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专题5.10 平行线的判定（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】两直线平行的判定方法1
判定方法1：同位角相等，两直线平行.
如图1，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
图1
【知识点二】两直线平行的判定方法2
判定方法2：内错角相等，两直线平行.
如图2，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
图2
【知识点三】两直线平行的判定方法3
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.
如图3，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）图3
特别提醒：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【考点目录】
【考点1】同位角相等，两直线平行； 【考点2】内错角相等，两直线平行；
【考点3】同旁内角互补，两直线平行；【考点4】垂直于同一直线的两直线平行.
【考点1】同位角相等，两直线平行
【例1】（2022上·黑龙江绥化·七年级统考期末） ， ， ． 与
平行吗？为什么？
解： ．
，
，
即 ．
又 ，
且 ，
∴ ．
理由是： ．
．理由是： ．
【答案】90；90； ， ；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】由 垂直于 ，利用垂直的定义得到 为直角，进而得到 与 互余，再由 与
互余，根据 ，利用等角的余角相等得到 ，利用同位角相等两直线平行即可得证．
解： ．
，
，
即 ．
又 ，
且 ，
．
理由是：等角的余角相等．
．
理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：90；90； ， ；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
【点拨】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图能判断
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，逐项判断，即可求解．
解：A、 与 是对顶角，无法判断 ，故本选项不符合题意；
B、 与 是同旁内角，无法判断 ，故本选项不符合题意；C、 能判断 ，故本选项符合题意；
D、 与 是邻补角，无法判断 ，故本选项不符合题意；
故选：C
【变式2】（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，要使 ，需添加的一个条件是
（写出一个即可）
【答案】
【分析】根据同位角相等两直线平行，图中 和 为同位角，所以加上 即可．
解：∵图中 和 为同位角，
根据同位角相等两直线平行，则加上 ，可得 ．
【点拨】本题比较简单，记住平行线的判定定理即可．
【考点2】内错角相等，两直线平行
【例2】（2023上·七年级课时练习）如图，已知 于点 于点 ．试说
明： ．
解： （已知），
（__________）．
同理， ．
（__________），
即 ．
（已知）
_______（___________）．
∴_____ _____（____________）．【答案】垂直的定义，等量代换， ，等量代换， ， ，内错角相等，两直线平行
【分析】根据垂直的定义得到 ，推出 ，得到 ，由
此证得 ．
解： （已知），
（垂直的定义）．
同理， ．
（等量代换），
即 ．
（已知）
（等量代换）．
∴ （内错角相等，两直线平行）．
【点拨】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【变式1】（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，如果 与 、 与 分别互补，
那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同角的补角相等，平行线的判定；
根据同角的补角相等可得 ，根据内错角相等，两直线平行可得 ．
解：∵ 与 、 与 分别互补，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【变式2】（2024下·全国·七年级假期作业）小友把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边
， 在同一条直线上，可以得到 ．【答案】
【解析】略
【考点3】同旁内角互补，两直线平行
【例3】（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）请将下列证明过程补充完整：
已知：如图， 平分 ， 平分 ，且
求证： ．
证明：∵ 平分 ，
∴ ．
∵ 平分 （已知），
∴ ______（角的平分线的定义）．
∴ （______）．
即 ．
∵ （已知），
∴ ______（______）．
∴ （______）．
【答案】角平分线的定义， ，等式性质， ，等量代换，同旁内角互补，两直线平行．【分析】本题主要考查了平行线的判定的运用，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行．先根据角
平分线的定义，得到 ，再根据 ，即可得到
，进而判定 ．
解：∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）．
∵ 平分 （已知），
∴ （角的平分线的定义）．
∴ （等式性质）．
即 ．
∵ （已知），
∴ （等量代换）．
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义， ，等式性质， ，等量代换，同旁内角互补，两直线平行．
【变式1】（2023下·七年级课时练习）如图，下列能判定 的条件有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】略
【变式2】（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，对于下列条件：① ；
② ；③ ；④ ；其中一定能判定 的条件有 （填写所有正确条件的
序号）．【答案】 /
【分析】①本题③考③查①了平行线的判定，准确识图是解题的关键．
根据平行线的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：① ，
，符合题意；
② ，
，故本选项错误；
③ ，
，故本选项正确；
④ ；
，故本选项错误；
故选答案为：①③．
【考点4】垂直于同一直线的两直线平行
【例4】（2023下·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，三角形 中， ． 请依次解决
下列问题：
（1）作 交 于点D，作 于点E；
（2） 度； 与 的位置关系是 ；
（3）点A到直线 的距离是图中线段 的长度．
【答案】（1）见分析；（2）30； ；（3）
【分析】（1）利用三角板的两条直角边作图即可；
（2）由垂直的定义可得 ，进而可求出 的度数；根据垂直于同一直线的两条直线互
相平行可判断 与 的位置关系；
（3）根据点到直线距离的定义求解即可．
解：（1）如图，（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：30； ；
（3）∵ ，
∴点A到直线 的距离是图中线段 的长度．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂线的定义及作法，角的和差，平行线的判定，以及点到直线的距离，熟练掌握
各知识点是解答本题的关键．
【变式1】（2023下·山东滨州·七年级校考期末）在同一平面内， 是直线，下列关于它们位置
关系的说法中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理的推论判断求解即可．
解：若 ，则 ，故A错误，不符合题意；
若 ，则 ，故B错误，不符合题意；
若 ，则 ，故C错误，不符合题意；
若 ，则 ，故D正确，符合题意；
故选：D．【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理
是解题的关键．
【变式2】（2023上·全国·八年级专题练习）已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若 ，
，则a c．
【答案】 /平行
【分析】本题考查了平行线的判定，熟知在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解
题的关键．
解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点5】平行线判定探究
【例5】（2021下·福建厦门·七年级校考期中）已知：如图，点 、 、 三点共线，
， ， 平分 ， ，问： 与 有什么位置关系？请写出推理过
程．
【答案】 ，推理见分析
【分析】由 得到 ，求出 ，由 平分 得到
，进而得到 ，根据平行线的判定证明结论．
解： ，
证明如下：∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】此题主要考查了平行线的判定、垂线的定义、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判
定是解题的关键．
【变式1】（2022下·四川绵阳·七年级统考期末）在探究“过直线外一点P作已知直线a的平行线”
的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组
合是（ ）
①平角的定义；②邻补角的定义；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，
内错角相等．
A．②④ B．③⑤ C．①②⑤ D．①③④
【答案】D
【分析】如图5，设直线PA与纸片的边相交于点M、点N，直线AB与纸片的边交于点H，根据翻折
变换的性质推出∠PAB=∠PAH，∠MPC=∠APC，然后根据平角∠MPA=∠HAB=180°，即可推出
∠PAB=∠PAH=90°，∠MPC=∠APC=90°，即得b平行于a．
解：如图5，设直线PA与纸片的边相交于点M、点N，直线AB与纸片的边交于点H，∵如题图2，对折后，射线AH与射线AB重合而产生折线AP，
∴∠PAB=∠PAH（角平分线的定义），
∵如题图3，对折后，射线PM和射线PA重合而产生折线PC，
∴∠MPC=∠APC（角平分线的定义），
∵点M、P、A在同一条直线上，点B、A、H在同一条直线上，
∴∠MPA=∠HAB=180°（平角的定义），
∴∠PAB=∠PAH=90°，∠MPC=∠APC=90°．
∴b∥a（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：D．
【点拨】本题主要考查翻折变换的性质，关键在于通过相关的性质推出∠PAB=∠PAH，
∠MPC=∠APC，确定∠MPA和∠HAB为平角．
【变式2】（2023下·河北秦皇岛·七年级统考期中）如图所示，直线 上有两点A，C，分别引两条
射线 ， ， ，射线 别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时
顺时针转动，设时间为t，在射线 转动一周的时间内，使得 与 平行所有满足条件的时间
秒．
【答案】5或 / 或5
【分析】分① 与 在 的两侧时，分别表示出 与 ，然后根据内错角相等两直线
平行，列式计算即可得解；② 旋转到与 都在 的右侧，分别表示出 与 ，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③ 旋转到与 都在 的左侧，分别表示出 与
，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
解：∵ ，
∴ ，
分三种情况：
如图①， 与 在 的两侧时， ， ，
要使 ，则 ，
即 ，
解得 ；
如图②， 旋转到与 都在 的右侧时，
， ，
要使 ，则 ，
即 ，解得 ；
如图③， 旋转到与 都在 的左侧时，
， ，
要使 ，则 ，
即 ，
解得 ，
此时 ，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为5秒或 秒时， 与 平行．
故答案为：5或 ．
【点拨】本题考查了平行线的判定、一元一次方程的应用，读懂题意并熟练掌握根据平行线的判定方
法列方程是解题的关键，要注意分情况讨论．
