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专题 12.20 角平分线相关的几何模型（精选精练）（专项练习）
1．已知： 中， 为 的中点， 平分 于 ，连结 ，若 ，求
的长．
2．（23-24八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知 平分 ，点E，D分
别为垂足， ．求证： ．
3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图， ， ， 为垂足， ， 为
垂足， ， 相交于点 ，连接 ，求证：
(1) ；
(2) 平分 ．4．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）如图， 平分 ， 为 上一点， ，
，垂足分别为 ， ，连接 ， 与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
5．（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）已知：如图， 中， 为 上一点，
连接 交 于点 ，交 于 ．
（1）使用尺规完成基本作图：作 的角平分线交 于点 ，交 于点 ．（保留作图痕迹，不
写作法，不下结论）
（2）求证： ．
证明： ，
①_________ ，
平分 ，
，
②_________，
，，
③_________ ，
④_________，
又 ，
在 和 中
⑤_________ ，
．
6．（2019九年级·全国·专题练习）如图，在 中， ， 平分 ，交 于 ，
于 ，求证： .
7．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．
求证：BE= AD．
8．（20-21七年级下·四川成都·期末）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平
分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
9．（20-21八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在
CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．
10．（22-23七年级下·山西运城·期末）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问
题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题
目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全
等三角形的性质解决问题．
例：如图1， 是 内一点，且 平分 ， ，连接 ，若 的面积为10，求
的面积．该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点 作 交 延长线于点 ， 、 交于点 ，
平分 ，
．
，
．
在 和 中，
，
（依据1）
（依据2）， ，
， ．
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在 中， ， ， 平分 交 于点 ，过点 作
交 延长线于点 ．若 ，求 的长．11．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，在四边形 中， 与 交于点 ， 平分 ，
平分 ， ．
（1）求 的度数；
（2）求证： ．
12．（22-23八年级上·广东深圳·阶段练习）已知： 平分 ，点 、 都是 上不同的点，
， ，垂足分别为 、 ，连接 、 ．求证：
(1) ．
(2) ．
13．（18-19七年级下·河南郑州·期末）如图，在 中， 请按要求用尺规作出下列
图形（不写作法，但要保留作图痕迹），并填空．作出 的平分线交 于点 ；
作 交 于点 平行依据是_____ __；
的度数为 ．
14．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示， ， 在 两边上且 ， 是 内
部的一条射线且 于点 ，
（1）求证 平分 ；
（2）分别作 和 的平分线，相交于 ，求证P同时也在 的平分线 上．
15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图， 是 的角平分线， 分别是 和
的高，求证： 垂直平分 ．
16．（20-21八年级上·河北沧州·阶段练习）已知：点P为∠AOB的角平分线的任意一点，∠EPF与∠AOB互补，∠EPF的两边与∠AOB的两边交于E、F两点．
（1）如图1，当∠EPF绕着点P旋转时，PE和PF的数量关系是_________，请验证你的结论．
（2）如图2，若∠AOB=90°时，∠EPF与∠AOB仍然互补，这时PE与PF还相等吗？ 并加以证明．
17．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）（1）模型：如图1，在 中， 平分 ， ，
，求证： ．
（2）模型应用：如图2， 平分 交 的延长线于点 ，求证： ．
（3）类比应用：如图3， 平分 ， ， ，求证： ．18．（20-21八年级上·安徽淮南·期中）利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍．
（1）尺规作图：作 的平分线 ．
【模型构造】
（2）填空：
①如图．在 中， ， 是 的角平分线，则 ______ ．（填“ ”、“ ”或
“ ”）
方法一：巧翻折，造全等
在 上截取 ，连接 ，
则 ．
②如图，在四边形 中， ， ， 和 的平分线 ， 交 于点 ．
若 ，则点 到 的距离是______ ．
方法二：构距离，造全等
过点 作 ，垂足为点 ，则 ．
【模型应用】
（3）如图，在 中， ， ， 是 的两条角平分线，且 ， 交于点 ．
①请直接写出 ______；
②试猜想 与 之间的数量关系，并说明理由．
19．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图 ， 是 的角平分线， 为 上任意一点，
于 ， 于 ．
（1）垂线段 、 是否相等？请说明理由；
（2）如图 ，在 中， 是 的角平分线， 于 ， 于 ，若 ，
，求 的值；
（3）如图 ，在 中， 是 的外角平分线， 交 的延长于点 ，当 ，
时，求 与 的数量关系．
20．（22-23八年级上·湖北随州·期中）如图， 中，点 在边 延长线上， ，
的平分线交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，且 ．（1）求证： 平分 ；
（2）直接写出 的度数______；
（3）若 ， ，且 ，求 的面积．参考答案：
1．
【分析】延长CG交AB于点E. 根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG，AE=AC,再根据三角形中位线的性
质得出DG= BE= （AB-AC），从而得出 的长．
【详解】解：延长CG交AB于点E．
AG平分 ， 于 ，
， ，
，
∵ ， 为 的中点，
．
故答案为 .
【点拨】本题考查 等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用三角形中
位线定理求解是解题的关键．
2．详见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，利用角平分线的性质得到 ，
然后证明 ，从而得到 ，能根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答
是解此题的关键．
【详解】∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ．
3．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理
（1）根据垂直的定义和全等三角形的判定证明 即可；
（2）根据角平分线的判定定理证明即可．
【详解】（1）证明： ， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明： ， ， ，
平分 ．
4．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，在应用全等三角形的判定时，要
注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
（1）依据 ， ，可得 ， ，即可根据 得到
；
（2）依据 可得 ，再依据 ， ， 可利用 证
明 ，即可得到 ，进而得出 ．
【详解】（1）证明： ， ， 平分 ，
， ，在 和 中，
，
；
（2）解：由（1）知 ，
，
又 ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
．
5．(1)见详解
(2)① ③ ④ ⑤
【分析】本题考查了作图 复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形
的性质．
（1）利用基本作图作 的平分线即可；
（2）先利用等腰直角三角的性质得到 ，再根据角平分线的性质得到 ，则
，接着根据等角的余角相等得到 ，于是可判断 ，从而得到 ．
【详解】（1）解：如图， 为所作；（2）求证： ．
证明： ，
平分 ，
，
，
，
又 ，
在 和 中
，
．
故答案为：① ③ ④ ⑤
6．详见解析
【分析】延长BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，继而证得AE=EN，则可证得结论．
【详解】延长BD至N，使DN=BD，连接AN．
∵AD⊥BE，
∴AD垂直平分BN，
∴AB=AN，
∴∠N=∠ABN，又∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠ABN=∠NBC=∠C，
∴∠NBC=∠C，
∴AN∥BC，
∴∠C=∠NAC，
∴∠NAC=∠N，
∴AE=EN，
∵BE=EC，
∴AC=BN=2BD．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．注意
掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
7．见解析.
【分析】延长AC、BE交于F，首先由ASA证明 AEF≌ AEB，得到BE= BF，然后再次通过ASA证明
△ △
ACD≌ BCF，得到AD=BF，问题得解.
△【详解】△证明：延长AC、BE交于F，
∵∠1=∠3，BE⊥AE，
在 AEF和 AEB中， ，
△ △
∴ AEF≌ AEB(ASA)，
∴△FE=BE，△
∴BE= BF，
∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，
∴∠1=∠2，在 ACD和 BCF中， ，
△ △
∴ ACD≌ BCF（ASA），
∴△AD=BF，△
∴BE= AD.
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，两次证明全等是解题关键，也考
查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度．
8．（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13
【分析】（1）由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；
（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可
得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；
（3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，
则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG是等边三角形，最后
问题可求解．
【详解】证明：（1）∵射线OP平分∠MON，
∴∠AOD=∠BOD，
∵OD=OD，OA＝OB，
∴△AOD≌△BOD（SAS），
∴AD＝BD．
（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，
∵CD=CD，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，
∵∠B+∠EDB=∠CED，
∴∠EDB=∠B=30°，
∴DE=BE，
∴AD=BE，
∵BC=CE+BE，
∴BC＝AC+AD．
（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：
同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，
∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，
∵C为BD边中点，
∴BC=CD=CF=CG=3，
∵∠ACE＝120°，
∴∠ACB+∠DCE=60°，
∴∠ACF+∠GCE=60°，
∴∠FCG=60°，∴△CFG是等边三角形，
∴FG=CF=CG=3，
∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．
【点拨】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三
角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．
9．AC+BD=AB，理由见见解析
【分析】在BA上截取BF=BD，连接EF，先证得 ，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得
∠AFE=∠C，从而证得 ，可得AF=AC，即可求解．
【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：
在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：
∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，
∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，
在△BEF和△BED中，
，
∴ （SAS），
∴∠BFE=∠D，
∵AC∥BD，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠AFE+∠BFE=180°，
∴∠AFE+∠D=180°，
∴∠AFE=∠C，
在△AEF和△AEC中，
，
∴ （AAS），∴AF=AC，
∵AF+BF=AB，
∴AC+BD=AB．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关
键．
10．任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或 ），全等三角形的对应边相等；
任务二：见解析；应用：12
【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案；
任务二：先推出 ，得出 ， ，进而可得 ，即可得到答
案；
应用：延长 、 交于点 ，先推出 ，得到 ，进而可得
，再推出 ，即可得出结论．
【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应
边相等；
任务二：……
，
，
；
应用：延长 、 交于点 ，平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
．
【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线
构造全等三角形是解题的关键．
11．(1)(2)见解析
【分析】（1）由四边形内角和性质求得 ．再由角平分线定义可得 ，
，最后由三角形内角和性质得到结论；
（2）作 的平分线交 于 ，证明 ，再由全等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）在四边形 中， ，
又∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ．
在 中， ．
（2） ．
如图，作 的平分线交 于 ．则 ．
在 和 中，
，
．
∴ ．
同理， ．
∴【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义和垂直的定义得到 ， ，则可根据
证明 ；
（2）先由 得到 ，则可根据全等三角形的性质得到 ，然后可根据 判断
，从而得到结论．
【详解】（1）解：证明： 平分 ， ， ，
， ，
在 和 中，
；
（2） ，
，
在 和 中，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和
角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
13．（1）见解析；（2）内错角相等，两直线平行；（3）84°
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法，即可求解；
（2）根据平行线的判定定理，尺规作∠CDE=∠BCD，即可求解；
（3）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可求解．
【详解】（1）如图所示：射线 即为所求；
（2）如图所示：直线 即为所求；由尺规作图得：∠EDC=∠BCD，
∴ ，
故答案是：内错角相等，两直线平行；
（3）∵ ，
∴∠ACB=180°-62°-74°=44°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD= ∠ACB=22°，
∴∠BDC=180°=74°-22°= ．
故答案是：
【点拨】本题主要考查尺规作图，平行线的判定定理以及三角形内角和定理，掌握尺规作角平分线，尺
规作一个角等于已知角，是解题的关键．
14．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键；
（1）根据等腰三角形的性质及 ，证 得 ，即可得出结论
（2）过P作 ， ， ，利用角平分线的点到角两边的距离相等得 ，
再利用角平分线的逆定理即可得结论．
【详解】（1） ，
，
，
在 和 中，
平分 ；
（2）如图：过P作 ， ， ，
， 平分 ， 平分 ，
， ，
，
点P在 的平分线上．
平分 ，
点P在 的平分线 上．
15．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用．根据角平分线性质求出 ，
证明 ，推出 ，再证明 即可．
【详解】证明：设 的交点为K，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
在 和 中 ，∴ ，
∴ ，
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分线段 ．
16．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）结论：PE=PF；作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．只要证明△OPG≌△OPH，△PGE≌△PHF，即可
解决问题；
（2）结论：PE=PF；作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．只要证明△OPG≌△OPH，△PGE≌△PHF，即可解决问题；
【详解】解：（1）PE=PF，
理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．
在△OPG和△OPH中，
，
∴△OPG≌△OPH，
∴PG=PH，
∵∠AOB=50°，∠PGO=∠PHO=90°，
∴∠GPH=130°，
∵∠EPF=130°，
∴∠GPH=∠EPF，
∴∠GPE=∠FPH，
在△PGE和△PHF中，
，
∴△PGE≌△PHF，
∴PE=PF．（2）PE=PF；
理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．
∵∠PGO=∠GOH=∠PHO=90°，
∴∠HPG=∠EPF=90°，
∴∠EPG=∠FPH，
∵OC平分∠AOB，PG⊥OA，PH⊥OB，
∴∠POG=∠POH，
在△OPG和△OPH中，
，
∴△OPG≌△OPH，
∴PG=PH，
在△PGE和△PHF中，
，
∴△PGE≌△PHF，
∴PE=PF．
【点拨】本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两次全等三角形解决问题．17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；
【分析】（1）由题意得DE=DF， ， ，即可得出 ： =AB：
AC；
（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证 ACD≌△AED，从而可求出 ， ，即可
△
求解；
（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证 ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分
△
线，即 ，即可得出答案；
【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，
∴DE=DF，
∵ ， ，
∴ ： =AB：AC；
（2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE
又∵ AD平分∠CAE，
∴ ∠CAD=∠DAE，
在 ACD和 AED中，
△ △
，
∴ ACD≌△AED（SAS），
∴△CD=DE且∠ADC=∠ADE，
∴ ，
∴ ，
∴AB：AC=BD：CD；（3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，
∵ ∠D+∠AEB=180°，
又∵∠AEB+∠AEM=180°，
∴∠D=∠AEM，
在 ADC与 AEM中，
△ △
，
∴ ADC≌△AEM（SAS），
∴△∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，
∴AE为∠BAM的角平分线，
故 ，
∴BE：CD=AB：AC；
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用，正确掌握
知识点是解题的关键；
18．（1）见解析；（2）① ；②6；（3）①120°；② ，理由见解析．
【分析】（1）直接利用角平分线的作法作图即可；（2）①根据三角形的性质：大边对大角即可解答；
②如图：过点 作 ，垂足为点 ，利用角平分线的性质证得BE=EF=EC,即E为BC的中点，进而
求得EF的长即可；
（3）①利用角平分线的定义和三角形内角和即可解答；
②在 上截取 ，连接 ；再证明 得到 ， ；再证明
，最后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：（1）如图所示
（2）①∵
∴ 大于 ；
故答案为 ；
②如图：过点 作 ，垂足为点 ，
∵ 和 的平分线 ， 交 于点
∴BE=EF=EC,即BE= BC=6
∴EF=6,即点 到 的距离是6
故答案为6；
（3）①∵∠A=60°
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°
∵ ， 是 的两条角平分线，且 ， 交于点 ．
∴∠CBE+∠BCF==60°
∴ 180°-∠CBE+∠BCF=120°；
② ，理由如下：
在 上截取 ，连接 ，则 ，
∴ ， ，
由①知： ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
．
【点拨】本题主要考查了角平分线的作法、性质定理以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识
成为解答本题的关键．
19．(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（ ）根据角平分线的定义可知 ，再证 ，由全等三角形的性
质即可；（ ）由（ ）得： ，利用等面积即可求出 ，则可求出 ；
（ ）同（ ）理可以求出 ，则 ．
【详解】（1）垂线段 、 相等，理由：
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴由（ ）得： ，
设点 到 得距离为 ，
∴ ，
则有 ，
（3）如图，过 交 的延长线于 ， 交 的延长线于 ，过 作 于 ，
由（ ）得：∴ ，
则有 ，即 ，
∴ ．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，角平分线的性质，正确地作出辅助
线是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过 点分别作 于 ， 与 ，根据角平分线的性质可证得 ，
进而可证明结论；
（2）设 ，分别表示出 ， ，求出 ，再利用三角形内角
和定理计算；
（3）利用三角形的面积公式可求得 的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
，
；
过 点分别作 于 ， 与 ，平分 ，
，
，
平分 ，
，
，
平分 ；
（2）设 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（3） ， ， ，
，
即 ，
解得 ，
，
．
【点拨】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的
判定与性质是解题的关键．
