江西省景德镇市2023届高三第二次质检试题数学(理科)试题_2.2025数学总复习_数学高考模拟题_2023年模拟题_老高考_2023届江西省景德镇市高三上学期第二次质量检测数学

学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司景德镇市2023届高三第二次质检试题 数 学（理科）答案 一、选择题 1-5 DDABC 6-10 BDCAD 11-12 DB 23 13 二、填空题 13． 0.4 14. 2 2+2 15. [ , ) 6 3 16. 解：由函数性质知 f 2(x) f(2x) 1 ∴(x1)2 (2x)2 ∴x[ ,1] 3 三、解答题 17. 解：（1）∵sinCtanBcosC2cosA ∴sinCsinBcosBcosC2cosBcosA ∴2cosBcosAcosBcosCsinCsinBcos(BC)cosA ∵角A为锐角 2 ∴cosA0 ∴cosB 1 ∴B 2 3 1 3 （2）S  acsinB  ac ∴ac4 ABC 2 4 由余弦定理b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac3ac12 ∴b的最小值为2 3 18．(1)证明：ABPB (2)若PA∥平面BDN，求平面ABN 与平面ADN 所成夹角的余 弦值 学科网（北京）股份有限公司解：(1)证明：  面PBD 面ABCD   BD 面PBD面ABCD  PB  BD,PB平面PBD  PB 平面ABCD PB  AB (2)连接AC交BD于点O,连接ON O PA//平面BDN PB//ON,O为中点，则N也为PC中点 ABPB,CDPB CDPD CD 面PBDCD  BD BA、BD、BP两两垂直，    ∴以B为原点，以BA,BD,BP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图所示， 则B0,0,0,D  0, 3,0  ,P 0,0,2,C  1, 3,0  ,A 1,0,0 ，  1 3  N , ,1    2 2  ∴  B  N     1 , 3 ,1   ，  B  A  (1,0,0），    2 2   面ABN的法向量为n(x,y,z）  1 3   x yz0n(0,2, 3）  2 2   x0  ，   3 3 面ADN的法向量为m(x,y,z） AD(1, 3,0）,AN ( , ,1） 2 2  3 3   x yz0 m( 3,1, 3），  2 2   x 3y0     1  mn  m n coscos 7 学科网（北京）股份有限公司平面ABN 与平面ADN 所成.夹角的余弦值1 7 19. 解：（1）A队踢完三场比赛后积分不少于6分 ∴A队三场比赛中至少胜两场 P (0.4)3 C1(0.4)20.60.352 3 （2）六场比赛比完后四支球队积分总和最少12分，最多18分 ∴四支球队积分相同，可能同积3分或同积4分 ①若同积3分，则六局皆平 P (0.2)6 0.000064 1 ②若同积4分，则每支球队均一胜一平一负，若A胜B，平C，负D， 则B胜C，B平D，C胜D P 6(0.4)4(0.2)2 0.006144 1 综上所诉：四支球队比完后积分相同的概率为P  P P  0.006208 1 2 20. 【详解】(1)当倾斜角为时，直线l为， 令x0，得 y  3.即椭圆的上顶点为  0,3  ，所以b  3， 又AFF 的周长为6，即2a2c6，又a2 b2c2，解得a2,c1， 1 2 x2 y2 所以椭圆C的方程为  1 . 4 3 (2)由（1）可知M(2,0),N(2,0),F (1,0)， 2 因为过F 与圆E相切的直线分别切于N,H 两点，所以 F H  F N 1， 2 2 2 所以 PF  PH  PF  PF  FH  PF  PF 1， 1 1 2 2 1 2 设点E(2,t)(t 0)，则D(2,2t)，圆E的半径为 t ， 2t0 t 则直线DM 的方程为y (x2) (x2)， 22 2 l 的方程设为xky1，则 |2kt1| |t|，化简得k  1t2 2 1k2 2t 学科网（北京）股份有限公司 t  6t y (x2) y    2  3t2 62t2 6t 由 ，得 ，所以点P( , )  1t2  62t2 3t2 3t2 x y1 x  2t  3t2 62t2 6t ( )2 ( )2 3t2 3t2 t46t29 ，所以点P在椭圆C上，    1 4 3 (3t2)2 ∴ PF  PF 4，即 PF  PH 413． 1 2 1 x1alnx 21. 解：（1） f(x) ，x1alnx0，令g(x) x1alnx x2 1 ∴g(x)1 ∴g(1)2a0 ∴ a£ 2. ∴a的最大值为2 x x x 1alnx 0 x 1alnx 0 （2）设 2 t（t 1）， ∴  1 1 ∴ 1 1 x x 1alnx 0 tx 1alntlnx 0 1 2 2 1 1 lnt tlnt 两式相减得(t1)x lnt，∴x  ，x  1 1 t1 2 t1 ( t)ln t ( t)ln t ∴x  x  令h(t)  （t 1） 1 2 t 1 t 1   t  1 (1)lnt ∴ h(t)  t (t 1)2   1 (t 1)(t ) 令 p(t)   t  1 (1)ln t ∴ p(t) 1   t t2 t t2 ∴ p(t) 在(1,)上递减，在(, ) 上递增， e(e  2)  e 又∵ p(e)  e(e  2)  e  (e  2) 1[e(e  2) 1]  0 且 p(1)  0 ∴在(1,e)上 p(t)  0，即h(t)  0，在(e, ) 上 p(t)  0 ，即h(t)  0 ∴h(t)在(1,e)上递减，在(e, ) 上递增 ( t)ln t  e ∴当t e时，h(t)  取最小值h(e)   e t 1 e 1 四、选做题 学科网（北京）股份有限公司xcos 22.解：(1)由题意得曲线C ： 为参数)的普通方程为x2  y2 1. 1 y sin  x x x3x   3 由伸缩变换 得 y2y  y y   2 x2 y2 代入x2  y2 1，得  1. 9 4 x2 y2 C 的普通方程为  1. 2 9 4 (2)直线l的极坐标方程为2cos 3sin6 3.， 直线l的普通方程为2x 3y6 3 0. 设点P的坐标为(3cos,2sin )， 则 点 P 到 直 线 l 的 距 离   2 2 3sin   3 3 |2 3sin6cos6 3|  3   d   sin   1 34 7  3  2 21 d  ， min 7 2 21 所以点P到直线l距离d的最大值为 . 7 23.已知函数 f(x)|xt||x2t|， tR (1)若t 1，求不等式 f(x) 14x2的解集． 4a2 b (2)已知ab4，若对任意xR，都存在a0，b0使得 f(x) ，求实数 ab t的取值范围． 解：(1)若t 1，则 ， 当x 2时， 2x1 14x2，2 x 3； 当1 x2时，3 14x2，1 x2； 当x1时，12x 14x2，1 14 x1， 学科网（北京）股份有限公司综上不等式的解集为[1 14,3]； (2) f(x) |(xt)(x2t)|3|t|，  f(x) 3|t|， min 4a2 b 又 f(x) ，ab4， ab 4a 1 4a ab 1 4a b 9 则    2   ， b a b 4a 4 b 4a 4 当且仅当4ab，等号成立， 4a2 b 9 所以 [ ,), ab 4 9 根据题意， 3|t|， 4 3 3 t的取值范围是(, ][ ,) 4 4 学科网（北京）股份有限公司