专题15最值模型专项训练学生版_初中数学_八年级数学下册（人教版）_常见几何模型全归纳-V13_2024版

专题 15 最值模型专项训练 本专题主要包含最值模型：将军饮马模型、将军遛马（造桥）模型、费马点模型、瓜豆原理（直线轨迹）、 胡不归模型等。（共40题） 1．（2023春·山东八年级期末）如图，已知点 ， ， ， ， 为直线 上一 动点，则 的对角线 的最小值是（ ） A． B．4 C．5 D． 2．（2023·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为 的正方形 中， 是边 的中点， 是边 上的一 个动点 不与 重合 ，以线段 为边在正方形内作等边 ， 是边 的中点，连接 ，则在点 运动过程中， 的最小值是（ ） A． B． C． D． 3．（2023·山东泰安·统考二模）如图，矩形 的边 ，E为 上一点，且 ，F为 边上的一个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则 的最小值为（ ）A． B． C．3 D． 1 4．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣ x+2上的一个动点，将Q 2 Q OQ OQ 绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点 ，连接 ，则 的最小值为( ) 4 5 5 2 6 5 A． 5 B． 5 C． 3 D． 5 5．（2023·重庆沙坪坝·八年级校联考期末）如图， 为正方形 边 上一点， ， ， 为对角线 上一个动点，则 的最小值为（ ） A．5 B． C． D．10 6．（2023·四川德阳·八年级校考阶段练习）如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上 的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ）A．2 B． C． D．1 7.（2023·重庆北碚·九年级校考开学考试）如图，矩形 中， ，点 是矩形 内一动 点，且 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 8．（2023·江苏镇江·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角 线BD（不含B点）上任意一点，将 ABG绕点B逆时针旋转60°得到 EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的 长（ ） △ △ A． B． C． D． 9．（2024上·广东广州·九年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，点E是 边上的动 点，点M是点A关于直线 的对称点，连接 ，则 的最小值是（ ）A．6 B．5 C．4 D．3 10．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，E是 边的 中点，F是线段 上的动点，将 沿 所在直线折叠到 ，连接 ，则 的最小值是 （ ） A．2 B．4 C． D． 11．（2023·江苏常州·统考一模）如图， 中， ， ， ，P为边 上一动 点，则 的最小值等于 ． 12．（2024上·湖北·九年级校联考阶段练习）如图，矩形 中， ， ， 为 边上的动 点，连接 ， 于 ， 为 的中点，连接 ，以 为边向右作等边 ，连接 ，则 的最小值为 ． 13．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，正方形 的边长为5，E为 上一点，且，F为 边上的一个动点，连接 ，以 为边向右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值 为 ． 14．（2023上·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形 中， ，对角线 相交 于点O， ．若点P是 边上一动点，求 的最小值为 ． 15．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形 中， ，点E是矩形内一动点， 连接 ， ，F为 上一动点，连接 ，则 的最小值是 ． 16．（2023上·辽宁辽阳·九年级校考期末）如图， ，矩形 的顶点 ， 分别是 两边上的动点，已知 ，点 ， 之间距离的最大值是 ．17．（2023上·贵州六盘水·九年级统考期中）如图，正方形 中 ，点P是 上一点， 若 ， ，则 的最小值是 ． 18．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，正方形 中，点 是 边上一定点，点 、 、 分别是边 、 、 上的动点，若 ，则四边形 的周长最小时 ． 19．（2023·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形草地 中，沿对角线修建60米和80米两条道路 ，M、N分别是草地边 、 的中点，在线段BD上有一个流动饮水点 ，若要使 的距离最短，则最短距离是 米．20．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，在等边 中， 于 ， ．点 分别为 上的两个定点且 ，点 为线段 上一动点，连接 ，则 的最小值为 ． 21．（2023·湖北武汉·八年级统考期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处， D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ． 22．（2023·浙江金华·八年级统考期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC 剪开，如图l所示．然后固定纸片 ABC，把纸片 ADC沿AC的方向平移得到 A′D′C′，连A′B，D′B， D′C，在平移过程中：（1）四边形△A′BCD′的形状始△终是 ；（2）A′B+D′B的最△小值为 ．23．（2023·广东·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为 BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ． 24．（2023下·湖北十堰·九年级统考阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学 家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点 、 、 ，求平面上到这 三个点的距离之和最短的点 的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图 1，我们可以将 绕点 顺时针旋转60°得到 ，连接 ，可得 为等边三角形，故 ，由旋转可得 ，因 ，由两点之间线段最短可知， 的最小值与线段 的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形 内部有一动点 ， ， ，连接 ， ， ，若 ，求 的最小值 ． 25．（2023·江苏无锡·一模）如图，长方形 中， ， ， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连接 ，将 绕着点 顺时针旋转 到 的位置，连接 和 ，则 的最小值为______．26．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、 G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的 最大值与最小值的差为__________． 27．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在 中， ．P为边 上一动点， 作 于点D， 于点E，则 的最小值为 ． 28．（2023·广东·二模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为 边作等边 ，连接AF，则AF的最小值为__________． 3 29．（2023·福建福州·八年级校考期中）如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2 ，D是线段AH 上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为 线段CM，则线段CM的长为 ，当点D运动到点H，此时线段BE的长为 ．30．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，等边ABC的边长为6，点D，E分别是边BC，AC的中点， 连接BE．（1）如图①，求点D到线段BE的最短距离； （2）点P，N 分别是BE，BC上的动点，连接PN 、PD． ①如图②，当PNPD的长度取得最小值时，求BP的长度； ②如图③，点Q在BE上，若BQ1，连接QN，求QNNPPD的最小值． 31．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为10，对角线OB16， 点D是OA的中点，点E、F 是OB上的动点，且EF 2，求四边形ADEF 周长的最小值．32．（2023·福建福州·八年级校考期末）定义：若P为ABC内一点，且满足APBBPCCPA120， 则点P叫做ABC的费马点． (1)如图1，若点O是高为3的等边ABC的费马点，则OAOBOC= ； (2)如图2，已知P是等边△ABD外一点，且APB120，请探究线段PA，PB，PD之间的数量关系，并 加以证明；(3)如图3，已知ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、 BE交于点P，连接AP，求证：①点P是ABC的费马点；②PAPBPCCD． 33．（2023·江苏扬州·八年级统考期末）背景资料: 在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马 点”． 如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此时， PA＋PB＋PC的值最小． 解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB 的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋 转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= ； 基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 如图③，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°，判断BE，EF，FC之间的数量关 系并证明； 能力提升：（3）如图④，在RtABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为RtABC的费马点， 连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值． 34．（2023·福建福州·九年级统考期中）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点， 2 2 AB= ；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF； ①把图形补充完整（无需写画法）； ②求EF2的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．35．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在ABC，AB AC 5，BC 6，求点C 到AB的距离．（2）【问题延伸】如图②，在ABC，AB AC 10，BC 12．若点M 在边BC上，点 P AM CP P PQAB Q CPPQ 在线段 上，连结 ，过点 作 于 ，则 的最小值为______． ABCD AB2 3 E AD M AB F （3）【问题拓展】如图（3），在矩形 中， ．点 在边 上，点 在边 上，点 在 线段CM 上，连结EF．若BCM 30，则CF2EF的最小值为______． 36．（2023·河南周口·校考三模）【问题背景】数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一 个问题：如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等， 那么如何确定定居点的位置？（1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出定居点O的位置，使点O到点A，B，C的距离相等．（不写 作法，保留作图痕迹） 【问题探索】聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P， 使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？ 通过不断探究，小智发现可以借助旋转的思想解决这个问题，如图4，把△APC绕点A逆时针旋转60， 得到APC，连接PP，可知APP为等边三角形，因此PAPBPC PPPBPC，由两点之间， 线段最短，可知PAPBPC的最小值即为点B，P，P，C共线时线段BC的长． （2）【类比探究】如图5，在Rt△ABC中，ACB90，AC 1，ABC 30，点P为ABC内一点，连 接AP，BP，CP，求PAPBPC的最小值． （3）【实际应用】如图6，现要在矩形公园ABCD内，选择一点P，从点P铺设三条输水管道 PB，PC，PE，要求PEAD．若AB4，BC 6，请直接写出输水管道长度的最小值．37．（2023下·四川成都·八年级统考期末）【阅读理解】 xOy 在平面直角坐标系 中，已知点R，S为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点R绕点S顺时针旋转 90度得到点R，点R关于y轴的对称点为R，则称点R为点R关于点S的“旋对点”． 【迁移应用】 xOy yx4 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．平面内有一点 M5,1 ．M yx4 (1)请在图中画出点M关于点O的“旋对点” ，并直接写出点M的坐标；(2)点Q为直线 上一 动点． Q QQ ①若点Q关于点M的“旋对点”为点 ，试探究直线 经过某一定点，并求出该定点的坐标； QQ QM NH 2NH QH ②在①的条件下，设直线 所经过的定点为H，取 的中点N，连接 ，求 的最小值． 38．（2023.广东九年级月考）几何模型： 条件：如图1，A，B是直线l同旁的两个顶点． 问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于点P，则PAPB  AB的值最小（不必证明）． 模型应用： A0，1 B2，1 (1)如图 2 ，已知平面直角坐标系中两定点 和 ，P为 x 轴上一动点，则当 PAPB 的值最小 时，点P的横坐标是______，此时PAPB______．(2)如图3，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可 知，B与D关于直线AC对称，则PBPE的最小值是______． (3)如图4，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有 一动点P，则PDPE的最小值为______． (4)如图5，在菱形ABCD中，AB8，B=60，点G是边CD边的中点，点E，F 分别是AG，AD上的 两个动点，则EFED的最小值是______． x19 39．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）（1） 的最小值为________； x29 16x281 （2）课堂上，老师提问：求 的最小值．聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相 关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图，作一条长为16的线段CD；②过C在线段CD上方作线段CD的垂线AC，便AC3；过D在线段 CD下方作线段CD的垂线BD，使BD9；③在线段CD上任取一点O，设COx； ④根据勾股定理计算可得，AO________，BO________（请用含x的代数式表示，不需要化简）； ⑤则AOBO的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为________． x2225 x829 （3）请结合第（2）问，直接写出 的最小值________． 40．（2023·吉林长春·校考二模）数学兴趣活动课上，小致将等腰ABC的底边BC与直线l重合． ABC AB AC 4,BAC 120 P BC l （1）如图(1)，在 中， ，点 在边 所在的直线 上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现AP的最小值是____________． （2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当AP最短时，如图(2)，在ABP中，作AD平 分BAP,交BP于点D,点E、F分别是边AD、AP上的动点，连结PE、EF,小致尝试探索PEEF的最小 值，小致在AB上截取AN,使得AN  AF,连结NE,易证VAEF≌VAEN ，从而将PEEF转化为PEEN, 转化到（1）的情况，则PEEF的最小值为 ； ABC ACB90,B30o,AC 6 D CB AD, （3）解决问题：如图(3)，在 中， ，点 是边 上的动点，连结 将线段AD绕点A顺时针旋转60，得到线段AP,连结CP，求线段CP的最小值．