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2022 年“西南汇”联考 2023 届高三第一学期开学考
理科数学
总分:150分
单选题（5分*12）
1. 设集合 ， ， ，， ，则( )
A. ={1 3} B . ={2 4 5} C. D.
2.1设∉复 数 满足 ，2则∈ ( ) 3∉ 4∉
−1
= | |=
A. 2 B. C. D.
3 1
3. 2函数 的零点共有( ) 1
2 2
3
A. 个 ( ) = +| | B. 个 C. 个 D. 个
4.0 已知正方体 1 中， ，2 分別为 ，3 的中点，则( )
A. − 1B. 1 1 1 1 1
C. D.
⊥ 1 ⊥ 1
5. 已 知1 ⊥ 的内角 的 1对 边 ⊥ 分 别 是1 ,则“ ”是“ 是钝
2 2
角三角形△” 的 , , , , + − <0 △
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 已知函数 ，下列说法正确的是( )
A. 的最 ( 小 ) 正 = 周期 3 是 2 − 2
B. ( ) 的图象关于直线 2 对称
( ) =
C. 在区间 ， 上单1调2 递增
( ) 0
D. 的图象可由2 的图象向左平移 个单位得到
( ) =2 2
7. 已知 ，，， 均为单位向量，且满足 ，命题 ： ，命题 ：
12
， 则下 列 命题 恒为真命题的是( ) ∙ = ∙ ∙ = ∙ ∙ =
A .∙ B.
C. D.
¬ ∨ ∨
8. 函∧数 ¬ ∧¬ 的最小值为( )
1 2 2 5
( )= ( + )+ +
A. 9 B. 2 C. D.
1 1 5
0
9. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式
4 3 9
的 (解 )集为( ) >0 ( )= −1+
A .( )>，0 ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
(−∞ −1)∪(0 1) (−1 0)∪(0 1)
(−1 0)∪(1 +∞) (−∞ −1)∪(1 +∞)10. 已知某校高三年级共 人，按照顺序从 到 编学号.为了如实了解学生“是否有
带智能手机进入校园的行1为4”0，0 设计如下调查方案1：先从1装40有0 个黑球和 个白球的不透明盒
子中随机取出 个球，如果是白球，回答问题一；否则回答2问题二.问题如3下：一、你的学号的
末位数字是奇数1吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级 人全部参与
调查，经统计：有 人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高三年级“带智能手14机00进入校园”的人
数大概为( ) 972
A. B. C. D.
11.8 单位正四面体的外接球内接 20 的最大正三角形边长 14 为 8( ) 247
A. B.
3 6
C. 4 D.4
3 2 3 6
12.4 4 , 则（ ）
1
A. = 1 , = 3 1 , B. =2− 31
4 32
C. D.
> > > >
填 空 > 题 （ >5 分*4） > >
， ，
13. 已知函数 则 ____________.
， ，
2 <0
( )= 2 12 =
14. 函数 ⩾0的一条过原点的切线方4 程为____________.
15. 设 (是 )抛=物 线( −：1)+2 的焦点，点 在抛物线 上， ， ，若 ，
2
则 _________ ___. =4 (3 0) | |=2| |
| |=
16. 已 知 正 实 数 满 足 , 则 的 最 小 值 为
2 2 1 1
, 3 −5 =4 +
____________.
解答题部分70分
17. （12 分）在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 是
∘
的中点. − ⊥ ∠ =∠ =90
(1 )证明： ；
(2)若 ，求二面角 的大小.
⊥
= 6 = 3 = 6 − −
18. （12 分）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ，，，
△ 3 =， .
2 2 2
2(1)求 ； 2 +2 =5
(2)若 ， ，求 .
19. （ 1>2分 ） 记 = 数列 3 , 前 项和为 ， .
2
(1)证明： 为 等差 数 列； 2 + = 2 +
(2)若 ，记 为数列 的前 项积，证明： .
1
1 =1 ∑ =1 <2
20. （12分）设椭圆 ： ，右焦点 ， ， 短轴长为 ，直线
2 2
2 + 2 =1 ( > >0) ( 0) 2
与 轴的交点到 右焦点 的距离为 .
2 3
(1=)求 的方程 ；
3
(2)点 ， ， ， 均在 上，且满足 ， ，若 与 轴交点为 ，求
满足条件的点 的坐标.
(1 0) ⊥ =
21. （12分）设 函数 ， 为常数).
−1
(1)讨论 的单调 性( ；)= − + + ( >0
(2)若函数 有两个不相同的零点 , 证明: .
( )
选考题
( ) 1, 2 1 2 <1
22. （10分）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
，
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 ( 为参数)，正方形
，
=2+
的顶点均在 上，且 ， ， ， 依逆时针次 序=排 列 ， 点 ， .
(1)求 的普通方程及点 ， ， 的坐标；
(3 0)
(2)设 为 上任意一点，求 的最小值.
2 2 2 2
23. （ 10分 ） | | + | | + | | + | |
[选修4-5：不等式选讲]
已知 ，， 为正实数， .
(1)求证： ； 2 2
+ + =1
(2)求证： + + . ⩽ 3
1
⩽
8答案
1. B
【解析】
由题意，得 ，，，， .
={1 2 3 4 5}
2. C
【解析】
由题意，得 .则 .
=−1 | |=1
3. C
【解析】
当 时 无解；
当 时， 有解
>0 ( )=0
， 3
≤0 ( ) = − = ( +1)( −1)= 0
综上，函数 有 个零点.
1 = 0 2 =−1.
( ) 2
4. D
【解析】
建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为 .
则 ， ， 2 ， .
故 ∙ 1 =4 . ∙ 1 =4 1 ∙ =3 1 ∙ 1 =0
1 ⊥ 1
5. A
【解析】
, 即 为钝角, 故充分,
而若钝2角三角形中2 为钝角2, 则 为锐角,
+ − <0 ⇒ <0
, 即有 , 故不必要.
2 2 2
>0 + − >0
6. D
【解析】， ，故 选项错误；
2
( )=−2 2 − ( ∈ )⇒ = =
令 ，3 2 ， ，
5
2此 −时对=应的+ 不为( 整∈数 )，⇒ = + ( ∈ )
3 2 12 2
∵ 直线 不为其对称轴，故 选项错误；
∴ =
， 上1，2 函数 单调递减，故 选项错误；
5
0 ( )
将 12 的图象向左移 个单位得
( )=2 2
12
( )=2 2 + =2 − 2 +
6 2 .故D 6选项正确.
=2 −2 =−2 2 −
3 3
7. B
【解析】
条件说明 ， 的夹角和 ， 的夹角相等，作图知 ， 命题必有一个为真命题，故恒
为真命题的是 .
∨
8. D
【解析】
.
1 1 2 1 2 1 5
( )= − + ≥2 ∙ − =
9 2 9 9 2 9 9
9. D
【解析】
由题意，得 .则 单调递增.
' 1
又 ， ( 当)=1+ > 0时， ( ) ， ；
当 时， ， .
(1)=0 ∴ ( )<0 ∈(0 1)
时， 的解集为 ， .
( )>0 ∈ (1 +∞)
又 为奇函数， 为偶函数，
∴ >0 ( )>0 (1 +∞)
( ) ∴ ( ) 的解集为 ， ， .
∴ ( )>0 (−∞ −1)∪(1 +∞)
10.B
【解析】
理想情况下， 人分为 (人)和 (人)，
3 2
人中将有1400 人回答1“4否00”，∙ 则=840 人中有1400∙ =560 (人)回答“否”，
5 5
人回答“是”
840 420 560 972−420=552 8
则问是否带手机的回答是人数约占 ，
1
该校高三年级“带智能手机进入校园7”0的人数约为 (人).
1
1400∙ =20
70
11.C
【解析】
如图为单位正四面体 .
−
过点 作面 的垂线交面于点 ， 为外接球球心，
则 为 的中心，
△， .
3 6
不 妨=设 ∴ .=
3 3
在 = 中，由勾股定理，得 .解得 .
2 2
6 3 2 6
△ − + = =
最大正三角形得边长为 3. 3 4
3 2
∴ 3 =
4
12.A
【解析】
构 造 , 则
2 ' ''
( )=1−, − , ∈ 0, ( )=− + , ( )=
2 2
故 −1 ≤0
' 1
. ( )< (0)=0 ⇒ ( )< (0)= 0, ∈ 0, ⇒ <0 ⇒
2 4
> 由切线不等式
> +, 1, >0 ⇒ 2− <1− ⇒2−
1 1
即 31 <. 故2− 32. < 31
32
> > >
13.
1
【解析】
2
原式 .
1 2 1
= − = =
2 2 2
14.
【解析】
=
由题意，得 的切线方程为
' 1 1 0
， ( )= ⇒ ( ) = − + 0−1 +
−1 0−1 0−1
当 时，此直线过原点，故函数 过原点的一条切线方程为 .
2 0 >0
0 =2 ( ) =
15.
【解析】
2 3
由题意，得 .
， 点 到抛物线准线的距离为 .
| |=2
抛物线的准线方程为 ，
∴| |=4 ∴ 4
， 或 ， ，
∵ =−1
.
∴ (3 2 3) (3 −2 3)
∴| |=2 3
16.
3
6
【1解0析】
5
原 式
其中
3 3 3
2 2 3
1 1 4 4( +1) 5
= + = = , >
3 −5 (3 −5) 3
令
3
( +1) 5
( )= >
(3 −5) 3则
2 2
' ( +1) [3 (3 −5)−(6 −5)( +1)] ( +1) (3 −1)( −5)
( )= =
2 2
在正负性上等价 [, 故 此函(3数在 −5)] 上单调递减[, (3上 单−调5)递] 增.
5
−5 , 5 (5,+∞)
3
将 代入 , 得原式 .
3 3 3
4( +1) 6
=5 ≥ 10
(3 −5) 5
17.
（2）
【解析】
6
(1)证明：由题意，得
面 面
面 面 面 .
⊥
∩ = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
又 ⊥ ， , ⊂，
面 ， .
⊥ ∩ =
(2)建立如图坐标系：
∴ ⊥ ∴ ⊥
由题意, 得 .
1 2 6
= 6, =1, = 2, , ,
设面 的一个法向量 2 , 2 2
=( , , )
则由
=0, =0,
⊥ , ⊥ ⇒ ⇒
设 . 6 =0 =0 .
=1 ⇒ =(0,1,0)
同理求得面 的一个法向量 .
1 =(0, 3,−1)
则 .
< ,
1
>=
∙
1
=
3
⇒ =
1 2 6
| | ∙
则二面角 的大小为 .
− −
6
18.（1）
=
（2） 3
=2, =
【解析】 2
(1)由题意，得 ， .
2 2 2
3 =2 2 ，+ 2 =5
2 2 2
+ − 1
∴ = =
. 2 2
∴(2) 将= 3 代入(1)中两式，得 ， .
， . 2 2
= 3 =2 2 + 2 =5
当 时，解得 ， ；
∴ =2 (2 − )( −2 )=0
当 时，解得 ， .
2 = =1 =2
又 ， ， ， .
=2 =1 =2
> ∴ > ∴ =2 ，=1
2 2 2
+ −
∴ = =0
. 2
∴ =
综上，2
.
=2, =
2
19.
证明：
(1)由题意，得 .
则 2 .
2 = 2 + −
两式相减，得 2 ， ， ，
2 −1 =2( −1) −1+ −1−( −1)
即 ， ， ， ∗
(2 −2) −(2 −2) −1 =2 −2 ≥ 2 ∈
是等差数列. ∗
− −1 =1 ≥ 2 ∈
∴(2) ，
！
1 1 1
∵ = ≤
−1
2
1 1 1
∴ ∑ =1 ≤ ∑ =1 =2 1− <2.
−1
2 2
20.
(1) .
2
2
+ = 1
(2) 4， 或 ， 或 ， .
8 12
(0【解0)析】 0 0
5 5(1)由题意，得 ，
2 2 2 2
−
=1 − = =
.
3 2 2 2
= ⇒ = 3⇒ = + =4
即椭3圆 的方程为 .
2
2
(2)当 轴时，此时 点+ 不存=在1；
4
当 不平行 轴时，不妨设 ： ， ， .
//
联立直线 和椭圆C的方程，得 .
= + ( 0)
则 2 2 . 2
+4 + 2 + −4=0
2 2 2 2
由韦Δ=达1定6理， 得+4− >0 ⇒ <. +4
−2
设 的中点为 1 ，+ 则 2 = 2 .
+4
⊥ , 2 < , >=| |
.
2 2
2|1− | 2 16 +4−
∴ = +1
2
2 +4
+1
结合直线 和 ，得 ， .
4 −
1+ 2 2 2
， +4 +4
−
∴ ⊥ ⇒ =−
即 − .
2 =−
若 + 4−，4则 ，
2
+4
≠0 =
3
将 代入 ，解得 .
2 2
16 +4−
2 +4 2|1− | 2 2 16
= = + 1 2 =
3 2 +4 5
+1
.经验证：符合 ，此时点 的坐标为 ， ；
12 12
∴ 1 = Δ>0 0
5 5
若 ， ，即 ，解
2 2
2|1− | 2 16 +4− 2
=0 = +1 2 2|1− |= 4−
2 +4
+1
得 ， .
8
1 =0 2 =
经验证：符合 5，此时点 的坐标为 ， 或 ， .
8
Δ>0 (0 0) 0
综上所述，符合条件的点 的坐标有 ， 或 ， 5 或 ， .
8 12
(0 0) 0 0
5 5
21.
(1)由题意，得 ， .
' −1 '' 2( −1)
( ) = −1− ( >0) ( ) = + >0
2 3
又 ，
在' ， 上， ，在 ， 上， ，
(1)= 0
在 ， 上单' 调递减， ， 上单调递增.'
∴ (0 1) ( )<0 (1 +∞) ( )>0
∴(2) 由( ()1)的结(0论不1)妨有 (1 +∞，) .
1
0< 1 <1< 2 1 2 <1⇔ 2 <
又 ， 均 ， ， 1
1
2 ∈(1 +∞)
只需证 1 ， ， .
1 1
2 < ⇔ 1 < 1 ∈(0 1)
构造函数 1 1 ， ， .
1
1
( )= ( )− = − + − ∈ (0 1)
则
' 1 2 − + 1 −
( ) = + − − =
2 2 2
，
1
− + 1 − 2 + −2 2 2 −2
≥当
时2，等号成≥立，不能2取到，≥
2
=0
故 ，
=1
'
说 明 ( )>0 ⇒ ( )< (，1)=0 ， 恒成立，结论得证.
1
1 < 1 ∈(0 1)
1
22.
(1)曲线 的普通方程为 ；
， ， ， ， ， 2. 2
( −2) + =1
(2) .
(2 1) (1 0) (2 −1)
【解析】
4
(1)曲线 的普通方程为 ；
， ， ， ， ， 2. 2
( −2) + =1
(2)设 ， .
(2 1) (1 0) (2 −1)
原 式
( )
2 2 2 2 2 2 2
=( −3) + +( −2) +( −1) +( −1) + +( −2) +
2 .
( +1)
当 ，2 时取等号，其2 最小值为 .
= 4 −16 +4 +20≥−16+0+20=4
(2 0) 4
23.
证明：(1)由三元柯西不等式，得
原式 .
2 2 2 2 2 2
= ( + + ) ≤ 1 + 1 + 1 + + = 3
当 时，取等号.
3
= = =
3(2)由平均不等式，得
4
2 2 2
2 2
1= + + + ≥4
整理，得 2. 2 4
1
≤
当 8 时，取等号.
1
= = =
2
