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专题 09 降维法
降维法在高中物理中是一种常用的解题方法，主要用于处理三维空间中的问题。对于处理三维空间的
平衡问题、三维空间的抛体运动、三维空间的电磁组合场问题、三维空间几何光学问题，其核心思想是将
三维问题降维为二维问题，可以更容易地找到各物理量之间的关系，从而求解问题。
应用降维法的一般步骤：
（1）理解问题：首先需要明确问题的本质，判断是否需要使用降维法。对于某些三维空间中的问题，
如果可以通过选取合适的平面进行观察，将问题转化为二维问题，那么降维法可能是一个有效的解题策略。
（2）选择合适的平面：选择两个合适的平面去观察问题。
（3）求解问题：在选定的平面上，分别对问题进行求解。这可能涉及到物理定律的应用、数学运算
等步骤。
（4）整合结果：最后，将不同平面上求解的结果进行整合，得出最终的答案。
方法一：用降维法处理三维空间平衡问题
【方法演练1】如图，是匀速吊起装饰用的石球的示意图。装置底部为圆形绳套，A、B、C、D是圆上四
等分点，侧面OA、OB、OC、OD是四条完全相同、不可伸长的轻绳。O点在石球球心的正上方0.5m处，
石球半径为0.3m，石球表面视为光滑、重力为G。下列说法正确的是（ ）A．若侧面绳长不变，减小圆形绳套的半径，绳的弹力减小
B．OB绳的弹力大小为
C．若圆形绳套不变，将侧面四根绳子各减小相同的长度，OC绳的弹力增大
D．若减速向上提升石球，OD绳的弹力大于
【答案】C
【详解】AB．取某一段绳分析，如图
则 由平衡得 得 每段绳拉力均为 。若侧面绳长不变，减小圆形绳套的半
径，则 变大，绳弹力变大，AB错误；
C．若圆形绳套不变，将侧面四根绳子各减小相同的长度，则 变大，OC绳的弹力增大，C正确；
D．若减速向上提升石球，根据牛顿第二定律 可知 ，D错误。故选C。
方法二：用降维法处理三维几何光学问题
【方法演练2】边长为a的立方体透明材料中心O处安装一红色点光源， 点为上表面的中心，从该透明
材料表面任意位置均可看到该点光源发出的光，且通过立方体顶点看到的光源极暗，光在真空中的传播速
度为c，不考虑二次反射，则（ ）A．该透明材料对红光的临界角
B．红光在该透明材料中的折射率
C．红光从透明材料中射出的最短时间为
D．若点光源换成紫光，透明材料表面有光出射的区域面积将保持不变
【答案】B
【详解】AB．根据题意结合几何关系可知该透明材料对红光的临界角的正弦值
根据 可得 ； 故B正确，A错误；
C．红光在介质中的传播速度 红光从透明材料中射出的最短时间 故C错误；
D．介质对紫光的折射率大于红光的折射率，若点光源换成紫光，临界角变小，透明材料表面有光出射的
区域面积将变小，故D错误。故选B。
方法三：用降维法处理三维抛体运动问题
【方法演练3】如图所示，某同学将离地 的网球以 的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距
离 。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为 的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面
速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取 ，网球碰墙后的速度
大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（ ）A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】设网球飞出时的速度为 ，竖直方向 代入数据得
则 排球水平方向到 点的距离
根 据 几 何 关 系 可 得 打 在 墙 面 上 时 ， 垂 直 墙 面 的 速 度 分 量
平行墙面的速度分量 反弹后，垂直墙面的速度分量
则反弹后的网球速度大小为 网球落到地面的时间
着地点到墙壁的距离 故BD正确，AC错误。故选BD。
方法四：用降维法处理三维组合场问题
【方法演练4】某粒子分析装置的核心结构如图所示。在空间三维直角坐标系O-xyz中，由6面荧光屏构成
的长方体容器OPMN-EFGH安装在坐标原点O处，OP边与x轴重合，长方体的长、宽、高分别为2a、
a、2a，整个空间存在方向沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在MNHG面的中心S处有一粒
子源，可以在平行于xOy的平面内向容器内各个方向均匀发射相同速率的带电粒子，已知带电粒子的比荷
为 ，有二分之一的粒子打在OPFE面上激发荧光屏发光，PMGF面刚好没有发光。粒子打在荧光屏
上后即被吸收，重力不计。下列说法正确的是（ ）A．粒子源发射的粒子带负电，速率为v=2kBa
B．有六分之一的粒子打在MNHG面上激发荧光屏发光
C．有三分之一的粒子打在ONHE面上激发荧光屏发光
D．打到S的正对过OPFE面中心Sʹ点的粒子，所用的时间跟打在棱边HN上的粒子运动的时间相同
【答案】BCD
【详解】A．粒子源在平行于xOy的平面内向容器内各个方向均匀发射相同速率的带电粒子，磁场方向沿z
轴正方向，可知粒子只在平行于xOy的平面内运动。画出过S点、平行于xOy平面的面E'F'G'H'和运动轨
迹图，如图所示。
由题意知，粒子射出后向速度方向的右侧偏转，利用左手定则可判断粒子带正电。由题意E'F'边上有二分
之一的粒子打入， 边上刚好没有粒子射入，最边缘粒子分别沿x轴的正方向和y轴的正方向射入磁场，
入射速度夹角为 范围，在E'点和F'点分别与E'F'和 边相切射出，根据几何关系可知，粒子运动的
轨迹半径为 由 代入数据解得 故A错误；B．根据粒子的运动轨迹，可知打在 边上的粒子速度方向的最大入射角为 ，所以可知有六分之一的
粒子打在MN-HG面上，故B正确；
C．由图根据几何关系可知，打在 的粒子，从粒子源射出时的速度方向夹角为 ，所以有三分之一的
粒子打在ONHE面上，故C正确；
D．由图知，打到S的正对OPFE面中心 点的粒子，和打在棱边HN上即 点的粒子，它们的运动轨迹
所对应的弦长相等，所以圆心角相等，在磁场中运动的时间相等，故D正确。故选BCD。
1．如图所示，某楼顶为玻璃材料的正四面体。一擦子由智能擦玻璃机器人牵引，在外侧面由A点匀速运
动到BO的中点D。已知擦子与玻璃间的动摩擦因数为 ，则运动过程中擦子受的牵引力与其重力的比值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设ABO平面与水平面的夹角为 ，做AB中点E，设AB=2a，则
设 垂直于ABC所在平面，且 在ABC所在平面内，则可得 ；
则 ； 将重力分解成沿平面和垂直于平面，在平面上受力分析如图f在AD方向，可知 ，有 ； ；
解得 故选A。
2．如图所示为一个边长为a的实心透明正立方体，在正立方体底面正方形中心O点放置一个单色点光源，
该点光源发出的部分光通过透明正立方体折射出来。已知该单色光在透明正立方体材料中的折射率为n=
，真空中的光速为c。下列说法中正确的是（ ）
A．从O点发出的光传播到正立方体侧面ABB′A′各点所需时间相等
B．从O点发出的光传播到正立方体上表面需要的最短时间为
C．观察者从左向右观察，在ABB′A′面上看到的亮斑面积为
D．观察者从上向下观察，在ABCD面上看到的亮斑面积为
【答案】C
【详解】A．从O点发出的光传播到正立方体侧面ABB′A′各点的距离不相等，所以时间不相等，A错误；B．单色光在透明介质中传播的速度为 光到达上表面需要的最短时间为 ，B错误；
C．由题意可知，观察者从左向右观察，在ABB′A′面上看到的亮斑形状为一个半圆，设半圆的半径为 ，全
反射的临界角为 ，有 则 ； 亮斑面积为 ，C正
确；
D．观察者从上向下观察，在ABCD面上看到的亮斑面积为一个圆，半径为 面积为
，D错误。故选C。
3．如图所示，在倾角为 的粗糙斜面上放一物体重力为 ，斜面为矩形。现在用于底边 平行的
恒力 推物体，物体恰好能沿斜面的对角线 做匀速直线运动。已知 、 ，
， ， 。（ ）
A．斜面对物体的支持力 B．斜面对物体的摩擦
C．物体与斜面间的动摩擦因数 D．推力
【答案】AD【详解】A．将重力分解到垂直与斜面方向，与支持力平衡，则有 故A正确；
BCD．位于平面ABCD内的受力分析如图所示
根据共点力的平衡有 ； 联立解得 ， 又 解得物体与
斜面间的动摩擦因数 故BC错误，D正确。故选AD。
4．如图为一种新型粒子收集装置，粒子源放置在边长为L的立方体abcda'b'c'd'中心O，立方体四个侧面均
为荧光屏，上下底面，aa'bb'、cc'dd'为空，过中心O的竖直面efgh平行于abcd并将立方体分为I、II两个
区域，立方体处在方向竖直向下的匀强磁场中，粒子源静止时能沿单一水平方向持续均匀发射比荷为 的
带正电粒子，现使粒子源绕竖直轴逆时针匀速转动，且粒子源射入I、II区域的粒子初速度大小分别为2v
0
和3v，粒子打到荧光屏上后即被荧光屏吸收，不考虑粒子间的相互作用和荧光屏吸收粒子后的电势变化，
0
不计粒子源的尺寸大小和粒子重力。下列说法正确的是（ ）A．若磁场的磁感应强度为B，当无粒子打到荧光屏上时，
0
B．若磁场的磁感应强度为B，当无粒子打到荧光屏上时，
0
C．为使粒子源发射的粒子仅有50%能打到荧光屏上，
D．为使粒子源发射的粒子仅有50%能打到荧光屏上，
【答案】BC
【详解】AB．考虑以3v 运动的粒子，恰与屏相切，则 ，粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
0
解得 则 时无粒子打到荧光屏上，A错误，B正确；
CD．由于粒子源是持续均匀发射粒子，若仅有50%的粒子能打到荧光屏上，只能是速度为3v 的粒子，而
0
速度为2v 的粒子不能打到荧光屏上，当速度为2v 的粒子恰好不能打到荧光屏上时，此时磁感应强度有最
0 0
小值B，粒子运动半径 ，粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 解得
1
当速度为3v 的粒子刚好能全部打到光屏上时，此时磁感应强度有最大值B，设粒子运动半径为r，其运
0 2 2
动轨迹如图（俯视）所示，根据几何关系有
解 得 粒 子 在 磁 场 中 做 匀 速 圆 周 运 动 ， 有 解 得
则 ，C正确，D错误。故选BC。5．如图甲所示，某仪器的外壳盖板（不透明）厚度为d，需要在其圆孔上镶嵌玻璃，玻璃的前、后面要与
仪器外壳的内、外两面平齐，要求能够通过该玻璃观察到仪器内部的所有地方（小孔所在的外壳内壁除外，
观察时打开仪器内的光源）。为了确定所镶嵌玻璃的直径，设计人员先测量所用玻璃材料的折射率，他们
先把该玻璃切割成如图乙所示的正方体形状，让一束光射向正方体玻璃上表面的中心，当入射角为60°时，
光进入正方体玻璃后恰好射向其中的一个顶点。下列说法正确的是（ ）
A．所用玻璃材料的折射率为1.5 B．所用玻璃材料的折射率为
C．所镶嵌玻璃的直径至少为 D．所镶嵌玻璃的直径至少为
【答案】AC
【详解】AB．测量折射率时，光在正方体玻璃中的传播路径如图甲所示，设正方体的棱长为a，折射角为
，则 折射率 故A正确，B错误；
CD．能够通过该玻璃观察到仪器内部的所有地方的临界光如图乙所示 所镶嵌玻璃的直径至
少为 故C正确，D错误。故选AC。6．如图， 为斜面顶端的水平边沿，子弹从斜面最低点A处以一定速度射出，经过一段时间恰好水平击
中D点，不计空气阻力，已知斜面的倾角为 ，重力加速度为g， ，长度 ， 长度
，求枪口瞄准点C距离D点的高度（C点在D点的正上方）。
【答案】
【详解】由题意 知 ；
设 与 之间的夹角为 ， ； ；解得 又 解得 ；
7．如图所示，在一次红、蓝两军的对抗模拟演习中，携带炸弹的红军飞机（可视为质点）在蓝军上空飞
行，飞行高度 ，飞机的速率 。蓝军地面上A点位置固定着一门高射炮（可视为质点），
A点与飞机原飞行路径（直线 ）在水平面上竖直方向的投影（直线 ）间的距离 。已知
重力加速度 ，空气对炮弹、炸弹的阻力均不计。
（1）若高射炮发射2s后，炮弹正好到达直线MN上的B点，求高射炮发射炮弹的初速度方向与水平方向
的夹角的正切值。
（2）若红军飞机在炮弹飞过后到达B点，并且发现高射炮的位置A点，飞行员立即驾驶飞机从B点开始
在水平面内做匀速圆周运动，并在最短时间内在恰当的位置释放一枚炸弹（炸弹释放时具有与飞机相同的
速度），炸弹正好落在A点。求飞机做圆周运动的半径大小。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）设炮弹初速度方向与水平方向的夹角为 ，炮弹从A点到B点经过的时间为t
竖直方向有 水平方向有 解得
（2）炸弹离开飞机后做平抛运动，设炸弹下落的时间为 水平方向有 竖直方向有
解得 ； 设飞机先携带炸弹做半径为R的圆周运动，到达C点时释放炸弹，炸弹从C点做
平抛运动到A点，整个过程的俯视图如图所示
根据几何关系有 解得8．边长为 的立方体空间内有竖直向下的匀强电场 。现有大量的同种粒子同时从立方体的中心 点射
向空间各个方向，其中一个沿水平面内射出的粒子恰好击中 点。粒子均带正电，射出时速度的大小相等，
粒子的比荷为 。不计粒子重力以及粒子间的相互作用。求：
（1）粒子射出时的初速度的大小 ；
（2）从 点竖直向上和竖直向下射出的两粒子飞离立方体的时间间隔 ；
（3）若粒子从 点正上方 处的 射出，立方体上表面有粒子到达的面积S。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）沿水平面内射出的粒子恰好击中 点，根据类平抛运动规律可知 ；
其中 解得
（2）从 点竖直向上的粒子，根据速度—位移关系可知 解得
