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专题 24.5 弧、弦、圆心角（精选精练）（专项练习）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（23-24九年级上·全国·课后作业）图中是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，弦 平行于直径 ，连接 ， ，则弧
所对的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，则下列结
果中错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在 中，若 ，则 与 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图， 是 的直径，点D是弧 的中点，过点D作于点E，延长 交 于点F，若 ， 的直径为10，则 长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（22-23八年级下·河南洛阳·期中）如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻
度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使 与C重合（如下图）．如果两个半
圆的公共点P在大量角器上对应的度数为 ，那么在小量角器上对应的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九年级·全国·竞赛）在 中，一条弦把圆周分成的两段弧的长度比为 ，如果 的半径为
，那么这条弦的长度为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024·安徽亳州·二模）如图， 是 的两条直径，点 是劣弧 的中点．若 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．9．（2024·广西·模拟预测）如图，点 为 上三点， ，点 为 上一点， 于
， ， ，则 的长为（ ）
A． B．2 C． D．
10．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将 沿弦 折叠交
直径 于点D，点E是 的中点，连结 ，若 的最小值为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（12-13九年级上·浙江台州·阶段练习）在半径为2的 中，弦 的长为2，则弦 所对的圆心角
的度数为 ．
12．（2024·黑龙江大庆·二模）如图， 是 的直径， ， ，则 的大小为
．
13．（2023·黑龙江·一模）如图， 是 的外接圆， ， ，则 的直径为．
14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）有一半圆片（其中圆心角 在平面直角坐标系中按
如图所示放置，若点 可以沿 轴正半轴上下滑动，同时点 相应地在 轴正半轴上滑动，当
时，半圆片上的点 与原点 距离最大，则 的值为 ．
15．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形 中， ， ，C为 的中点，D 为
上一点，且 ，连接 ，在 绕点O旋转的过程中，当 取最小值时， 的
周长为 ．
16．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，点 在半径长为4的 上，点 分别是弦 ，
弦 的中点，连接 ，若弧 的度数为 ，弧 的度数为 ，则 的长度为 ．17．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知扇形 中， ， ， 是 上
一点， 是半径 上一点，将扇形 沿 折叠，使点 落在半径 上点 处．如果 是 中点
（如图 ），那么折痕 的长为 ．
18．（22-23九年级上·北京·期中）如图， 是 的直径，弦 ，分别过 、 作 的垂线，
垂足为 、 ，以下结论
① ；
② ；
③若四边形 是正方形，则 ；
④若 为弧 的中点，则 为 中点．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图， 为 的直径，点D是 的中点，过点D作 于点E，延长 交 于点F．若 ，求 的长．
20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在 中， ，以点
为圆心， 为半径的圆交 于点 ，交 于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的直径， 是 的弦，
于点 ．(1)下列结论正确的是___________；（填序号）
； ； ．
(2)若 ， ，则 的长为___________．
22．（本小题满分10分）（2024·上海·模拟预测）如图，以 为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧
的中点，过点C作 且 ．连接 ，分别交 ， 于点E，F，与圆O交于点G，
连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ， ，求证： ．
23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 是 的弦，半径 ，垂足为 ，交 延长线于点 ．
(1)求证： 是 的中点；
(2)若 ， ，求 的半径．
24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1， ， 是 的弦，且 ，
连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 ，若 ， ， ，求 的半径．参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D C C D D C B C
1．B
【分析】圆心角是过弧AB两端的半径构成的角．
【详解】解：A为圆周角，不符合题意；
B是圆心角，符合题意；
C不是圆心角，不符合题意；
D不是圆心角，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查圆心角的定义．熟记相关定义即可．
2．A
【分析】本题主要考查了圆的相关性质，平行线的基本性质，根据平行得出
（内错角相等）即可求出答案．
【详解】连接 ，
∵弦 平行于直径 ，
∴ ，
又∵ ，则 ，
∴ ，
∵
∴ ．
故选：A．
3．D
【分析】本题了考查圆的有关概念及性质，要判断 、 选项，根据在同圆或等圆中： 圆心角相等；
所对的弧相等； 所对的弦相等；三项“知一推二”进行判断；要判断 选项，可利用垂径定理及全
等三角形的性质判断；要判断 选项，可根据等弧所对应的圆心角相等判断，理解同圆中圆心角、弧和
弦之间的关系是解题的关键．
【详解】解：由题意在 中， ， ， ，∴根据在同圆或等圆中： 圆心角相等； 所对的弧相等； 所对的弦相等；三项“知一推二”可得：
， ， ，
∴ 、 、 正确， 错误，
故选： ．
4．C
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧对等角，进行判断即可．
【详解】解：取 的中点 ，连接 ，则： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
5．C
【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理；根据垂径定理求出 ，
得到 ，证明 ，可得 ，利用勾股定理求出 的长，再求出 长，即可得到
答案．
【详解】解：连接 ，如图：， 是 的直径，
， ，
为 的中点，
，
，
，
的直径为10，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
故选：C．
6．D
【分析】由题意知 ，根据三角形外角的性质可得 ，根据等边对等角
可得 ，进而可得 ．
【详解】由题意知
∴
∵量角器为半圆
∴
∴
∴
故选D．
【点睛】本题考查量角器的使用、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、圆的性质等知识点，难度较
小，解题的关键是读懂题意，得出小量角器上对应的度数为 的度数．
7．D
【分析】本题主要考查弦、弧、圆心角的关系，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，
作 于点C，先求出弦 所对的圆心角的度数，用含30度角的直角三角形的性质求出 ，再用
勾股定理解 求出 ，最后利用垂径定理即可求解．
【详解】解：如图，作 于点C，
弦 把 分成的两段弧的长度比为 ，
，
，
，
，，
，
故选D．
8．C
【分析】连接 ，如图所示，由对顶角性质、邻补角定义得到 ，再由同弧所对的圆心角相等及
等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理求出角度即可得到答案．
【详解】解：连接 ，如图所示：
，
，
点 是劣弧 的中点，
，则 ，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查圆中求角度，涉及对顶角性质、邻补角定义、同弧所对圆心角相等、圆的性质、等腰
三角形的判定与性质、三角形内角和等知识，熟记相关几何性质，数形结合找准各个角度之间的关系是
解决问题的关键．
9．B
【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与
判定，在 上取一点F，使得 ，连接 ，由 得到 ，进而证明
，得到 ，由三线合一定理得到 ，则 ．【详解】解：如图所示，在 上取一点F，使得 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接 ，
，由三角形任意两边之差小于第三边得，当 、 、 共线时 最小，设 的弧度为 ，求出
的弧度为 ，再设半径为r，列方程求解即可．
【详解】解：连接 ， ，
由三角形任意两边之差小于第三边得，当 、 、 共线时 最小，即 ，
设 的弧度为 ，的弧度为： ，
，
的弧度为： ，
由折叠得， 的弧度为 ，
的弧度为： ，
点 为弧 中点，
的弧度为： ，
的弧度为： ，
即 所对圆心角为 ，
设半圆 的半径为r，
，
，
解得：
半径为2，
故选：C．
11．60°/60度
【分析】证明 是等边三角形即可求解．
【详解】解：如图，连接 、 ，∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆心角、等边三角形的判定与性质，熟知 是圆心角是解答的关键．
12． / 度
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到
，再由平角的定义即可得到答案．
【详解】解：∵ 是 的直径， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．
【分析】连接 ， ，依据 是等腰直角三角形，即可得到 ，进而得出 的直
径为 ．
【详解】如图，连接
，
，
是等腰直角三角形，又 ，
∴ ，
∴ 的直径为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数
是圆心角度数的一半是解题的关键．
14． /26度
【分析】本题考查了圆的认识．连接 、 ，如图，当点 、 、 共线时，半圆片上的点 与原点
距离最大，根据三角形外角性质得 ，再根据直角三角形斜边上的中线性质得
，则 ，所以 ．
【详解】解：连接 、 ，如图，
（当 、 、 共线时取等号），
当点 、 、 共线时，半圆片上的点 与原点 距离最大，
则 ，
而 ，
所以 ，
所以 ，所以 ．
故答案为： ．
15．
【分析】本题主要考查线段最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，判断出在 的旋转过程
中， 三点共线时， 最短，得出 是等边三角形，由勾股定理求出 ，即可解决问
题
【详解】解：∵ ，
∴
∵C为 的中点，
∴ ，
在 绕点O旋转的过程中，当 三点共线时， 的值最小，如图，
∵ ，
∴ ，
∴
又
∴ 是等边三角形，
∵C为 的中点，
由勾股定理得， ，∴ 的周长 ，
故答案为：
16．
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形中位线定理以及勾股定理的运用，题目的综合性较
强，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角，连接 ，作 于点 ，根据已知得
，可得 ， ，所以 ，再根据 是 的中位线，即可得出答案．
【详解】解：连接 ，作 于点 ，
∵弧 的度数为 ，弧 的度数为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 分别是弦 ，弦 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故答案为： ．17．
【分析】连接 ，过点 作 于点 ，得出 ，勾股定理求得 ，
进而求得 ，在 中，根据含 度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，
由题意可得： 是 中点
∵
∴ ， ，
∵
∴ ，
由折叠可得，
∴ ，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴ ，
设 ，则 ，
又∵ ，即
解得：∴ ，
∵
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，弧与圆心角的关系，勾股定理解直角三角形，等腰三角形的性质与判
定，三角形的内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．
18．①②④
【分析】先证明四边形 是矩形，再证明 ，可得结论①②正确，证明
，可得③错误；证明 是等边三角形，可得④正确，从而可得答案．
【详解】解：连接 、 ， 如图， 、 ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，，
在 和 中，
，
，
， ，
，故②正确，
， ， ，故①正确，
当四边形 是正方形时， ，
，
，
故③错误，
若 是 的中点，连接 ，而
，
，
是等边三角形，
，
，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两
条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据点 是
弧 的中点，得到 ；根据 为 的直径， ，得到 ，从而得到
，得到 ，得到
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∵点D是 的中点，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
20．(1) 的度数为 ；
(2)
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有
一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．
（1）求出 的度数，求出 所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）作 ，如图，根据垂径定理得到 ，再利用勾股定理计算出 ，接着利用面积
法计算出 ，然后利用勾股定理计算出 ，从而得到 的长．
【详解】（1）解：连接 ，
， ，
，
，，
，
，
的度数为 ；
（2）解：作 ，如图，则 ，
在 中， ，
∴ ，
，
，
在 中， ，
．
21．(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）根据垂径定理进行求解；
（ ）根据垂径定理得到 ， ，，再根据勾股定理可求出
，进而即可解答；
本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵ 是 的直径， ，∴ ， ，故 正确，
∴ ，故 正确，
而②不一定正确，
故选： ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
故答案为： ．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形 为平行四边形，根据 为半圆的中点可得
，根据矩形的判定可得平行四边形 为矩形，即可证明；
（2）连接 ， ，交于 ，结合（1）易知四边形 为正方形，可证 ，得
，再证 垂直平分 ，进而证明 ，再根据角度之间的互余关系可
得 ，即可则证明 ．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ 为半圆的中点，
∴ ，即 ，
∴平行四边形 为矩形．
∴ ，
∴ ．
（2）证明：连接 ， ，交于 ，
由（1）可知平行四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆的基本性质，矩形、正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质、等腰三角形
的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查垂径定理，弧，弦，角之间的关系，勾股定理．掌握相关知识点，是解题的关键．
（1）垂径定理，得到 ，进而得到 ，根据等边对等角结合等角的余角相等，得到
，进而得到 ，即可得到 ，即可；
（2）勾股定理求出 ，设 ，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．是 的弦，半径 ，
是 的中点．
．
．
．
，
．
， ．
．
．
．
即 为 的中点．
（2）如图，连接 ．
半径 ，垂足为 ， ，
．
是 的中点， ，
．
．
在 中， ．
设 ，则 ，
．
，即 的半径为 ．24．(1)证明见解析
(2)13
【分析】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识．
（1）欲证明 ，只要证明 即可；
（2）过点O作 于点E，交 于点F，连接 ，根据
得出 ，在 中利用勾股定理求出 ，设 的半径为r，则 ，利用勾股定理求
出r即可．
【详解】（1）证明： ，
，
，即 ，
；
（也可通过证明三角形全等解决）
（2）解：如图，过点 作 于点 ，交 于点F，连接 ， ，
， ，
又 ， ，
，
，
在 中， ，设 的半径为 ， 中， ，
，
解得 ，即 的半径为13．
