文档内容
专题 10 幂的运算的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、幂的混合运算......................................................................................................................................2
类型二、利用幂的运算及逆用比较大小............................................................................................................5
类型三、利用幂的运算及逆用简便运算............................................................................................................8
类型四、利用幂的运算及逆用求式子的值......................................................................................................12
类型五、利用幂的运算及逆用求解新定义型问题...........................................................................................15
压轴能力测评（15题）....................................................................................................................................19
解题知识必备
1.同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2
与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指
数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓
住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
2.幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，
这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，
计算出最后的结果．
3．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什
么．
压轴题型讲练
类型一、幂的混合运算
例题：（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可；
（2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
【变式训练1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】积的乘方运算、幂的混合运算、合并同类项
【分析】本题主要考查了幂的混合计算，积的乘方计算，解题的关键是掌握相关的运算法则．
（1）先算幂的乘方，再算乘除即可；
（2）先算积的乘方，再算乘法，最后算加法．
【详解】（1）解：；
（2）
【变式训练2】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】幂的混合运算
【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键
（1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法；
（2）先算幂的乘方，再合并同类项；
（3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项；
（4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：（4）解：
【变式训练3】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算题
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握各个运算法则；
（1）根据同底数幂相乘、幂的乘方法则可进行求解；
（2）根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂相乘可进行求解；
（3）根据积的乘方、幂的乘方法则计算，再合并同类项可进行求解；
（4）将 和 看作整体，根据幂的乘方法则可进行求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解：
；
（4）解：
．类型二、利用幂的运算及逆用比较大小
例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有
一个数学知识引起了同学们的兴趣．
（i）阅读和学习下面的材料：
比较 ， ， 的大小．
分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较
底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下：
解： ， ， ，
．
（ii）阅读和学习下面的材料：
已知 ， ，求 的值．
分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成
题目的解答．解法如下：
解： ， ，
．
学习以上解题思路和方法，然后完成下题：
(1)比较 ， ， 的大小（用“<”号连接起来）．
(2)计算： ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用
【分析】本题考查了积的乘方法则逆用、同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这
三个法则是关键；
（1）发现指数606，404，202都是101的倍数，于是把这三个数都转化为指数为101的幂，然后通过比较
底数的方法，即可比较大小；
（2）把 化为 后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解．
【详解】（1）解： ， ， ，
而 ，
；
（2）解：．
【变式训练1】（2024七年级下·全国·专题练习）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较 ， 的大小：当 时， ，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较 和 的大小：因为 ， ， 所以 ．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)比较大小： __________ （填“ ”或“ ”）
(2)已知 ， ， ，试比较 ， ， 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关键．
（1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可；
（2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可．
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ．
故答案为： ；
（2）因为 ，
，
，
且 ，
所以 ，
所以 ．
【变式训练2】（24-25八年级上·全国·课后作业）阅读下列解题过程：
若 ，比较a，b的大小．
解：因为 ，
，
．所以 ．
所以 ．
依照上述方法解答问题：
已知 ，试比较x与y的大小．
【答案】
【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方以及实数比大小，灵活运用幂的乘方和积的乘方运算法则是解
题的关键．
根据幂的乘方和积的乘方已知条件可得 ，结合 即可
解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
【变式训练3】（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较 和 的大小．
解：∵ ，且
∴ ，即
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较 和 的大小
解：∵ ，且
∴ ，即
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
(1)比较 、 、 的大小
(2)比较 、 、 的大小
(3)已知 ， ，比较a、b的大小
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．
（1）根据 ， ， ，再比较底数的大小即可；（2）根据 ， ， ，再比较底数的大小即可；
（3）根据 ， ，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
，
，
∵ ，
∴ ，
即 ；
（2）解：∵ ，
，
，
∵ ，
∴ ，
即 ；
（3）解：∵ ， ，
又∵ ，
∴ ．
类型三、利用幂的运算及逆用简便运算
例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律、逆用积的乘方等知识点，掌握 是解题的关键．
（1）先运用乘法结合律、再逆用积的乘方进行简便运算即可；
（2）先变形，然后逆用积的乘方进行简便运算即可．【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式训练1】（23-24七年级下·河北沧州·期中）上课时王老师给学生出了一道题：
计算： ．同学们看了题目后发表不同的看法．小张说：“指数太大计算不了．”小李说：“可
以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题．”
(1)下面是小李尚未完成的解题过程，请你帮他补充完整．
解：
________
________
（________）
(2)请你利用小李的解题方法解答下面问题：
①计算： ；
②若 ，则 的值为________________．
【答案】(1)0.25，4，1；
(2)① ；②4．
【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方的逆运算，运算过程中符号是易错点，可先定符号再计算．
（1）根据乘法的交换律、积的乘方的逆用等计算即可；（2）①仿照小李的解题方法计算即可；
②根据幂的乘方及同底数幂的乘法运算得出 ，求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）①
=1；
②
，
∴ ，
∴ ，
∴解得： ，
故答案为：4．
【变式训练2】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）阅读下列各式：
…
回答下列三个问题：
(1)验证： ， ；
(2)通过上述验证，归纳得出： ； ．
(3)请应用上述性质计算： ．
【答案】(1)1，1
(2) ，
(3)
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方，掌握运算法则是解答此题的关键．
（1）先算括号内的乘法，再算乘方；先乘方，再算乘法；（2）根据有理数乘方的定义求出即可；
（3）根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案．
【详解】（1）解： ；
故答案为：1，1；
（2）解： ；
故答案为： ， ；
（3）解：
．
【变式训练3】（23-24七年级下·山东潍坊·期中）我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，
也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：
；
； ；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题．
(1)已知 ，请把a，b，c用“ ”连接起来；
(2)若 ，求 的值；
(3)化简： ．
【答案】(1)
(2)200
(3)
【分析】本题主要考查了同底数幂乘方，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小即可；
（2）逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可；
（3）逆用积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：∵∴
（2）解： ，
∵ ，
∴原式 ；
（3）解：
．
类型四、利用幂的运算及逆用求式子的值
例题：（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知 ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)直接写出字母 、 、 之间的数量关系为________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的除法，
（1）根据幂的乘方直接解答即可；
（2）根据同底数幂的除法进行解答即可；
（3）根据同底数幂的除法求出 ，再和（2）的结论进行对比即可得出结论；
熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；（2）∵ ， ，
∴ ；
（3）∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴字母a、b、c之间的数量关系为： ．
故答案为： ．
【变式训练1】（2024七年级下·全国·专题练习）若 且 ， 、 是正整数），则 ．
利用上面结论解决下面的问题：
(1)若 ，求 的值．
(2)若 ， ，用含 的代数式表示 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．
（1）由题意得出 ，即可得出答案；
（2）将 代入 可得答案．
【详解】（1）解： ．
，
，
；
（2）解： ，
，
．
【变式训练2】（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如
，则 ．（ 为非负数、 为非负整数）请运用所学知识解答下列问题：
(1)已知： ，求 的值．
(2)已知： ，求 的值．【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则、正确计算是
解题的关键．
（1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到 ，即 ，求解即可；
（2）利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则变形，得到 ，求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的值为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的值为 ．
【变式训练3】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）若 （ 且 ），则 ．利用上面结论解
决下面的问题：
(1)已知 ，求 的值．
(2)若 ，求 的值．
(3)若 ， ，用含 的代数式表示 ．
【答案】(1)1
(2)2
(3)
【分析】此题考查了同底数幂相乘、幂的乘方等方面的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行
正确地计算．
（1）根据幂的乘方和积的乘方化简 ，再列方程求解即可；
（2）根据同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方化简 ，再列方程求解即可；（3）将 代入 化简为 即可求解．
【详解】（1）解： ，
由题意得 ，
解得 ，
∴ 的值是1；
（2）
，
可得 ，
解得 ，
∴ 的值是2；
（3） ，
，
，
整理，得 ，
∴用含 的代数式表示 为： ．
类型五、利用幂的运算及逆用求解新定义型问题
例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）规定两数 ，b之间的一种运算，记作 ，如果 ，那么
．例如：因为 ，所以 ．
(1)根据上述规定，填空：
________， ________；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：
，他给出了如下的证明：
设 ，则 ，即 ，
，即 ，
．
请你尝试运用上述方法说明下面这个等式成立的理由．．
【答案】(1)3；2
(2)成立，理由见解析
【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，理解同底数幂的乘法运算法则（底数不变，指数
相加）是解题关键．
（1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解；
（2）根据新定义运算，结合同底数幂的乘法运算法则进行分析计算．
【详解】（1）解： ，
；
，
故答案为：3；2
（2）设 ， ，
则 ，
，
，
，
，
即 ．
等式成立．
【变式训练1】（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如果 ，则 ，例如 ，则 ．
(1)根据上述规定，若 ，则 ；
(2)记 ， ， ，求 之间的数量关系．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）根据新定义列式计算即可求解；
（ ）根据新定义列式，再根据同底数幂乘法的逆运算计算即可求解；
本题考查了乘方及同底数幂乘法的逆运算，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，则 ，
∴ ，则 ，∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式训练2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：①根据幂的意义，an表示 个 相乘；则
；② ，知道 和 可以求 ，我们不妨思考：如果知道 ， ，能否求 呢？对于
，规定 ，例如：因为 ，所以 ．
(1) , ；
(2)分别计算 、 的值，试猜想 、 、 之间的等量关系式；
(3)若记 ， ，请用含 的代数式表示 ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，
（1）根据新定义进行计算即可求解；
（2）根据新定义分别计算 、 的值，即可求解；
（3）由题意得 ， ，然后根据同底数幂的乘法的逆运算即可求得答案．
【详解】（1）解：
故答案为： ，3．
（2）解：依题意， ， 、
∴ ；
（3）解：根据题意得：
， ，
，
．【变式训练3】（2024七年级下·江苏·专题练习）在形如 的式子中， 我们已经研究过两种情况：①
已知 和 ，求 ，这是乘方运算：②已知 和 ，求 ，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况：
已知 和 ，求 ，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果 ， ， ，则 叫
做以 为底 的对数，记作： ，例如： 求log 8，因为 ，所以 ；又比如
2
，
，
(1)根据定义计算：
① ；② ；③如果 ，那么 ；
(2)设 ， ，则 ， ， ， 、 均为正数） ， ，
，
，即 这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得
出： ； （其 中 、 、 、 、 均为正数， ，
(3)请你猜想： （ ， ， 、 均为正数）
【答案】(1)①4 ；②0 ；③2
(2)
(3)
【分析】此题考查了同底数幂的乘法及除法逆运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键 ．
（1） 各项根据题中的新定义计算即可得到结果；
（2） 利用对数的运算法则变形即可得到结果；
（3） 利用已知的新定义化简即可得到结果 ．
【详解】（1）解： ①
；
②
；
③ ，
；
故答案为：4，0，2；
（2）解： ；故答案为： ；
（3）解：设 ， ，则 ， ，（a>0且 ， 、 均为正数） ，
，
，则 ，
，
故答案为： ．
压轴能力测评（20题）
一、单选题
1．（2024·广东惠州·模拟预测）计算 的结果（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】积的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】本题考查了整式的运算．根据积的乘方、同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：
，
故选：B．
2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，掌握相关运算法则
是解题关键．
【详解】解：A： ，运算错误，不符合题意；
B： ，运算正确，符合题意
C： ，运算错误，不符合题意；
D： ，运算错误，不符合题意；
故选：B
3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 成立，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】此题考查了积的乘方运算和幂的乘方运算，正确得出关于m，n的方程是解题关键．
先根据积的乘方法则计算出等式左边的数，再与右边的数相比较，进而得出关于m，n的方程即可求解．
【详解】∵
∴ ，
∴ ， ．
故选：A．
4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．2000 D．
【答案】B
【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂相乘，积的乘方，由已知证明 可得 ，
进而求得代数式的值．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ；
∴ ，
．
故选B．
5．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知 ，则 的值等于（ ）A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、积的乘方的逆用
【分析】本题考查的是非负数的性质，有理数的乘方，积的乘方，熟知几个非负数的和为0时，每一项都
等于0是解题的关键．
先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解： ，
， ，
解得 ， ，
．
故选：C．
二、填空题
6．（23-24七年级下·全国·假期作业）计算 的结果等于 ．
【答案】 /
【知识点】积的乘方运算
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，熟知积的乘方计算法则是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知 ， ，则 ．
【答案】25
【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用
【分析】本题主要考查了逆用同底数幂乘法法则、积的乘方的逆用等知识点，根据同底数幂乘法的逆用求
得 成为解题的关键．先逆用同底数幂乘法法则以及已知条件可得 ，然后再逆用积的乘方即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ．
故答案为：25．
8．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若 ，则 的值为 ．
【答案】2
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、幂的乘方的逆用
【分析】本题考查了代数式求值和同底数幂的乘法，先将代数式化成同底数幂的乘法的形式，在进行计算
即可．
【详解】解： ，
，
，
故答案为：2．
9．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知 为正整数，且 ，求 的值为
．
【答案】
【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出 ， ，
再由积的乘方计算法则和幂的乘方计算法则得到 ，据此代值计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
，，
故答案为： ．
10．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若 ，则a、b、c的大小关系是 ．
（用“ ”连接）
【答案】
【知识点】有理数大小比较、幂的乘方的逆用
【分析】本题考查了幂运算的性质，根据幂运算的性质把它们变成相同的指数，只需比较它们的底数的大
小，底数大的就大．
【详解】解： ，
，
，
，
，
即 ，
故答案为： ．
三、解答题
11．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算： ．
【答案】
【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项
【分析】先根据同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方进行化简，再运用同类项法则进行合并，即可作答．
本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：原式 ．
12．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】积的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】（1）先利用积的乘方运算法则求解，再加减求解即可；
（2）先利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则求解，再加减求解即可．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
13．（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）若 且 ， ， 是正整数 ，则 ．你能利
用上面的结论解决下面两个问题吗？
(1)已知 ，求 的值．
(2)已知 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂相乘
【分析】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算，熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算
的运算法则是解答本题的关键．
（1）根据同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算即可求解；
（2）根据幂的乘方和积的乘方及其逆运算即可求解．
【详解】（1）
∴
解得 ；
（2）
∴
解得 ．
14．（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）计算：
（2）已知 ， ，求 的值；
（3）已知 ，求 的值．【答案】（1） ；（2） ；（3）8
【知识点】积的乘方运算、幂的乘方的逆用、幂的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方以及逆运用、幂的乘方以及逆运用，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）先化简积的乘方，幂的乘方，再运算同底数幂相乘，最后合并同类项，即可作答．
（2）先整理 ，再代入 ， ，即可作答．
（3）先整理 以及 ，再把 代入 ，进行运算，即可作答．
【详解】解：（1）
；
（2） ；
（3）∵
∴
．
15．（23-24七年级下·全国·课后作业）1）已知 ， ．求 的值；
（2）已知 ， ．用a，b表示 的值；
（3）已知 为正整数，且 ．求 的值．
【答案】（1）5184；（2） ；（3）2450
【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用
【分析】本题考查了积的乘方法则与幂的乘方法则的逆用．
（1）逆用积的乘方法则，即 （其中n为正整数），则问题解决；
（2）逆用积的乘方法则和幂的乘方，即 、 （其中m、n均为正整数），则
问题解决；
（3）逆用积的乘方和幂的乘方法则，即 、 ，其中m、n均为正整数，则问题解决．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴
．
16．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读下列解题过程：
试比较 与 的大小．
解： ，而 ．
请根据上述解题方法，比较 的大小．
【答案】
【知识点】幂的乘方运算、幂的乘方的逆用
【分析】本题考查幂的乘方，把各数化为指数相同、底数不同的形式，再根据指数底数大于 ，指数相同
时，底数越大幂越大，即可得出答案，熟练掌握幂的乘方的运算是解此题的关键．
【详解】解： ， ，
，
而 ，
，
．
17．（24-25七年级上·四川达州·期中）规定两数 ， 之间的一种运算，记作 ：如果 ，那么
．例如：因为 ，所以 ．
(1)根据上述规定，填空： ， ， ；
(2)若 ， ， ，请你尝试运用上述运算证明： ；
(3)进一步探究这种运算时发现一个结论： ，
证明：设 ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ．
∴ ．
结合（2）、（3）探索的结论，计算： ．
【答案】(1)3，
(2)见解析
(3)3
【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】本题考查幂的运算，解题关键是掌握同底数幂的乘法运算法则．
（1）根据题意可得 ， ，进而求解；
（2）由 ， ， ，得 ， ， ，即知 ，从而 ；
（3）设 ， ，由结论得 ，据此计算即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
， ，
故答案为：3， ；
（2）解： ， ， ，
， ， ，
，
，
；
（3）解：
，
设 ， ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
18．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所
以 ．
(1) ____________；若 ，则 ____________；
(2)已知 ， ， ，若 ，求 的值；
(3)若 ， ，求 的值
【答案】(1)4；64
(2)
(3)
【知识点】幂的乘方的逆用、幂的乘方运算、同底数幂相乘、新定义下的实数运算
【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算，幂的乘方及其逆运算：
（1）根据新定义求解即可；
（2）根据新定义可得到 ， ， ，再由同底数幂乘法计算法则得到 ，据此可得答
案；
（3）根据新定义得到 ，再由幂的乘方计算法则求出 ，根据幂的乘方和
幂的乘方的逆运算法则推出 ，据此代值计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
故答案为：4；64；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
．
19．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对
于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，
请阅读下列材料：若 ， ，则 的大小关系是 ______ （填“ ”或“ ”．）
解： ， ，且 ，
，
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______；
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)比较 的大小；
(3)比较 与 的大小；
(4)已知 ， ， ．求 之间的等量关系．
【答案】(1)C
(2)
(3)
(4)
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算：
（1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可；（2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到 ， ， ，据此可得答案；
（3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到 ， ，据此可得答案；
（4）根据 得到 ，进而得到 ，则 ．
【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则，
故答案为：C；
（2）解：∵ ， ， ，且 ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，且 ，
∴ ．
（4）解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
20．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）规定两数 之间的一种运算，记作 ：如果 ，那么
例如：因为 ，所以 ．
规定： ，比如：
(1)根据上述规定，填空： ____________， ____________， ____________．
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象： 他给出如下的证明：设 ，则 ，
而 ，所以 ，则 ，即 ，所以
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：
(3)请你参照（2）的 ，写出一个成立的等式____________．
【答案】(1)3；0；
(2)证明见解析
(3) （答案不唯一）
【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘、新定义下的实数运算
【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算，幂的乘方计算：（1）根据新定义进行求解即可；
（2）设 ，则 ，则由同底数幂乘法计算法则得到 ，则 ，
据此可证明结论；
（3）类似于（2）写出符合题意的式子即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
故答案为：3；0； ；
（2）证明：设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ，证明如下：
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
