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专题5.17 平行线的性质（题型分类拓展）
【题型分类目录】
【题型1】旋转问题； 【题型2】平行线上的动点问题；
【题型3】最值问题； 【题型4】折叠与重合问题.
一、单选题
【题型1】旋转问题
1．（2023下·广东珠海·七年级校考期中）如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中
， ， ，保持三角板 不动，三角板 可绕点C旋转，则下列结论：
① ；② 随着 的交化而变化；③当 时，则
或 ；④当 时， 一定垂直于 ．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022下·吉林长春·七年级统考期末）如图①，在△ABC中， ， ．如图②，将
图①中的边CB边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置 ，得到线段 ．在整个旋转的过程中，
若 ，则 的大小为（ ）
A．73° B．107° C．73°或107° D．42°或107°3．（2021下·重庆·七年级西南大学附中校考期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝
45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O
从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法错误的
是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB
B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
【题型2】平行线上的动点问题
4．（2023下·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期末）如图，已知 ， ，点P
是射线 上一动点（与点A不重合）， 、 分别平分 和 ，分别交射线 于点C、
D，下列结论：① ；② ；③当 时， ；④当点P运动
时, 的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2020下·河北唐山·七年级统考期中）如图，直线 ，点P是直线 上一个动点，当点P
的位置发生变化时， 的面积（ ）A．向左移动变小 B．向右移动变小 C．始终不变 D．无法确定
6．（2022下·四川绵阳·七年级统考期末）如图，点A，B两点分别是 两边OM，ON上的动点．
过点B作OA的平行线与 的平分线AC交于点C，若 ，则下列结论一定成立的是
（ ）
A． B．
C．CO平分 D．
【题型3】最值问题
7．（2022·湖北荆州·统考一模）一副三角尺的位置如右图所示，其中三角尺ADE绕点A逆时针旋转α
度，使它的某一边与BC平行，则α的最小值是（ ）
A．15° B．30°
C．60° D．150°
8．（2021下·安徽合肥·八年级统考期末）如图， ，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，
C分别为 ， ， 上的动点，连接AB、AC、BC，AC与 交于点D， ，则BD的最小值为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【题型4】折叠与重合问题
9．（2023下·山东菏泽·七年级统考期中）如图，将一张长方形纸条 沿 折叠后， 与 交
于点 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021下·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，把一张对边互相平行的纸条，
沿 折叠，则以下结论：① ；② ；③ ； ④
， ⑤ ．其中正确的结论有（ ）
A．①⑤ B．②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
11．（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如下图，一张长方形纸片 ，分别在边 ，
上取点M，N，沿 折叠纸片， 与 交于点K，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【题型1】旋转问题
12．（2023上·黑龙江大庆·八年级大庆一中校考期中）如图，直线 ，将一副三角板中的两块
直角三角板如图放置， ， ，固定 的位置不变，将 沿 方向平移至点F正好落在直线 上，再将 绕点F顺时针方向以每秒 的
速度进行旋转，当 与直线 首次重合时停止运动当经过t秒时，线段 与 的一条边平行，则t
的值 ．
13．（2023下·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知直线 ，点 、 分别在 、 上，如
图所示，射线 按顺时针方向以每秒 的速度旋转至 便立即回转，并不断往返旋转；射线 按顺时
针方向每秒 旋转至 停止．此时射线 也停止旋转，若射线 先转 秒，射线 才开始转动，当
射线 旋转的时间为 秒时， ．
14．（2023下·河南信阳·七年级校联考阶段练习）《大宋・东京梦华》选择在清明上河园皇家园林区
的景龙湖上实景演出，充分利用了亭台楼榭、水榭桥廊，构成了一个完整的古典实景剧场．剧场灯光由位
于点 和点 的两盏激光灯控制．如图，光线 与灯带 的夹角 ，点 的激光灯发出的光线
以10度/秒的速度绕点 从 边顺时针 旋转，设时间为 ，在光线 转动一周的时间内，当时
间 的值为 s时， ．
【题型2】平行线上的动点问题
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）如图， ，
在 上、 在 上，连接 ，线段 上有一动点 ，作 ， 在 左侧，连接 、 ，
作 的角平分线 ，满足 ，若 ，则 的度数为 ．16．（2023下·河南新乡·七年级统考期末）如图，直线 ，点E，F分别在直线 ， 上，
点P为直线 与 间一动点，连接 ， ，且 ， 的平分线与 的平分线交于
点Q，则 的度数为 ．
17．（2023下·河北承德·七年级统考期末）如图直线 在 上， 为 上动点，过 作
的角平分线交 与 ，若 ．
（1） 时， ．
（2） ， ；
（3）写出 数量关系： ．
【题型3】最值问题
18．（2023下·陕西西安·七年级校考期中）已知：如图， ， ，且
，点 是线段 上的一个动点，则 的最大值与最小值的差是 ．19．（2022下·山东聊城·七年级统考期末）如图，直线 ，且a、b之间相距 ，点P是直线a
上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段 的最小值是 ．
20．（2023下·湖南郴州·七年级统考期末）如图，直线 ，且a，b之间相距 ．点P是直线a
上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段 的最小值是 ．
【题型4】折叠与重合问题
21．（2021下·湖北武汉·七年级统考期中）如图 ，已知长方形纸带 ，将纸带沿 折叠后，点
、 分别落在 、 的位置，再沿 折叠成图 ，若 ，则 °．
22．（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）如图，把一张两边平行的纸条沿着 折叠，若
，则 的度数是 ．23．（2023下·福建宁德·七年级统考期末）如图，将一条长方形彩带 进行两次折叠，先沿折痕
向上折叠，再沿折痕 向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角 ，则第一次折叠时 应
等于 ．
三、解答题
【题型1】旋转问题
24．（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有 、 的三角板
如图放置， 与直线 重合，且三角板 ，三角板 均可以绕点P逆时针旋转．
（1）如图①， 度；
（2）如图②，三角板 不动，三角板 从图示位置开始绕点P按逆时针方向旋转一周，旋转过
程中，当 时，旋转角为多少度？
（3）如图③，若三角板 的边 从 处开始绕点P逆时针旋转，转速 /秒，同时三角板
的边 从 处开始绕点P逆时针旋转，转速 /秒（ 转到与 重合时，两三角板都停止转动）．
问：两个三角板旋转过程中， 是否为定值? 若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．25．（2023下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为
了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图，灯A射线自 开始顺时针旋转至 便
立即回转，灯 射线自 顺时针旋转至 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若 转动的速度是 /秒，
转动的速度是 /秒，且 、 满足 ，假定主道路是平行的，即 ，且
．
（1）求 和 的值，并求 的度数．
（2）若灯 先转动30秒，灯A才开始转动，在灯 到达 之前，灯A转动几秒，两灯的光束第一
次互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A到达 之前，若射出的光束交于点 ，过 作 交 于
点 ，则在转动过程中， 与 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改
变，请说明理由．【题型2】平行线上的动点问题
26．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图， ，点 、 分别在直线 、 上，点
是 、 之间的一个动点．
【感知】如图①，当点 在线段 左侧时，若 ， ，求 的度数．
分析：从图形上看，由于没有一条直线截 与 ，所以无法直接运用平行线的性质，这时需要构造
出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点 作 ，根据两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行，可知 ，进而求出 的度数．
【探究】如图②，当点 在线段 右侧时， 、 、 之间的数量关系为______ ．
27．（2023上·河南南阳·七年级校考期末）如图，已知 ．点P是射线 上一动
点（与点A不重合）， ， 的角平分线分别交射线 于点C，D．
（1）① 的度数是______；
②∵ ，∴ ______；
（2）求 的度数；
（3）当点P运动时， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之
间的关系；若变化，请写出变化规律．
（4）当点P运动到使 时， 的度数是______．【题型3】最值问题
28．（2023下·湖南长沙·七年级统考期末）将一块三角板 （ ， ）按如图①
所示放置在锐角 内，使直角边 落在 边上，记 ，现将三角板 绕点B逆时针以
每秒 的速度旋转t秒（直角边 旋转到如图②所示的位置，且点A始终在 内），过点A作
交射线 于点M， 平分 交射线 于点D，其中m的值满足使代数式 取得
最小值．
（1）m的值为________；
（2）当 秒时，求 的度数；
（3）在某一时刻，当 时，试探求 与 之间的数量关系．
29．（2021下·山东烟台·七年级统考期中）如图，直线 ，点A，D在直线b上，射线AB交直线a
于点B， 于点C，交射线AB于点E， ， ，P为射线AB上一动点，P从A点
出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．
（1）当 时， 有最小值，求m的值；
（2）当 （m为（1）中的取值）时，探究 、 与 的关系，并说明理由；（3）当 （m为（1）中的取值）时，直接写出 、 与 的关系．
【题型4】折叠与重合问题
30．（2023下·河南郑州·七年级统考期末）综合与实践
问题背景：
数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边 ，
， ，点 为线段 上一动点 ，将纸片折叠，使点B和点
重合，产生折痕 ，点E是折痕与边 的交点，点F是折痕与边 的交点．
动手操作：
（1）如图1，若点E与点A重合时，则 的度数为______．
实践探究：
（2）如图2，移动点 ，其余条件不变．
①小静发现图中无论点 如何移动， 始终成立，请说明理由；
②小东发现折叠后所形成的角，只要知道其中一个角的度数，就能求出其它任意一角的度数，若
，求 的大小．
31．（2022下·浙江台州·七年级统考期末）如图1，有一张四边形ABCD纸片， ，点E，F分
别在AD，BC上，把纸片沿EF折叠，点D，C分别与点G，H重合，FH交线段AD于点P．
（1）求证：∠GEA＝∠HFB；
（2）如图2，∠D＝70°，猜想当∠EFC多少度时， ，并说明理由．参考答案：
1．A
【分析】①依据 ， ，可得 ；
②依据 ，即可得到 ；
③画出图形，根据平行线的判定，即可得到当 等于 或 时， ；④画出图形，根据 ， ，即可求出 的度数，根据平行线的
判定以及垂直的定义得到此时 与 的位置关系．
解：① ， ，
；
故①正确．
② ，
，
，是定值；
故②错误．
③如图1所示，
当 时， ，
，
如图2所示，当 时， ，
，
当 时，则 或 ；
故③错误．
④设 ，则 ．
如图
由（1）可知， ，
，
解得： ，
即 ，
，
；
如图
由（1）得： ，
，
，，
，
．
此时 或 ；
故④错误．
综上所述：只有①正确，所以正确的个数有 个．
故选：A．
【点拨】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题
的关键．
2．C
【分析】分两种情况画出图形求解即可．
解：如图，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
如图，
∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
综上所述： 或73°．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，以及平行线的性质，运用分类讨论思想是解决问题的关键．
3．B
【分析】设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，可得∠OMN＝α＋∠A＝60°，可证
DC∥AB；当OC⊥AB时，α＋∠A＝90°，可得α＝30°；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，
则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况；整个旋转过程，其中DC边可以与OB，OA，AB分
别平行时，之后OC可以和AB平行，OD可以和AB平行，可以得到5个位置，这5个位置再旋转180度又
是平行的，所以可以得到10不同的位置．
解：设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，
当α＝15°时，∠OMN＝α＋∠A＝60°，
∴∠OMN＝∠C，
∴DC∥AB，
故A说法正确，不符合题意；
当OC⊥AB时，α＋∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，
∴α＝45°或225°，
故B说法错误，符合题意；
当边OB与边OD在同一直线上时，
此时， ，
，
∴ ；
当边OB与边OD在同一直线且不重合时，此时， ，
∴
故C说法正确，不符合题意；
整个旋转过程，其中DC边可以与OB，OA，AB分别平行时，之后OC可以和AB平行，OD可以和
AB平行，可以得到5个位置，这5个位置再旋转180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置，所以
D说法正确不符合题意，
故选B．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能
够熟练掌握相关知识进行求解．
4．C
【分析】根据 ,可以得知 ， ；由于 分别平分
,可知 ， .
解：∵ ， 和 为内错角，
∴ ，①正确；
∵ ， ，
∴ ，∴
又∵ 为角平分线，
∴ ， ，
∴ ，②正确；
∵ ，
又∵ ，即
∴ ,③错误；
∵ ,
又∵ 为 的角平分线
∴ ，④正确；
故选：C .
【点拨】本题主要考查了平行线和角平分线的性质，记住基本的结论，此类题目便可迎刃而解.
5．C
【分析】根据平行线间的距离处处相等可得点P到 的距离不变，因此三角形的面积不变．
解：∵直线 ，点P是直线 上一个动点，
∴无论点P怎么移动，点P到 的距离不变，
∴ 的底不变，高不变，面积也不变，
故选：C．
【点拨】本题考查平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．
6．C
【分析】根据平行线的性质可得∠MAC＝∠ACB，再根据 可求出∠ACO＝∠BCO，
问题得解．
解：∵OA∥BC，
∴∠MAC＝∠ACB，
∵ ，∠ACB＝∠ACO＋∠BCO，
∴∠ACO＝∠BCO，即CO平分 ，
而 ， ， 均无法得出，
故选：C．【点拨】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
7．A
【分析】当△ADE绕A点逆时针旋转时，AE边最先与BC平行，利用平行线的性质即可求解．
解：当△ADE绕A点逆时针旋转时，AE边最先与BC平行，如图：
∵AE∥BC，
∴∠C=∠CAE=60°，
∵∠DAE=45°，
∴∠CAD=∠CAE-∠DAE=15°，
则α的最小值是15°，
故选：A．
【点拨】本题考查了平行线的性质，直角三角板的角的度数的知识，熟记性质是解题的关键．
8．A
【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题
意求解即可．
解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，
此时，AD=CD，∠ABC=90°，
∴BD=AD=BD= AC=2，
∴BD的最小值为2．
故选：A．
【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．
9．A
【分析】由折叠的性质可得 ，利用平行线的性质可得 ，则可求得
，可求得 ，即可求 的度数．
解：由题意得： ， ，
，
，
，．
故选：A
【点拨】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
10．D
【分析】根据平行线的性质，以及折叠的性质即可判断①，根据平行线的性质可得 ，
，即可判断②，根据平行线的性质可得 ，根据对等角相等可得
，即可判断③，根据平行线的性质得出 ，根据邻补角的定义，即可判断④，
根据折叠的性质即可判断⑤
解：∵
∴
∵折叠，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵
∴
又
∴
∴ ，故②正确
∵
∴
又
∴ ，故③正确
∵ ， ,
又
∴∴
∵
∴ ，故④正确；
根据折叠的性质可得 ，故⑤正确，
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，邻补角的定义，熟练掌握折叠的性质，平行线的性
质是解题的关键．
11．A
【分析】依据平行线的性质，即可得出 ， ．再根据折叠可
得 ，最后依据 进行计算即可．
解：如图所示：
∵纸片 是长方形，
∴ ，
∴ ， ，
由折叠可得 ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解答此题的关键．
12． 或 或
【分析】本题考查了平行线的性质．分类讨论 、 、 三种情况，根据平行
线的性质确定旋转角 的大小即可求解．
解：①当 时，如图所示：∴ 秒
②当 时，如图所示：
∵ ，
∴
∴ 秒
③当 时，如图所示：
∴ 秒
综上所述：t的值为 或 或
13． 或 或
【分析】分三种情况：①当 时，②当 时，③当 时，根据平行线的
性质，得出角的关系，列出 的方程便可求得旋转时间．
解：①当 时，如图 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得， （ ）；②当 时，如图 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得， （ ）；
③当 时，如图 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得， （ ）；
综上，当射线 旋转的时间为 秒或 秒或 秒时， ．
故答案为： 或 或 ．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，关键是作平行线，分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．14．13或31/31或13
【分析】分点 在点 的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可．
解：当 时，
①当点 在点 的右侧时，
则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当点 在点 的左侧时，则：
∴ 绕点 旋转了 ，
∴ ；
综上： 的值为13或31；
故答案为：13或31．
【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是理清题意，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求
解．
15． /4度
【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线性质，根据题意得 和 ，
由 即可求得答案．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，解得 ．
故答案为： ．
16． 或
【分析】分两种情况讨论，当点 ， 在 同侧或异侧时，利用角平分线的定义和平行线的性质，
分别求解即可．
解：分两种情况讨论：
①如图1，过点 ， 分别作 ， ，
，
．
， ．
．
的平分线与 的平分线交于点 ，
， ．
，
，
同理可得 ；
②如图2，过点 ， 分别作 ， ，
，
．
， ．
，
．的平分线与 的平分线交于点 ，
， ．
．
，同①可得 ．
综上所述， 的度数为 或 ．
故答案为： 或
【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，
利用分类讨论的思想求解问题．
17． （变形式也正确）
【分析】（1）证明 ， ，可得 ，结合角平分线的定
义可得答案；
（2）证明 ， ，再利用平行线的性质可得答案；
（3）由（1）得： ，可得 ，再利用平行线的性质可得答案．
解：（1）∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵过 作 的角平分线交 与 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：（2）当 时，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：
（3）由（1）可得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点拨】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等，两直线平行
同旁内角互补是解本题的关键．
18．
【分析】当点M与点A重合时， 取最大值，此时 ，当 时， 取最小值，
根据 ，求出 最小值，即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
当点M与点A重合时， 取最大值，此时 ，
当 时， 取最小值，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ 的最大值与最小值的差是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；
垂线段最短．
19．4
【分析】通过平行线之间垂线段最短的理论可知PQ垂直于两条直线时，PQ的值最小，再根据a、b之间距离求出PQ即可．
解：当 时，根据垂线段最短，可以知道此刻PQ取最小值，
且a、b之间的距离为4cm，
的最小值是4cm，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了平行线之间的距离的定义，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是本题的关
键．
20．8
【分析】根据垂线段最短进行求解即可
解：∵直线 ，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，
∴根据垂线段最短可知，在运动过程中，当 时，线段 有最小值，
∵a，b之间相距 ，
∴线段 的最小值为 ，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了平行线之间的距离的定义和垂线段最短，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最
短是本题的关键．
21．
【分析】先根据 求出 的度数，进可得出 和 的度数，根据 和
三角形的内角和可得 的度数，再由折叠的性质可得 ．
解：∵ ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
由折叠可得： ，
∴ ．
故大为：72．【点拨】此题考查了平行线的性质，折叠的性质，根据折叠的性质得到角相等是解题的关键．
22． /50度
【分析】根据题意，得 ，结合 ，代入计算即可．
解：如图，根据题意，得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：50．
【点拨】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
23．77
【分析】如图所示，根据平行的性质可以得出答案．
解：如图：
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵彩带两边平行，
∴ ，
∵折叠，彩带两边平行，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：77．
【点拨】此题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
24．（1） ；（2） 或 ；（3）
【分析】（1）利用含有 、 的三角板得出 ，进而求出即可；
（2）分情况画出图形，利用平行线的性质可求解；
（3）设运动时间为t秒，则 ，得出 ， ， ，
则 ，可得出答案．
（1）解： ， ， ，
，
故答案为： ；
（2）解：分两种情况：
①如图，
， ，
，
，
，
三角板 绕点 逆时针旋转的角度为 ；
②如图，， ，
，
，
，
三角板 绕点 逆时针旋转的角度为 ；
（3）解：为定值．
理由如下：设运动时间为 秒，则 ，
， ， ，
，
．
【点拨】此题主要考查了角的计算，旋转及平行线的性质，利用数形结合得出等式是解题的关键．
25．（1） ， ， ；（2） 秒时，两灯的光束互相平行；（3） 和
关系不会变化，理由见分析
【分析】（1）根据 的非负性求a，b；根据 ，
，即可得到 的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，易证 ，即可列出 ，可得
；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据 ， ，即可得出
，据此可得 和 关系不会变化．
（1）解：∵ ，，
解得 ，
，
，
∵ ，
；
（2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
，
，
，
，
，
，
解得 ，
答：当 秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解： 和 关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，
，，
又 ，
，而 ，
，
，
∴ 和 关系不会变化．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进
行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
26．感知： 探究：
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题
的关键．
感知：过点 作 ，根据猪脚模型，即可解答；
探究：过点 作 ，根据铅笔模型，即可解答．
解：感知：解：过点 作 ，
，
，
，
，
，
的度数为 ；
探究：解：过点 作 ，
，，
，
，
，
，
故答案为： ．
27．（1）① ；② ；（2） ；（3） ，理由见分析；（4）
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等：
（1）①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行线的性质，两直线平行，
内错角相等可直接写出；
（2）由角平分线的定义可以证明 ，即可求出结果；
（3）不变， ，证 ，即可推出结论；
（4）可先证明 ，由（2），可推出 ，可得
，即可求出的度数．
（1）解：①∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（3）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（4）解：∵ ，
∴ ，
当 时，则有 ，
∴ ，
∴ ，
由（2） ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
28．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据绝对值的非负性可得当 ， 的值最小，从而可得当 时，代数
式 有最小值，即可解答；
（2）当 时， ，先利用直角三角形的两个锐角互余可得 ，从而可得
，然后利用平行线的性质可得 ，再利用角的和差关系，进行计算即可解答；
（3）先利用平行线的性质可得 ，从而可得 ，然后利用平行线的性
质可得 ，从而利用角平分线的定义可得 ，最后利用平行线的性质，进行计算即可解答．
（1）解：∵ ，
∴当 ，即 时，| 的值最小，
∴当 时，代数式 有最小值，
∴m的值为10；
故答案为：10．
（2）当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ；
（3） 与α之间的数量关系是： ，
理由：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 与α之间的数量关系是： ．【点拨】本题考查了平行线的性质，绝对值的非负性，以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质
是解题的关键．
29．（1）10；（2） ，见分析；（3） 或
【分析】（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，解答即可；
（2）当t＜m时，过P在AE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论；
（3）分两种情况讨论，当点P在线段BE上时，当点P在线段AB的延长线上时，然后仿照第（2）问
的证明方法，作出辅助线，根据平行线的性质可得结论．
解：（1）当点P与E不重合时，在 中， ，
当点P与E重合时，此时 最小，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
故 时， 值最小；
（2） ，理由如下：
如图，当 即 时，点P在AE上，过点P作 ，
∵ ，
∴ ．
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
（3）当m＜t≤15即10＜t≤15时，点P在线段BE上，过点P作PH a，如图：又∵a b，
∴PH a b，
∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，
∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，
又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，
∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，
即当10＜t≤15时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°；
当t＞15时，点P在线段AB的延长线上，过点P作PG a，如图：
又∵a b，
∴PG a b，
∴∠PCM+∠CPG＝180°，∠PDA+∠DPG＝180°，
∴∠CPG＝180°－∠PCM， ∠DPG＝180°－∠PDA，
又∵∠CPD＝∠DPG－∠CPG，
∴∠CPD＝（180°－∠PDA）－（180°－∠PCM）
＝180°－∠PDA－180°＋∠PCM
＝∠PCM－∠PDA，
∴∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
综上所述，当t＞10时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质及正确作出辅助线是
解题的关键．
30．（1） ；（2）①理由见分析；②【分析】（1）根据折叠的性质 ，再结合平行的性质可得答案；
（2）①根据平行线的性质可得答案；
②利用角的和差关系、折叠的性质可得 ，再由平行线的性质可得答案．
解：（1）根据折叠的性质可得 ，
∵点E与点A重合，
∴ ，即： ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）①∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
② ， ，
∴ ，
由①知 ，
由折叠可知 ，
又∵ ，
即
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】此题考查的是平行线的性质，折叠的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
31．（1）见分析；（2） ，理由见分析
【分析】（1）根据 可得 ，进而可得 ，而 ，由等量代换可
得结论；
（2）由翻折前后对应角的大小不变的性质可得∠G＝∠D＝70°，当∠EFC＝35°，可得∠HFC＝70°，
进而可得∠HPE＝∠HFC＝70°，又因为 ，可得∠GEP＝110°，由∠G＋∠GEP＝180°可得结论．（1）解：∵四边形ABCD沿EF折叠， ，
∴ ，
∴∠GEA＝∠EPF，
又∵ ，
∴∠EPF＝∠HFB，
∴∠GEA＝∠HFB；
（2）当∠EFC＝35°时， ，
∵四边形ABCD沿EF折叠，
∴∠G＝∠D＝70°，∠HFE＝∠EFC＝35°，
∴∠HFC＝70°，
又∵ ，
∴∠HPE＝∠HFC＝70°，
∵ ，
∠GEP＝110°，
∴∠G＋∠GEP＝180°，
∴ ．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
