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专题14.11 整式的除法（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·湖南永州·八年级校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）下列运算中，结果正确的是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）化简 的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2023春·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023春·广东深圳·七年级校联考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023春·河北保定·七年级校考阶段练习）已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·七年级课时练习）已知 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·福建三明·七年级统考期中）观察： ， ，，……据此规律，当 时，代数式
的值为（ ）
A． B． C． D．0
9．（2022春·六年级单元测试）已知 ，B是多项式，在计算 时，小马虎同学把 看
成了 ，结果得 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·七年级课时练习）如图是小明的作业，那么小明做对的题数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022春·广东佛山·七年级校考专题练习）满足等式 的x的值为 ．
12．（2023秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）计算： ．
13．（2023春·山东潍坊·七年级统考期中）计算： ．
14．（2023秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）在下列实数中 ， ，0， ， ， ，
其中是无理数的有 个．
15．（2022春·广西梧州·七年级统考期中）若 ，则 ．
16．（2023春·山东东营·六年级校联考阶段练习）定义新运算符号⊕： ，求．
17．（2022秋·七年级单元测试）若一个长方形的面积是 ，一边长是2a，则这个长方形的周
长是 ．
18．（2021秋·陕西西安·七年级西安市曲江第一中学校考期中）从1~9这九个数字中选择三个数字，
由这三个数字可以组成六个三位数．先把这六个三位数相加，然后再用所得的和除以所选三个数字之和，
其结果是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023秋·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）计算：
（1） ； （2） ．
20．（8分）（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期中）先化简，再求值：
，其中 ．
21．（10分）（2023春·山东烟台·六年级统考期末）（1）若 （ 且 ，m、n是正整
数），则 ．利用上面结论解决问题：如果 ，求x的值．
（2）若 中不含x的二次项，求a的值．22．（10分）（2023秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算，
运算法则如下： ．
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空： ___________， ___________；
（2）如果 ，求出 的值；
（3）如果 ，请直接写出 的值．
23．（10分）（2023春·陕西咸阳·七年级校考期中）信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信
息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，收到密文后解密还原明文．已知某种加
密规则如图所示，当发送方发出 ， 时，求出解密后明文 的值．24．（12分）（2023秋·八年级课时练习）一般到特殊的思想方法
【思想解读】
数学中的规律性问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题．规
律性问题的特点是问题的结论或条件不直接给出，而常常是给出了一列数、一列等式、一列图形的前几个，
要求通过阅读、观察、分析、综合、归纳、概括、判断等一系列探索活动逐步确立需求的结论或条件．它
表达了从特殊到一般的数学思想方法．
【问题解决】
观察下列各式：
；
；
；
．
（1）根据上面各式的规律可得 ________；
（2）根据上面各式的规律可得 _________；
（3）用（2）的结论求 的值．参考答案
1．D
【分析】结合选项分别依据零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法运算法则进行计算，然后选择
正确选项求解．
解：A、 ，原式计算错误，故本选项错误；
B、 ，原式计算错误，故本选项错误；
C、 ，原式计算错误，故本选项错误；
D、 ，计算正确，故本选项正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法等知识，掌握运算法则是关键．
2．A【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法等运算法则逐项进行计算判
断即可．
解： 、 ，本选项正确，故符合题意；
、 ，本选项错误，故不符合题意；
、 ，本选项错误，故不符合题意；
、 ，本选项错误，故不符合题意．
故选： ．
【点拨】本题考查了幂的运算法则，整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3．D
【分析】根据乘方的性质，同底数幂乘除法的运算，求解分子和分母，然后化简求解即可．
解：
故选：D
【点拨】此题考查了同底数幂乘除法的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
4．C
【分析】根据同底数幂的除法以及同底数幂的乘法，单项式除以单项式，积的乘方逐项分析判断即可
求解．
解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了同底数幂的除法以及同底数幂的乘法，单项式除以单项式，积的乘方，熟练掌握
同底数幂的除法以及同底数幂的乘法，单项式除以单项式，积的乘方的运算法则是解题的关键．
5．C
【分析】根据单项式乘以单项式法则，多项式乘以多项式法则，单项式除以单项式法则，多项式除以
单项式法则，进行逐一计算即可求解．解：A． ，计算不正确，故不符合题意；
B． ，计算不正确，故不符合题意；
C．计算结果正确，故符合题意；
D． ，计算不正确，故不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
6．C
【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则进行运算即可．
解：当 ， 时，
．
故选： ．
【点拨】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7．C
【分析】先根据幂的乘方的逆运算求出 ， ，再根据同底数幂的乘除法逆运算求
出 ，即可得到答案．
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．【点拨】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知 ，
是解题的关键．
8．C
【分析】根据规律得到 ，进而得到 ，得到 ，再代
入 即可求解．
解：根据规律得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
【点拨】本题考查了探索规律，平方差公式，多项式乘多项式，多项式除以单项式并求值，解题的关
键是得到 ．
9．C
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
解：由题意可得： ，
故选：C．
【点拨】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．
10．A
【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运用，然后整体代入求值即可；
（2）根据积的乘方的逆运用，变形为将0.125与8相乘积的2020次幂计算即可；
（3）利用多项式除以单项式法则运算即可；
（4）利用积的乘方法则计算即可；（5）利用多项式乘以多项式运算法则计算即可．
解：（1）∵ ，
故（1）计算正确；
（2） ，
故（2）计算正确；
（3） ，
故（3）计算不正确；
（4） ，
故（4）计算不正确；
（5） ，
故（5）计算不正确．
故选择A．
【点拨】本题考查同底数幂的乘方逆用法则，积的乘方逆用法则，同底数幂乘方逆用，多项式除以单
项式，多项式乘以多项式，掌握同底数幂的乘方逆用法则，积的乘方逆用法则，同底数幂乘方逆用，多项
式除以单项式，多项式乘以多项式是检查作业的关键．
11． 或 或
【分析】分 ， ， 且 三种情况求解．
解：（1）当 时， ，此时 ，等式成立；
（2）当 时， ，此时 ，等式成立；
（3）当 且 时， ，此时 ，等式成立．
综上所述，x的值为： 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．【点拨】本题考查了零指数幂的计算，幂的计算，正确分类是解题的关键．
12． /
【分析】根据有理数的乘除混合运算法则计算即可．
解： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了有理数的乘除混合运算，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
13．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案，最后结果用科学记数法表示．
解： ，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了整式的除法，正确运用整式的除法运算法则是解题关键．
14．2
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定．
解： ，是有理数，
，是有理数，
，0， 是有理数，
， 是无理数，共2个，
故答案为：2
【点拨】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无
理数．如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
15．【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则化简进而求出答案．
解： ，
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
16．
【分析】根据新运算得出原式 ，再根据整式的运算法则进行计算即可．
解：
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了整式的除法和有理数的混合运算，能正确根据整式的除法法则进行计算是解此题
的关键．
17． /-2+8a
【分析】由长方形的面积公式，求得长方形的另一边长，即可求得长方形的周长．
解：∵长方形的面积是 ，一边长是2a，
∴另一边： ，
∴长方形的周长： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了多项式除以单项式及整式的加法，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题
的关键．
18．222
【分析】先设出这三个数，再将这六个数表示出来，然后相加除以该三位数字的和即可．
解：设这三个数分别为 ，
由这三个数字组成的六个三位数分别为： ， ， ，
， ， ；∴这六个数的和为： ；
∴ ，
故答案为：222．
【点拨】本题考查了整式的应用，涉及到了整式的加法和除法运算，解题关键是正确表示出六个三位
数，并求出它们的和．
19．（1） ；（2）
【分析】（1）先根据乘方、零次幂化简，然后再计算即可；
（2）利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式与单项式乘除运算法则化简求出答案．
（1）解：原式
（2）解：原式
【点拨】本题主要考查了实数的混合运算、整式的四则混合运算等知识点，掌握乘方、零次幂成为解
本题的关键．
20． ，3
【分析】先进行乘方运算，再进行同底数幂的除法法则，再代入求值即可．
解：原式 ；
当 时，原式 ．
【点拨】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的
关键．
21．（1） ；（2）a的值为7．
【分析】（1）根据同底数幂的乘除法进行变形，得出 ，解方程即可得出答案；
（2）根据多项式乘以多项式进行化简，再根据题意得出 ，进而得出答案．
（1）解： ，∴ ，
解得 ．
（2）解：
．
由题意得 ，
解得 ．
∴a的值为7．
【点拨】本题考查多项式乘以多项式，同底数幂的乘除法，正确计算是解题的关键．
22．（1） ； ；（2）3；（3） 或 或
【分析】（1）直接利用例题的方法计算；
（2）利用例题方法得出 ，解方程即可；
（3）分类讨论，指数相等时， 时， 时，分别计算即可．
（1）解： ；
；
故答案为 ； ；
（2）解： ，
，
，
，
解得： ，
；
（3）解： ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ．
或 或 ．
【点拨】本题主要考查同底数幂除法,熟练掌握同底数幂除法的运算法则是解题的关键．
23．
【分析】先化简 ，再将 ， ，代入计算求出 、 的值，即可得到
答案．
解：
将 ， 代入：
，
，
，
【点拨】本题考查整式的化简求值，解题的关键是求出 、 的值．
24．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）被除式和除式都是二项式，除式都是 ，商的次数比被除式的次数小1，项数与被
除式的次数相等，按 进行降幂排列，各项系数为1，根据规律直接写出答案即可；
（2）根据规律写出答案即可；
（3）构造（2）中的公式，进行计算即可．（1）解： 被除式和除式都是二项式，除式都是 ，商的次数比被除式的次数小1，项数与被除
式的次数相等，按 进行降幂排列，各项系数为1，
，
故答案为： ；
（2）解：根据规律可得： ，
故答案为： ；
（3）解：
．
【点拨】本题考查了整式的除法，探索规律，解题的关键是发现规律，构造规律的形式，运用规律解
决问题．
