江西省景德镇市2023届高三第二次质检试题数学(理科)试题_2.2025数学总复习_数学高考模拟题_2023年模拟题_老高考_2023届江西省景德镇市高三上学期第二次质量检测数学

学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司景德镇市2023届高三第二次质检试题
数 学（理科）答案
一、选择题 1-5 DDABC 6-10 BDCAD 11-12 DB
23 13
二、填空题 13． 0.4 14. 2 2+2 15. [ , )
6 3
16. 解：由函数性质知 f 2(x) f(2x)
1
∴(x1)2 (2x)2 ∴x[ ,1]
3
三、解答题
17. 解：（1）∵sinCtanBcosC2cosA ∴sinCsinBcosBcosC2cosBcosA
∴2cosBcosAcosBcosCsinCsinBcos(BC)cosA ∵角A为锐角
2
∴cosA0 ∴cosB 1 ∴B
2 3
1 3
（2）S  acsinB  ac ∴ac4
ABC
2 4
由余弦定理b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac3ac12
∴b的最小值为2 3
18．(1)证明：ABPB
(2)若PA∥平面BDN，求平面ABN 与平面ADN 所成夹角的余
弦值
学科网（北京）股份有限公司解：(1)证明：
 面PBD 面ABCD

 BD 面PBD面ABCD

PB  BD,PB平面PBD
 PB 平面ABCD PB  AB
(2)连接AC交BD于点O,连接ON
O
PA//平面BDN
PB//ON,O为中点，则N也为PC中点
ABPB,CDPB
CDPD CD 面PBDCD  BD
BA、BD、BP两两垂直，
  
∴以B为原点，以BA,BD,BP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，
则B0,0,0,D  0, 3,0  ,P 0,0,2,C  1, 3,0  ,A 1,0,0 ，
 1 3 
N , ,1
 
 2 2 
∴  B  N     1 , 3 ,1   ，  B  A  (1,0,0），
 
 2 2 

面ABN的法向量为n(x,y,z）
 1 3 
 x yz0n(0,2, 3）
 2 2

 x0

，
  3 3 面ADN的法向量为m(x,y,z）
AD(1, 3,0）,AN ( , ,1）
2 2
 3 3 
 x yz0
m( 3,1, 3），
 2 2

 x 3y0
    1
 mn  m n coscos
7
学科网（北京）股份有限公司平面ABN 与平面ADN 所成.夹角的余弦值1
7
19. 解：（1）A队踢完三场比赛后积分不少于6分 ∴A队三场比赛中至少胜两场
P (0.4)3 C1(0.4)20.60.352
3
（2）六场比赛比完后四支球队积分总和最少12分，最多18分
∴四支球队积分相同，可能同积3分或同积4分
①若同积3分，则六局皆平 P (0.2)6 0.000064
1
②若同积4分，则每支球队均一胜一平一负，若A胜B，平C，负D，
则B胜C，B平D，C胜D
P 6(0.4)4(0.2)2 0.006144
1
综上所诉：四支球队比完后积分相同的概率为P  P P  0.006208
1 2
20. 【详解】(1)当倾斜角为时，直线l为，
令x0，得 y  3.即椭圆的上顶点为  0,3  ，所以b  3，
又AFF 的周长为6，即2a2c6，又a2 b2c2，解得a2,c1，
1 2
x2 y2
所以椭圆C的方程为  1 .
4 3
(2)由（1）可知M(2,0),N(2,0),F (1,0)，
2
因为过F 与圆E相切的直线分别切于N,H 两点，所以 F H  F N 1，
2 2 2
所以 PF  PH  PF  PF  FH  PF  PF 1，
1 1 2 2 1 2
设点E(2,t)(t 0)，则D(2,2t)，圆E的半径为 t ，
2t0 t
则直线DM 的方程为y (x2) (x2)，
22 2
l 的方程设为xky1，则
|2kt1|
|t|，化简得k 
1t2
2 1k2 2t
学科网（北京）股份有限公司 t  6t
y (x2) y
 
 2  3t2 62t2 6t
由 ，得 ，所以点P( , )

1t2

62t2 3t2 3t2
x y1 x
 2t  3t2
62t2 6t
( )2 ( )2
3t2 3t2 t46t29 ，所以点P在椭圆C上，
   1
4 3 (3t2)2
∴ PF  PF 4，即 PF  PH 413．
1 2 1
x1alnx
21. 解：（1） f(x) ，x1alnx0，令g(x) x1alnx
x2
1
∴g(x)1 ∴g(1)2a0 ∴ a£ 2. ∴a的最大值为2
x
x x 1alnx 0 x 1alnx 0
（2）设 2 t（t 1）， ∴  1 1 ∴ 1 1
x x 1alnx 0 tx 1alntlnx 0
1 2 2 1 1
lnt tlnt
两式相减得(t1)x lnt，∴x  ，x 
1 1 t1 2 t1
( t)ln t ( t)ln t
∴x  x  令h(t)  （t 1）
1 2 t 1 t 1

 t  1 (1)lnt
∴ h(t)  t
(t 1)2
  1 (t 1)(t )
令 p(t)   t  1 (1)ln t ∴ p(t) 1  
t t2 t t2
∴ p(t) 在(1,)上递减，在(, ) 上递增， e(e  2)  e
又∵ p(e)  e(e  2)  e  (e  2) 1[e(e  2) 1]  0 且 p(1)  0
∴在(1,e)上 p(t)  0，即h(t)  0，在(e, ) 上 p(t)  0 ，即h(t)  0
∴h(t)在(1,e)上递减，在(e, ) 上递增
( t)ln t  e
∴当t e时，h(t)  取最小值h(e)   e
t 1 e 1
四、选做题
学科网（北京）股份有限公司xcos
22.解：(1)由题意得曲线C ： 为参数)的普通方程为x2  y2 1.
1 y sin
 x
x
x3x   3
由伸缩变换 得
y2y

y
y 
 2
x2 y2
代入x2  y2 1，得  1.
9 4
x2 y2
C 的普通方程为  1.
2 9 4
(2)直线l的极坐标方程为2cos 3sin6 3.，
直线l的普通方程为2x 3y6 3 0.
设点P的坐标为(3cos,2sin )，
则 点 P 到 直 线 l 的 距 离
 
2 2 3sin   3 3
|2 3sin6cos6 3|  3  
d   sin   1
34 7  3 
2 21
d  ，
min 7
2 21
所以点P到直线l距离d的最大值为 .
7
23.已知函数 f(x)|xt||x2t|， tR
(1)若t 1，求不等式 f(x) 14x2的解集．
4a2 b
(2)已知ab4，若对任意xR，都存在a0，b0使得 f(x) ，求实数
ab
t的取值范围．
解：(1)若t 1，则 ，
当x 2时， 2x1 14x2，2 x 3；
当1 x2时，3 14x2，1 x2；
当x1时，12x 14x2，1 14 x1，
学科网（北京）股份有限公司综上不等式的解集为[1 14,3]；
(2) f(x) |(xt)(x2t)|3|t|，
 f(x) 3|t|，
min
4a2 b
又 f(x) ，ab4，
ab
4a 1 4a ab 1 4a b 9
则    2   ，
b a b 4a 4 b 4a 4
当且仅当4ab，等号成立，
4a2 b 9
所以 [ ,),
ab 4
9
根据题意， 3|t|，
4
3 3
t的取值范围是(, ][ ,)
4 4
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