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数 学
题号
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答案
Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ ＡＤ ＡＢＤ ＢＣ ＢＣＤ
． 解析：由题知 ｘ２ ｘ 又 ｘ Ｚ ｘ
１ Ｃ ，４－ ≥０∴ －２≤ ≤２ ∵ ∈ ∴ ＝－２，－１，０，１，２，
即Ａ Ａ Ｂ 故选
＝｛－２，－１，０，１，２｝∴ ∩ ＝｛－１，０，１，２｝， Ｃ
ａ ｂｉ ａ ｂｉ ｉ ａ ｂｉ ａｉ ｂ ａ ｂ ｂ ａ ｉ
． 解析：方法一 ＋ （ ＋ ）（４－３ ） ４ ＋４ －３ ＋３ （４ ＋３ ）＋（４ －３ ）
２ Ｄ ： ｉ＝ ｉ ｉ ＝ ＝
４＋３ （４＋３ ）（４－３ ） ２５ ２５
ａ ｂ ｂ ａ ｉ
（４ ＋３ ） （４ －３ ）
＝ ＋
２５ ２５
ａ ｂｉ
＋ 为纯虚数
∵ ｉ
４＋３
ａ ｂ ｂ ａ ａ
（４ ＋３ ） ４ －３ ３ 故选 ．
∴ ＝０， ≠０∴ ｂ ＝－ ， Ｄ
２５ ２５ ４
ａ ｂｉ ａ
方法二 设 ＋ ｍｉ ｍ 则ａ ｂｉ ｍ ｍｉ 即ａ ｍ ｂ ｍ ３ 故选 ．
： ｉ＝ （ ≠０）， ＋ ＝－３ ＋４ ， ＝－３ ， ＝４ ，∴ ｂ ＝－ ， Ｄ
４＋３ ４
． 解析： 直线 λ ｘ λ ｙ 与直线 λ ｘ λｙ 互相垂直
３ Ａ ∵ （２ －３） ＋（ ＋１） ＋３＝０ （ ＋１） － ＋３＝０
λ λ λ λ λ 或
∴ （２ －３）（ ＋１）－ （ ＋１）＝ ０∴ ＝３ －１
而 λ 是 λ 或 的充分不必要条件
“ ＝３” “ ＝３ －１”
λ 是 直线 λ ｘ λ ｙ 与直线 λ ｘ λｙ 互相垂直 的充分不必要条件 故选
∴ “ ＝３” “ （２ －３） ＋（ ＋１） ＋３＝０ （ ＋１） － ＋３＝０ ” ，
．
Ａ
． 解析：方法一 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ ａ ａ ａ ａ ａ
４ Ｂ ：∵ ３＝ １９∴ １９－ ３＝ ４＋ ５＋…＋ １９＝８（ ４＋ １９）＝ ０
ａ ａ
∴ ４＋ １９＝０
Ｓ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
∴ ２１＝ １＋ ２＋ ３＋（ ４＋ ５＋… １９）＋ ２０＋ ２１
ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ 故选 ．
＝ １＋ ２＋ ３＋ ２０＋ ２１＝ １＋２（ ４＋ １９）＝ １＝２， Ｂ
方法二
：
由于Ｓ
ｎ＝
Ａｎ２
＋
Ｂｎ是二次函数ｆ
（
ｘ
）＝
Ａｘ２
＋
Ｂｘ当ｘ
＝
ｎ时的函数值Ｓ
ｎ＝
ｆ
（
ｎ
），
根据二次函数的对称性
，
由Ｓ Ｓ 可知 Ｓ 的关于ｎ 对称 因此Ｓ Ｓ ａ 故选 ．
３＝ １９ ， ｎ ＝１１ ， ２１＝ １＝ １＝２， Ｂ
． 解析：根据排列组合原理 ｘ２ 的系数为 ２ ２ ａ １ ０ 解得ａ 故选项 正确．
５ Ｃ ， １×Ｃ８×（－１） ＋ ×Ｃ８×（－１）＋１×Ｃ８＝２１， ＝１， Ｃ
． 解析：设圆锥底面半径为ｒ 高为ｈ 母线长为ｌ 则ｌ ｈ ｌ２ ｒ２ ｒ２
６ Ａ ， ， ， ＝２， ＝ － ＝ ４－
Ｖ １ ｒ２ｈ １ ｒ２ ｒ２ Ｓ ｒｌ ｒ
＝ π ＝ π ４－ ， ＝π ＝２π
３ ３
１ ｒ２ ｒ２
Ｖ π ４－ ｒ２ ｒ２
于是 ３ １ｒ ｒ２ １ ＋４－ １
Ｓ ＝ ｒ ＝ ４－ ≤ · ＝
２π ６ ６ ２ ３
当且仅当ｒ ｒ２ 即ｒ 时取等号
（ ＝ ４－ ， ＝ ２ ）
此时ｌ ｒ 由线面角的定义得 所求的母线与底面所成角的正弦值为 ２ 故选 ．
＝２， ＝ ２， ， ， Ａ
２
答案 第 页（共 页）
１ ８ì
ï
ｘ２ ｙ２
１ １
ï ïａ２ ＋ｂ２ ＝１， ｘ２ ｘ２ ｙ２ ｙ２
． 解析：设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 则有í 两式作差得 １－ ２ １－ ２
７ Ｃ （ １， １）， （ ２， ２）， ïｘ２ ｙ２ ａ２ ＝－ ｂ２ ，
ïï ２ ２
îａ２ ＋ｂ２ ＝１，
即ｋ
ｙ
１－
ｙ
２
ｘ
１＋
ｘ
２
ｂ２
即ｋ
ｘ
１＋
ｘ
２
ｂ２
２
ｂ２
＝ｘ ｘ ＝－ｙ ｙ ×ａ２ ， ＝－ｙ ｙ ×ａ２ ＝－ ×ａ２ ，
１－ ２ １＋ ２ １＋ ２ －１
ｋ ０－（－１）
∵ ＝ ＝１
３－２
ｂ２
２
∴ １＝－ ×ａ２
－１
ａ２ ｂ２ 又 ｃ ａ ｂ 故椭圆的面积为
∴ ＝２ ， ∵ ＝３，∴ ＝３ ２， ＝３， ９ ２π。
． 解析：显然 ｆ ｘ 的定义域为 ｆ ｘ 的定义域为 且
８ Ｂ ， （ ） （０，２π）， （ ＋π） （－π，π），
ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
（π＋ ）＝［ｌｎ（π＋ ）＋ｌｎ（π－ ）］·ｓｉｎ（π＋ ）＝ －［ｌｎ（π＋ ）＋ｌｎ（π－ ）］·ｓｉｎ ，
记ｇ ｘ ｆ ｘ 则有
（ ）＝ （π＋ ），
ｇ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｇ ｘ
（－ ）＝ －［ｌｎ（π－ ）＋ｌｎ（π＋ ）］·ｓｉｎ（－ ）＝［ｌｎ（π－ ）＋ｌｎ（π＋ ）］·ｓｉｎ ＝－ （ ），
故ｆ ｘ 是奇函数 因此选项 正确．
（ ＋π） ， Ａ
令ｆ ｘ 则有 ｘ ｘ ｘ 即 ｘ ｘ 或 ｘ
（ ）＝ ０， ［ｌｎ ＋ｌｎ（２π－ ）］·ｓｉｎ ＝０， ｌｎ ＋ｌｎ（２π－ ）＝ ０ ｓｉｎ ＝０，
解得ｘ ｘ 或ｘ 即ｘ ２ ｘ ２ 或ｘ
（２π－ ）＝ １ ＝π， １＝π＋ π －１＜π＋π＝２π， ２＝π－ π －１＞π－π＝０， ＝π，
故ｆ ｘ 有 个零点．因此选项 正确．
（ ） ３ Ｃ
由于 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ２ ｘ 故选线 正
｜ （ ）｜＝｜［ｌｎ ＋ｌｎ（２π－ ）］｜·｜ｓｉｎ ｜≤｜［ｌｎ ＋ｌｎ（２π－ ）］｜ ＝｜ｌｎ（－ ＋２π ）｜≤２ ｌｎ π， Ｄ
确．
ｘ ｘ
因此 选项 不正确．事实上 ｆ ′ ｘ ２（π－ ） ｓｉｎ ｘ ｘ ｘ
， Ｂ ， （ ）＝ ｘ · ｘ ＋ｃｏｓ ·ｌｎ［ （２π－ ）］，
２π－
æ ö æ ö
且ｆ ′çπ÷ ４ ｆ ′ ｘ ２π 故存在δ ç π÷ 使得ｆ ′ δ
è ø ＝ ＞０，ｌｘｉｍ （ ）＝ ·１＋１·（－∞）＝ －∞， ∈è０， ø， （ ）＝ ０，
２ ３π
→０
２π ２
从而当 ｘ δ时 ｆ ′ ｘ 故ｆ ｘ 在区间 δ 上单调递减．
０＜ ＜ ， （ ）＜０， （ ） （０， ）
． 解析：依题意 有ａ ｂ 且ａ ｂ ．
９ ＡＤ ， ＋ ＝１， ＞０， ＞０
æ ö ｂ ａ
因此１ ２ ａ ｂ ç １ ２ ÷ ２ 当且仅当ａ ｂ 时 等号成立．故选项 正确
ａ ＋ｂ ＝（ ＋ ）è ａ ＋ｂ ø ＝３＋ａ ＋ ｂ ≥３＋２ ２， ＝ ２－１， ＝２－ ２ ， Ａ ；
æ ö２ æ ö２
ａ２ ｂ２ ａ２ ａ ２ ａ２ ａ çａ １ ÷ １ 因为 ａ 所以 çａ １ ÷ １ １ 故选项 错误 因为
＋ ＝ ＋（１－ ） ＝２ －２ ＋１＝２è － ø ＋ ， ０＜ ＜１， ２è － ø ＋ ≥ ， Ｂ ；
２ ２ ２ ２ ２
ａ ｂ ２
ａｂ （ ＋ ） １ 所以 ａ ｂ ａｂ １ 故选项 错误 ａ － ｂ ａ －（１－ ａ ） ２ ａ －１ －１ １ 故选
≤ ＝ ， ｌｎ ＋ｌｎ ＝ｌｎ（ ）≤ｌｎ ＝－２ ｌｎ ２， Ｃ ；２ ＝２ ＝ ２ ＞２ ＝ ，
４ ４ ４ ２
项 正确．
Ｄ
． 解析：由于Ｄ ａＸ ｂ ａ２Ｄ Ｘ 所以数据 ｘ ｘ ｘ 的方差为 故标准差为 因
１０ ＡＢＤ （ ＋ ）＝ （ ）， ２ １＋１，２ ２＋１，…，２ ２０＋１ １６， ４，
此选项 正确 根据正态分布 μ 故Ｐ Ｘ ． 即 Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ ． 故 Ｐ Ｘ ．
Ａ ； ， ＝１， （ ＞１）＝ ０ ５， （ ＞３）＋ （１＜ ≤３）＝ ０ ５， （１＜ ≤３）＝ ０
因此选项 正确 线性相关系数 ｒ 越接近 则两个变量的线性相关性越强 故选项 错误 由于
３， Ｂ ； ｜ ｜ １， ， Ｃ ；
Ｐ ＡＢ
Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ｂ 等价于 事件Ａ与事件Ｂ相互独立 即Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ 故必有 Ｐ Ａ Ｂ （ ）
（ ｜ ）＝ （ ） “ ”， （ ）＝ （ ） （ ）， （ ｜ ）＝ Ｐ Ｂ ＝
（ ）
Ｐ Ａ 因此选项 正确．
（ ）， Ｄ
æ ö
． 解析：依题意 可以求得ｆ ｘ ç ｘ π÷ 故最小正周期 Ｔ ２π 选项 错误 由于 ｆ ｘ 在区间
１１ ＢＣ ， （ ）＝ ２ ｓｉｎè３ － ø， ＝ ， Ａ ； （ ）
４ ３
é ù æ ö æ ö
ê ê π πú ú上单调递增 故选项 正确 由于ｆ ç５π÷ 故点ç５π ÷是函数 ｆ ｘ 图象的一个对称中心 选
ë－ ， û ， Ｂ ； è ø ＝０， è ，０ø （ ） ，
１２ ４ １２ １２
æ ö
项 正确 显然ｇ ｘ çｘ π÷ ｘ 选项 错误．
Ｃ ； （ ）＝ｓｉｎè － ø ＝－ｃｏｓ ， Ｄ
２
答案 第 页（共 页）
２ ８１０１０
． 解析：通过给出数列的前 项 发现ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ 因此我们归纳 猜想 ａ
１２ ＢＣＤ ９ ， ２＋ ４＝ ５－１， ２＋ ４＋ ６＝ ７－１，…， 、 ∑ｋ＝ ２ ｋ
１
ａ 事实上
＝ ２０２１－１， ，
１０１０
ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
∑ｋ＝ ２ ｋ＝ ２＋ ４＋ ６＋ ８＋…＋ ２０２０＝（ ３－１）＋ ４＋ ６＋ ８＋…＋ ２０２０＝－１＋ ５＋ ６＋ ８＋…＋ ２０２０
１
ａ ａ ａ ａ
＝－１＋ ７＋ ８＋…＋ ２０２０＝…＝－１＋ ２０２１
故选项 错误
Ａ ；
可以运算得到Ｓ ａ 故选项 正确
１３＝６０９＝２１×２９＝２９ ８， Ｂ ；
２０２０
可以发现 ， ａ ３ ａ １－ ａ ２ ２ ＝１， ａ ４ ａ ２－ ａ ３ ２ ＝－１， ａ ５ ａ ３－ ａ ４ ２ ＝１， ａ ６ ａ ４－ ａ ５ ２ ＝－１，…， 归纳得到 ∑ｋ＝ （ ａ ｋ ＋２ ａ ｋ－ ａ ｋ ＋１ ２ ）＝ ０， 故
１
选项 正确
Ｃ ；
可以发现 Ｓ ａ Ｓ ａ Ｓ ａ 归纳得到Ｓ ａ 事实上
， １＝ ３－１， ２＝ ４－１， ３＝ ５－１，…， ｎ＝ ｎ ＋２－１， ，
Ｓ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
ｎ＝ １＋ ２＋ ３＋ ４＋ ５＋…＋ ｎ＝（ ３－ ２）＋（ ４－ ３）＋（ ５－ ４）＋（ ６－ ５）＋…＋（ ｎ ＋２－ ｎ ＋１）
ａ ａ ａ
＝ ｎ ＋２－ ２＝ ｎ ＋２－１
故选项 正确．
Ｄ
因此正确选项为 ．
ＢＣＤ
．答案：π
１３
３
解析：由题 ａ ａ ｂ ａ ａ ２ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ
｜ ｜＝ ５，（ ＋ ）· ＝｜ ｜ ＋｜ ｜·｜ ｜·ｃｏｓ＜ ， ＞＝５＋１０ ｃｏｓ＜ ， ＞＝１０
ａ ｂ １ 又 ａ ｂ ａ ｂ π
∴ ｃｏｓ＜ ， ＞＝ ， ＜ ， ＞∈［０，π］∴ ＜ ， ＞＝
２ ３
．答案：
１４ １
解析：设ｌ
ＡＢ：
ｘ
＝
ｍｙ
＋
１
，
代入ｙ２
＝２
ｘ
，
得ｙ２
－２
ｍｙ
－１＝０，
设Ａ
（
ｘ
１，
ｙ
１），
Ｂ
（
ｘ
２，
ｙ
２），
则ｙ
１＞０，
ｙ
２＜０，∴
ｙ
１
ｙ
２＝－１
２
Ｓ Ｓ １ ＯＦ ｙ ｙ １ ｙ ｙ １ ｙ ｙ
∴ △ ＰＡＢ＝２ △ ＰＯＢ＝２· ·｜ ｜·｜ １－ ２｜＝ ｜ １－ ２｜≥ ·２ １·（－ ２）＝ １
２ ２ ２
当且仅当ｙ ｙ 时取等 此时ＡＢ ｘ轴．
１＝－ ２＝１ ， ⊥
．答案： 1
１５ １６π
解析： ＰＤ 面ＡＢＣＤ ＡＤ 面ＡＢＣＤ ＰＤ ＡＤ 又ＰＤ ＰＡＤ π ＡＤ
∵ ⊥ ， ⊂ ，∴ ⊥ ， ＝２ ３，∠ ＝ ∴ ＝
３
２ % $
因为底面ＡＢＣＤ为菱形 所以 ＯＤ ＯＣ 且 ＯＤ ＯＣ 棱锥 Ｐ ＤＯＣ 为 鳖
， ＝１， ＝ ３， ⊥ ， － “ 0
臑 它的外接球的球心为ＰＣ中点 又 ＰＣ ２ ＰＤ２ ＯＤ２ ＯＣ２ Ｓ Ｒ２ " #
”， ， ｜ ｜ ＝ ＋ ＋ ＝１６∴ ＝４π ＝π｜
ＰＣ ２ ．
｜ ＝１６π
．答案： ．
１６ ０ ０５ ５
解析：依题意 个人中恰有 人感染病毒的概率是ｆ ｐ ５ ｐ５ ｐ ９５ 且 ｐ ．
，１００ ５ （ ）＝Ｃ１００ （１－ ） ， ０＜ ＜１
因此ｆ ′ ｐ ５ ｐ４ ｐ ９５ ｐ５ ｐ ９４ ５ ｐ４ ｐ ９４ ｐ
（ ）＝Ｃ１００［５ （１－ ） －９５ （１－ ） ］＝Ｃ１００ （１－ ） （５－１００ ），
令ｆ ′ ｐ 解得ｐ ． ．
（ ）＝ ０， ＝０ ０５
则当ｐ ． 时 ｆ ′ ｐ 当ｐ ． 时 ｆ ′ ｐ ．
∈（０，０ ０５） ， （ ）＞０； ∈（０ ０５，１） ， （ ）＜０
所以ｆ ｐ 的最大值点为ｐ ．
（ ） ０＝０ ０５
设每个人需要检测的次数为Ｘ 若混合样本成阴性 则 Ｘ １ 若混合样本成阳性 则 Ｘ １ 因此 Ｘ 的
， ， ＝ ｋ ； ， ＝１＋ ｋ ，
æ ö æ ö
分布列为ＰçＸ １ ÷ ． ｋ ＰçＸ １ ÷ ． ｋ Ｅ Ｘ １ ． ｋ
è ＝ ｋ ø ＝０ ９５ ， è ＝１＋ｋ ø ＝１－０ ９５ ，∴ （ ）＝ １＋ｋ －０ ９５
当ｋ分别取 时 １ ． ｋ 的值分别为 ． ． ． ． ． ．
２，３，４，５，６，７，８，９，１０ ，１＋ ｋ －０ ９５ ０ ５９８，０ ４７６，０ ４３６，０ ４２６，０ ４３２，０ ４４５，
答案 第 页（共 页）
３ ８． ． ． 故当ｋ 时检测次数最少．
０ ４６２，０ ４８１，０ ５０１， ＝５
１７
．答案：
（１）
ａ
ｎ＝２×３
ｎ －１
（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
ｎ ｎ
Ｓ （２ －１）×３ ＋１
（２） ｎ＝
２
解析： 因为ａ Ｓ 所以ａ Ｓ ｎ
（１） ｎ ＋１＝２（ ｎ＋１）， ｎ＝２（ ｎ －１＋１）（ ≥２），
ａ
ｎ
故ａ ａ Ｓ Ｓ ａ 即 ＋１ ｎ 分
ｎ ＋１－ ｎ＝２（ ｎ－ ｎ －１）＝ ２ ｎ， ａ ＝３（ ≥２） ３
ｎ
ａ ａ
ｎ
又ａ Ｓ ａ 故ａ 即 ２ 因此 ＋１ ｎ Ｎ∗ 分
２＝２（ １＋１）＝ ２ １＋２， １＝２， ａ ＝３， ａ ＝３（ ∈ ） ４
ｎ
１
故
｛
ａ
ｎ｝
是以
２
为首项
，３
为公比的等比数列．因此ａ
ｎ＝２×３
ｎ －１
（
ｎ
∈
Ｎ∗
） ５
分
（２） 因为Ｓ ｎ＝２×１＋２×２×３＋２×３×３ ２ ＋…＋２ ｎ ×３ ｎ －１ ①
故 ３ Ｓ ｎ＝２×１×３＋２×２×３ ２ ＋ ．．． ＋２（ ｎ －１）×３ ｎ －１ ＋２ ｎ ×３ ｎ ② ６ 分
①－②， 得 －２ Ｓ ｎ＝２＋（２×３＋２×３ ２ ＋…＋２×３ ｎ －１ ）－２ ｎ ×３ ｎ
ｎ
－１
２×３（３ －１） ｎ ｎ ｎ ｎ 分
＝２＋ －２ ×３ ＝－１＋（１－２ ）×３ ９
３－１
ｎ ｎ
即Ｓ （２ －１）×３ ＋１ 分
ｎ＝ １０
２
．答案： 略 １５
１８ （１） （２）
５
解析： 证明 设ＥＭ ＡＢ 因为Ｍ Ｎ分为ＡＣ ＢＣ的中点 [
（１） ： ＝ ＝２， 、 、 ，
所以ＭＮ ＢＣ 则ＥＮ 分
＝１， ＝２ ３， ＝ ３， １ & $ '
即ＥＭ２ ＥＮ２ ＮＭ２． 分 # %
＝ ＋ ２ / Z
所以ＥＮ ＭＮ 又因为ＥＮ ＢＣ
⊥ ， ⊥ ，
.
所以ＥＮ 平面ＡＢＣ ＥＮ 平面ＥＢＣ 1
⊥ ， ⊂ ， "
所以平面ＥＢＣ 平面ＡＢＣ． 分 Y
⊥ ４
解 作ＥＰ ＭＮ交ＮＭ延长线于点Ｐ 作ＮＫ ＥＰ
（２） ： ⊥ ， ∥ ，
以ＮＰ ＮＣ ＮＫ为ｘ ｙ ｚ轴建立空间直角坐标系
， ， ， ， ，
设ＭＮ 则ＡＤ 所以ＥＮ 分
＝１， ＝２， ＝ ３， ５
在ΔＥＮＭ中 ＥＮＭ π 由余弦定理知 ＥＭ
，∠ ＝ ， ， ＝１
６
在ΔＥＰＭ中 ＥＭＰ π ＥＭ 故ＥＰ ３ ＭＰ １ 分
，∠ ＝ ， ＝１， ＝ ， ＝ ６
３ ２ ２
æ ö æ ö
则Ｂ Ａ Ｂç２ ３ ÷ Ｅç ３ ３÷ 分
（０，－ ３，０）， （２，－ ３，０）， è ，０，０ø， è ，０， ø ７
３ ２ ２
设平面ＥＡＣ的法向量是ｎ ｘ ｙ ｚ
１＝（ １， １， １），
æ ö æ ö
则Ａ→Ｅ ç １ ３÷ Ｃ→Ｅ ç ３ ３÷
＝è－ ， ３， ø， ＝è ，－ ３， ø，
２ ２ ２ ２
ì
ï
１ｘ ｙ ３ｚ
ïï－ １＋ ３ １＋ １＝０
则í ２ ２
ï
ïï３ ｘ ｙ ３ｚ
î １－ ３ １＋ １＝０
２ ２
则ｎ 分
１＝（ ３，１，－１）， ９
设平面ＥＢＣ的法向量是ｎ ｘ ｙ ｚ
１（ ２， ２， ２），
æ ö æ ö
因为Ｂ→Ｅ ç ３ ３÷ Ｃ→Ｅ ç ３ ３÷
＝è ， ３， ø， ＝è ，－ ３， ø，
２ ２ ２ ２
答案 第 页（共 页）
４ ８ì
ï
３ ｘ ｙ ３ｚ
ïï ２＋ ３ ２＋ ２＝０
则í２ ２
ï
ïï３ ｘ ｙ ３ｚ
î ２－ ３ ２＋ ２＝０
２ ２
得ｎ 分
２＝（１，０，－ ３）， １１
æ ö
设平面ＥＡＣ与平面ＥＢＣ所成的夹角为αç α π÷
è０＜ ＜ ø，
２
ｎ ｎ
则 α ｎ ｎ １· ２ ２ ３ １５
ｃｏｓ ＝｜ｃｏｓ〈 １， ２〉｜＝ ｎ ｎ ＝ ＝ ，
１ · ２ ２ ５ ５
所以平面ＥＡＣ与平面ＥＢＣ所成锐二面角的余弦值为 １５． 分
１２
５
．答案： 略 ＢＤＣ ７．
１９ （１） （２）ｓｉｎ∠ ＝
７
解析： 在 ＡＢＣ中 Ｄ为ＡＣ的中点 所以Ｓ Ｓ 分
（１） △ ， ， △ ＡＢＣ＝２ △ ＢＤＣ， ２
则１ ＡＢ ＢＣ ＡＢＣ ＢＤ ＢＣ ＤＢＣ
· ｓｉｎ∠ ＝ · ｓｉｎ∠ ，
２
即ＡＢ ＡＢＣ ＢＤ ＤＢＣ 分
ｓｉｎ∠ ＝２ ｓｉｎ∠ ， ４
又因为 ＡＢＣ ＤＢＣ 则ＡＢ ＡＢＣ ＢＤ ＡＢＣ
∠ ＋∠ ＝π， ｓｉｎ∠ ＝２ ｓｉｎ（π－∠ ），
则ＢＡ ＢＤ． 分
＝２ ６
设ＢＤ ｘ 则ＡＢ ｘ 因为ＡＣ ＢＣ #
（２） ＝ ， ＝２ ， ＝３ ＝３，
在 ＢＣＤ中 由余弦定理得
△ ，
ｘ２ ＢＣ２ ＣＤ２ ＢＣ ＣＤ ＢＣＤ 则ｘ２ １３ ＢＣＤ 分 " $
＝ ＋ －２ · ｃｏｓ∠ ， ＝ －３ ｃｏｓ∠ ； ８ %
４
在 ＡＢＣ中 由余弦定理得
△ ，
ｘ２ ＢＣ２ ＡＣ２ ＢＣ ＡＣ ＢＣＡ 则 ｘ２ ＢＣＤ
４ ＝ ＋ －２ · ｃｏｓ∠ ， ４ ＝１０－６ ｃｏｓ∠ ；
解得 ＢＣＤ １ ｘ ＢＤ ７ 分
：ｃｏｓ∠ ＝ ， ＝ ＝ ， １０
２ ２
７
ＢＣ ＢＤ
又因为 即 １ ２
ＢＤＣ＝ ＢＣＤ， ＢＤＣ＝ ，
ｓｉｎ∠ ｓｉｎ∠ ｓｉｎ∠ ３
２
所以 ＢＤＣ ２１． 分
ｓｉｎ∠ ＝ １２
７
．答案： ｐ３ ｐ ５ ｐ １时 采用 局 胜制比采用 局 胜对甲更有利 ｐ １ 时 采用
２０ （１） （４－３ ） （２） （３） ＞ ， ５ ３ ３ ２ ； ＜ ， ３
４ ２ ２
局 胜制对甲更有利．
２
解析： Ａ表示甲在第一局失利 Ｂ表示甲获得了比赛胜利
（１） ，
Ｐ ＡＢ ｐ ｐ３ ｐ Ｃ２ｐ２ ｐ ｐ
则Ｐ Ｂ Ａ （ ） （１－ ） ＋（１－ ） ３ （１－ ） ｐ３ Ｃ２ｐ２ ｐ ｐ ｐ３ ｐ 分
（ ｜ ）＝ Ｐ Ａ ＝ ｐ ＝ ＋ ３ （１－ ） ＝ （４－３ ） ３
（ ） １－
Ｘ的可能取值为 分
（２） ０，１，２ ４
Ｐ Ｘ ｐ ２ １
（ ＝０）＝（１－ ） ＝
４
Ｐ Ｘ １ｐ ｐ ２ １
（ ＝１）＝Ｃ２ （１－ ） ＝
４
答案 第 页（共 页）
５ ８Ｐ Ｘ ｐ２ １ ｐ ｐ２ １ 分
（ ＝２）＝ ＋Ｃ２（１－ ） ＝ ６
２
故Ｅ Ｘ ５ 分
（ ）＝ ７
４
在五局三胜制中甲获胜的概率为
（３）
ｐ ｐ３ ２ｐ３ ｐ ２ｐ２ ｐ ２ｐ ｐ３ ｐ２ ｐ 分
１＝ ＋Ｃ３ （１－ ）＋Ｃ４ （１－ ） ＝ （６ －１５ ＋１０） ８
在三局两胜制中甲获胜的概率为
ｐ ｐ２ １ｐ２ ｐ ｐ２ ｐ３ 分
２＝ ＋Ｃ２ （１－ ）＝ ３ －２ ９
于是
ｐ ｐ ｐ３ ｐ２ ｐ ｐ２ ｐ３ ｐ２ ｐ３ ｐ２ ｐ ｐ２ ｐ ２ ｐ 分
１－ ２＝ （６ －１５ ＋１０）－（３ －２ ）＝ ３ （２ －５ ＋４ －１）＝ ３ （ －１） （２ －１） １１
当ｐ １时 采用 局 胜制对甲更有利 ｐ １时 采用 局 胜制对甲更有利 分
＞ ， ５ ３ ； ＜ ， ３ ２ １２
２ ２
ｙ２
．答案： ＥＢ ＥＡ 为定值 Ｅ的轨迹方程为ｘ２ λ ２．
２１ （１） ｜ ｜－｜ ｜ ２， － ＝１ （２） ＝
８ ３
解析： 当 ＢＤ ＢＣ 时 如图 所示
（１） ｜ ｜＞｜ ｜ ， １ ，
Z
%
$
" #
Y
&
因为Ｄ Ｃ都在圆Ａ上
，
所以 ＡＤ ＡＣ 即 ＡＤＣ ＡＣＤ 分
｜ ｜＝｜ ｜， ∠ ＝∠ １
又因为ＢＥ／ ／ＡＣ所以 ＡＣＤ ＥＢＤ
∠ ＝∠
所以 ＥＤＢ ＥＢＤ ＥＤ ＥＢ 分
∠ ＝∠ ，∴ ｜ ｜＝｜ ｜ ２
所以 ＥＢ ＥＡ ＥＤ ＥＡ ＡＤ 分
｜ ｜－｜ ｜＝｜ ｜－｜ ｜＝｜ ｜＝２ ３
当 ＢＤ ＢＣ 时 如图 所示
｜ ｜＜｜ ｜ ， ２ ，
Z
&
$
%
" #
Y
&
同理可得 ＥＢ ＥＡ ＥＤ ＥＡ ＡＤ 分
，｜ ｜－｜ ｜＝｜ ｜－｜ ｜＝－｜ ｜＝－２ ４
答案 第 页（共 页）
６ ８因此 有 ＥＢ ＥＡ ＡＢ
， ｜｜ ｜－｜ ｜｜＝２＜｜ ｜＝６
所以点Ｅ的轨迹是以Ａ Ｂ为焦点的双曲线
，
故 ａ ｃ 即ａ ｃ
２ ＝２，２ ＝６， ＝１， ＝３
所以ｂ２ ｃ２ ａ２
＝ － ＝９－１＝８
ｙ２
ＥＢ ＥＡ 为定值 且点Ｅ的轨迹方程为ｘ２ ． 分
∴ ｜｜ ｜－｜ ｜｜ ２， － ＝１ ６
８
由题知 直线ｌ的斜率不为 设ｌ ｘ ｍｙ
（２） ， ０， ： ＝ ＋３
{ｘ ｍｙ
联立 ＝ ＋３ 消去ｘ得 ｍ２ ｙ２ ｍｙ 分
ｘ２ ｙ２ ，（８ －１） ＋４８ ＋６４＝０， ７
８ － ＝８
于是 ｍ ２ ｍ２ ｍ２
△＝（４８ ） －４×６４（８ －１）＝ ２５６（ ＋１）＞０
ｍ
设Ｍ ｘ ｙ Ｎ ｘ ｙ 则有 ｙ ｙ －４８ ｙ ｙ ６４ 分
（ １， １）， （ ２， ２）， ∴ １＋ ２＝ ｍ２ ， １ ２＝ ｍ２ ８
８ －１ ８ －１
ｍ２ ｍ２
故ｘ ｘ ｍｙ ｍｙ ｍ ｙ ｙ －４８ ＋４８ －６ ６
１＋ ２＝ １＋３＋ ２＋３＝ （ １＋ ２）＋６＝ ｍ２ ＝ ｍ２
８ －１ ８ －１
æ ｍö
所以线段ＭＮ的中点为ç －３ －２４ ÷ 分
è ｍ２ ， ｍ２ ø ９
８ －１ ８ －１
ｍ æ ö
从而线段ＭＮ的中垂线的方程为ｙ ２４ ｍçｘ ３ ÷
＋ ｍ２ ＝－ è ＋ ｍ２ ø
８ －１ ８ －１
æ ö ｍ２
令ｙ 得 ｘ －２７ ＰＢ ç －２７ ÷ ２７ ２４（ ＋１） 分
＝０ ， ＝ ｍ２ ，∴ ｜ ｜＝｜３－è ｍ２ ø ｜＝｜３＋ ｍ２ ｜＝ ｍ２ １０
８ －１ ８ －１ ８ －１ ｜８ －１｜
æ ｍö２ ｍ２
又 ＭＮ ｍ２ ｙ ｙ ２ ｙ ｙ ｍ２ ç －４８ ÷ ４×６４ １６（ ＋１） 分
｜ ｜＝ １＋ （ １＋ ２） －４ １ ２ ＝ １＋ è ｍ２ ø － ｍ２ ＝ ｍ２ １１
８ －１ ８ －１ ｜８ －１｜
ＭＮ ｍ２ ｍ２
故｜ ｜ １６（ ＋１） ｜８ －１｜ ２ 于是λ ２
ＰＢ ＝ ｍ２ × ｍ２ ＝ ， ＝
｜ ｜ ｜８ －１｜ ２４（ ＋１） ３ ３
即存在λ ２使得 ＭＮ λ ＰＢ ． 分
＝ ｜ ｜＝ ｜ ｜ １２
３
æ ù
．答案： ç １ ú ú 见解析
２２ （１）è－∞， û （２）
２
解析： 因为ｆ ｘ ｘ ｘ ａｘ２ 所以ｆ ′ ｘ ｘ ａｘ 分
（１） （ ）＝ｅ －１－ － ， （ ）＝ｅ －１－２ ， １
令ｇ ｘ ｆ ′ ｘ 则ｇ′ ｘ ｘ ａ 显然ｇ′ ｘ 在 上单调递增
（ ）＝ （ ）， （ ）＝ｅ －２ ， （ ） （０，＋∞） ，
故ｇ′ ｘ ｘ ａ ａ 分
（ ）＝ｅ －２ ＞１－２ ２
当ａ １ 时 ａ 故ｇ′ ｘ 恒成立 即ｆ ′ ｘ 在 上单调递增 从而ｆ ′ ｘ ｆ ′ 恒成
① ≤ ，１－２ ≥０， （ ）＞０ ， （ ） （０，＋∞） ， （ ）＞ （０）＝ ０
２
立 因此ｆ ｘ 在 上单调递增 从而有ｆ ｘ ｆ 恒成立 符合题意 分
， （ ） （０，＋∞） ， （ ）＞ （０）＝ ０ ， ； ４
当ａ １时 ｇ′ ａ 又ｇ′ ａ ｌｎ（１＋２ ａ ） ａ ａ ａ 由零点存在定理可知
② ＞ ， （０）＝ １－２ ＜０， （ｌｎ（１＋２ ））＝ｅ －２ ＝（１＋２ ）－２ ＝１＞０， ，
２
存在ｘ ａ 使得ｇ′ ｘ 因此当ｘ ｘ 时 ｇ′ ｘ 即ｆ ′ ｘ 在 ｘ 上单调递减
０∈（０，ｌｎ（１＋２ ））， （ ０）＝ ０， ∈（０， ０） ， （ ）＜０， （ ） （０， ０） ，
从而当ｘ ｘ 时 ｆ ′ ｘ ｆ ′ 即ｆ ｘ 在 ｘ 上单调递减 从而有 ｆ ｘ ｆ 这与题设不
∈（０， ０） ， （ ）＜ （０）＝ ０， （ ） （０， ０） ， （ ）＜ （０）＝ ０，
符．
æ ù
综上可知 ａ的取值范围为ç １ ú ú． 分
， è－∞， û ６
２
解法一 当ａ １时 由 可得 ｘ ｘ １ｘ２ 即 ｘ ｘ １ｘ２
（２） ： ＝ ， （１） ，ｅ －１－ － ＞０， ｅ ＞１＋ ＋ ，
２ ２ ２
ｘ２
故有 ｘ －１ ｘ １ ｘ ２ ＋１ 分
ｅ ＞ ＋ （ －１） ＝ ８
２ ２
答案 第 页（共 页）
７ ８ｘ２
又 ｘ ｘ ｅｘ２ ｘ －１
ｅ （１＋ｌｎ ）＞ ⇔ｅ ＞ ｘ，
１＋ｌｎ
ｘ２ ｘ２
故只需证明 ｘ 时 ＋１ 即可
： ∈（１，＋∞） ， ＞ ｘ ；
２ １＋ｌｎ
ｘ２
即证 ｘ 时 ｘ －１成立 分
： ∈（１，＋∞） ，ｌｎ ＞ｘ２ ９
＋１
ｘ２ ｔ
令ｔ ｘ２ 则ｔ 于是 ｘ －１ ｔ ２（ －１） 分
＝ ， ∈（１，＋∞）， ｌｎ ＞ｘ２ ⇔ｌｎ ＞ ｔ １０
＋１ ＋１
ｔ ｔ ２
设ｈ ｔ ｔ ２（ －１） 则ｈ′ ｔ （ －１） 即ｈ ｔ 在 上单调递增 故ｈ ｔ ｈ
（ ）＝ｌｎ － ｔ ， （ ）＝ｔ ｔ ２ ＞０， （ ） （１，＋∞） ， （ ）＞ （１）＝ ０，
＋１ （ ＋１）
ｔ
即 ｔ ２（ －１）恒成立 分
ｌｎ ＞ ｔ ， １１
＋１
ｘ２
故有 ｘ －１ 从而当ｘ 时 有 ｘ ｘ ｅｘ２ 成立． 分
ｅ ＞ ｘ， ∈（１，＋∞） ， ｅ （１＋ｌｎ ）＞ １２
１＋ｌｎ
ｘ －１ ｘ
解法二 ｘ ｘ ｅｘ２ ｅ 分
：ｅ （１＋ｌｎ ）＞ ⇔ ｘ ＞ ｘ ８
１＋ｌｎ
ｘ －１ ｘ ｘ －１ ｘ
设ｈ ｘ ｅ 则ｈ ｘ 于是ｅ ｈ ｘ ｈ ｘ 分
（ ）＝ ｘ ， （１＋ｌｎ ）＝ ｘ， ｘ ＞ ｘ⇔ （ ）＞ （１＋ｌｎ ） ９
１＋ｌｎ １＋ｌｎ
ｘ －１ ｘ
由于ｈ′ ｘ ｅ （ －１） ｘ 故ｈ ｘ 在 上单调递增．
（ ）＝ ｘ２ ＞０（ ＞１）， （ ） （１，＋∞）
又因为ｘ ｘ 所以 只需证明ｘ ｘ即可． 分
＞１，１＋ｌｎ ＞１ ， ＞１＋ｌｎ １０
事实上 取ａ 由 可得 ｘ ｘ
， ＝０， （１） ，ｅ ＞１＋
因此 ｌｎ ｘ ｘ 即ｘ ｘ成立． 分
，ｅ ＞１＋ｌｎ ， ＞１＋ｌｎ １１
所以 当ｘ 时 原不等式 ｘ ｘ ｘ２ 恒成立． 分
， ＞１ ， ｅ （１＋ｌｎ ）＞ｅ １２
答案 第 页（共 页）
８ ８
