面体的外接球表面积为11 a2
C. π
2
该截角四面体的表面积为 a2
D. 6 3
二、多选题(本大题共 小题,每小题 分,共 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题
4 5 20
目要求.全部选对的得 分,部分选对的得 分,有选错的得 分)
5 2 0
.随着时代与科技的发展 信号处理以各种方式被广泛应用于医学 声学 密码学 计算机科
9 , 、 、 、
学 量子力学等各个领域. 而信号处理背后的 功臣 就是正弦型函数 f x
、 “ ” , ( ) =
4 i - x
sin [(2 1) ] 的图象就可以近似的模拟某种信号的波形 则下列说法正确的有
∑i=
1 2
i -
1
, ( )
函数f(x)的图象关于直线x π对称
A. =
2
函数f(x)的图象关于点( , )对称
B. 0 0
函数f(x)为周期函数,且最小正周期为
C. π
函数f(x)的导函数f′(x)的最大值为
D. 4
.已知f(x) g(x)都是定义在R上的函数 对任意 x y 满足 f(x y) f(x)g(y) g(x)f(y)
10 , , , - = - ,
且f( ) f( ) 则下列说法正确的有
-2 = 1 ≠0, ( )
g( )
A. 0 =1
( )
函数f( x )的图象关于点 1 , 对称
B. 2 -1 0
2
g( ) g( )
C. 1 + -1 =1
2023
若f( ) 3,则 f(n) 3
D. 1 =
2
∑n=
1
=
2
. 蒙日圆 涉及几何学中的一个著名定理 该定理的内容为 椭圆上
11 “ ” , :
任意两条互相垂直的切线的交点 必在一个与椭圆同心的圆上. 称
,
此圆为该椭圆的 蒙日圆 该圆由法国数学家加斯帕尔 蒙日
“ ”, ·
x2 y2
最先发现.已知长方形R的四条边均与椭圆C
(1746-1818) : + =1
6 3
相切 则下列说法正确的有
, ( )
椭圆C的离心率为e 2
A. =
2
椭圆C的蒙日圆方程为x2 y2
B. + =6
椭圆C的蒙日圆方程为x2 y2
C. + =9
长方形R的面积的最大值为 .
D. 18
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2023 2 4.已知函数f(x) x x g(x) x x 则下列说法正确的有
12 =e - , = -ln , ( )
g( x)在( , )上是增函数
A. e 0 +∞
x ,不等式f(ax) f( x2 )恒成立,则正实数a的最小值为2
B.∀ >1 ≥ ln e
若f(x) t有两个零点x ,x ,则x x
C. = 1 2 1+ 2>0
t
若f(x ) g(x ) t(t ),且x x ,则 ln 的最大值为1
D. 1 = 2 = >2 2> 1>0 x x e
2- 1
三、填空题(本大题共 小题,每小题 分,共 分)
4 5 20
. (x y) 3 (y z) 5 (z x) 7 的展开式中不含z的各项系数之和 .
13 -2 -2 -2
( )
.将函数f(x) ωx φ ω φ π 的图象向左平移
14 =sin ( + ) >0, <
2
θ个单位长度得到函数g(x)的图象 如图所示 图中阴影部
, ,
分的面积为π 则φ .
, =
2
.已知圆x2 y2 x y 与圆x2 y2 x 相交于A B
15 + +2 -4 -5=0 + +2 -1=0 ,
两点 则公共弦AB所在的直线方程为 ( 分) AB ( 分).
, 2 ,| |= 3
.在正方体ABCD A B C D 中 点P满足B→P xB→A yB→C zB D→ 且 x y z 直线 B P
16 - 1 1 1 1 , 1 = 1 + 1 + 1 1, + + =1, 1
与平面ACD 所成角为π 若二面角P AD B 的大小为θ 则 θ的最大值是 .
1 , - - 1 , tan
3
四、解答题(本大题共 小题,共 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
6 70
17
.(本小题满分
10
分)已知数列{a
n
}满足 a
1 = 1,
a
2 = 2,
a
n +2 =
a
n +2×3
n
(
n
∈
N∗
),
且b
n=
a
n+
a
n +1(
n
∈
N∗
)
.
求数列{b }的通项公式
(1) n ;
n
(2)
若b
n
c
n=
4(
n2
+1)
(
n
∈
N∗
),
求数列{c
n
}的前n项和.
4 -1
.(本小题满分 分)如图 P为 ABC 内的一点 BAP 记为 α ABP 记为 β 且 α β 在
18 12 , △ ,∠ ,∠ , ,
( )
ABP中的对边分别记为m n m n β n β α β π .
△ , ,(2 + )sin = 3 cos , , ∈ 0,
3
求 APB
(1) ∠ ;
若AB BP PC 记 APC θ 求线段AP 的长和
(2) =2 3, =2, = 3, ∠ = ,
ABC面积的最大值.
△
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2023 3 4.(本小题满分 分)如图所示 在多面体 ABCDEF 中 底面 ABCD 为
19 12 , ,
直角梯形 AD BC AB BC 侧面 ABEF 为菱形 平面 ABEF 平面
, ∥ , ⊥ , , ⊥
ABCD M为棱BE的中点.
,
若 DE 上有一点 N 满足 MN 平面 ABCD 确定点 N 的位置并
(1) ∥ ,
证明
;
若AB BC 1AD EBA ° 求平面 MAD 与平面 EFD 所成二
(2) = = ,∠ =60 ,
2
面角的正弦值.
.(本小题满分 分)新冠肺炎疫情暴发以来 各级人民政府采取有效防控措施 时常采用
20 12 , ,
人一组做核酸检测 俗称混检 . 某地在核酸检测中发现某一组中有 人核酸检测呈
10 ( ) 1
阳性 为了能找出这 例阳性 需要通过做血清检测 血清检测结果呈阳性的即为感染人
, 1 , ,
员 呈阴性的表示没被感染.拟采用两种方案检测
, :
方案甲 将这 人逐个做血清检测 直到能确定感染人员为止.
: 10 ,
方案乙 将这 人的血清随机等分成两组 随机将其中一组的血清混在一起检测 若结
: 10 , ,
果为阳性 则表示感染人员在该组中 然后再对该组中每份血清逐个检测 直到能确定感
, , ,
染人员为止 若结果呈阴性 则对另一组中每份血清逐个检测 直到能确定感染人员为
; , ,
止.把采用方案甲 直到能确定感染人员为止 检测的次数记为X.
, ,
求X的数学期望E(X)
(1) ;
如果每次检测的费用相同 以检测费用的期望作为决策依据 应选择方案甲与方案乙
(2) , ,
中的哪一种
?
.(本小题满分 分)已知抛物线C x2 py p 的焦点为F 且F与圆M x2 y 2
21 12 : =2 ( >0) , : +( +3) =1
上点的距离的最大值为 .
5
求抛物线C的方程
(1) ;
若点P在圆M上 PA PB是抛物线C的两条切线 A B是切点 求 PAB面积的最大值.
(2) , , , , , △
.(本小题满分 分)设函数f x a a2 x x 1 a R .
22 12 ( )=( - ) +ln -x ( ∈ )
讨论函数f x 的单调性
(1) ( ) ;
当a 时 记g x xf x x2 是否存在整数 t 使得关于 x 的不等式 t g x 有
(2) =1 , ( )= ( )+ +1, , ≥ ( )
解 若存在 请求出t的最小值 若不存在 请说明理由.
? , ; ,
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