文档内容
专题 16.3 二次根式的应用
◆ 典例分析
【典例1】阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题．
【阅读材料1】如果两个正数a，b，则(❑√a−❑√b) 2 ≥0 ，即a+b−2❑√ab≥0,∴a+b≥2❑√ab，当且仅当
a=b时取等号，此时a+b有最小值为2❑√ab ．
9
【实例展示1】已知x>0，求式子x+ 最小值．
x
9 √ 9 9
解：x+ ≥2❑ x⋅ =6 ，当且仅当x= ,∵x>0 ，即x=3时，式子有最小值为6．
x x x
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大
的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大
于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分
式”．
x−1 x2 3 2x
【实例展示2】如： , 这样的分式就是假分式；如： , 这样的分式就是真分式，假分
x+1 x−1 x+1 x2+1
7 3
数 可以化成1 带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：
4 4
x−1 (x+1)−2 2 x2 (x2−1)+1 (x−1)(x+1) 1 1
= =1− , = = + =x+1+ .
x+1 x+1 x+1 x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
16
（1）已知x>0，则当x=______时，式子x+ 取到最小值，最小值为______；
x
3 x+6
（2）分式 是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式 可化为带分式形式为______；如果分
x x+1
x+6
式 的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个；
x+4
（3）用篱笆围一个面积为225m2的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最
短，最短的篱笆是多少？x−1
（4）已知x>1，当x取何值时，分式 取到最大值，最大值为多少？
x2−2x+5
【思路点拨】
（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；
3
（2）根据新定义判断分式 是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值；
x
225
（3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽= 米，则所用的篱笆总长为2倍的长+2倍的宽，
x
本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：
a+b
≥❑√ab求解；
2
（4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案．
【解题过程】
16
（1）解：令a=x,b= ，则有a+b≥2❑√ab，
x
16 √ 16
得x+ ≥2❑ x⋅ =8，
x x
16
当且仅当x= 时，即正数x=4时，式子有最小值，最小值为8；
x
故答案为：4，8；
3
（2）解：根据新定义分式 是真分式，
x
x+6 (x+1)+5 5
= =1+ ，
x+1 x+1 x+1
x+6 2
∵x为整数， =1+ 的值为整数，
x+4 x+4
2
∴ 为整数，
x+4
∴x+4=2或x+4=−2或x+4=1或x+4=−1，
解得：x=−2或x=−6或x=−3或x=−5，
则满足条件的整数x的值有4个，
5
故答案为：真分式，1+ ，4；
x+1
225
（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为 米，所用的篱笆总长为y米，
x450
根据题意得：y=2x+
x
由上述性质知：∵x>0，
225 √ 225
∴x+ ≥2❑ x⋅ =30，
x x
225
此时，x= ，
x
∴x=15，
答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米；
x−1
（4）解：
x2−2x+5
x−1
=
x2−2x+1+4
x−1
=
(x−1) 2+4
1
=
4 ，
x−1+
x−1
∵x>1，
4 √ 4
∴x−1+ ≥2❑(x−1)× =4，
x−1 x−1
4 4
当且当x−1= 时，即x=3时，式子x−1+ 有最小值为4，
x−1 x−1
x−1 1
当x=3时，分式 取到最大值，最大值为 ．
x2−2x+5 4
◆ 学霸必刷
4 4
1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设x>0，2x+ 的最小值为m，使得2x+ 取最小值的x值为n，则
x x
m−n=（ ）
A．8 B．6 C．−2❑√2 D．3❑√2
【思路点拨】
4 ( √4) 2
本题考查分式的求值，二次根式的运算，将2x+ 转化为 ❑√2x−❑ +4❑√2的形式，利用完全平方的非
x x负性，进行求解即可．
【解题过程】
解：∵x>0，
4
∴2x>0, >0，
x
2 2
4 ( √4) √4 ( √4)
∴2x+ = ❑√2x−❑ +2❑√2x⋅❑ = ❑√2x−❑ +4❑√2，
x x x x
2
( √4)
∵ ❑√2x−❑ ≥0，
x
√4 4
∴当❑√2x=❑ ，即：x=❑√2时，2x+ 有最小值4❑√2，
x x
∴m=4❑√2,n=❑√2，
∴m−n=3❑√2；
故选D．
2．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）设a为❑√3+❑√5−❑√3−❑√5的小数部分，b为
2 1
❑√6+3❑√3−❑√6−3❑√3的小数部分，则 − 的值为（ ）
b a
A．❑√6+❑√2−1 B．❑√6−❑√2+1 C．❑√6−❑√2−1 D．❑√6+❑√2+1
【思路点拨】
先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问
题．
【解题过程】
解：❑√3+❑√5−❑√3−❑√5
√6+2❑√5 √6-2❑√5
=❑ -❑
2 2
❑√5+1 ❑√5-1
= -
❑√2 ❑√2
=❑√2
∴a的小数部分为❑√2-1，
❑√6+3❑√3−❑√6−3❑√3√12+6❑√3 √12−6❑√3
=❑ −❑
2 2
❑√3+3 3-❑√3
= -
❑√2 ❑√2
=❑√6
∴b的小数部分为❑√6-2，
2 1 2 1
∴ − = - =❑√6+2-❑√2-1=❑√6-❑√2+1，
b a ❑√6-2 ❑√2-1
故选：B．
3．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均
相等，则a+bc= ．
3❑√3 1 b
3 a 2
❑√2 6 c
【思路点拨】
本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的等式．根据各行、各列及各条对角线上
的三个实数之积均相等可得6a=3❑√3b=6❑√2c=9❑√6，求出a、b、c的值即可求解．
【解题过程】
解：∵各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，
∴ 6a=3❑√3b=6❑√2c=9❑√6，
3❑√6 3❑√3
解得：a= ，b=3❑√2，c= ，
2 2
3❑√6 3❑√3 3❑√6 9❑√6
∴ a+bc= +3❑√2× = + =6❑√6，
2 2 2 2
故答案为：6❑√6．
4．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的
面积分别为S =18，S =12，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 ．
1 2【思路点拨】
本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结
论．
【解题过程】
解：∵三个小正方形的面积分别为18、12、2，
∴三个小正方形的边长分别为❑√18=3❑√2、❑√12=2❑√3、❑√2，
由题图知：大正方形的边长为：3❑√2+2❑√3−❑√2=2❑√2+2❑√3，
∴S =(2❑√2+2❑√3) 2 −(18+12−2)
空白
=8+12+8❑√6−(18+12−2)
=8❑√6−8．
故答案为：8❑√6−8．
5．（23-24八年级下·陕西西安·期中）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其
中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2❑√30−6，则较小的正方形面积为
．
【思路点拨】
本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据面积可求
得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白
的面积；通过长方形面积公式可求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【解题过程】
解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，面积相等
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2❑√30−6，
∴一个空白长方形面积为❑√30−3，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长为❑√12=2❑√3，重叠部分边长为❑√3，
∴空白部分的长为2❑√3−❑√3=❑√3，
设空白部分宽为x，可得：❑√3x=❑√30−3，解得：x=❑√10−❑√3，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=(❑√10−❑√3)+❑√3=❑√10，
小正方形面积 ，
∴ =(❑√10) 2=10
故答案为：10
6．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16cm2和12cm2
的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ．
【思路点拨】
欲求 ，需求 以及 ．由题意得 ，
S =S +S HC LM S =HC2=16cm2
空白部分 矩形HLFG 矩形MCEF 正方形ABCH
，故 ， ，进而解决此题．
S =LM2=LF2=12cm2 HC=4cm LM=LF=2❑√3cm
正方形LMEF
【解题过程】
解：如图．
由题意知： ， ，
S =HC2=16cm2 S =LM2=LF2=12cm2
正方形ABCH 正方形LMEF
∴HC=4cm，LM=LF=2❑√3cm．
∴S =S +S
空白部分 矩形HLFG 矩形MCDE
=HL⋅LF+MC⋅ME
=HL⋅LF+MC⋅LF
=(HL+MC)⋅LF
=(HC−LM)⋅LF
=(4−2❑√3)×2❑√3．
=(8❑√3−12)(cm2
)
故答案为： ．
(8❑√3−12)cm2
7．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）如图，正方形ABCD和AEFG的边长分别为x,y，点E、G分别在
25
边AB、AD上，若x−y=2❑√6，xy= ，则图中阴影部分图形的面积的和为 ．
4
【思路点拨】
本题考查的是完全平方公式的几何背景，利用图形和x2+ y2、2xy还有x−y之间的关系，求出x，y，用面
积公式计算即可．解题的关键是正确掌握x2+ y2、2xy还有x−y之间的关系．
【解题过程】
解：∵正方形ABCD和AEFG的边长分别为x,y，且x−y=2❑√6，
∴ ，即 ，
(x−y) 2=24 x2+ y2−2xy=24
25
∵xy= ，
4
73
∴x2+ y2= ，
2
73 25
∴x2+ y2+2xy= + =49，
2 2
∴x+ y=7，
{ x+ y=7 )
∴ ，
x−y=2❑√6
{ x=
7+2❑√6
)
解方程组得 2 ，
7−2❑√6
y=
2
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴DG=BE=x−y=2❑√6，
1 7−2❑√6 1 7+2❑√6
则S +S = ×2❑√6× + × ×2❑√6=7❑√6，
△BEF △DCF 2 2 2 2
故答案为：7❑√6．
8．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地
放在底面为长方形（长为❑√21cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴
影表示．则图中两块阴影部分的周长和是 ．
【思路点拨】
根据题意，设小长方形长为xcm，宽为ycm，则由盒子底部大长方形长为❑√21cm，宽为4cm，可得大阴影
部分长为 ，宽为 ；小阴影部分长为 ，宽为 ； ；从而
(❑√21−2y)cm (4−2y)cm 2ycm (4−x)cm x+2y=❑√21
列式求两块阴影部分的周长和即可得到答案．
【解题过程】
解：设小长方形长为xcm，宽为ycm，
∵盒子底部大长方形长为❑√21cm，宽为4cm，
大阴影部分长为 ，宽为 ；小阴影部分长为 ，宽为 ；且
∴ (❑√21−2y)cm (4−2y)cm 2ycm (4−x)cm
x+2y=❑√21；
两块阴影部分的周长和
∴ 2[(❑√21−2y)+(4−2y))+2[2y+(4−x))
=2(❑√21+4−4 y+2y+4−x)
，
=2(❑√21+8−2y−x)
将x+2y=❑√21代入上式，原式=2(x+2y+8−2y−x)=16cm，
故答案为：16cm．
9．（23-24八年级下·广东江门·开学考试）做一个底面积为24cm2，长、宽、高的比为4:2:1的长方体；求：
（1）长方体的表面积是多少？
（2）长方体的体积是多少？
【思路点拨】
此题考查二次根式的混合计算，掌握长方体的表面积和体积计算方法是解决问题的关键．
（1）设长方体的高为x，则长为4x，宽为2x，根据长方体的底面积等于长×宽列方程求得答案即可，再
利用长方体的表面积计算公式计算即可；
（2）利用长方体的体积计算公式计算即可．
【解题过程】
（1）设长方体的高为x，则长为4x，宽为2x，由题意得：
4x×2x=24
解得x=❑√3，
则4x=4❑√3，2x=2❑√3
所以这个长方体的长、宽、高分别是4❑√3cm、2❑√3cm、❑√3cm．
(4❑√3×2❑√3+❑√3×4❑√3+2❑√3×❑√3)×2
=(24+12+6)×2
=42×2
=84(cm2
)
答：长方体的表面积是84cm2．
（2）4❑√3×2❑√3×❑√3
=24❑√3(cm3
)
答：体积是24❑√3cm3．
10．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，某小区有一块矩形空地ABCD，矩形空地的长BC为❑√72m
，宽 为 ，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为 ，宽
AB ❑√32m (❑√10+1)m
为 ．
(❑√10−1)m（1）求矩形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通
道，购买地砖需要花费多少元？
【思路点拨】
本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解；
（2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解．
【解题过程】
（1）解： (❑√72+❑√32)×2
=(6❑√2+4❑√2)×2
=10❑√2×2
=20❑√2（米）．
答：长方形ABCD的周长为20❑√2米．
（2）解：❑√72×❑√32−(❑√10+1)×(❑√10−1)
=6❑√2×4❑√2−(10−1)
=48−9
=39（平方米）．
6×39=234（元）．
答：购买地砖需要花费234元．
11．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别是边长为
(❑√15+❑√5)cm和(❑√15−❑√5)cm的正方形相框．（1）求大相框的面积是小相框面积的多少倍？
（2）现在小华想用长为25cm的彩带给这两个相框镶边，请你帮忙计算现有的彩带够吗？如果不够用，大
约还需要买多长的彩带？（参考数据：❑√15≈3.9）
【思路点拨】
本题主要考查了二次根式的应用：
（1）分别求出正方形ABCD和正方形EFGH的面积相除即可得出答案；
（2）求出两个正方形的周长，即可判断彩带的长度够不够．
【解题过程】
（1）解∶∵大相框的面积为(❑√15+❑√5) 2cm2，小相框的面积为(❑√15−❑√5) 2cm2，
(❑√15+❑√5) 2
∴ =(2+❑√3) 2=7+4❑√3，
(❑√15−❑√5) 2
答∶大相框的面积是小相框面积的(7+4❑√3)倍；
（2）解：不够用．
镶边所需要的彩带长为4×(❑√15+❑√5)+4×(❑√15−❑√5)=8❑√15=31.2cm>25cm，
则现有的彩带不够用，还需买31.2−25=6.2(cm)，
答∶现有的彩带不够用，还需要购买约6.2cm长的彩带．
12．（23-24九年级上·河南南阳·期中）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别
为12dm2和27dm2的正方形木板．
（1）求原矩形木板的面积；
（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你直接写出答案．
【思路点拨】
本题考查的是二次根式的应用．
（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出❑√3和2❑√3范围，根据题意解答．
掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：∵两个正方形的面积分别为12dm2和27dm2，
∴这两个正方形的边长分别为❑√12dm和❑√27dm，
由图可知，矩形的长为：(❑√12+❑√27)dm，宽为❑√27dm，
则原矩形的面积为：(❑√12+❑√27)×❑√27=18+27=45(dm2)，
答：原矩形的面积为45dm2；
（2）最多能裁出3快，理由如下：
根据（1），可知：这两个正方形的边长分别为❑√12dm和❑√27dm，
即此时阴影部分的宽为：❑√27−❑√12=3❑√3−2❑√3=❑√3dm，
长为：❑√12=2❑√3dm，
9 49
∵ <3<4，9<12< ，
4 4
3 7
∴ <❑√3<2，3<2❑√3< ，
2 2
4 7
∴1<❑√3÷1.5< ，2<2❑√3÷1.5< ，
3 3
则1×3=3，
∴阴影部分可以最多裁剪出3块长1.5dm宽1dm的木条．
13．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所
示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4dm2，8dm2和18dm2的正方形木板A，B，C．（1）木板①中截出的正方形木板A的边长为___________dm，B的边长为___________dm，C的边长为
___________dm；
（2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16dm2的正方形木板，请你判
断能否截出，并说明理由．
【思路点拨】
本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，
（1）根据正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解；
（3）求出两个面积为16dm2的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进
行比较，即可解答．
【解题过程】
（1）解：∵正方形木板A的面积为4dm2，正方形木板B的面积为8dm2，正方形木板C的面积为18dm2，
∴正方形木板A的边长为❑√4=2(dm)，正方形木板B的边长为❑√8=2❑√2(dm)，正方形木板C的边长为
❑√18=3❑√2(dm)，
故答案为：2，2❑√2，3❑√2；
（2）解：∵正方形木板A的边长为2dm，正方形木板B的边长为2❑√2dm，正方形木板C的边长为3❑√2dm
，
∴长方形木板①的长为5❑√2dm，宽为(2+2❑√2)dm，
∴阴影部分面积为5❑√2(2+2❑√2)−4−8−18=10❑√2−10(dm2)；
（3）解：不能截出；
理由：❑√16=4，2×4=8，
∴两个正方形木板放在一起的宽为4dm，长为8dm．由（2）可得长方形木板的长为5❑√2dm，宽为(2+2❑√2)dm．
∵2+2❑√2>4，但5❑√2<8，
∴不能截出．
14．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为ℎ，甲盒
子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c(c≠b)的长方形．
（1）若bc=24,ℎ =❑√3，求甲盒子的侧面积；
（2）设甲，乙两个盒子侧面积分别为S ，S ，
甲 乙
①S ______S （填“>”“=”“<”）
甲 乙
②说明①的理由．
【思路点拨】
本题考查了二次根式的运用、完全平方公式以及因式分解等知识点，掌握长方体的体积和侧面积公式是解
题关键．
（1）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解；
（2）由题意可得甲的侧面积为：4aℎ，乙的侧面积为：2bℎ +2cℎ =2ℎ(b+c)．作差即可求解．
【解题过程】
（1）解∵长方体体积相同，高相同，
∴甲、乙底面积相同．
∴a2=bc．
∵bc=24，
∴a2=24．
∴a=2❑√6．
∴甲盒子的侧面积=4aℎ =4×2❑√6×❑√3=24❑√2；
（2）解：①由②可知S 0，
即b+c−2❑√bc>0，
∴b+c>2❑√bc．
∴2❑√bc−(b+c)<0，
∴S −S <0，
甲 乙
∴S 65J，
∴质量为0.1kg的玩具经4s落地所带能量能伤害到楼下无防护的行人．
16．（23-24八年级下·广西百色·期中）【综合与实践】
摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过
观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是
√ l
他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：T=2π❑ ，
g
其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)，g=9.8m / s2，π是圆周率．(π取3.14，摆线长精确
到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：❑√3≈1.73，❑√5≈2.24)
【思考填空】
（1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越______(填
“长”或“短”)，摆得越______；(填“快”或“慢”)
【实践与计算】
（2）若一个摆钟的摆线长为0.49m，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数
该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．
请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声；
（3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准
确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长．
【思路点拨】
本题考查二次根式的化简和利用二次根式的性质求解，审清题意并根据题意正确列式和方程是解题的关
键．
√ l
（1）根据T=2π❑ 即可判断；
g
√ l
（2）将l=0.49m代入T=2π❑ 计算求出T，即可得解；
g
√ l
（3）令T=2π❑ =1求出l即可．
g
【解题过程】
解：（1）令00，
l l
∴0< 1< 2，
g g
√l √l
∴0<❑ 1<❑ 2，
g g
√l √l
∴0<2π❑ 1<2π❑ 2，
g g
即00
2 3
1 √1 1 1
∴ −2❑ × + >0
2 2 3 3
1 1 √1 1
∴ + >2❑ × ．
2 3 2 3
（1）填空：6+3________2❑√6×3；7+7________2❑√7×7．
（2）试猜想a+b与2❑√ab(a≥0,b≥0)的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝
时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？【思路点拨】
（1）将需要比较大小的两个数作差，其结构符合完全平方式，利用平方的非负性证明即可；
（2）根据（1）中结果猜想，并利用完全平方公式及平方的非负性对猜想进行证明即可；
（3）做对角线的竹条的和符合（2）中a+b的形式，根据风筝面积求出对角线长度的积，应用（2）中的
结论即可．
【解题过程】
（1）解：∵6+3−2❑√6×3
=(❑√6) 2 −2×❑√6×❑√3+(❑√3) 2
=(❑√6−❑√3) 2>0，
∴6+3>2❑√6×3；
∵7+7−2❑√7×7，
=(❑√7) 2 −2×❑√7×❑√7+(❑√7) 2
=(❑√7−❑√7) 2=0，
∴7+7=2❑√7×7；
故答案为：>；=．
（2）猜想：a+b≥2❑√ab(a≥0,b≥0)．
理由：∵a≥0，b≥0
∴a+b−2❑√ab
=(❑√a) 2 −2❑√a⋅❑√b+(❑√b) 2
=(❑√a−❑√b) 2 ≥0，
∴a+b≥2❑√ab；（3）设AC=a，BD=b，
∵四边形ABCD为1800cm2，AC⊥BD，
∴S =S +S
四边形ABCD △ABD △CBD
1 1
= BD⋅AO+ BD⋅OC
2 2
1
= BD(AO+OC)
2
1
= BD⋅AC
2
1
= ab，
2
1
∴ ab=1800，即ab=3600，
2
∵a+b≥2❑√ab，
∴a+b≥2❑√3600，
∴a+b≥120，
∴用来做对角线的竹条至少要120厘米．
19．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）【阅读下列材料】
若a>0,b>0，则a=(❑√a) 2 ,b=(❑√b) 2 ,∴(❑√a−❑√b) 2=a+b−2❑√ab（注：❑√a⋅❑√b=❑√ab）．
∵(❑√a−❑√b) 2 ≥0,a+b−2❑√ab≥0,∴a+b≥2❑√ab．“a+b≥2❑√ab”称为“基本不等式”，利用它可
求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当a=b时，取等
号．）
【例】：若a>0,b>0,ab=16，求a+b的最小值．
解：∵a>0,b>0,ab=16∴a+b−2❑√ab≥0，
∴a+b≥2❑√ab=8．
∴a=b=4时，a+b的最小值为8．
【解决问题】
（1）若m>0,n>0,m+n=24，求mn的最大值；
（2）用篱笆围成一个面积为144m2的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱
笆的长是多少；
（3）用一段长为80m的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少．
【思路点拨】
本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用．
（1）根据基本不等式即可求解；
144
（2）设这个长方形的长为x米，则另一边为y米，则xy=144，y= ，所以所用篱笆的长为
x
(144 ) (144 )
2 +x 米，再根据材料提供的信息求出2 +x 的最小值即可；
x x
（3）设一边为xm，则另一边长为ym，则2(x+ y)=80，根据基本不等式，即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵m>0,n>0,m+n=24
∴m+n−2❑√mn≥0
∴2❑√mn≤m+n
∴❑√mn≤12
∴mn≤144
∴当m=n=12时，mn的最大值为144；
（2）解：设这个长方形的长为x米，另一边为y米，
则xy=144，
144
∴y= ，
x
(144 )
∴所用篱笆的长为2 +x 米，
x
(144 ) √144
2 +x ≥4❑ ×x=48，
x x
144 (144 )
∵当且仅当 =x时，2 +x 的值最小，最小值为48，
x x
∴x=12或x=−12（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为12米，12米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是48米；
（3）解：设一边为xm，则另一边长为ym，则2(x+ y)=80
∴x+ y−2❑√xy≥0
x+ y
∴❑√xy≤
2∴❑√xy≤20
∴xy≤400
∴当x= y=20时xy的最大值为400
∴当x= y=20时，菜园的面积有最大值为400平方米，
答：菜园的长为20m，宽为20m时，面积最大为400平方米．
a+b
20．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料：基本不等式❑√ab≤ (a>0, b>0)当且仅当a=b
2
a+b
时，等号成立，其中我们把 叫正数a, b的算术平均数，❑√ab叫正数a, b的几何平均数，它是解决最大
2
（小）值问题的有力工具．
1
例如：在x>0的条件下，当x为何值时，x+ 有最小值，最小值是多少？
x
1
1 x+ 1 √ 1
解：∵x>0, >0，∴ x √ 1，即x+ ≥2❑ x⋅
x ≥❑ x⋅ x x
2 x
1 1 1
∴x+ ≥2．当且仅当x= 时，x+ 有最小值，最小值为2；
x x x
请根据阅读材料解答下列问题：
1
（1）若x>0，函数y=2x+ ，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值．
x
1
（2）若x>3时，求式子2x+ 的最值，并说明此时x的值．
x−3
1
（3）x>0时，式子x2+1+ ≥2成立吗？说明理由．
x2+1
【思路点拨】
本题考查基本不等式的应用，二次根式混合运算，解题的关键是理解题意，学会仿照例子解决问题．
（1）仿照材料中的例子求解即可；
（2）仿照材料中的例子利用二次根式混合运算法则进行计算即可；
1 1
（3）仿照材料中的例子求出x=0时，x2+1+ 有最小值2，根据x>0，x2+1+
不能取到最小值
x2+1 x2+1
1
2，得出x>0时，x2+1+ >2，原等式不成立．
x2+1
【解题过程】
（1）解：∵x>0，∴2x>0，
1 √ 1
∴2x+ ≥2❑2x⋅ =2❑√2，
x x
1
当且仅当2x= ，
x
❑√2
解得：x= ，负值舍去，
2
❑√2
经检验：x= 是方程的解，
2
❑√2
∴当x= 时，函数有最小值，最小值为2❑√2；
2
（2）解：∵x>3，
∴x−3>0，
1 1
∵2x+ =2(x−3)+ +6，
x−3 x−3
1 1
∴当2(x−3)+ 取最小值时，2x+ 取最小值，
x−3 x−3
1 1 √ 1
∴当2(x−3)= 时，2(x−3)+ 有最小值，且最小值为2❑2(x−3)⋅ =2❑√2，
x−3 x−3 x−3
1
∴2x+ 的最小值为2❑√2+6，
x−3
1 ❑√2 ❑√2
解方程2(x−3)= 得：x =3+ ，x =3− <3（舍去），
x−3 1 2 2 2
❑√2
经检验x=3+ 是方程的解，
2
❑√2 1
∴当x=3+ 时，2x+ 的最小值为6+2❑√2；
2 x−3
（3）解：式子不成立．理由：
∵x>0，
1
∴x2+1>0， >0，
x2+1
1 √ 1
∴x2+1+ ≥2❑(x2+1)⋅
，
x2+1 x2+1
1 1
当且仅当x2+1= ，即x=0时，x2+1+
有最小值，且最小值为2，
x2+1 x2+1∵x>0，
∴不等式不能取等号，
1
即不等式x2+1+ ≥2不成立．
x2+1
21．（24-25八年级上·江西萍乡·期中）【观察发现】
∵(❑√6+❑√5) 2=(❑√6) 2+(❑√5) 2+2❑√6×5=11+2❑√30．
∴❑√11+2❑√30=❑√(❑√6+❑√5) 2=❑√6+❑√5；
∵(2+❑√3) 2=22+(❑√3) 2+2×2×❑√3=7+4❑√3，
∴❑√7+4❑√3=❑√(2+❑√3) 2=2+❑√3．
【初步探索】
（1）化简：❑√9+2❑√14= ；
（2）形如❑√m−2❑√n可以化简为❑√a−❑√b，即❑√m−2❑√n=❑√a−❑√b，且a，b，m，n均为正整数，用含
a，b的式子分别表示m，n，得m= ，n= ；
（3）若❑√x+4❑√5=1+ y❑√5，且x，y均为正整数，求x的值；
【解决问题】
（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面
积分别为80cm2和(14+6❑√5)cm2．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（说明：纸箱厚度不
计，参考数据❑√5≈2.236）；
型号 长 宽 高
A型 10cm 8cm 12cm
B型 12cm 10cm 15cm
C型 16cm 10cm 10cm
请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？
【思路点拨】
本题考查二次计算与化简与应用，
（1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给出的a、b与m、n的关系式，列式算出结果即可；（3）将所给式子两边平方求解即可；
（4）先判断B，C两种型号的包装纸箱符合条件，再求出体积进行比较即可；
解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
【解题过程】
解：（1）❑√9+2❑√14=❑√(❑√2+❑√7) 2=❑√2+❑√7，
故答案为：❑√2+❑√7；
（2）∵❑√m−2❑√n=❑√a−❑√b，且a，b，m，n均为正整数，
∴(❑√m−2❑√n) 2 =(❑√a−❑√b) 2，
即m−2❑√n=a+b−2❑√ab，
∴m=a+b，n=ab，
故答案为：a+b；ab；
（3）∵❑√x+4❑√5=1+ y❑√5，且x，y均为正整数，
∴x+4❑√5=(1+ y❑√5) 2=1+5 y2+2y❑√5，
∴2y=4，
∴y=2，
∴x=1+5 y2=1+5×22=21，
∴x的值为21；
（4）∵❑√80=4❑√5，❑√14+6❑√5=❑√(3+❑√5) 2=3+❑√5，
∴底面积80cm2的饰品盒底面边长为4❑√5cm，
底面积(14+6❑√5)cm2的饰品盒底面边长为(3+❑√5)cm，
∵4❑√5≈8.944，3+❑√5≈5.236，
∴两个正方形的长之和：4❑√5+(3+❑√5)≈8.944+5.236≈14(cm)，
∴B，C两种型号的包装纸箱符合条件，
B型号的包装纸箱的体积为：12×10×15=1800(cm3)，
C型号的包装纸箱的体积为：16×10×10=1600(cm3)，
∵1600<1800，
∴应选择C型号包装纸箱．22．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料，并解决问题：
【观察发现】
因为(❑√5+❑√2) 2=5+2+2❑√5×2=7+2❑√10，
所以❑√7+2❑√10=❑√(❑√5+❑√2) 2=❑√5+❑√2；
因为(❑√8−❑√6) 2=8+6−2❑√6×8=14−8❑√3，
所以❑√14−8❑√3=❑√14−2❑√48=❑√(❑√8−❑√6) 2=❑√8−❑√6=2❑√2−❑√6．
【建立模型】
形如❑√p±2❑√q的化简（其中p、q为正整数），只要找到两个正整数m,n(m>n)，使m+n=p，mn=q，
那么❑√p±2❑√q=❑√m±❑√n．
【问题解决】
（1）化简：①❑√11+2❑√30=______；
②❑√71−16❑√7=______；
11❑√30
（2）已知正方形的边长为a，现有一个长为 +2，宽为2❑√30的长方形，当它们的面积相等时，求
30
正方形的边长；
（3）已知x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3，则代数式❑√x2+2xy+ y2+x−y−4的值为______．
【思路点拨】
本题以完全平方公式为背景，考查复合二次根式的化简．读懂模型是解决问题的关键．
（1）根据模型解释，找到使m+n=p，mn=q成立的两个正整数m、n即可求解；
（2）由题意得 (11❑√30 +2 ) ×2❑√30=a2即可求解，
30
（3）先计算x+ y=2❑√2，x−y=−2❑√3，代入原式化简计算，最后利用材料方法对化简后的式子变形，
开方即可．
【解题过程】
（1）解：①令m+n=11，mn=30，
解得：m=6,n=5或m=5,n=6，
∴❑√11+2❑√30=❑√6+❑√5，
故答案为：❑√6+❑√5；②❑√71−16❑√7=❑√71−2❑√448，
令m+n=71，mn=448，
解得：m=64,n=7或m=7,n=64，
∴❑√71−2❑√448=❑√(❑√64) 2+(❑√7) 2 −2×❑√64×❑√7=❑√(❑√64−❑√7) 2=8−❑√7，
故答案为：8−❑√7；
（2）由题意得： (11❑√30 +2 ) ×2❑√30=a2，
30
(11❑√30 )
+2 ×2❑√30=22+4❑√30=22+2❑√120，
30
令m+n=22，mn=120，
解得：m=10,n=12或m=12,n=10，
∴22+2❑√120=(❑√10) 2+(❑√12) 2+2×❑√10×❑√12=(❑√10+❑√12) 2 ，
∴(❑√10+❑√12) 2=a2，
解得：∴a=❑√10+❑√12=❑√10+2❑√3；
（3）∵x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3，
∴x+ y=2❑√2，x−y=−2❑√3，
∴❑√x2+2xy+ y2+x−y−4 =❑√(x+ y) 2+(x−y)−4
=❑√(2❑√2) 2 −2❑√3−4
=❑√4−2❑√3
令m+n=4，mn=3，
解得：m=3,n=1或m=1,n=3，
∴❑√4−2❑√3=❑√(❑√3) 2 −2❑√3+12=❑√(❑√3−1) 2=❑√3−1，
故答案为：❑√3−1．
