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专题23.3 图形的旋转（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·贵州贵阳·八年级校考期中）如图， 与 都是等腰直角三角形，
，点E在 上，如果 绕点A逆时针旋转后能与 重合，则旋转角度是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图，将 绕着点 按顺时针方向旋转 ， 点
落在 位置，A点落在 位置，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·福建漳州·八年级校考期中）如图，点 在 上，点 在 上， 与 交于点 若
≌ ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．C． 与 关于直线 对称 D． 只通过旋转变换能与 重合
4．（2021秋·海南海口·九年级统考期末）如图，△CAB绕点C顺时针旋转34°后得到△CDE，若∠ACE
＝ 88°，则∠DCB的度数是（ ）
A．34° B．28° C．22° D．20°
5．（2022秋·内蒙古乌海·八年级校考阶段练习）如图所示，在等边 中，点 是边 上一点，
连接 ，将 绕着点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，则下列结论中：① ；②
；③ ；④ ，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级新疆师范大学附属中学校考期中）正五边形绕其中心旋转下列各角
度，所得正五边形与原正五边形不重合的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形 中， ， ，对角
线 交于点P，将平行四边形 绕点O顺时针旋转 ，旋转后点P的坐标为（ ）A． B． C． D．
8．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图，在 中，已知点A的坐标是 ，将
绕原点O顺时针旋转 ，则旋转后点A的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·陕西西安·八年级统考期末）如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，若点
共线，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，点E是边长为4的正方形 内部一点，
，将 按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023秋·四川成都·八年级校考开学考试）如图，在 中， ， ，
，若点 满足 ， ，请写出线段 的值 .
12．（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，将
绕点 顺时针旋转 得到 ，当点B正好落在线段 上时，则旋转角 度．
13．（2022秋·湖南衡阳·七年级校考期末）如图，将 绕点C逆时针旋转 ，得到 ，若
点A恰好在 的延长线上，则 °．
14．（2023秋·安徽淮南·九年级校联考期末）如图， ，点D的坐标为 ，
，将 旋转到 的位置，点 在 上，则旋转中心的坐标为 ．
15．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图，将 绕顶点A顺时针旋转 后得到 ，
且 为 的中点， 与 相交于D，若 ，则线段 的长度为 ．16．（2023·辽宁抚顺·九年级统考学业考试）如图， 中， ，将
绕点 逆时针旋转到 的位置，当 时，连接 ，则 的度数为 ．
17．（2023春·江西上饶·七年级统考阶段练习）将一副直角三角板 按如图1所示位置摆放，
其中 ， ， ．若将三角板 绕点A按
每秒 的速度顺时针旋转 ，如图2，在此过程中，设旋转时间为t秒，当线段 与三角板 的一
条边平行时， ．
18．（2023春·江苏淮安·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 轴，垂足为 ，
将 绕点 逆时针旋转到 的位置，使点 的对应点 落在直线 上，再将 绕点
逆时针旋转到 的位置，使点 的对应点 也落在直线 上，以此进行下去 若点 的坐标为 ，则点 的纵坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023春·山西晋城·七年级校联考期末）如图，已知正方形 的边长是2，点E在
上， 经顺时针旋转后与 重合．
（1）指出旋转的中心和旋转的角度；
（2） 向右平移后与 重合，平移的距离是多少?
（3）连接 ，那么 是什么三角形?请说明理由．
20．（8分）（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，正方形 的边长为 ， ， 分别
是 ， 边上的点，且 ，将 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ．
（1）画出旋转后的 ；
（2）求证： ；
（3）当 时，求 的长．21．（10分）（2023春·江西吉安·八年级校考期中）如图，P是等边 内的一点，且 ，
， ，若将 绕点A逆时针旋转后，得到 ，
（1）求点P与 之间的距离；
（2）求 的度数.
22．（10分）（2023春·河南南阳·七年级统考期末）有一副直角三角板如图①放置 其中 ，
，边 、 在直线 上．
（1） 的度数为 ；
（2）如图②，三角板 保持不动，三角板 绕点 逆时针旋转，转速为每秒 ，当转动到一
周时三角板 停止转动，在旋转的过程中，当 时，求旋转的时间；（3）如图③，在图①的基础上，三角板 绕点 逆时针旋转，转速为每秒 ；同时三角板 也
绕点 逆时针旋转，转速为每秒 ，当 与 重合时，两个三角板都停止转动．设三角板 旋转的
时间为 秒 ，则 的度数为 用含 的代数式表示 ．
23．（10分）（2023春·山西忻州·七年级校考期中）综合与探究：
问题情境：数学课上，老师利用两块含 角的全等三角尺进行图形变换操作探究，其中
， ．
操作探究：
（1）将两个三角尺按如图1的方式在同一平面内放置，其中 与 重合，此时 ， ， 三点共
线，点 在点 异侧，求线段 的长；
操作探究2
（2）在图1的基础上进行了如下的操作：三角尺 保持不动，将三角尺 绕点 顺时针方向旋
转角度 ，射线 和 交于点 ，如图2，认真分析旋转的过程中，解决下列问题：
①在旋转过程中，当 _________时， ；
②连接 ，求证： ．24．（12分）（2023秋·全国·九年级专题练习）似曾相识
（1）如图①，正方形 的边长等于4，中心为 ，正方形 的边长也等于4，在正方形
绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定
值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围．
类比探索
（2）如图②，等边 的边长等于4，中心为 ，等边 的边长也等于4，在等边 绕
着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，
请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．参考答案
1．C
【分析】先根据等腰直角三角形的定义可得 ，再根据旋转角的定义即可得．
解： 与 都是等腰直角三角形， ，
，
绕点 逆时针旋转后能与 重合，
和 都是旋转角，旋转角度是 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形、旋转角，找准旋转角是解题关键．
2．C
【分析】根据旋转的性质可知 ，根据 ，因此可算出 ，又因为旋转
的性质可知 ，即可求解．
解：∵将 绕着点 按顺时针方向旋转 ， 点落在 位置，A点落在 位置，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．【点拨】本题主要考查了旋转的性质，旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等，
每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
3．D
【分析】连接 ，根据全等三角形的性质可得 ， ， ，从而利用等式的性
质可得 ，再根据对顶角相等可得 ，然后根据 可证 ，从而可得
，再利用 证明 ，从而可得 与 关于直线 对≌称，最后根据旋转
的性质可得 不能通过旋转变换≌与 重合，逐一判断即可解答．
解：连接 ，
，
≌ ， ， ，
，
，
，
，
≌
，
，
，
≌
与 关于直线 对称，
故A、B、C不符合题意；
因为 不能通过旋转变换与 重合，
故D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握旋转的性质，
以及全等三角形的性质是解题的关键．4．D
【分析】根据旋转的性质得出∠BCE=∠ACD=34°，∠DCB=∠ACE-∠BCE-∠ACD求出∠DCB 度数．
解：∵△CDE是由△CAB绕点C旋转34°得到的
∴∠BCE=∠ACD=34°
又∵∠ACE＝88°
∴∠DCB=∠ACE-∠BCE-∠ACD
=88°-34°-34°
=20°
故答案选D．
【点拨】本题考查了旋转的性质，角的加减，能根据旋转的性质进行推理是解此题的关键．
5．C
【分析】由题意可得∠EAB＝∠ACB＝∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°，可判断①②，根据三角形的
外角等于不相邻的两个内角和可判断③④．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∠AEB＝∠BDC
∵将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∠EAB＝∠ACB＝60°
∴∠EAB＝∠ABC＝60°，△BED是等边三角形
∴AE∥BC
∵△BED是等边三角形
∴∠DEB＝60°
故①②正确
∵∠AEB＝∠BDC，∠AEB＝∠AED＋∠BED，∠BDC＝∠BAC＋∠ABD
∴∠AED＝∠ABD
故④正确
∵∠BDC＞60°，∠ADE＜60°
∴∠BDC≠∠ADE
故③错误．
故答案选：C．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，证明△BED是等边三角形是本题的关键．
6．C【分析】根据旋转的定义，求得正五边形的中心角求解．
解：正五边形的中心角=360°÷5=72°，而A，B，D中的度数都是72°的整数倍，故以该度数旋转后能与
原图重合，而C中的不是72°的整数倍，故不能重合．
故选C．
【点拨】本题利用了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重
合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
7．C
【分析】过点A作 于点D，过点P作 于点E，过点 作 于点 ，根据度
角所对的直角边等于斜边一半，得到 ，利用勾股定理求得 ，得到 ，再根据平行四
边形的性质，利用中点坐标公式，得到点P的坐标为 ，进而得到 、 ，然后利用旋
转的性质，证明 ，得到 ， ，即可得到旋转后点 的坐标．
解：如图，平行四边形 旋转后得到平行四边形 ，过点A作 于点D，过点P作
于点E，过点 作 于点 ，
， ，
，
，
，
，，
由勾股定理得： ，
，
四边形 是平行四边形，
，即点P为 中点，
，
点P的坐标为 ，即 ，
， ，
由旋转的性质可知， ， ，
， ，
，
在 和 中， ，
，
， ，
点 在第四象限，
的坐标为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，中点坐标公式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾
股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
8．C
【分析】过A作 轴于C，连接 ，过点 作 轴于D，则 ，证明，由点A的坐标是 得到 ，根据 在第四象限即
可得到点 的坐标．
解：如图，过A作 轴于C，连接 ，过点 作 轴于D，则 ，
∵点A绕坐标原点顺时针旋转 后得到点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点A的坐标是 ，
∴ ，
∵点 在第四象限，
∴点 的坐标为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了点绕坐标原点的旋转问题、旋转的性质、全等三角形的判定和性质等知识，掌握
旋转的性质是解题的关键．
9．A
【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解．
解：∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ，且点 共线，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单．
10．B
【分析】根据 得到 ，则点E在以 为直径的圆上，取 中点G，当
过点G时， 有最小值，由旋转的性质得到 ，则此时 也取最小值，即可解答．
解：在正方形 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点E在以 为直径的圆上，
取 中点G，连接 ，当 过点G时， 有最小值，
又∵ 按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ，
∴此时 也取最小值，
∵ ， 为 的半径，即 ，
∴此时 ，
∴ ，
即 的最小值为 ，
故选：B．【点拨】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从
而得到点的轨迹．
11． 或 / 或2
【分析】分情况讨论，当 在 的上方时和点 在 的下方时， 在 的垂直平分线上，得出
是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求解．
解：如图所示，当 在 的上方时，
依题意， 在 的垂直平分线上，
将 逆时针旋转 得到 ，
则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在 上，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
如图，当点 在 的下方时，
同理可得 ，∴
综上所述， 为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰直角直角三角形的性质，旋转的性质，分类讨论是解题的关键．
12．
【分析】根据三角形内角和定理得到 ，根据旋转得到 ，
， ，即可得到 ，结合三角形内外角关系即可得到 ，即可得
到答案；
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 绕点C顺时针旋转α得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【点拨】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和定理及三角形内外角关系，解题的关键是求出
．
13．80
【分析】根据旋转的性质得 ， ， ，再根据三角形内角和定理得到
，则 ，即可得到答案．
解：∵将 绕点C逆时针旋转 ，得到 ，
∴ ， ， ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌
握旋转的性质是解题的关键．
14．
【分析】设旋转中心为点P，连接 ，过点P作 轴于点F，根据题意得： 的垂直平分
线的交点即为旋转中心点P，再由点 在 上，可得 ，并求出 的长，再求出 ，
可得 ，从而得到 ，然后根据点D的坐标为 ，可得 ，再根据勾股
定理可求出 的长，即可求解．
解：设旋转中心为点P，连接 ，过点P作 轴于点F，如图，
根据题意得： 的垂直平分线的交点即为旋转中心点P，
∵点 在 上，
∴点P到 的距离相等，都是 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵点D的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴旋转中心点P的坐标为 ．
故答案为：
【点拨】本题考查了坐标与图形变化——旋转，熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置并得到含
有30°角的直角三角形是解题的关键．
15．6
【分析】根据旋转得到 ， ，推出 为等边三角形，得到 ，
，推出 ，根据中点性质，得到 ，根据 ，得到
，推出 ，即可得出结论．
解：由旋转知： ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴D是 中点，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了旋转，等边三角形，三角形中位线．熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判
定和性质，三角形中位线的性质，是解答本题的关键．
16． /75度
【分析】根据旋转得出 ， ，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可．
解：∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∵ 绕点C逆时针旋转到 的位置，
∴ ， ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等．
17． 秒或 秒或 秒
【分析】由线段 与三角板 的一条边平行可知有三种情况：（1）当 时，点E落在线
段 上，由此可求出旋转角，进而可求出t的值；（2）当 时，则 ，由此可求出旋
转角，进而可求出t的值；（3）当 ，则 ，由此可求出旋转角，进而可求出t的值．
解：设旋转角为α，则旋转的时间 （秒），
在顺时针旋转 的过程中，线段 与三角板 的一条边平行，
有以下三种情况：
（1）当 时，
，
∴点E落在线段 上时，旋转角 ，
（秒）；
（2）当 时，则 ，
，
，
旋转角 ，
（秒）；
（3）当 时，则 ，
，
旋转角 ，
（秒）；
综上所述： 秒或 秒或 秒．
故答案为： 秒或 秒或 秒．
【点拨】此题主要考查了图形的旋转变换与性质，平行线的判定，解答此题的关键是熟练掌握平行线
的判定和性质，难点是利用分类讨论的思想进行分类讨论．18．45
【分析】计算出 的各边，根据旋转的性质，求出 ， ， ，得出规律，求出 ，再根
据一次函数图象上的点求出点 的纵坐标即可．
解： 轴，点 ，
，则点 的纵坐标为 ，代入 ，
得： ，得： ，即 ，
， ， ，
由旋转可知：
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
解得： 或 （舍去），
则 ，即点 的纵坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出 的各边，计算出 的长度是解题的关键．
19．（1）旋转的中心是点A，旋转的角度是 ；（2）2；（3）等腰直角三角形，理由见分析
【分析】（1）根据旋转中心、旋转角以及正方形的性质即可解答；
（2）先确定点B的对应点是C，然后根据 即可解答；
（3）由正方形的性质可得 ，再根据旋转的性质可得 、 ，进
而可得结论．
（1）解：∵正方形 ，
∴ ，
∴旋转的中心是点A，旋转的角度是 ．
（2）解：∵ 向右平移后与 重合，
∴点B的对应点是C，
∵ ，
∴ 向右平移后与 重合，平移的距离是2．
（3）解： 是等腰直角三角形．
理由：∵四边形 是正方形，
∴ ．
∵ 绕着点A顺时针旋转90°后与 重合，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质、旋转的定义、旋转的性质、平移的性质、等腰三角形的判定
等知识点，掌握旋转的性质是解答本题的关键．
20．（1）见分析；（2）证明见分析；（3） ．
【分析】（ ）根据旋转作图即可；
（ ）由旋转的性质可得 ， 为直角，可得出 ，则有
，推出 ，根据全等三角形的性质即可求证；
（ ）由旋转的性质可得 ，设 ，根据勾股定理则可求解．
解：（1）画图，∴ 即为所求；
（2）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 绕点 逆时针旋转90°得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， 三点共线，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由旋转得 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵正方形 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，即 ．
【点拨】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了
转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
21．（1）3；（2）
【分析】（1）由旋转的性质可得 ， ，旋转角 ，所以为等边三角形，即可求得答案；
（2）由 为等边三角形，得 ，在 中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三
角形，得出 ，可求 的度数．
（1）解：∵将 绕点A逆时针旋转后，得到 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ．
∴ 为等边三角形，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ 为直角三角形， ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理逆定理，注意：旋转前后，对
应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
22．（1） ；（2） 秒或 秒；（3）
【分析】（1）根据平角的定义即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到 ，求得 ，于是得到结论；如
图 ，根据平行线的性质得到 ，根据三角形的内角和得到 ，求得
，于是得到结论；
（3）设旋转的时间为 秒，由题知， ， ，根据周角的定义得到
，列方程即
可得到结论．
（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
，,
故答案为∶ ；（2）解：有两种情况：①如解图 ，当 在直线 的上方时．
∵ ， ，
．
，
，
．
转速为 秒，
旋转时间为 秒．
②如解图 ，当 在直线 的下方时．
∵ ， ，
．
，
，
．∴三角板 绕点 逆时针旋转的角度为 ．
转速为 秒，
旋转时间为 秒．
综上所述，当旋转时间为 秒或 秒时， ．
（3）解：设旋转的时间为 秒，由题知， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为∶
【点拨】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质及旋转的
性质是解题的关键．
23．（1） ；（2）① ；②见分析
【分析】（1）利用勾股定理解直角三角形求出 ， 即可；
（2）①利用旋转变换的性质判断即可；②利用全等三角形的性质证明即可．
解：在 中， ，
，
．
，
．
在 中，由勾股定理得 ，
，
，．
（2）①解： ， ，
当 时， ，此时 ．
②证明：由题可知 ，
，
，
．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了勾股定理解直角三角形，旋转变换，全等三角形的判定和
性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
24．（1）4（2）
【分析】（1）根据正方形的性质得出 ， ， ，推
出 ，证出 ，即可得出结果；
（2）发生变化，对旋转角分情况讨论即可．
解：（1）连接 ， ，
四边形 和四边形 都是正方形，
， ， ，，
在 与 中，
，
，
四边形 的面积等于三角形 的面积，
即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的 ，
；
（2）设等边 绕着点 的旋转角为 ，等边 的边长等于4，则高为 ，
①如图，当 经过点 时，若此时开始旋转， ，重叠部分的形状为直角三角形，
，
②如图，当旋转至图中位置时， ，重叠部分的形状为菱形，
，
③如图，当旋转至图中位置时， ，重叠部分的形状为等边三角形，，
④如图，当旋转至图中位置时， ，重叠部分的形状为直角三角形，
，
综上所述，这两个等边三角形重叠部分的面积是变化的， 的变化范围是 ．
【点拨】本题考查正方形的性质和等边三角形的性质，找出面积之间的关系是解题关键．
