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专题 14.5 乘法公式（十大题型总结）
【题型一：乘法公式的基本运算】
1．（24-25七年级上·上海·期中）下列式子：①(x−y)(x+ y)；②(x−y)(−x+ y)；③(x+ y)(y−x)；④
(−y−x)(y−x)；⑤(x+ y)(−y−x)；⑥(−x−y)(x−y)中符合平方差公式特征的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．(−2a−b)(b−2a) B．(−2a−b)(2a+b)
C．(−3a+2b)(3a+2b) D．(3a+2b)(3a−2b)
3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）
(−2−3x2) 2
计算结果正确的是（ ）
A．9x4−12x+4 B．9x4+12x2+4
C．9x4−12x−4 D．−9x4−12x+4
4．（24-25七年级上·上海·期中）(a+b−c)(a−b−c)的计算结果是（ ）
A．a2+b2−c2 B．a2−b2+c2
C．a2−2ab+b2−c D．a2−2ac+c2−b2
【题型二：乘法公式的验证】
5．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（a>b
），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ）
A．a2+b2=(a+b)(a−b) B．a2−b2=(a+b)(a−b)
C． D．
a2+2ab+b2=(a+b) 2 a2−2ab+b2=(a−b) 2
6．（23-24七年级下·山东济南·期中）在下面的正方形分割方案中，可以验证 的图
(a+b) 2=(a−b) 2+4ab
形是（ ）A． B．
C． D．
7．（24-25八年级上·全国·期中）在学习乘法公式时，课本上通过计算图形面积来验证公式的正确性．下
列图形中，不能借助图形面积验证乘法公式(a+b)(a−b)=a2−b2的是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积
法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【题型三：利用完全平方式确定系数】
1
9．（23-24七年级下·全国·课后作业）如果x2+ mx+k是一个完全平方式，那么k等于 ．
2
10．（2024八年级上·全国·专题练习）已知代数式a2+(2t−1)ab+4b2是一个完全平方式，且t为正数，则
t的值为 ．
11．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果二次三项式 是完全平方式，那么k的值
x2+(2k+3)x+(k−1) 2
是 ．
12．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）已知 ，则t的值为（ ）
(a+m) 2=a2+(2t−1)ab+4b2
5 5 5 3 3
A． B．± C． 或− D．±
2 2 2 2 2
【题型四：利用乘法公式的运算】
13．（24-25八年级上·四川乐山·期中）利用乘法公式计算下列各题：
（1）102×98；
（2）1.2342+0.7662+2.468×0.766．
14．（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）试确定 的值．
(102+82+62+42+22)−(92+72+52+32+12)
15．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ( − 1 −x ) 2 − 1 (2x−3)(x+2)+(2x+1) 2 (2x−1) 2 ．
2 2
16．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ．
(2a+3b−1)(1+2a−3b)+(1+2a−3b) 2【题型五：整式的化简求值】
17．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）先化简，再求值．
1
(x−2y) 2−2(y−x)(x+ y)−y(2y−3x)，其中x=−2，y= ．
2
18．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）先化简，再求值： ，其
[(3x+ y) 2−(x+ y)(y−x))÷(−2x)
中x，y满足x2+4x+4+|y−1)=0．
19．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知 ，若
A=(a+b) 2−3b2,B=2(a+b)(a−b)−3ab
，则 的值为（ ）
(a−3) 2+|b−4)=0 A−B
A．51 B．−69 C．15 D．−21
20．（24-25七年级上·上海·期中）设b=ma，是否存在有理数m，使得
总是成立？若存在，求出满足条件的m；若不存在，说
[(a+2b) 2+(2a+b)(2a−b)−4b(a+b))÷2a=2a
明理由．
【题型六：利用平方差公式求值】
21．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知 ，那么 的结果是（ ）
a2−b2=4 (a+b) 2 (a−b) 2A．32 B．16 C．8 D．4
22．（2023·四川广安·二模）若x−y−7=0，则代数式x2−y2−14 y的值为 ．
23．（23-24七年级下·江苏南京·期中）已知a>0，b>0，(3a+3b+1)(3a+3b−1)=899，则a+b=
．
24．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）已知：x2+xy=10，y2+xy=6，x−y=−1，则：（1）x+ y=
．（2）求x，y的值分别为 ．
【题型七：利用完全平方公式求值】
25．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若 ， ，且 ，则
M=(t−3) 2 N=16−(t−5) 2 M=N
(t−3)(t−5)的值为 ．
26．（23-24七年级下·安徽六安·期中）已知 ，则 的值是
(x−2020) 2−(x−2028) 2=18 x−2024
（ ）
9
A．1 B． C．3 D．4
8
27．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知实数 a,b,c满足：a−b=4,ab+c2−4c+8=0，求代数式
a+b+c的值（ ）
A．6 B．2 C．-4 D．-8
28．（23-24七年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知a=m+2020，b=m+2021，c=m+2022，则代数式
2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
29．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知a，b，c满足
4a2+2b−4=0，b2−4c+1=0，c2−12a+17=0，则a2+b2+c2的值为（ ）
21 29
A． B． C．14 D．2016
4 4
1 1
30．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知 −|x)=1，则 +|x)的值为 ．
x x
【题型八：整式乘法中的规律探究】
31．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）发现：41=4，42=16，43=64，44=256，45=1024，
46=4096，47=16384，48=65536，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（ ）
3×(4+1)(42+1)(44+1)…(432+1)+1
A．2 B．4 C．6 D．8
32．（23-24八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整
数为“智慧数”．因为3=22−12，5=32−22，7=42−32，8=32−12，……，所以按从小到大的顺序，
“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，按此规律，2024是第 个
“智慧数”．
33．（23-24八年级下·四川达州·期中）计算：
1
（1）1− = ；
22
（2）( 1 )( 1 )= ；
1− 1−
22 32
（3）( 1 )( 1 )( 1 )= ；
1− 1− 1−
22 32 42
（4）请你利用你找到的简便方法计算：( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )．
1− 1− 1− ⋯ 1− 1−
22 32 42 20142 20152
34．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读解答：
（1）填空： ________； ________；
(a−b)(a+b)= (a−b)(a2+ab+b2)= (a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=
________；
（2）类推： ________（其中 为正整数，且 ）；
(a−b)(an−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1)= n n≥2
（3）利用（2）的结论计算：
① 221+220+219+⋯+23+22+2+1 ；
② 716−715+714−713+712−711+⋯−73+72−7．【题型九：平方差公式的几何应用】
35．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的
面积是 ．
36．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的
正方形，点M、N分别在BC、AD上，点E、F在MN上，点G、H在CD上，且四边形EFGH是正方
形，连接AE、DE、BF、CF，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
37．（23-24七年级下·浙江丽水·阶段练习）如图，把一块面积为48的大长方形木板分割成3个正方形①、
②、③和2个大小相同的长方形④、⑤且每个小长方形的面积均为9，则标号为②的正方形的面积为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．638．（23-24八年级上·浙江温州·期末）探究活动：
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式）
（2）知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题：
①计算：(a+b−2c)(a+b+2c)；
②若4x2−9 y2=10，4x+6 y=6，求2x−3 y的值．
【题型十：完全平方公式的几何应用】
39．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）下图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中
虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中
②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________．
（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：
① ， ，求 和 的值；
a−b=5 ab=−6 (a+b) 2 a2+b2
1 1
②已知x−
=3，求x2+
的值．
x x2
40．（23-24八年级上·浙江台州·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是
边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一
张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图 ，请你写出下列三个代数式： ， ， 之间的等量关系；
2 (a+b) 2 a2+b2 ab
（2）若要拼出一个面积为(a+2b)(a+b)的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片______
张．
（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值；
②已知 ，求 的值．
(x−2021) 2+(x−2023) 2=20 x−2022
41．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）完全平方公式： 适当的变形，可以解决很多
(a±b) 2=a2±2ab+b2
的数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为 ，所以 ，即： ，
a+b=3 (a+b) 2=9 a2+2ab+b2=9
又因ab=1，所以a2+b2=7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+ y=8，x2+ y2=40，则xy的值为______；
（2）拓展：若 ，则 ______．
(4−x)x=3 (4−x) 2+x2=
（3）应用：如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x
，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为
160，求图中阴影部分的面积和．
42．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）【知识生成】
我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺
数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个
等式，进而可以利用得到的等式解决问题．（1）根据图1，可以得到等式： ，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是
(a+b) 2=a2+2ab+b2
______（填选项）：
A．分类讨论 B．转化 C．由特殊到一般 D．
数形结合
（2）根据图2，可以得到等式：______；
（3）①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个
大正方形的面积，可以得到等式______；
②已知a+b+c=9，ab+bc+ac=26．利用①中所得到的等式，直接写出代数式a2+b2+c2的值为
______；
（4）画出一个几何图形，使它的面积能表示(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2．
【知识迁移】
（5）①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6
个小长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式
为______；
②已知a+b=5，ab=6，利用①中所得的等式，直接写出代数式a3+b3的值为______．
（6）图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形
的变化关系，写出一个代数恒等式：______．
