文档内容
专题14 中心对称重难点题型专训（8大题型）
【题型目录】
题型一 中心对称
题型二 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
题型三 中心对称图形
题型四 中心对称图形的规律问题
题型五 求关于原点对称的点的坐标
题型六 已知两点关于原点对称求参数
题型七 中心对称图形的画法
题型八 中心对称综合应用
【知识梳理】
【经典例题一 中心对称】
1．（2022秋·上海·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．能够互相重合的两个图形成轴对称
B．图形的平移运动由移动的方向决定
C．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为120°，那么它不是中心对称图形
D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形
【答案】D
【分析】根据图形变换的意义和性质作答．
【详解】解：A、一个图形沿着某条直线翻折后能够与另一个图形重合，则两个图形关于某条直线成轴对
称，错误；
B、图形的平移运动由移动的方向和距离决定，错误；
C、如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它也有可能有一个旋转角为180度，所以它有
可能是中心对称图形，错误；
D、如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180度，那么它一定是中心对称图形，正确；
故选D．
【点睛】本题考查图形变换的应用，熟练掌握轴对称、平移、中心对称的定义和性质是解答关键．
2．（2020春·七年级课时练习）对于图形的全等，下列叙述不正确的是（ ）
A．一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等
B．一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等
C．一个图形放大后得到的图形，与原来的图形全等D．一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等
【答案】C
【详解】A. 一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；
B. 一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；
C. 一个图形放大后得到的图形，与原来的图形不全等，故错误，符合题意；
D. 一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查了对全等图形的认识，解题的关键是要明确通过旋转、轴对称、平移等都可以得到与原
图形全等的图形，而通过放大或缩小只能得到与原图形形状一样的图形，得不到全等图形.
3．（2022秋·黑龙江绥化·九年级校考期中）求直线 关于点 成中心对称的直线的解析式
．
【答案】
【分析】在直线 上取两点 ， ，求出 关于点 的对称点 ， ，
再根据待定系数法求解即可．
【详解】解：在直线 上取两点 ，
则 关于点 的对称点为 ， ，
设直线 为：
则 ，解得
即
即直线 关于点 成中心对称的直线的解析式为
故答案为：
【点睛】此题考查了待定系数法求解函数解析式，解题的关键是正确求得直线上 ， 两点的坐标．
4．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，已知 与 关于点 中心对称，过 任作直线 分别
交 ， 于点 ， ，下面的结论：
①点 和点 ，点 和点 是关于中心 的对称点；②直线 必经过点 ；③四边形 与四边形
的面积相等；④ 与 成中心对称．
其中正确的是 ．【答案】①②③④
【分析】根据 与 关于点 中心对称得到 ， ， ，即可得到四边
形 是平行四边形及 ，即可得到答案；
【详解】解：∵ 与 关于点 中心对称，
∴ ， ， ，
∴
∴四边形 是平行四边形，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴点 和点 ，点 和点 是关于中心 的对称点，
∴ 与 成中心对称，直线 必经过点
∴四边形 与四边形 也关于点 对称，
∴ ，
综上，正确的是①②③④
故答案为：①②③④；
【点睛】本题考查中心对称图形的定义及平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
5．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，
点 均为格点：(1)画出 绕点 顺时针旋转 后得到的图形；
(2)求网格图中所得四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转变换的定义和性质求解可得；
（2）根据勾股定理求解可得．
【详解】（1）解：如图所示， 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 与点 重合，点 的对应
点为 ，
∴ 即为所求图形．
（2）解： ， ，
∴四边形的周长为 ，
【点睛】本题主要考查旋转变换，勾股定理，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质．
【经典例题二 根据直线对称的性质求面积、长度、角度】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若 ， ，
，则 长为（ ）A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据 ， ， ，求出边 的长度，再根据该图形为中心对称图形得出
，然后由 求解即可．
【详解】解： ， ， ，
根据勾股定理可得： ，
该图形为中心对称图形，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形和勾股定理的知识，解答本题的关键在于熟练掌握中心对称图形的概念
和勾股定理的运算法则．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 中， ， ， ．作出
共于点A成中心对称的 ，其中点B对应点为 ，点C对应点为 ，则四边形 的面积是
（ ）A．128 B． C．64 D．
【答案】D
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得 ，根据中心对称的性质以及平行四边
形的判定定理，得出四边形 是平行四边形，继而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵ 中， ， ， ．
∴ , ,
∴ ,
∵作出 共于点A成中心对称的 ，
∴ , ，
∴四边形 是平行四边形，
∴四边形 的面积为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得
出四边形 是平行四边形是解题的关键．
3．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知 ， ， ， 与 关于点 成中心
对称，则 的长是 ．
【答案】
【分析】根据成中心对称的性质，得到 ，进而求出 ，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵ 与 关于点 成中心对称，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查成中心对称和勾股定理．解题的关键是掌握成中心对称的性质：对应边相等．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在等腰直角三角形 中， ， ，点 是直角
边 的中点．若这个三角形关于点O成中心对称的图形，则点B与它关于点O的对称点 的距离是
．
【答案】
【分析】根据旋转的性质即可画出这个三角形关于点 成中心对称的图形，继而利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图， 即为所求作的图形．
， ，
又点 是直角边 的中点．
，
根据勾股定理，得 ，．
所以点 与它关于点 的对称点 的距离为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了作图 旋转变换、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
5．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，在 中， ，点 为边
的中点，动点 从点 出发，沿着 以每秒 的速度向点 运动，点 与点 关于点 成中心
对称．设点 运动的时间为 秒．
(1) 的度数为______度；
(2)当点 在 的角平分线上时，求线段 的长；
(3)连结 ．
①当四边形 是菱形时，求菱形 的面积；
②直接写出 时 的值．
【答案】(1)90；
(2) ；
(3)① ；② 或 ．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可判定 是直角三角形， ；
（2）由点Q在 的角平分线上可得 ，由点Q与点P关于点O成中心对称可证，从而 ，即 ，因此 ，进而 是
等腰直角三角形，根据勾股定理可求得 的长；
（3）①设 ，则 ，根据菱形的性质有 ，在 中，根据勾股
定理有 ，从而构造方程求解 ，利用菱形面积公式即可解答；
②根据三角形的面积公式可得 ，由（2）可知，在点P的运动过程中，
，四边形 是平行四边形．分两种情况讨论：若点P在 上， ，代
入可求点P运动过的路程 ，则运动的时间 ；若点P在 上，则 ，代
入 ，点P运动过的路程 ，运动的时间 ．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ．
故答案为：90
（2）
∵ ，点Q在 的角平分线上，
∴ ，
∵点O是 的中点，
∴ ，
∵点Q与点P关于点O成中心对称，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ．
（3）①
设 ，则
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴
∴
②∵在 中， ，∴
由（2）可知，在点P的运动过程中， ， ， ，
∴四边形 是平行四边形．
若点P在 上，如图
则 ，
又 ，
∴ ，
∴点P运动过的路程 ，
∴点P运动的时间 ；
若点P在 上，如图
则 ，
又 ，
∴ ，∴ ，
∴点P运动过的路程
∴点P运动的时间 ．
综上所示， 时， 或 ．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，中心对称的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，
菱形的性质，综合运用各个知识，掌握分类讨论思想是解题的关键．
【经典例题三 中心对称图形】
1．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在矩形 中， ， 与 相交于点O，下列说
法正确的是（ ）
A．点O为矩形 的对称中心 B．点O为线段 的对称中心
C．直线 为矩形 的对称轴 D．直线 为线段 的对称轴
【答案】A
【分析】由矩形 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，线段 的对称中心是线段 的中点，
矩形 是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，从而可得答案．
【详解】解：矩形 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，故A符合题意；
线段 的对称中心是线段 的中点，故B不符合题意；
矩形 是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，
故C，D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的含义，矩形的性质，熟记矩形既是中心对称图形也是轴对称图形是解本题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形 中， ， ，对角线 与 交
于点 ，点 是 的中点，连接 ， 的周长为 ，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．四边形 是中心对称图形
C． 的周长等于3cm
D．若 ，则四边形 是轴对称图形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定和性质及三角形中位线定理判断各个选项即可．
【详解】解： ， ，
四边形 是平行四边形，
对角线 与 交于点 ，点 是 的中点，
是 的中位线，
，
选项结论正确，不符合题意；
平行四边形都是中心对称图形，
∴四边形 是中心对称图形，
选项结论正确，不符合题意；
的周长为 ， 是 的中位线，
的周长等于 ，
选项结论错误，符合题意；
若 ，则四边形 是矩形，矩形是轴对称图形，
选项结论正确，不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质及三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质及三角
形中位线定理是解题的关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）函数 的图像如图所示，下列对该函数性质的论断正确的是（1）该函数的图像是中心对称图形；
（2）当 时，该函数在 时取得最小值2；
（3）在每个象限内， 的值随 值的增大而减小；
（4） 的值不可能为1．
【答案】（1）（2）（4）
【分析】根据中心对称图形的特征判断论断（1）；结合函数图像判断论断（2）（3）（4）．
【详解】解：（1）由图像可以看出函数图像上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；
（2）结合图像的2个分支可以看出，在第一象限内，最低点的坐标为 ，故正确；
（3）在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；
（4）在第一象限y的最小值为2，在第三象限最大值为 ，故不可能为1，故正确．
∴正确的有（1）（2）（4）．
故答案为（1）（2）（4）．
【点睛】此题主要考查了识别中心对称图形、函数图像等知识，结合函数图像获得所需信息是解题关键．
4．（2022秋·河北石家庄·八年级校联考期中）如图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要
在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心
对称图形，则这个正方形应该添加在 处．（填写区域对应的序号）
【答案】②
【分析】根据中心对称图形的概念解答．
【详解】解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的
新图形是中心对称图形，
这个正方形应该添加区域②处，故答案为：②．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图
重合是解题的关键．
5．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图， 的顶点的坐标分别为 ， ， ．
(1)画出 关于x轴对称的 ，写出点 的坐标为 ；
(2)画出 绕原点O逆时针旋转 的 ，写出点 的坐标为 ；
(3)在（1），（2）的基础上，图中的 、 关于点 中心对称；
【答案】(1)画图见解析，
(2)画图见解析，
(3)
【分析】（1）利用关于x轴的坐标特征写出 、 的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质，写出点A、B、C的对应点 、 、 ，从而得到 ，然后写出
点 的坐标；
（3）写出 的中点坐标即可．【详解】（1）如图， 为所作，
点 的坐标为 ；
（2）如图， 为所作，点 的坐标为 ；
（3）∵ ， ，
∴ 的中点是 ，
∴图中的 ， 关于点 中心对称．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，
顺次连接得出旋转后的图形，掌握作图-旋转变换是解题的关键．
【经典例题四 中心对称图形的规律问题】
1（2023春·全国·八年级专题练习）已知点 ，点 ，点 是线段 的中点，则
， ．在平面直角坐标系中有三个点 ， ， ，点 关于点的对称点 （即 ， ， 三点共线，且 ）， 关于点 的对称点 ， 关于点 的对称点 ，
…按此规律继续以 ， ， 三点为对称点重复前面的操作．依次得到点 ， ， …，则点 的坐标
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解．
【详解】解：由题意， ， ， ， ， ， ， ， ……
可得每6次为一个循环，
∵ ，
∴点 的坐标是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中， OAB 是边长为2的等边三角形，作
1 1
BAB 与 OAB 关于点B 成中心对称，再作 BAB 与 BAB△关于点B 成中心对称，如此作下去，则
2 2 1 1 1 1 2 3 3 2 2 1 2
△Bn A B△n（n是正整数）的顶点An的坐标是△（ ）△
2 ﹣1 2n 2 2
△
A．（4n﹣1，﹣ ） B．（4n﹣1， ） C．（4n+1，﹣ ） D．（4n+1，
）
【答案】A
【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A，B 的坐标，再根据中心对称性得出点A，
1 1 2
点A，点A 的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案．
3 4
【详解】∵△OAB 是边长为2的等边三角形，
1 1
∴A 的坐标为 ，B 的坐标为（2，0），
1 1∵△BAB 与△OAB 关于点B 成中心对称，
2 2 1 1 1 1
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
2 1 1
∵2×2﹣1＝3，纵坐标是- ，
∴点A 的坐标是 ，
2
∵△BAB 与△BAB 关于点B 成中心对称，
2 3 3 2 2 1 2
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
3 2 2
∵2×4﹣3＝5，纵坐标是 ，
∴点A 的坐标是 ，
3
∵△BAB 与△BAB 关于点B 成中心对称，
3 4 4 3 3 2 3
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
4 3 3
∵2×6﹣5＝7，纵坐标是- ，
∴点A 的坐标是 ，
4
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴A 的横坐标是2n﹣1，An的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1，
n 2
∵当n为奇数时，A 的纵坐标是 ，当n为偶数时，A 的纵坐标是﹣ ，
n n
∴顶点An的纵坐标是﹣ ，
2
∴顶点An的坐标是 ．
2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点
的坐标是解题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中， 是边长为2的等边三角形，
作 与 关于点 成中心对称，再作 与 关于点 成中心对称，点 在第个三角形上， （n是正整数）的顶点 的坐标是 ．
【答案】 7
【分析】由题意可以求出点 ， ， ， 的坐标，找出其中的规律，即可得到第一个空的答案；根据
第一个空的规律，可求得第二个空的答案．
【详解】解：由题意可得，点 的坐标为 ， ， ， ，由此可得，点
是 的坐标，即该点在第7个三角形上；
法一：由图可得点 ， ，所以点 ，则点 ，
由图可推得点 ；
法二：由点 ， ， ， 的坐标，可得点 ，
，
所以点 ．
故答案为7，
【点睛】本题考查图形类的规律探索题，根据图形找到规律是解题的关键．
4．（2022秋·七年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为： ，
， .已知 ，作点 关于点 的对称点 ，点 关于点 的对称点 ，点 关于点的对称点 ，点 关于点 的对称点 ，点 关于点 的对称点 ，…，依此类推，则点 的坐
标为 .
【答案】
【分析】根据平面直角坐标系中，点的对称性质，结合题意，依次求得点 ， ， ， ， ， ，
的坐标，从而发现该题的规律，求得点 的坐标．
【详解】解：∵ ， ，
∴点 关于点 的对称点 ，
∵点 关于点 的对称点为 ， ， ，
∴ ，
∵点 关于点 的对称点为 ， ， ，
∴ ，
∵点 关于点 的对称点为 ， ， ，
∴ ，
∵点 关于点 的对称点为 ， ， ，∴ ，
∵点 关于点 的对称点为 ， ， ，
∴ ，
∵点 关于点 的对称点为 ， ， ，
∴ ，
此时点 与点 重合．
∵ ，
∴ 与点 重合，
故 ，
答案为： ．
【点睛】本题考查了点坐标的对称性质，熟练掌握点坐标的对称性质是解题的关键．
5．（2023春·江西抚州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标为 ，
， ， 各顶点的坐标为 ， ， ．
(1)在图中作出 关于 轴对称的图形 ；
(2)若 与 关于点 成中心对称，则点 的坐标是______；
(3)在 轴上找一点 ，使得 最小，并写出 点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)作图见解析，
【分析】（1）由题意确定点 ， ， 的位置，再连线即可；
（2）根据中心对称的性质求解即可；
（3）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴的交点即为所求的点 ．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解： 由 与 关于点 成中心对称，如图所示，则 与 是对称点，
， ，
点的横坐标为 ，纵坐标为 ，即点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（3）解：如图所示：点 即为所求， ．
【点睛】本题考查作图 轴对称变换、轴对称 最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的
性质是解答本题的关键．
【经典例题五 求关于原点对称的点的坐标】
1．（2023春·四川绵阳·九年级专题练习）已知点 与点 关于x轴对称，点
与点D关于原点对称，则D点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而
求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标．
【详解】∵点 与点 关于x轴对称，
∴ ，
解得 ，
∴点 ， ， ，
∵点 与点D关于原点对称，∴点D ；
故选：A．
【点睛】本题考查的是轴对称变换，熟知关于x、y轴对称及原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
2．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知点 经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为
【答案】D
【分析】根据点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换逐项判断即可得．
【详解】解：A、点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标为 ，则此项错误，不符合题意；
B、点 绕原点按顺时针方向旋转 后到点 ，则横、纵坐标互换位置，且纵坐标变为相反数，所以点
的坐标为 ，则此项错误，不符合题意；
C、点 与点 关于原点中心对称，则点 的坐标为 ，则此项错误，不符合题意；
D、点 先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点 ，则点 的坐标为 ，即为 ，
则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了点坐标的轴对称与平移变换、点坐标的旋转变换与中心对称变换，熟练掌握点坐标的
变换规律是解题关键．
3．（2023秋·广东江门·九年级统考期末）已知实数 、 是方程 的两根，且 ，则点
关于原点的对称点Q的坐标是 ．【答案】
【分析】先把方程分解因式得出 ，即得到方程 ， ，求出方程的解即可
得到P点的坐标，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反计算，即点 关于原点O的
对称点是 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵实数 、 是方程 的两根， ,
∴ ，
又∵点P关于原点O的对称点Q，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标以及因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方
程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一
次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．解题时牢记步骤是关键．
4．（2023春·上海·七年级专题练习）在直角坐标系中，有 ， ， 三点，D是坐标平
面内另一点，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形是中心对称图形，那么D的坐标是 ．【答案】 或 或
【分析】分三种情况，①当四边形 是中心对称图形，②当四边形 是中心对称图形时，③当
四边形 是中心对称图形时，利用中心对称的性质分别求解即可．
【详解】解：设点 ，分三种情况，如图，
①当四边形 是中心对称图形，则点B、点C对称，点A、点 对称，
∵ ， ，
∴对称中心坐标为 ，
∵点A、点 对称， ，
∴ ， ，解得： ， ，
∴ ；
②当四边形 是中心对称图形时，
则点A、点C对称，点B、点 对称，
∵ ， ，
∴对称中心坐标为 ，
∵点B、点 对称， ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ；
③当四边形 是中心对称图形时，
则点A、点B对称，点C、点 对称，
∵ ， ，
∴对称中心坐标为 ，
∵点C、点 对称， ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
综上，以A，B，C，D四点为顶点的四边形是中心对称图形，那么D的坐标是 或 或 ．
【点睛】本题考查中心对称图形，关于某点是心对称点的坐标，掌握中心对称点的坐标规律是解题的关键．5．（2023·陕西西安·校考一模）已知抛物线 ： 过点 和 ，与 轴的交点为 ，
（点 在点 的左侧）与 轴交于点 ．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)抛物线 与 关于原点对称，点 在抛物线 上， ， 的是 ， 的对称点，若 与 的
面积相等，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据对称性求出 的表达式，在 中求出点A，B，C的坐标，得到 的面积，再利用对称性求
出 ， 的坐标，设 ，根据面积关系列出方程，解之即可．
【详解】（1）解：∵ 过点 和 ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线 的表达式为 ；
（2）∵ ， 与 关于原点对称，
∴ ，设 ，
在 中，令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
解得： 或 ，即 ， ，
则 ， ，则 ，
∴ ，
解得： 或 或 或 ，
所以点P的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图形变换，求二次函数表达式，三角形的面积，解题的关键是求出函数表
达式，得到相应点的坐标，根据图形变换得到对应点的坐标．
【经典例题六 已知两点关于原点对称求参数】
1．（2023秋·湖北·九年级校考周测）已知点 与点 关于坐标原点对称，则实数a，b的值是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】关于原点对称的横纵坐标互为相反数，由此可得到答案．
【详解】解：由于点 与点 关于坐标原点对称，
根据关于原点对称的横纵坐标互为相反数，
得到 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查坐标关于原点对称的性质，熟知关于原点对称的横纵坐标互为相反数是解题的关键．
2．（2023春·湖南·八年级期末）若点P关于x轴的对称点为 ，关于y轴的对称点为
，则P点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据题意可知 和 关于原点对称，“横反纵反”，可以得到关于 和 的方程组，解出 和 ，
表示出 或 的坐标，可求得 点的坐标．
【详解】∵点P关于x轴的对称点为 ，关于y轴的对称点为 ，
∴ 和 关于原点对称，
∴可得 ，解得 ，
∴ ，
∵点P和 关于x轴对称，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的点关于 轴、 轴、原点对称的点的特点，“关于 轴对称，横同
纵反；关于 轴对称，横反纵同；关于原点对称，横反纵反”，还考查了二元一次方程组的解法，灵活掌
握运用这些知识点是解题的关键．
3．（2023春·江西宜春·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点对称，
且点 在第三象限，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得 ，解不等式
组可得答案．
【详解】解：因为在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点对称，且点 在第三象限，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．（2022秋·北京东城·九年级汇文中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知点 与点
关于原点对称，则 ， ．
【答案】 2 2
【分析】关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出a、b即可求得答案．
【详解】解：∵点 和点 关于原点对称，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2；2．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，熟记关于原点对称点的坐标特
征并运用解题是关键．
5．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系 中，如果抛物线 上存在一点A，使
点A关于坐标原点O的对称点 也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归地物线，点A叫做这
条抛物线的回归点．
（1）已知点M在抛物线 上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线 是否为回
归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线 的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表
达式；
【答案】（1）是，见解析；（2） ．
【分析】（1）当 时，求得点 ，再解得点M关于原点对称的点 ，判断点是否在抛物线 上，即可解题；
（2）利用配方法解得点C的坐标，继而解得点C关于原点对称的点 ，再根据题意代入抛物线
中，得到关于 的一元一次方程，解方程即可
【详解】解：（1）当 时，
点M关于原点对称的点 ，
当 时，
在抛物线 上，
抛物线 是回归抛物线；
（2）
由题意得，点C关于原点对称的点 也在抛物线 上，
．
【点睛】本题考查抛物线的性质、抛物线的顶点、中心对称、判断点是否在抛物线上、求二次函数解析式
等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
【经典例题七 中心对称图形的画法】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）在由边长为 个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系， 的位置如图所示，先作与 关于原点 中心对称的 ，再把 向上平移 个单
位长度得到 ．
(1)作出 和 ；
(2) 与 关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据中心对称与平移的性质，画出 和 ；
（2）连接 则 的中点即为所求．
【详解】（1） 如图所示． 如图所示．
（2）连接 则 的中点即为所求，∵ ，
∴ ，
∴对称中心为 ；
【点睛】本题考查了平移的性质，中心对称的性质，坐标与图形，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质
是解题的关键．
2．（2023春·河北保定·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为
．
(1)平移 到 ，其中点A的对应点 的坐标为 ，请在图中画出 ；
(2)以点O为旋转中心，将 按顺时针方向旋转 得 ，请在图中画出 ；
(3) 与 关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)（－3，1）
【分析】（1）利用点 和点 的坐标特征得到平移的方向和距离，然后利用此规律得到 、 的坐标，
然后顺次连接即可；
（2）根据关于原点对称点的性质分别得到 、 、 的坐标，然后顺次连接即可；
（3）如图，连接 、 、 ，则 、 、 都经过点 ，故可知点 为对称中心，再根据坐
标系写出坐标即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：如图， 即为所求；
（3）解：如图，可知 与 关于点 成中心对称，
故答案为：（－3，1）．
【点睛】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，中心对称，利用条件准确得到对应点的位置是解题的关
键．
3．（2020秋·辽宁铁岭·九年级期中）如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点
上，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题：(1)将△ABC绕原点O旋转 得到 ，在表格中画出 ；
(2)直接写出 的坐标为___；
(3)若顶点为C的抛物线 经过点 ，求该抛物线的解析式．
【答案】(1)见解析
(2) （4，1）
(3)
【分析】（1）先分别画出A、B、C三点关于原点O的对称点A、B、C ，再将三点依次连接即可；
1 1 1
（2）由（1）中可知，点A 的坐标为（4，1）；
1
（3）根据抛物线顶点为C，可知其对称轴为y轴，所以b=0，得到 ，再将点C、点A 的
1
坐标代入解析式中求出a和c即可．
【详解】（1）点A的坐标为（-4，-1），则点A关于原点的对称点A 的坐标为（4，1），点B的坐标为
1
（-2，-4），则点B关于原点的对称点B 的坐标为（2，4），
1
点C的坐标为（0，-2），则点C关于原点的对称点C 的坐标为（0，2），连接A、B、C ，即得下图：
1 1 1 1（2）由（1）中可知，点A 的坐标为（4，1）；
1
（3）若顶点为C的抛物线 经过点 ，
则抛物线的对称轴为y轴，
∴ ，
∴b=0，
∴
将点C（0，-2）、点A（4，1）的坐标代入解析式得：
1
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ．
【点睛】本题考查了中心对称和二次函数，熟练掌握中心对称图形的画法和二次函数代定系数法求解析式
是解题的关键．4．（2020秋·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣
4，5），B（﹣5，2），C（﹣3，4）．
(1)画出△ABC关于原点O对称的图形△ABC ，并直接写出A 点的坐标；
1 1 1 1
(2)将△ABC绕B点顺时针旋转90°得到△ABC ，画出△ABC 并直接写出A 点的坐标；
2 2 2 2 2 2 2
(3)已知△ABC 可以看作由△ABC 绕点P逆时针旋转90°得到的图形，直接写出点P的坐标．
2 2 2 1 1 1
【答案】(1)图见解析，A 点的坐标为（4，﹣5）
1
(2)图见解析，A 点的坐标为（﹣2，1）
2
(3)P(-2，-5)
【分析】(1)关于原点对称，横坐标与纵坐标均互为相反数，分别求出A，B，C的对应点A，B，C 的坐
1 1 1
标，然后再连接成三角形即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A，B，C 即可；
2 2 2
(3)对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心即可求解．
【详解】（1）解：A(-4，5)关于原点O对称的点A 坐标为(4，5)，
1
B(-5，2)关于原点O对称的点B 坐标为(5，-2)，
1
C(-3，4)关于原点O对称的点C 坐标为(3，-4)，
1
△ABC 图形如下所示：
1 1 1（2）解：如下图，△ABC 即为所求，A 点的坐标为(-2，1)；
2 2 2 2
（3）解：如下图所示：连接C C ，过其中点E作PE⊥C C ，则PE为C C 垂直平分线，
1 2 1 2 1 2
连接AA，过其中点F作PF⊥AA，则PF为AA 垂直平分线，
1 2 1 2 1 2
由旋转的性质可知：旋转前后对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，
∴PE与PF的交点P即为旋转中心，P(-2,-5)．【点睛】本题考查作图旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称的性质，理解
对应点连线段的垂直平分线的交点为旋转中心．
5．（2021秋·湖北武汉·九年级统考期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点
叫做格点，平行四边形ABCD的顶点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表
示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90°，画出对应线段AE；
（2）过点E画一条直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；
（3）过点D画格点线段DP，使得DP⊥BC于点M，垂足为M；
（4）过点M画线段MN，使得MN//AB，MN=AB．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解
【分析】（1）根据旋转的性质直接作图即可；
（2）连接AC、BD，交于一点O，然后连接EO即可得出图形；
（3）把线段AD绕点D顺时针旋转90°，即可得到线段DP⊥BC，与BC交于一点M，即可得出答案；（4）根据平行四边形是中心对称图形，点O是对称中心，设EO与D点所在网格线交于点Q，连接MQ并
延长交于AD于点N，MN即为所求．
【详解】解：（1）（2）（3）如图所示：
（4）根据平行四边形是中心对称图形，点O是对称中心，设EO与D点所在网格线交于点Q，连接MQ并
延长交于AD于点N，MN即为所求，如图所示：
【点睛】本题主要考查旋转的性质、平行四边形的性质及中心对称图形，熟练掌握旋转的性质、平行四边
形的性质及中心对称图形是解题的关键．
【经典例题八 中心对称综合应用】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ， ， 是矩形的对称中心，
点 、 分别在边 、 上，连接 、 ，若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AC，BD，过点O作 于点 ，交 于点 ，利用勾股定理求得 的长即可解题．
【详解】解：如图，连接AC，BD，过点O作 于点 ，交 于点 ，
四边形ABCD是矩形，
同理可得
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关
键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 （a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当
△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】先求出点A（-3，0），点B（1，0），由点B为中心对称，求出点C（5，0），把抛物线配方为
顶点式可得D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，D′（3，4a），DD′ ，CD=
，CD′= ，由 CDD′是直角三角形，分两种情况，当∠CD′D=90°，∠DCD′=90°时利用
△
勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵抛物线 （a＞0）与x轴交于A，B，
∴
∵a＞0
解得
∴点A（-3，0），点B（1，0），
∵点B为中心对称，
∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，
∴点C（5，0），
∴抛物线 ，
∴D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，
点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，
∴D′（3，4a），
DD′= ，CD= ，
CD′= ，
∵△CDD′是直角三角形，
当∠CD′D=90°，
根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即
，
解得 ，
∵a＞0，
∴ ；
当∠DCD′=90°，
根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即
，
解得 ，
∴ ，
∴综合得a的值为 或 ．
故答案选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质，掌握待定系
数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质是解题关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝
90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，
DP，则DP+BQ的最小值是 ．【答案】12
【分析】由中心对称的性质可得BO＝DO＝6，AO＝OC，可证四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形
的性质可得AO＝2DO＝12，当AP＝OP时，DP+BQ的值最小，此时P为OA的中点，由直角三角形斜边
上的中线性质得出DP、BQ，即可得出结果．
【详解】解：∵△AOD和△COB关于点O中心对称，
∴BO＝DO＝6，AO＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOD＝60°，∠ADO＝90°，
∴∠DAO＝30°，
∴AO＝2DO＝12，
∵AP＝OQ，
∴PQ＝AO＝12，
如图，作 ，使得DK＝PQ＝12，连接BK，
∴四边形DPQK为平行四边形，
∴DP=KQ，∠BDK=∠BOC=∠AOD=60°，
此时DP+BQ＝KQ+BQ＝BK的值最小，
∵DK=PQ=BD=12，
∴△BDK是等边三角形，
∴BK=DB=12，
∴DP+BQ的最小值为12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
4．（2022秋·广东江门·九年级江门市第二中学校考阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，
点E，F分别为 ， 上的点， ，且 过矩形 的对称中心O．若点P，Q分别在 ，
边上，且 ， 将矩形 的面积四等分，则 的长为 ．
【答案】
【分析】根据矩形是中心对称图形，由点E，F分别为 ， 上的点， ，且 过矩形 的
对称中心O．则 ，根据题意作出图形，设 ， ， ，
根据 ，列出方程，即可求解．
【详解】 矩形是中心对称图形，点E，F分别为 ， 上的点， ，且 过矩形 的对称
中心O，
，
如图，连接 ，则四边形 是平行四边形，
若点P，Q分别在 ， 边上，且 ， 将矩形 的面积四等分，
过矩形 的对称中心O，，
又四边形 是平行四边形，
则 ，
，
设 ， ， ，
，
即 ，
解得 ．
∴BP=1.2．
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了矩形，平行四边形的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．
5．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）如图，直线 ： 与y轴交于点A，与直线 ：
交于点B，直线 与y轴交于点C，点 在射线 上，过点P作直线 轴，垂足为
E，直线 交直线 于点Q．
(1)求点B的坐标及线段 的长；
(2)当点P在线段 的延长线上，且线段 与 关于点B成中心对称时，求点P 的坐标；
(3)当 时，求m的取值范围．【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据直线上点的坐标特征求得A、C的坐标，即可求得 ，解析式联立，解方程组即可
求得B点的坐标；
（2）根据题意得出 ，即可得到 ，解得m的值，即可求得P的坐标；
（3）根据 ，借助图象即可得到当 时，则 ，解得 ；当 时，则
，解得 ．
【详解】（1）在直线 中，令 ，则 ，
∴ ，
在直线 中，令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解 得， ，
∴ ；
（2）设 ，则 ，
∵线段 与 关于点B成中心对称
∴ ，∴ ，
解得 ，
∴ ；
（3）设 ，则 ，
由题意可知， ，
当 时，则 ，
解得 ；
当 时，则 ，
解得 ，
综上，m的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，中心对称的性质，根据题意表示出点的坐标是解题的关键．
【重难点训练】
1．（2023春·广东江门·八年级江门市新会东方红中学校考期中）在平行四边形 中，对角线 与
相交于点 ，以点 为坐标原点，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据平行四边形是中心对称图形的特点可知，点 关于原点 对称，即可获得答案．
【详解】解：∵ 的对角线 与 相交于坐标原点 ，
∴点 关于原点 对称，
∵点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、坐标与图形以及中心对称的性质，解题关键是根据平行四边
形的性质得到点 关于原点 对称．
2．（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）如图，原点O为 的对称中心，
轴，与y轴交于点 ， 与x轴交于 ， ．若将 绕原点O顺时针旋
转，每次旋转90°，则第502次旋转结束时，点A的对应点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，设 与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ，利用中心对称的性质确定
的长度，利用平行四边形的判定及性质可以得到 ，再根据 确定点 的坐
标，由旋转的周期性确定 绕原点O顺时针旋转第502次旋转结束时与 位置重合，从而确定点
与点 重合， 即可得到点 的对应点的坐标．
【详解】连接 ，设 与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ，∵原点 为 的对称中心，
∴点 与点 关于点 对称，
∵点 ，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵ ，点
∴ ，
即点 ，点
∵ 绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴ ，
，
即 绕原点O顺时针旋转第502次旋转结束时与 位置重合，此时点 与点 重合，
∴点A的对应点的坐标为 ．
故选A．
【点睛】本题考查了图形与坐标，旋转的性质，中心对称的性质，周期型规律问题，能准确确定点 的坐
标及在第502次旋转结束时 所在的位置是解决本题的关键．
3．（2023·河北沧州·统考二模）如图由 个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，
的三个顶点 ， ， 均在格点上， 是 与网格线的交点，将 绕着点 顺时针旋转 ．
以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（ ）嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；
淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形
A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对
【答案】C
【分析】画出旋转后的图形，根据图形解答．
【详解】如图，取格点 ，连接 ， ，取格点E，F．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A关于点O的对称点与点C重合，点C关于点O的对称点与点A重合．
同理可证：点B与点 关于点O对称，
∴旋转后的三角形的三个顶点均在格点上，
故嘉嘉说法正确；
由中心对称的性质得 ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴旋转前后两个三角形可形成平行四边形，
故淇淇说法正确．
故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，中心对称的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是等腰三角形 的底边中线， 与
关于点 中心对称，连接 ，则 的长是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质可得 ，根据 与 关于点 中心对
称，可得 ，再根据勾股定理可得 的长．
【详解】解：∵ 是等腰三角形 的底边中线，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 关于点 中心对称，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的
关键．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形 中， ， ，对角线 与 交
于点 ，点 是 的中点，连接 ， 的周长为 ，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．四边形 是中心对称图形
C． 的周长等于3cm
D．若 ，则四边形 是轴对称图形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定和性质及三角形中位线定理判断各个选项即可．
【详解】解： ， ，
四边形 是平行四边形，
对角线 与 交于点 ，点 是 的中点，
是 的中位线，
，
选项结论正确，不符合题意；
平行四边形都是中心对称图形，
∴四边形 是中心对称图形，
选项结论正确，不符合题意；
的周长为 ， 是 的中位线，
的周长等于 ，
选项结论错误，符合题意；
若 ，则四边形 是矩形，矩形是轴对称图形，
选项结论正确，不符合题意；故选： ．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质及三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质及三角
形中位线定理是解题的关键．
6．（2023春·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为 ，直线EF经过正方形的中
心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接
AG，则AG长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG
为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：设正方形的中心为O，
连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．
∵正方形ABCD的边长为 ，AC是正方形的对角线，
∴BD= ，
∵直线EF经过正方形的中心O，
∴OB=OD=2，
∵M是OB中点，
∴OM=BM=1，∵EF⊥BG，
∴ ，
∵Rt△BHM是等腰直角三角形，
∴MH=BH= ，AH= ，
由勾股定理可得MA= ，
∵AG≥AM-MG= ，
当A，M，G三点共线时，AG最小= ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键
是求出AM，MG的值．
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个
单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A
的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点
C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【分析】连接CQ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB＝90，延长BC交x轴于点
E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
【详解】解：连接CQ，如图：由中心对称可知，AQ＝BQ，
由轴对称可知：BQ＝CQ，
∴AQ＝CQ＝BQ，
∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB，
∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°，
∴∠ACQ+∠QCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图，
∵A（2，0），C（8，6），
∴AF＝CF＝6，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∵ ，
∴∠AEC＝45°，
∴E点坐标为（14，0），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∵C，E点在直线上，
可得： ，
解得： ，
∴y＝﹣x+14，
∵点B由点A经n次斜平移得到，
∴点B（n+2，2n），由2n＝﹣n﹣2+14，
解得：n＝4，∴B（6，8），
∴△ABC的面积＝S ABE﹣S ACE＝ ×12×8﹣ ×12×6＝12，
△ △
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，
得到 的坐标是解本题的关键．
8．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐
标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（ ）
A．M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3）
B．M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3）
C．M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3）
D．M（﹣1，3），N（1，﹣3）
【答案】C
【详解】M点与A点关于原点对称，A点与N点关于x轴对称，由平面直角坐标中对称点的规律知：M点
与A点的横、纵坐标都互为相反数，N点与A点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．所以M（－1，－
3），N（1，－3）．
9．（2022秋·广东惠州·九年级统考竞赛）如图所示，已知抛物线 ，抛物线 关于原点中心对称．如果
抛物线 的解析式为 ，那么抛物线 的解析式为 ．【答案】
【分析】根据抛物线 的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线
的开口方向及顶点坐标，即可求解．
【详解】解：抛物线 的解析式为 ，
∴抛物线 的开口向上，顶点坐标为 ，
∵抛物线 ，抛物线 关于原点中心对称，
∴抛物线 的开口向下，顶点坐标为 ，
抛物线的解析式为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的
基本性质是解题关键．
10．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校联考期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是
，作点A关于原点的对称点，得到点 ，再将点 向上平移3个单位，得到点 ，则点 的坐标
是 ．
【答案】【分析】先根据关于原点对称点的坐标特征“横纵坐标互相相反数”，求出 ，再根据平移的坐标
变换规律“上加下减，左减右加”求得 ．
【详解】解：∵点A关于原点的对称点 ， ，
∴ ，
∵将点 向上平移3个单位，得到点 ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——中心对称和平移，正确求出点 的坐标是解题的关键．
11．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形
又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点M的坐标为 ，
点N的坐标为 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】由图形可知，点A和点N关于x轴成轴对称，点M和点B关于坐标原点O成中心对称，求出两点
的坐标，再计算即可．
【详解】解：由图形可知，点A和点N关于x轴成轴对称，点M和点B关于坐标原点O成中心对称，
因为点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
所以 ， ，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查了点的坐标变化规律，解题关键是明确关于x轴成轴对称的点，横坐标不变，关于坐标
原点O成中心对称的点，横坐标互为相反数．
12．（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，菱形 的对角线交于原点O，若点A的坐标为
，点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，则边 ．
【答案】
【分析】根据轴对称的性质得到 ，点D的坐标为 ，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】∵四边形 是菱形，
∴点A与点C，点B与点D关于原点对称，
∴ ，
∵点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，
又
∴ ，
∴点D的坐标为 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，两点间的距离公式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关
键．
13．（2023春·四川德阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系 中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为 ， ，现平移直线l： ，使平移后的直线将
这个图案分成面积相等的两个部分，则平移后直线的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】如图，连接中间两个小正方形构成的矩形的对角线，则经过对角线交点的直线把此矩形分成面积
相等的两部分，可知此直线也把整个图形分成面积相等的两部分，根据点A，B的坐标可得C的坐标，再
根据一次函数平移的特点结合待定系数法可求平移后直线的函数解析式．
【详解】解：如图，∵点A，B的坐标分别为 ， ，
∴C的坐标为 ．
∵平移后的直线将这个图案分成面积相等的两个部分，
∴平移后的直线经过点C．
设平移后的直线的函数解析式为 ，依题意有，
∴ ，
解得 ，
∴平移后的直线的函数解析式为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查中心对称图形的性质、待定系数法求解析式，一次函数图象的平移．熟知过中心对称图
形对称中心的直线把这个图形分成面积相等的两个图形是解题的关键．
14．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 与点 关
于原点 对称，将点 沿 轴向右平移 个单位后落在点 处．
(1) 的面积等于 ．
(2)设 ，点 是第一象限内的虚线格点，如果 是以 为腰的等腰三角形，那么点 的坐标
是 ．
【答案】 ； 或 或 ．
【分析】（1）由平移得 ，根据三角形的面积公式即可求解；
（2）分 和 求解即可．
【详解】（1）如图：
点 与点 关于原点 对称， ，∴点 ，
将点 沿 轴向右平移 个单位后落在点 处．
点 ，
，
的面积 ，
故答案为： ；
（2）如图：
当 时，以 为圆心， 为半径作圆，可得点 ；
当 时，以 为圆心， 为半径作圆，可得点 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，平移变换以及三角形面积求法，等腰三角形的定义，
解题的关键是利用分类讨论思想．
15．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A，O，B
的位置如图，它们的坐标分别是 ， 和 ．图1 图2
(1)在图1中添加一颗棋子C，画出以A，O，B，C四颗棋子为顶点的四边形，使其是轴对称图形，但不是
中心对称图形；
(2)在图2中添加一颗棋子P，画出以A，O，B，P四颗棋子为顶点的四边形，使其是中心对称图形，但不
是轴对称图形，并直接写出棋子P的坐标．
【答案】(1) ；（答案不唯一），图见解析
(2) （答案不唯一），图见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的特点作出图形，即可确定点C；
（2）根据中心对称图形的特点作出图形，即可确定点P．
【详解】（1）解：如图所示，点C即为所求；
∴ ；（答案不唯一）
（2）如图所示点P即为所求，∴ （答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查轴对称图形及中心对称图形的特点，熟练掌握二者的定义是解题关键．
16．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，方格纸中的每个小正方形都是边长为1个单位长度
的正方形，每个小正方形的顶点叫格点. 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问
题：
(1)画出 关于点P成中心对称的 ，点 的坐标为______．
(2)画出 绕点P逆时针方向旋转 后所得到的 ，点 的坐标为______．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
【分析】（1）利用网格的特点和中心对称的性质画出点A、B、C的对称点 、 、 ，则可得到，然后写出点 的坐标即可；
（2）利用网格的特点和旋转的性质画出点A、B、C的对称点 、 、 ，则可得到 ，然后写出
点 的坐标．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）解：如图， 即为所求，点 的坐标为 ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查网格作图−中心对称和旋转变换、坐标轴上点的特征，熟练掌握中心对称的定义和旋转
的性质是解题的关键．17．（2023秋·四川广元·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ，
， ．
(1)求 的面积；
(2)在图中画出 绕点C逆时针旋转 得到的 并写出点A的对应点 的坐标．
(3)在图中画出 关于原点O中心对称的 的图形．
【答案】(1)
(2)画图见解析，
(3)画图见解析
【分析】（1）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可；
（2）分别确定A，B，C绕C点顺时针旋转 的对应点 ， ， ，再顺次连接即可；再根据 的位置
可得其坐标；
（3）分别确定A，B，C关于原点成中心对称的对应点 ， ， ，再顺次连接即可；
【详解】（1）解： ；
（2）解：如图， 即为所画的三角形，
根据 的位置可得： ；
（3）如图， 即为所画的三角形．【点睛】本题考查的是网格三角形的面积，画旋转图形，画关于原点成中心对称的图形，熟记旋转的性质
并运用于作图是解本题的关键．
18．（2022春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为
， ， ．
(1)将 经过平移得到 ，若点 的对应点 的坐标为 ，画出 ，直接写出 ， 的
坐标 （______，______）， （______，______）；
(2)画出与 关于原点 成中心对称的 ；(3)若 与 是中心对称图形．则对称中心的坐标为（______，______）．
【答案】(1) ， ， ， ；图见解析
(2)见解析
(3) ，
【分析】（1）由 的坐标可知， 是向左平移 个单位长度，向上平移 个单位长度得到 ，
即可得出答案．
（2）根据中心对称的性质作图即可．
（3）由图可得 与 的对称中心为点 ．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
故答案为： ； ； ； ．
（2）如图， 即为所求．
（3）由图可得， 与 的对称中心为点 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查作图 平移变换、中心对称，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键．19．（2022春·河北邯郸·八年级校考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 在
网格中的位置如图所示， 的三个顶点都在格点上．将点 的横坐标和纵坐标都乘 ，分别得
到点 ．
(1)写出 三个顶点的坐标 （____，____）， （____，____）， （____，___）；
(2)若 与 关于y轴对称，在平面直角坐标系中画出 ；
(3)若以点 为顶点的三角形与 全等，直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)3， ； ， ； ，
(2)见解析
(3) ， ，
【分析】（1）横、纵坐标乘以 变为原来的相反数，再根据网格结构找出对应点的位置，然后顺次连接
即可；
（2）先作出 关于y轴的对称点 ，然后顺次连接即可；
（3）根据全等三角形对应边相等，分 和 两种情况讨论求解．
【详解】（1）解： 三点坐标分别为 ， ， ，
将点 的横坐标和纵坐标都乘以 ，分别得到点 ，则 、 、 ；
故答案为：3， ； ， ； ， ；（2）解：如图：先作 三点关于y轴的对称点 ，
则 、 、 ；
然后连接 ，则 为所求；
（3）解：①当 时， 或 ；
②当 时， ．
【点睛】本题主要考查作图——对称变换，解题的关键是掌握轴对称、中心对称变换的定义和性质及全等
三角形的判定．
20．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）在8×5的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形
的顶点坐标分别为 ， ， ， ．请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图
（保留作图痕迹）．(1)将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ；
(2)作 的角平分线 ；
(3)作线段 关于四边形 的中心点对称的线段 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点 的对称点 即可；
（2）利用网格的特点作出 的中点 ，连接 ，则射线 即为所求；
（3）连接 ， ，线段 和 相交于点 ，分别画出点 和点 关于点 的中心对称点 和点 ，
则线段 即为所求．
【详解】（1）如图1所示，线段 即为所求．
（2）如图2所示，连接 ，利用网格的特点作出 的中点 ，连接 ，则射线 即为所求．
（3）连接 ， ，线段 和 相交于点 ，分别画出点 和点 关于点 的中心对称点 和点 ，
则线段 即为所求．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，
由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
也考查了轴对称变换．
