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第 26 讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．
2．诱导公式
一 二 三 四 五 六
2kπ＋
π＋α －α π－α －α ＋α
α(k∈Z)
sin α －sin α －sin α sin_α cos_α cos_α
cos α －cos α cos α － co s_α sin_α － si n_α
tan α tan α －tan α － ta n_α
3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：
即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法．
4、三角形中的三角函数关系式
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；
sin＝sin＝cos；
cos＝cos＝sin.
1、【2022年浙江】设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为sin2x+cos2x=1可得：
当sinx=1时，cosx=0，充分性成立；当cosx=0时，sinx=±1，必要性不成立；
所以当x∈R，sinx=1是cosx=0的充分不必要条件.
故选：A.
2、【2021年新高考1卷】若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
1、（2022·山东威海·三模）已知 ， ，则 ___________.
【答案】
【解析】由题知： ，
因为 ，所以 .
故答案为：
2、已知 ，则 （ ）A． B．6 C． D．
【答案】B
【解析】化简
所以 ，故选B。
3、在△ABC中，下列结论不正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C
D．cos(A＋B)＝cos C
【答案】 D
【解析】在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确．
sin ＝sin＝cos ，B正确．
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C正确．
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误．
4、化简：的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】：B
【解析】：原式＝＝＝＝－1
5、（2022·湖南益阳·一模）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可知：
∴ ，∴ ，
又 = = .
故选C.6、（2022·河北唐山·三模）若 ，则 ___________．
【答案】4
【解析】因为 ，两边同时平方得 ，即 ，所以
，
因此 ，
故答案为：4.
考向一 三角函数的诱导公式
例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝．
(1)若cos＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
【解析】：f(α)＝＝－cosα．
(1) ∵ cos＝－sinα＝，∴ sinα＝－．
∵ α是第三象限的角，
∴ cosα＝－＝－．
∴f(α)＝－cosα＝．
(2) f(α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－．
变式1、已知f(α)＝，则f的值为 ．
【答案】
【解析】 因为f(α)＝＝＝cos α，所以f＝cos
＝cos ＝.
变式2、 求值：sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)＝______；
【答案】 1
【解析】 原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin (3×360°＋120°)·cos (3×360°＋210°)－
cos (2×360°＋300°)·sin (2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin (180°－60°)cos (180°
＋30°)－cos (360°－60°)sin (360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.
方法总结：1、熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
考向二 同角函数关系式的运用
例2、已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.求：
(1) sin x－cos x的值；
(2) 的值．
【解析】 (1) sin x＋cos x＝两边平方，
得sin2x＋2sinx cos x＋cos2x＝，
整理，得2sinx cos x＝－，
所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝.
由x∈(－π，0)，知sin x＜0.
又sin x＋cos x＞0，
所以cos x＞0，则sin x－cos x＜0，
故sin x－cos x＝－.
(2) ＝＝＝
＝－
变式1、(1)若α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为_ __．
(2)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为__ __．
【答案】（1）－.（2）.
【解析】 (1)由tanα＝－，得sinα＝－cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知
cosα＜0，∴cosα＝－，sinα＝，故sinα＋cosα＝－.
(2)∵＜α＜，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－
2×＝，∴cosα－sinα＝.
变式2、（2022鄂尔多斯第一中学月考）化简：
(1) cos α＋sin α（α是第二象限角）；
(2) sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α.
【解析】(1) cos α＋sin α＝cos α·＋sinα·
＝cosα·＋sin α·
＝cos α·＋sin α·＝－1＋sin α＋1－cos α＝sin α－cos α.
(2) sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α＝sin2α(sin2α＋cos2α)＋cos2α＝sin2α＋cos2α＝1.变式3、已知2cos2α＋3cosαsin α－3sin2α＝1，α∈.求：
(1)tan α的值；
(2) 的值．
【解析】 (1) 因为2cos2α＋3cosαsin α－3sin2α＝1，且cos2α＋sin2α＝1，
所以＝1，
所以＝1，
解得tanα＝－或tan α＝1.
又α∈，所以tan α＝－.
(2) ＝＝＝－.
方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利
用＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的
应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
所求式是关于sinα，cosα的齐次式时，分子分母同除以cosα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求
解能力，考查函数与方程思想．
考向三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用
例3、已知cos(75°+α)=，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值．
【解析】：因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，
由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)<0，
所以sin(75°+α)= ．
1
因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°- (75°+α)]= -cos(75°+α)=- ，
3
所以cos(15°-α)+sin(α-15°)=
变式1、已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .
【答案】 0
【解析】因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，
(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，
所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)
＝－，
sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]
＝cos(75°＋α)＝.
所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－＋＝0.
变式2、 已知tan ＝，则tan ＝ ．【答案】 －
【解析】 tan ＝tan [π－（－α）]＝－tan ＝－.
变式3、已知sin ＝，则sin （x－）＋sin2的值为 ．
【答案】
【解析】sin ＋sin2
＝sin＋sin2
＝－sin＋cos2
＝－sin＋1－sin2＝.
方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活
使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
1、（2022·广东广州·一模）若 ， ，则 ___________.
【答案】
【解析】解：因为 ， ，所以 ，因为 ，所以
所以
故答案为：
2、（2022·湖南·长郡中学一模）已知角 的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线
垂直，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为角 的终边与直线 垂直，即角 的终边在直线 上，
所以 ， ，
故选：B．3、（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知 ，则 ______．
【答案】0或1##1或0
【解析】由 得： ，
则 ， ，所以 或 .
故答案为：0或1
4、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ， ， ，
，
，所以 .
故选：C
5、（2022·广东茂名·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
故选：B.
6、（2022·福建三明·模拟预测）已知 ，则
（ ）
A．－ B． C．－ D．【答案】A
【解析】
所以
故选：A
7、（2022·湖北·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以
.
故选：D.
8、（2022·辽宁葫芦岛·二模）若 ，则 （ ）
A． B． C．-3 D．3
【答案】C
【解析】 ，
分子分母同除以 ，
，
解得：
故选：C
