理数_2.2025数学总复习_数学高考模拟题_2023年模拟题_老高考_西南汇联考23届高三第一学期开学考数学含答案

2022 年“西南汇”联考 2023 届高三第一学期开学考
理科数学
总分:150分
单选题（5分*12）
1. 设集合 ， ， ，， ​ ，则( )
A. ​ ={1 3​} B. ={2​ 4 5} C. ​ D. ​
2.1设∉复数 ​ 满足 ​ ，2则∈  ​ ( ) 3∉  4∉ 

−1
 = ||=
A. ​ 2 B. ​ C. ​ D. ​
3 1
3. 2函数 ​ 的零点共有( ) 1
2 2
3
A. ​ 个 (​) = +|| B. ​ 个 C. ​ 个 D. ​ 个
4.0 已知正方体 1 ​ 中， ，2 ​ 分別为 ，3 ​ 的中点，则( )
A. ​ ​ −​1B.​1 ​1 1​   ​  ​1 1
C. ​ D. ​
⊥​ 1 ⊥​ 1
5​. 已  知1⊥ ​ 的内角 ​ ​ 的 1对  边 ⊥​ 分  别  是1 ​ ,则“ ​ ”是“ ​ 是钝
2 2
角三角形△”的 ,, ,, ​  +​  −<0 △
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 已知函数 ​ ，下列说法正确的是( )
A. ​ 的最 ( 小 ) 正 = 周期 3 是 2​−2
B.()​ 的图象关于直线 2 ​ 对称

() =
C. ​ 在区间 ， ​ 上单1调2 递增

() 0
D. ​ 的图象可由2 ​ 的图象向左平移 ​ 个单位得到

() =22
7. 已知 ，，， ​ 均为单位向量，且满足 ​ ，命题 ： ​ ，命题 ：
12
​ ，则下 列命题 恒为真命题的是( ) ∙=∙  ∙=∙  ∙=
A.∙ ​ B. ​
C. ​ D. ​
¬∨ ∨
8.函∧数 ¬∧¬ ​ 的最小值为( )
1 2 2 5
()=​  (+)+​  +
A. ​ 9 B. ​ 2 C. ​ D. ​
1 1 5
0
9. 已知函数 ​ 是定义在 ​ 上的奇函数，当 ​ 时， ​ ，则不等式
4 3 9
​ 的(解)集为( )  >0 ()= −1+
A.()>，0 ， ​ B. ， ， ​
C. ， ， ​ D. ， ， ​
(−∞ −1)∪(0 1) (−1 0)∪(0 1)
(−1 0)∪(1 +∞) (−∞ −1)∪(1 +∞)10. 已知某校高三年级共 ​ 人，按照顺序从 ​ 到 ​ 编学号.为了如实了解学生“是否有
带智能手机进入校园的行1为4”0，0 设计如下调查方案1：先从1装40有0 ​ 个黑球和 ​ 个白球的不透明盒
子中随机取出 ​ 个球，如果是白球，回答问题一；否则回答2问题二.问题如3下：一、你的学号的
末位数字是奇数1吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级 ​ 人全部参与
调查，经统计：有 ​ 人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高三年级“带智能手14机00进入校园”的人
数大概为( ) 972
A. ​ B. ​ C. ​ D. ​
11.8 单位正四面体的外接球内接 20 的最大正三角形边长 14 为 8( ) 247
A. ​ B. ​
3 6
C. 4 ​ D.4 ​
3 2 3 6
12.4 4 ​ , 则（ ）
1
A. = ​ 1 ​, = 3 ​ 1 ​, B.=2− 3​1
4 32
C. ​ D. ​
>  > > >
填  空 > 题  （ >5 分*4） > > 
， ，
13. 已知函数 ​ 则 ​ ____________.
， ，
​ 2 <0
()= 2  ​ 12 =
14. 函数 ​   ​ ⩾0的一条过原点的切线方4 程为____________.
15. 设 ​ (是)抛=物线(−：1)+2 ​ 的焦点，点 ​ 在抛物线 ​ 上， ， ​ ，若 ​ ，
2
则  ​ ______​______. =4   (3 0) ||=2||
||=
16. 已 知 正 实 数 ​ 满 足 ​ , 则 ​ 的 最 小 值 为
2 2 1 1
​,  ​ ​3 −​5  =​4 ​ ​  +
____________.
 
解答题部分70分
17. （12 分）在三棱锥 ​ 中，平面 ​ 平面 ， ， ​ 是
∘
​ 的中点. − ⊥  ∠=∠​  =90 
(1)证明： ​ ；
(2)若 ​ ，求二面角 ​ 的大小.
⊥ 
= 6= 3= 6 −−
18. （12 分）已知 ​ 的内角 ， ， ​ 所对的边分别为 ，，，
△       3=， ​ .
2 2 2
​2(1)求 ​  ； ​2  +​2  =5
(2)若 ， ​ ，求 ​ .

19. （ 1>2分  ）  记 = 数列 3 ​ , 前 ​ 项和为 ， ​ .
2
(1)证明： ​ 为 ​ 等差  数 列；  ​ ​ 2+​  =​ 2+
(2)若 ​ ​  ，记 ​ 为数列 ​ 的前 ​ 项积，证明： ​ .
 1
​ 1 =1 ​  ​   ​ ∑=1 <2
20. （12分）设椭圆 ： ​ ，右焦点 ，​ ​ ，短轴长为 ​ ，直线
2 2
​  ​ 
 2 + 2 =1 (> >0) ( 0) 2
​ 与 ​ 轴的交​点到右​焦点的距离为 ​ .
​  2 3
(1=)求 ​ 的方程 ；
 3
(2)点 ， ， ， ​ 均在 ​ 上，且满足 ， ​ ，若 ​ 与 ​ 轴交点为 ​ ，求

满足条件的点 ​ 的坐标.
(1 0)    ⊥  =   
21. （12分）设 函数 ，​ 为常数).
 −1
(1)讨论 ​ 的单调性(；)=​  −+ +(>0 

(2)若函数 ​ 有两个不相同的零点 ​ , 证明: ​ .
()
选考题
() ​ 1​, ​ 2 ​ ​1​ 2 <1
22. （10分）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
，
在平面直角坐标系 ​ 中，曲线 ​ 的参数方程是 ​ ( ​ 为参数)，正方形
，
=2+
  
​ 的顶点均在 ​ 上，且 ， ， ， ​ 依逆时针次序=排列， 点 ， ​ .
(1)求 ​ 的普通方程及点 ， ， ​ 的坐标；
      (3 0)
(2)设 ​ 为 ​ 上任意一点，求 ​ 的最小值.
   
2 2 2 2
23. （ 10分  ） ​ || +​ || +​ || +​ ||
[选修4-5：不等式选讲]
已知 ，，​ 为正实数， ​ .
(1)求证： ​ ； 2 2
   ​  +​  +=1
(2)求证：++​ .⩽ 3
1
⩽
8答案
1. B
【解析】
由题意，得 ，，，， ​ .
={1 2 3 4 5}
2. C
【解析】
由题意，得 ​ .则 ​ .
=−1 ||=1
3. C
【解析】
当 ​ 时 ​ 无解；
当 ​ 时， ​ 有解
>0 ()=0
， ​ 3
≤0 (​) = −= (+1)(−1)= 0
综上，函数 ​ 有 ​ 个零点.
​ 1 =​ 0 2 =−1.
() 2
4. D
【解析】
建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为 ​ .
则 ， ， 2 ， ​ .
故​∙     1 =4​ .​∙     1 =4​   1   ∙=3​   1   ​∙     1 =0
​ 1⊥​ 1
5. A
【解析】
​ , 即 ​ 为钝角, 故充分,
而若钝2角三角形中2 ​ 为钝角2, 则 ​ 为锐角,
​ ​ +​ ​ ​ −​ ​ ​ <​0 ⇒​ <0 
​ , 即有 ​ , 故不必要.
 
2 2 2
​ >0 ​ ​ +​ ​ ​ −​ ​ ​ >0
6. D
【解析】， ​ ，故 ​ 选项错误；
 2
()=−2 2− ( ∈)⇒ = = 
令 ，3 2 ， ​ ，
  5 
​ 2此−时对=应的+​不为(整∈数)，⇒= + ( ∈)
3 2 12 2
∵​ 直线 ​ 不为其对称轴，故 ​ 选项错误；

∴ = 
， ​ 上1，2 函数 ​ 单调递减，故 ​ 选项错误；
5
0 () 
将 12 ​ 的图象向左移 ​ 个单位得

()=22
12 ​
  
()=2 2+ =2 − 2+ ​
6 2 ​ .故D 6选项正确.
 
=2 −2 =−2 2−
3 3
7. B
【解析】
条件说明 ，​ 的夹角和 ， ​ 的夹角相等，作图知 ，​ 命题必有一个为真命题，故恒
为真命题的是 ​ .
     
∨
8. D
【解析】
​ .
1 1 2 1 2 1 5
()= − +​ ​ ≥​2 ​ ​∙ ​ − =
​9​ ​ 2  9 ​9​ ​ 2  9 9
9. D
【解析】
由题意，得 ​ .则 ​ 单调递增.
' 1
又 ​，​(当)=1+ >​ 0时， () ， ​ ；

当 ​ 时， ， ​ .
(1)=0 ∴ ()<0 ∈(0 1)
​ 时， ​ 的解集为 ， ​ .
()>0 ∈ (1 +∞)
又 ​ 为奇函数， ​ 为偶函数，
∴>0 ()>0 (1 +∞)
() ∴ ()​ 的解集为 ， ， ​ .
∴()>0 (−∞ −1)∪(1 +∞)
10.B
【解析】
理想情况下， ​ 人分为 ​ (人)和 ​ (人)，
3 2
​ 人中将有1400 ​ 人回答1“4否00”，∙ 则=840​ 人中有1400∙ =560 ​ (人)回答“否”， ​
5 5
人回答“是”
840 420 560 972−420=552 8
则问是否带手机的回答是人数约占 ​ ，
1
该校高三年级“带智能手机进入校园7”0的人数约为 ​ (人).
1
1400∙ =20
70
11.C
【解析】
如图为单位正四面体 ​ .
−
过点 ​ 作面 ​ 的垂线交面于点 ， ​ 为外接球球心，
则 ​ 为 ​ 的中心，
   
 △， ​ .
3 6
不妨=设 ∴​ .=
3 3
在 =​ 中，由勾股定理，得 ​ .解得 ​ .
2 2
6 3 2 6
△ ​ − +​ =​  =
​ 最大正三角形得边长为 ​ 3. 3 4
3 2
∴ 3=
4
12.A
【解析】
构 造 ​ , 则
2 ' ''
​  
()=​1−, −​, ​ ∈ 0​, ​ ()=−+​, ​  ()=
2 2
故−​1 ≤0
'  1
​ ​ ​. ​( ​ )< (0)=​0 ⇒ ()< (0)= 0​, ​ ∈ 0​, ​ ⇒  <​0 ⇒
2 4
> 由切线不等式
​ ​ ​ ​
​ ​ >​ ​ ​ +, 1​, ​ >​0 ⇒ 2−​ ​ ​ <1−​ ​ ⇒2−
1 1
​ 即​ ​ 3​1 <. 故2−​ ​ ​ ​ 32. < 31
32
>  > >
13.
​
1
【解析】
2
原式 ​ .
1 2 1
=  − = =
2 2 2
14.
​
【解析】
=
由题意，得 ​ 的切线方程为
' 1 1 ​ 0
， ​ ​ ()= ⇒() = − +​ 0−1 +
−1 ​ 0−1 ​ 0−1
当 ​ 时，此直线过原点，故函数 ​ 过原点的一条切线方程为 ​ .
​ 2 0 >0
​ 0 =2 () =
15.
​
【解析】
2 3
由题意，得 ​ .
， ​ 点 ​ 到抛物线准线的距离为 ​ .
||=2
​ 抛物线的准线方程为 ​ ，
∴||=4 ∴  4
， ​ 或 ， ​ ，
∵ =−1
​ .
∴(3 2 3) (3 −2 3)
∴||=2 3
16.
​
3
6
​ 【1解0析】
5
原 式
其中 ​
3 3 3
2 2 3
1 1 ​ ​4 ​ ​  4​( +1) 5
= ​ + ​ = ​ ​ =​ ​,  >
​ ​  ​3 −​5  (​3 −5) 3
令 ​
3
​( +1) 5
​ ​( ​ )= >
(​3 −5) 3则 ​
2 2
' ​( +1) [​3 (​3 −5)−(​6 −5)(+1)] ​( +1) (​3 −1)(−5)
​ ()= =
2 2
在正负性上等价 ​​[​, 故​此函(​3数在−5)] ​ 上单调递减​[, ​ ​ ​(​3上单−调5)递] 增.
5
​ −5 ​, 5 (5,+∞)
3
将 ​ 代入 ​ , 得原式 ​ .
3 3 3
4​( +1) 6
​ =5 ≥​ 10
(​3 −5) 5
17.
（2） ​

【解析】
6
(1)证明：由题意，得
面 面
面 面 ​ 面 ​ .
​ ​ ​ ​ ⊥ ​ ​ ​ ​
​ ​ ​ ​ ∩ ​ ​ ​ =​ ​ ​ ⇒ ⊥ ⇒⊥ 
​又 ​ ⊥​，​, ​ ​ ​⊂，​ ​ 
​ 面 ， ​ .
⊥  ∩= 
(2)建立如图坐标系：
∴⊥  ∴ ⊥ 
由题意, 得 ​ .
1 2 6
​ = 6​, ​ =1​, ​ = 2​,  ​, ​,
设面 ​ 的一个法向量 2​ , 2 2
 ​  ​    =​( ​ ​, ​ ​, ​ )
则由 ​
   ​ ​ =0​, ​ ​ =0​,
​ ⊥​ ​ ​, ​ ​​ ⊥​ ​​ ⇒ ​ ⇒
设 ​ . ​6 =0 ​ =​0 .

​ =​1 ⇒​ ​ =(0,1,0)
同理求得面 ​ 的一个法向量 ​ .
 ​  ​  ​ 1 =(0​, 3,−1)
则  ​ .

<​, ​


1
>=
​ ​∙



1
 = ​
3
⇒ =

 1 2 6
|​| ​∙ 
则二面角 ​ 的大小为 ​ .

​ −​ ​ −​ 
6
18.（1） ​

=
（2） 3 ​

​ =2,=
【解析】 2
(1)由题意，得 ， ​ .
2 2 2
​ 3=2 ​ 2​ ，+​ 2 =5
2 2 2
​  ​+  ​−  1
∴= =
​ . 2 2

∴(2)将= 3 ​ 代入(1)中两式，得 ， ​ .
， ​ . 2 2
= 3 =2 ​2  +​ 2 =5
当 ​ 时，解得 ， ​ ；
∴=2 (2−)(−2)=0
当 ​ 时，解得 ， ​ .
2= =1 =2
又 ​ ， ， ， ​ .
=2  =1 =2
>  ∴ > ∴ =2 ​ ，=1
2 2 2
​  ​+  ​− 
∴= =0
​ . 2

∴=
综上，2
​ .

​ =2,=
2
19.
证明：
(1)由题意，得 ​ .
则 2 ​ .
​ 2 =​ 2+​ −
两式相减，得 2 ， ， ​ ，
​ 2−1 =2(−1​) −1+−1−​( −1)
即 ， ， ​ ， ∗
(2−2​) −(2−2​) −1 =2−2 ≥ 2 ∈​ 
​ 是等差数列. ∗
​ −​ −1 =1 ≥ 2  ∈​ 
∴(2​)  ​ ，
！
1 1 1
∵ = ≤
−1
​   ​ 2 ​
 1  1 1
∴​ ∑=1 ≤​ ∑=1 =2 1− <2.
−1 
​  ​ 2 ​ 2
20.
(1) ​ .
2
​  2
​ +  = 1
(2) 4， ​ 或 ， ​ 或 ， ​ .
8 12
(0【解0)析】 0 0
5 5(1)由题意，得 ， ​
2 2 2 2
​  ​  ​−  ​ 
=1 −= =
  ​ . 
3 2 2 2
= ⇒= 3⇒​  =​  +​  =4
即椭3圆 ​ 的方程为 ​ .
2
​  2
(2)当  ​ 轴时，此时​ 点+​ 不存=在1；
4
当 ​ 不平行 ​ 轴时，不妨设 ： ， ， ​ .
// 
联立直线 ​ 和椭圆C的方程，得 ​ .
   = + ( 0)
则 2 2 ​ . 2
 ​  +4​  +​ 2+ −4=0
2 2 2 2
由韦Δ=达1定6​理，得+4−​  >0 ⇒​  ​<​.  +4
−2
设 ​ 的中点​为  ​ 1 ，+​ 则2 = 2 ​ .
​  +4
  ​ ​ ⊥​ ​, ​2 ​ <​ ​ ​, ​ >=|​ |
​ .
2 2
2|1−| 2 16​  +4​− 
∴ =​  +1
2
2 ​  +4
​  +1
结合直线 ​ 和 ​ ，得 ， ​ .
4 −
 ​ 1+​ 2  2 2
​ ，​  +4 ​  +4
​ ​− 
∴⊥ ⇒ =−
即 ​ ​−​ .

2 =− 
若​  +​ 4−，4则 ​ ，
2
​  +4
 ≠0 =
3
将 ​ 代入 ​ ，解得 ​ .
2 2
16​  +4​− 
​  2 +4 2|1−| 2 2 16
= = ​  + 1 2 ​  =
3 2 ​  +4 5
​  +1
​ .经验证：符合 ​ ，此时点 ​ 的坐标为 ， ​ ；
12 12
∴​ 1 = Δ>0  0
5 5
若 ， ​ ，即 ​ ，解
2 2
2|1−| 2 16​  +4​−  2
=0 =​  +1 2 2|1−|= 4−​ 
2 ​  +4
​  +1
得 ， ​ .
8
​ 1 =0​ 2 =
经验证：符合 ​ 5，此时点 ​ 的坐标为 ， ​ 或 ， ​ .
8
Δ>0  (0 0) 0
综上所述，符合条件的点 ​ 的坐标有 ， ​ 或 ， 5​ 或 ， ​ .
8 12
 (0 0) 0 0
5 5
21.
(1)由题意，得 ， ​ .
'  −1 ''  2(−1)
​ (​) = −1− (>0​)  (​) = + >0
2 3
​  ​ 又 ​ ，
​ 在' ， ​ 上， ​ ，在 ， ​ 上， ​ ，
​ (1)= 0
​ 在 ， ​ 上单' 调递减， ， ​ 上单调递增.'
∴ (0 1) ​ ()<0 (1 +∞) ​ ()>0
∴(2)由(()1)的结(0论不1)妨有 (1 +∞，) ​ .
1
0<​ 1 <1<​ 2​ ​1 2 <1⇔​ 2 <
又 ， ​ 均 ， ​ ， ​ 1
1
​ 2 ∈(1 +∞)
只需证 ​ 1 ， ， ​ .
1 1
​ 2 < ⇔​ 1 < ​ 1 ∈(0 1)
构造函数 ​ 1 ​ 1 ， ， ​ .
1
1   
()= ()− =​  −​  + − ∈ (0 1)
 
则 ​
'  ​  1   ​  2 ​   −​ + 1  −
​ (​) = + − −=
2 2 2
​  ​  ​ 
​ ，
1
​   ​− + 1  − 2​  + −2 2​  2 −2
≥当
​
时2，等号成≥立，不能2取到，≥
2
=0
​  ​  ​ 
故 ​ ，
=1
'
说​ 明()>0 ⇒ ()< (，1)=0 ， ​ 恒成立，结论得证.
1
​ 1 < ​ 1 ∈(0 1)
​ 1
22.
(1)曲线 ​ 的普通方程为 ​ ；
， ， ， ， ， ​ 2. 2
 ​( −2) +​  =1
(2) ​ .
(2 1) (1 0) (2 −1)
【解析】
4
(1)曲线 ​ 的普通方程为 ​ ；
， ， ， ， ， ​ 2. 2
 ​( −2) +​  =1
(2)设 ， ​ .
(2 1) (1 0) (2 −1)
原 式
( )
​ 2 2 2 2 2 2 2
=​( −3) +​  +​( −2) +​( −1) +​( −1) +​  +​( −2) +
2 ​ .
​( +1)
当 ，2 ​ 时取等号，其2 最小值为 ​ .
=​ 4 −16​ +4 +20≥−16+0+20=4
(2 0) 4
23.
证明：(1)由三元柯西不等式，得
原式 ​ .
2 2 2 2 2 2
= ​( ++ ) ≤ ​ 1 +​ 1 +​ 1 ​  +​  + = 3
当 ​ 时，取等号.
3
== =
3(2)由平均不等式，得
​
4
2 2 2
2 2   ​ ​ ​ 
​ 1=  +​  + + ≥4
整理，得 ​ 2. 2 4
1
≤
当 8​ 时，取等号.
1
== =
2