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专题 24.6 求图形旋转后扫过的面积
◆ 典例分析
【典例1】如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB=8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线
段DB扫过的图形面积为是 ．
【思路点拨】
本题考查了扇形面积和阴影部分的面积计算．将阴影部分面积转化为两扇形面积的差是解题的关键．由于
绕点O点逆时△ODB针旋转60°得到△OD′B′．可见，阴影部分面积为扇形OBB′面积减去扇形ODD′,分
别计算两扇形面积，再计算其差即可．
【解题过程】
解：如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，
1
∴ AD=BD= AB=4
2
在Rt△OBD中，根据勾股定理可得：
OB2−OD2=BD2=16．
∵ △ODB绕点O点逆时针旋转60°得到△OD′B′，
∴ △ODB≌△OD′B′，
∴ ∠DOD′=∠BOB′=60°，
60°π·OD2 OD2
∴扇形ODD′面积为： = π，
360° 660°π·OB2 OB2
扇形OBB′面积为： = π，
360° 6
OB2 OD2 π 16π 8π
∴阴影部分面积为： π− π= (OB2−OD2)= = ，
6 6 6 6 3
8π
故答案为： ．
3
◆ 学霸必刷
1．（2023·广东佛山·三模）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2，∠BOC=60°，
∠BCO=90°，将△BOC绕到心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影
部分）的面积为 ．（结果保留π）（ ）
1 1 1 1 1 ❑√3
A． π B． π− C． π D． π−
6 3 2 4 4 2
2．（2023九年级上·山东泰安·学业考试）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，
O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A BC 的位置，则整个旋转过程
1 1
中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
7 7 4 7 4
A． π− ❑√3 B． π+ ❑√3 C．π D． π+❑√3
3 8 3 8 3
3．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）将平行四边形ABCD的AD边与BC边分别绕点A、点B逆时针
旋转，得到矩形ABC′D′， 若此时C′、D、B 恰好共线，AB=2cm，AD=4cm，那么边CD扫过的面积
为（ ）4
A．8−4❑√3 B．4❑√3 C．12− π D．9
3
4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知A´B所在圆的半径为5，弦AB的长8，点P是A´B中点，
绕点A逆时针旋转 后得到 ，两位同学提出了相关结论：
A´B 90° A ´ B′
嘉嘉：AP的长为2❑√5；琪琪：AP扫过的面积为❑√5π
下列论正确的是（ ）
A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对
5．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆O的直径AB=8，弦CD=4❑√2，弦CD在半圆上滑动，
点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是CD的中点，则在整个滑动过程中线段BM扫
过的面积为（ ）
A．π B．❑√2π C．4π D．2π
6．（2024·山东淄博·二模）如图，在△AOC中，OA=3cm，OC=1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°
后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 cm2．7．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，将
△ABC绕点A逆时针旋转60°后得到△ADE．若AC=2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影
部分）的面积是 （结果保留π）．
8．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O
顺时针旋转45°到OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交x轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转
1 1 1 2 1 2 2
45°到OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交y轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转45°到OA ，
3 2 3 4 3 4 4 5
扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交x轴于点A ；……；按此规律，则S 的值为 ．
3 5 6 5 6 2024
9．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）将Rt△AOB如图放置在直角坐标系中，并绕O点顺时针旋转90°
至△COD的位置，已知A(−2,0)，∠ABO=30°．则△AOB旋转过程中所扫过的图形的面积为 ．10．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=4，点P为半圆上的一个动
点（不与点A，B重合），D在AB延长线上，作∠PAB，∠PBD的平分线，相交于点C，则∠C=
°；在点P移动的过程中，线段AC扫过的面积= ．
11．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点均在格点上，
点C的坐标为(4,−1)．
（1）将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到对应的△A B C ，请画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（2）C点运动到C 的过程，线段OC扫过的图形的面积为_______．
1
12．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点的坐标分别为
A(2，3)，B(2，1)，C(5，1)，把△ABC绕着点A按顺时针方向旋转90°得到△AEF，点B的对应点
为E，点C的对应点为F．（1）在图中画出△AEF；
（2）点C的运动路径长为____________；
（3）旋转过程中线段BC扫过的面积为______．
13．（2023·四川绵阳·一模）如图，在直角坐标系中，线段A B 是将△ABC绕着点P(3,2)逆时针旋转一定
1 1
角度后得到的△A B C 的一部分；
1 1 1
（1）在坐标系中画出△A B C ，并写出点C的对应点C 的坐标；
1 1 1 1
（2）求出线段AC在旋转过程中所扫过的图形的面积．
14．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是
A(2,−1)，B(1,−2)，C(3,−3)．（1）将△ABC向上平移5个点位长度，再向左平移4个点位长度，得到△A B C ，请画出△A B C ，
1 1 1 1 1 1
并写出点A 的坐标；
1
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A B C ，并写出点A 的坐标；
2 2 2 2
（3）将△ABC绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A B C ，求线段AC在旋转过程中扫过的面积(结果保
3 3 3
留π)．
15．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，
（1）将△ABC向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出△ABC平移后的图形△A B C ，
1 1 1
并写出相应坐标；
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形△AB C ，并写出B 坐标；
2 2 2（3）在（2）的条件下，求线段BC在旋转过程中扫过图形的面积．
16．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C，
点O为坐标原点（网格纸中每个小正方形的边长为1）．（无刻度的直尺作图）
（1）画出该图中弧所在圆的圆心P的位置（保留作图痕迹），则点P的坐标为______．4
（2）分别连接AC、PA和PC，求线段AC绕着点P旋转 ∠APC的度数所形成的图形的面积．
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