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★秘密·2022年9月28日16：00前
重庆市 2022-2023 学年（上）9 月月度质量检测
高三数学答案及评分标准
2022.09
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
1．B 2．B 3．C 4．C 5．A
6．C
【详解】因为 与 互为反函数，故图像关于 对称，
设一条切线与两个函数图像分别切于 两点，且两条切线交点为 ，
如图，
设 ，则 ，即 ，解得 或-3（舍去），
故 ，易求得曲线 的斜率为2的切线方程为 ，
故曲线 的斜率为2的切线方程为 ，
的斜率为2的切线方程为 ，故曲线 的斜率为2的切线方程为
，
所以 ，则 ，则 .故A，B，D错误.
故选：C.7．A
【详解】设圆锥的内切球半径为 ，则 ，解得 ，设圆锥顶点为 ，底面圆周上一点为 ，
底面圆心为 ，内切球球心为 ，内切球切母线 于 ，底面半径 ， ，则
，又 ，故 ，又
，故 ，故该圆锥的表面积为
，令 ，则
，当且仅当 ，即 时取等号.
故选：A.
8．C
【详解】设 ，则 （不恒为零），
故 在 上为增函数，故 ，所以 ，故 在 上恒成立，
所以 ，但 为 上为增函数，故 即 ，所以C成立，D错误.取 ，考虑 的解，
若 ，则 ，矛盾，故 即 ，此时 ，故B错误.
取 ，考虑 ，若 ，则 ，矛盾，
故 ，此时 ，此时 ，故A错误，
故选：C.
9．BCD 10．ABD
11．ACD
【详解】
，A对
令 ，则 ， ，则 ，B错；令 ，其中 ，
，即 ∴
由 可得
，即 ，∴ ∴ ，C对；
令 ， ， ， ，即 ，即
∵ ，∴ 或 或 ，令 ， ， ， ，
∴ 的根都在 ，∴ ， ，
，D对
故选：ACD.12．AD
【详解】解：在正方体 中， ， 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，所以点 在平面 上（包括边界），
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可得 平面 ， ， 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又平面 平面 ，所以 ，即 位于正方体的表面，故A正确；
对于B，设 到平面 的距离为 ，则
显然当 和 （不包括 点）时 不一样，则三棱锥 的体积不一样，故B错误；
如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为 ，则 ， ， ， ，
，
所以 ， ， ，所以 ， ，即 ，
， ， 平面 ，所以 平面 ，
若 平面 ，则 ，显然在平面 上（包括边界）不存在点 ，使得 ，故C错
误；因为设 ， ， ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ， ， ，设所以 ， 的夹角为 ，则 ，
当 时 ， ，当 时 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，综上可得 ，
故D正确；
13． 63 14．4
15． （答案不唯一）
【详解】解： ，
设 ，所以 ，令 ，解得 ，故答案为：
16． ， ，
【详解】依题意，点 ，直线 ： ，而点P在边 上，则直线 的斜率 或OP
在y轴上，设点 ，由点 到直线 的距离为4，得 ，即 或 ，又点A关于 的对称点为 ，则 ，即 ，
当 时， 或 ，若 ，有 ，点 与A的中点 在直线
上，此时直线 斜率 ，符合题意，则 ，
若 ，有 ，点 与A的中点 在直线 上，此时直线 斜率
，不符合题意， 当 时， 或 ，若 ，有
，点 与A的中点 在直线 上，此时直线 斜率 ，
符合题意，则 ，若 ，有 ，点 与A的中点 在直线 上，此时
直线 斜率 ，符合题意，则 ，所以点 的坐标可能为 ，
， .故答案为： ， ，
17．
（1）解：
，……4分
所以 的周期 ；…………………………………………………………………………5分（2）解：将函数 的图象向右平移 个单位，可得 ，
再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得 ，
所以 ，…………………………………………………………………………8分
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上的值域为 .………………………………………………………………10分
18．
(1)
平均数等于 ，………………………………………………1分
前3组频率和 ，加上第4组得 ，
所以75百分位数： ；………………………………………………………………3分
(2)
由题可知“预期合格”的概率 ，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中
达到“预期合格”的人数为 ，则 服从二项分布 ，的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
………………………………………………………………………………………………………………6分
.……………………………………………………………………………………9分
(3)由频率分布直方图可以看出，前3组数据比后3组数据更集中一些，所以 ，而这两组数据相比
整体数据都要集中一些，所以 .………………………………………………………………12分
19．
（1）
如图，建立平面直角坐标系，由题意得， ，则抛物线 ．……………………4分
（2）
如图，设抛物线C的焦点为F，则 ，…………………………………………………………6分
∵城镇P位于点O的北偏东30°处， ，∴ ，……………………………………8分
根据抛物线的定义知，公路总长 ．………………10分
当 与Q重合时（Q为线段PF与抛物线C的交点），公路总长最小，最小值为 ．…………12分20．
(1)设 ， ．
（1）记l的倾斜角为 ，OP的倾斜角为 ，则 ．
由 得 ，则 ……………………………………3分
所以 ，于是 ．故 ．……………………4分
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取到“=” ．
所以 的最大值为 ．……………………………………………………………………6分
(2)易知 ， ．由题意知 ， ，
所以直线AN的方程为 ，……………………………………………………8分直线BM的方程为 ．…………………………………………………………9分
令 ，
解之得 …………………………………………10分
…………………………12分
所以点D恒在定直线 上．
21．
（1）
连接 ，C为圆O的直径AB所对弧的中点，……………………………………………2分
所以△ 为等腰直角三角形，即 ，
又 在圆 上，故△ 为等腰直角三角形，
所以 且 ，又 是母线且 ，则 ，
故 且 ，则 为平行四边形，…………………………………………4分
所以 ，而 面 ， 面 ，
故 平面 .…………………………………………………………………………………6分（2）由题设及（1）知： 、 、 两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系，
过 作 ，则 为 的中点，再过 作 ，连接 ，
由 圆 ，即 圆 ， 圆 ，则 ，又 ，则 ，
故二面角 的平面角为 ，而 ，
所以 .……………………………………………………………………8分
……………………………………………………9分
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，……………………………………10分
若 为面 的一个法向量，则 ，令 ，则 ，
，故 与平面 所成角的正弦值 .……………………12分
22．
（1）解：当 时， ，，…………………………………………………………2分
当 时， ， ，所以 ，即 在 上单调递增，………………4分
当 时， ， ，所以 ，即 在 上单调递减，………………5分
则 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .…………………………………………6分
（2）解：因为 ，
则 ，………………………………………………7分
①当 时，即 时，因为 ， ， ，
所以 ，因此函数 在区间 上单调递增，
所以 ，不等式 在区间 上无解；……………………9分
②当 时，即 时，当 时， ， ，
因此 ，所以函数 在区间 上单调递减，
，不等式 在区间 上有解．……………………11分
综上，实数 的取值范围是 ．…………………………………………………………………12分下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君
