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19.1 二次根式及其性质
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1. 理解二次根式的定义、性质；
2. 能利用二次根式的性质进行二次根式的化简.
【题型1】二次根式的辨识
1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列式子中，一定是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式 ， ， ， 中是二次根式的个数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（25-26九年级上·山西临汾·期中）下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】二次根式的有意义的条件
5．（2025·云南·模拟预测）若 有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）在有理数 中，要使二次根式 有意义，则 不可以取的
值是 ．
7．（25-26八年级上·四川成都·期中）若 ，则 的平方根为 ．
8．（25-26八年级上·上海·月考） 成立的条件是 ．【题型3】运用二次根式的性质化简
9．（25-26八年级上·宁夏银川·期中） ．
10．（25-26八年级上·河北唐山·期中） ．
11．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
12．（25-26八年级上·四川·月考） ．
13．（25-26九年级上·海南海口·月考）已知 ，化简： ．
14．（25-26七年级上·山东东营·月考）已知实数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简
．
15．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简
的结果是（ ）
A． B． C． D．
【题型4】计算
16．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）计算： ．17．（25-26九年级上·云南昆明·月考）计算： ．
18．（2025八年级上·上海·专题练习）计算：
【题型5】二次根式的整数值
19．（25-26八年级上·四川达州·月考）已知 是整数，则满足条件的最小正整数n是 ．
20．（25-26八年级上·上海·月考）对于 ，当 是整数时，最小的正整数 ．
21．（25-26八年级上·上海·月考）已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是
22．（25-26九年级上·海南海口·月考）若 是整数，则正整数n的最小值是 ．
【题型6】二次根式的应用
23．（24-25八年级下·吉林·月考）在平整的公路上，汽车紧急刹车后仍将滑行 ，一般有经验公式
，其中 表示刹车前的速度（单位： ）．请你根据以上信息，解答下列问题．
(1)若 ，则 ．
(2)当 时，求速度 的值（结果保留根号）．
24．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每
一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察摆钟发现：摆球摆动的快慢与摆长有关系．他们通过查阅资料
知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是： ，其中 表示周期
（单位： ）， 表示摆线长（单位： ）， ， 是圆周率．（ 取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到 ，参考数据： ， ）
(1)若一个摆钟的摆线长为 ，它摆动一个周期的时间是多少？
(2)一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为 ，求该摆钟的摆线长．
25．（24-25七年级下·陕西西安·期中）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一
种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满
足如下的关系式： ，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时
间．求冰川消失16年后苔藓的直径．
26．（24-25八年级上·江苏镇江·月考）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观
测点的高度为 ，观测者视线能达到的最远距离为 ，则 ，其中 是地球半径，约为 ．
(1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度 为 ，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求
此时 的值；
(2)已知一座山的海拔为 ，这座山到海边的最短距离为 ，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请
说明理由．27．（24-25八年级·全国·课后作业）一个底面为 的长方体玻璃容器中装满水，先将部分水倒入
一个底面为正方形，高为 的铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 ，则铁桶的底面边
长是多少？（结果保留根号）参考答案
题号 1 2 3 4 5 15
答案 D B C B D A
1．D
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如 的式子叫二次根式，据此逐项判断即
可求解﹒
【详解】解：A. 被开方数 ，不是二次根式，不合题意；
B. 是三次根式，不合题意；
C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意；
D. 是二次根式，符合题意．
故选：D
2．B
【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二
次根式的定义，“形如 的式子”，逐一判断各表达式即可．
【详解】解：下列各式 ， ， ， 中是二次根式的有 ，
，共2个；
故选B．
3．C
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判
断．
【详解】解：A、 ，被开方数 ，符合定义；
B、 ，被开方数 ，符合定义；
C、 ，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数 ，故该式子不一定是二次根
式，不符合定义；D、 ，被开方数 ，符合定义；
故选：C．
4．B
【分析】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次
根式的概念．形如“ ”且 的式子叫二次根式．
结合二次根式的定义即可求解．
【详解】解：A：在 中， ，不合题意，故错误；
B：在 中， ，符合题意，故正确；
C：在 中， 的正负性不可确定，不合题意，故错误；
D：在 中，根指数是3，不合题意，故错误；
故答案是：B．
5．D
【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义．根据 有意义得分母不为0，且
二次根式的被开方数为非负数，可求得 ，即可作答．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D
6．
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必
须大于或等于零，即 ，解得 ，在给定的有理数 、2、 中，只有 不
满足此条件，即可解决．【详解】解：要使二次根式 有意义，需满足 ，即 ，
在有理数 中， ， ，但 ，故 不可以取 ；
故答案为 ．
7．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，平方根定义，根据二次根式的被开方数
非负的性质，确定x的取值范围，进而求出x和y的值，然后计算 的值，最后求其平方
根即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
将 代入原式得： ，
∴ ，
16的平方根为 ．
故答案为： ．
8．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式
组，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此
列出不等式组求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
9．5
【分析】题目主要考查二次根式的化简，直接计算即可得出结果．【详解】解： ，
故答案为：5．
10．
【分析】本题考查二次根式的性质，掌握知识点是解题的关键．
根据二次根式的性质计算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
11．(1)2
(2)
(3)
(4)
【分析】该题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）根据 求解即可；
（2）根据 求解即可；
（3）根据二次根式的性质求解即可；
（4）根据二次根式的性质求解即可；
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解： ．
12． /
【分析】本题考查了化简二次根式．根据二次根式的性质， ，然后计算绝对值即可．
【详解】解：因为 ，
所以 ，
因此 ．
故答案为： ．
13．2
【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，判断 是解题的关键．先
根据x的范围得出 ，再化简二次根式和绝对值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
则原式 ．
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简二次根式，化简绝对值．直接利用数轴
得出 ，进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴得 ，
， ， ，
，
故答案为： ．
15．A
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．先观察数轴得 ，则 ，再化简
，即可作答．
【详解】解：观察数轴得 ，
则 ，∴
，
故选：A．
16．
【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先根据二次根式的性质进行化简，以及化简绝对值，再运算加减法，即可作答．
【详解】解：
．
17． ．
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据零指数幂、二次根式的性质、绝对值、负整
数指数幂和算术平方根分别化简，最后算加法即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
18．
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的
性质化简求值即可．
【详解】解： ，，
，
，
．
19．2
【分析】本题考查二次根式的定义和化简；先把 化简成 ，再根据 是整数分
析最小正整数n的值即可.
【详解】解：∵ 且是整数，
∴ 是完全平方数，
∴正整数n的最小值是2.
故答案为：2.
20．
【分析】本题考查了二次根式，由 即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴当 是整数时，最小的正整数 ，
故答案为： ．
21．
【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征．
首先把被开方数分解质因数，然后再确定 的值．
【详解】解： ，
是整数，
∴正整数 的最小值是 ．
故答案为： ．
22．3
【分析】本题考查了二次根式的化简，算术平方根，解题关键是根据 正整数，确定整
数n的最小值即可．【详解】解：∵ ，且 是整数，
∴正整数n的最小值是3．
故答案为：3
23．(1)12
(2)
【分析】此题主要考查了算术平方根的应用，
（1）把 代入公式计算即可；
（2）把 代入公式求解即可.
【详解】（1）解：根据题意，得
（2）根据题意，得 ．
．
， ．
24．(1) ；
(2)该摆钟的摆长为
【分析】本题考查二次根式的化简和利用二次根式的性质求解．
（1）将 代入 计算求出T，即可得解；
（2）令 求出l即可．
【详解】（1）解：将 代入 得： ，
答：它摆动一个周期的时间是 ；
（2）令 ，即 ，解得： ．
答：该摆钟的摆长为 ．
25．冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米
【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可；
【详解】解：把 代入 ，得 ．
解得 ．
冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米
26．(1) ；
(2)她站在山巅能看到大海，理由见解析．
【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键．
（1）将 ， 代入 即可求解；
（2）先将 ， 代入 ，得到此时 的值，与最短距离
比较即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
，
所以此时 的值为 ．
（2）解：能看到，理由如下
， ，
，
所以她站在山巅能看到大海．
27．
【分析】本题考查了算术平方根与二次根式性质的应用；设铁桶的底面边长是 ，根据
容器中倒出的水的体积等于铁桶中水的体积，列出方程，利用算术平方根求解即可．
【详解】解：设铁桶的底面边长是 ．
则 ，
即 ，所以 ．
答：铁桶的底面边长是 ．
