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2024-2025学年八年级下册开学考模拟测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：（本大题共12题，每题3分，共36分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，
选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．第19届杭州亚运会于2023年9月28日在杭州开幕，下列运动图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条
直线叫做对称轴进行分析即可．据此逐项判定即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．瑞典皇家科学院10月3日宣布，将2023年诺贝尔物理学奖授予皮埃尔・阿戈斯蒂尼、费伦茨·克劳斯
和安妮·吕利耶三位科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．
在这三位科学家的努力下，光脉冲已经可以达到阿秒级．1阿秒就是十亿分之一秒的十亿分之一，即
0.000000000000000001秒．用科学记数法表示该数是（ ）
A．10−20 B．10−18 C．0.1×10−17 D．10×10−18
【答案】B
【分析】根据科学记数法的表示方法：a×10n,1≤|a)<10,n为整数，进行表示即可．确定a,n的值，
是解题的关键．
【详解】解：0.000000000000000001=10−18；
故选B．
2
3．若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
x−1
A．x=1 B．x≠1 C．x=0 D．x≠0【答案】B
【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不等于0列式计算即可．
【详解】解：根据题意得x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故选：B．
4．已知多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和是360°是解题的关键．多边
形的外角和是360°，依此可以求出多边形的边数．
【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都是60°，
∴这个多边形的边数是360°÷60°=6，
故选：A．
5．下列运算正确的是（ ）
A．(a2) 3 =a5 B．(a+1) 2=a2+1
C．a2 ⋅a3=a5 D．(3a) 2=6a2
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握有关
运算法则以及公式．运用相关运算法则逐项判断即可得解；
【详解】解：A、(a2) 3 =a6，此选项错误；不符合题意，
B、(a+1) 2=a2+2a+1，此选项错误；不符合题意，
C、a2 ⋅a3=a5，此选项正确；符合题意，
D、(3a) 2=9a2，此选项错误．不符合题意，
故选：C
6．如图，已知∠DAB=∠CBA，添加下列条件不一定使 ABD与 BAC全等的是（ ）
△ △A． BD=AC B． AD=BC C．∠D=∠C D．∠DBA=∠CAB
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A、BD=AC，AB=BA，∠DAB=∠CBA，不符合全等三角形的判定定理，不能推出
ABD≌△BAC，故本选项符合题意；
△B、AB=BA，∠DAB=∠CBA，AD=BC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出 ABD≌△BAC，故本选
项不符合题意； △
C、∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，AB=BA，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出 ABD≌△BAC，故本
选项不符合题意； △
D、∠DBA=∠CAB，AB=BA，∠DAB=∠CBA，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出
ABD≌△BAC，故本选项不符合题意；
△故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
7．小华要画一个有两边长分别为7cm和8cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．16cm B．17cm C．22cm或23cm D．11cm
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质，本题可分情况讨论．腰长为7cm或者腰长为8cm．
【详解】解：根据等腰三角形的概念知，有两边相等，因而可以是两条边长为7cm或两条边长为8cm．
当两条边长为7cm时，周长=7×2+8=22cm；
当两条边长为8cm时，周长=8×2+7=23cm．
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想
到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解
题的关键．
8．如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC高线，当∠B=42°，∠C=66°时，
∠DAE的度数为（ ）A．6° B．8° C．10° D．12°
【答案】D
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义求出∠CAD的度数，在
Rt△ACE中，利用三角形内角和定理，可求出∠CAE的度数，再将其代入∠DAE=∠CAD−∠CAE
中，即可求出结论．
【详解】在△ABC中，∠B=42°，∠C=66°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−42°−66°=72°，
∵AD平分∠BAC，
1 1
∴∠CAD= ∠BAC= ×72°=36°．
2 2
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAE=90°−∠C=24°，
∴∠DAE=∠CAD−∠CAE=36°−24°=12°．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的
关键．
3x m
9．若关于x的分式方程 = +5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
x−2 2−x
A．m<−10 B．m>−10 C．m>−10且m≠2 D．m>−10且m≠−6
【答案】D
m+10 m+10 m+10
【分析】先去分母解分式方程可得x= ，再根据分式方程的解为正数可得 >0且 ≠2，
2 2 2
从而可得答案．
3x m
【详解】解：∵ = +5，
x−2 2−x
去分母得：3x=−m+5(x−2)，
m+10
解得：x= ，
2
∵方程的解为正数，且x≠2，
m+10 m+10
∴ >0且 ≠2，
2 2
解得：m>−10且m≠−6；故选D．
【点睛】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，理解题意，建立不等式是解本
题的关键．
10．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分拼成一个长方形，
比较这两个阴影部分面积的结果，可以验证的乘法公式是（ ）
A． B．
a(a−b)=a2−ab (a+b)(a−b)=a²−b²
C． D．
(a+b)²=a²+2ab+b2 (a−b)²=a²−2ab+b2
【答案】B
【分析】本题考查完全平方式的几何运用，根据阴影部分面积关系可得结论．
【详解】图1中阴影部分面积=a2−b2
图2中阴影部分面积(a+b)(a−b)
∴可以验证的乘法公式是(a+b)(a−b)=a²−b²
故选：B．
11．如图，已知长方形纸片ABCD，点E,F在AD边上，点G,H在BC边上，分别沿EG,FH折叠，使点
D和点A都落在点M处，若α+β=119°，则∠EMF的度数为（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
【答案】B
【详解】∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEG=α，∠AFH=β，
∴∠DEG+∠AFH=α+β=119°．由折叠，得∠DEM=2∠DEG，∠AFM=2∠AFH，
∴∠DEM+∠AFM=2×119°=238°．∴∠FEM+∠EFM=360°−238°=122°．在△EFM中，∠EMF=180°−(∠FEM+∠EFM)=180°−122°=58°．
12．如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列四个结
论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】首先根据角平分线上点的性质，推出①正确，然后通过求证△ARP和△ASP全等，推出②正
确，再根据AQ=PQ，推出相关角相等，通过等量代换即可得∠QPA=∠QAR，即可推出③正确，
依据等边三角形的性质和外角的性质推出∠PQS=∠B，便可推出结论④．
【详解】解：∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC
∴P在∠A的平分线上，
∴AP平分∠BAC，故①正确；
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
{PR=PS)
，
AP=AP
∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL)，
∴AS=AR，∠QAP=∠PAR，故②正确；
∵AQ=PQ，
∴∠PAR=∠QPA，
∴∠QPA=∠QAR
∴QP∥AR，故③正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°，
∴∠PAR=∠QPA=30°，
∴∠PQS=60°，
在△BRP和△QSP中，{
∠B=∠PQS
)
∠BRP=∠QSP=90° ，
PR=PS
∴△BRP≌△QSP(AAS)，故④正确
∴①②③④项四个结论都正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角，直角三角形的性
质，平行线的判定，关键在于熟练运用等边三角形的性质、全等三角形的判定定理，认真推理计算相
关的等量关系．
二、填空题：（本大题共4题，每题3分，共12分.）
13．若A点的坐标是(−1,3)，则点A关于x轴对称的点B的坐标是 ．
【答案】(−1,−3)
【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征；根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标
不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案．
【详解】∵点A的坐标是(−1,3)，
∴点A关于x轴对称的点B的坐标是：(−1,−3)，
故答案为：(−1,−3)．
14．若 是完全平方式，则 的值为 ．
9x2+(m−3)x+16 m
【答案】27或−21/−21或27
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：∵ 是完全平方式，
9x2+(m−3)x+16
∴
9x2+(m−3)x+16
=
(3x) 2±2×3x×4+42
∴m−3=±2×3×4，
解得m=27或−21．
故答案为：27或−21．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F
点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长最小值为： ．【答案】8
【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，利用轴对称解决线段和最小的问题，连接AM，根据中
垂线的性质，得到AM=MC，进而得到△CDM的周长CD+CM+DM=CD+AM+DM≥CD+AD，
三线合一求出AD,CD的长即可得出结果．
【详解】解：连接AD,AM，
∵腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，点M为线段EF上一动点，
∴AM=MC，
∴△CDM的周长CD+CM+DM=CD+AM+DM≥CD+AD，
∵等腰△ABC的底边BC长为4，面积是12，点D为BC边的中点，
1
∴AD⊥BC,CD= BC=2，
2
1
∴ BC⋅AD=12，
2
∴AD=6，
∴△CDM的周长≥CD+AD=8，
∴△CDM的周长最小值为：8；
故答案为：8
16．如图，△ABC为等边三角形，点P为BC边上一动点，以AP为边在AP的右侧作等边△APQ，连接
CQ，点M是边AC的中点，连接QM．若AC=2，则QM的最小值为 ．❑√3
【答案】
2
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角
形的性质等知识，正确得出点Q的运动轨迹在射线CQ上是解题关键．先求出CM=1，再证出
△ABP≌△ACQ，根据全等三角形的性质可得∠ACQ=∠B=60°，从而可得在点P运动过程中，点
Q的运动轨迹在射线CQ上，然后根据垂线段最短可得当QM⊥CQ时，QM取得最小值，最后利用含
30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得．
【详解】解：∵点M是边AC的中点，AC=2，
1
∴CM= AC=1，
2
∵△ABC和△APQ都是等边三角形，
∴AB=AC,AP=AQ,∠B=∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAC−∠PAC=∠PAQ−∠PAC，即∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中，
{
AB=AC
)
∠BAP=∠CAQ ，
AP=AQ
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴∠ACQ=∠B=60°，
∴在点P运动过程中，始终有∠ACQ=60°，
∴在点P运动过程中，点Q的运动轨迹在射线CQ上，
由垂线段最短可知，当QM⊥CQ时，QM取得最小值，
此时∠CMQ=90°−∠ACQ=30°，
1 1
∴在Rt△CMQ 中，CQ= CM= ，
2 2
∴
QM
的最小值为
❑√CM2−CQ2=❑
√
12−
(1) 2
=
❑√3，
2 2❑√3
故答案为： ．
2
三、解答题（共72分，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分）解答应写出文字说明、
演算步骤或证明过程．
17．计算或解方程：
(1) ．
−2×(❑√3) 2+|❑√2−1|−170
1 2
(2) −3= ．
x−2 2−x
【答案】(1)❑√2−8
(2)x=3
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可；
（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
【详解】（1）解： ，
−2×(❑√3) 2+|❑√2−1|−170
=−2×3+❑√2−1−1，
=−6+❑√2−2，
=❑√2−8；
1 2
（2）解： −3= ，
x−2 2−x
1−3(x−2)=−2，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x−2≠0，
∴x=3是原方程的根．
【点睛】本题考查了解分式方程，实数的运算，零指数幂，解题的关键是一定要注意解分式方程必须
检验．
18．先化简，再求值：
，其中 ， ．
[(x+2y) 2+(3x+ y)(3x−y)−3 y(y−x))÷(2x) x=−2 y=2
7
【答案】 y+5x，−3
2
【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值．准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合
并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】原式
=(x2+4xy+4 y2+9x2−y2−3 y2+3xy)÷2x
=(7xy+10x2)÷2x
7
= y+5x，
2
当x=−2时，y=2，原式=−3．
19．如图，在平面直角坐标系中，A(−3,2)，B(−4,−3)，C(−1,−1)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A B C ，并直接写出点B 的坐标_____；
1 1 1 1
(2)在y轴上画出点P，使PA+PC的值最小；
(3)求△A B C 的面积．
1 1 1
【答案】(1)见解析；
B (4,−3)
1
(2)见解析
13
(3)
2
【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握对称作图，学会利用
对称的性质，解决最短问题，属于中考常考题型．
（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A、B、C 即可．
1 1 1
（2）连接A C交y轴于点P，即为所求的点P．
1
（3）利用分割法计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，△ABC关于y轴对称的△A B C ，
1 1 1∴△A B C B (4,−3)
1 1 1 1
即为所求图形． ．
（2）解：如图所示，
∵ A y A
1
点 关于 轴的对称点为 ，
∴连接A C交y轴于点P，
1
∴PA=PA ，
1
∴PA+PB=PA +PB=A C，
1 1
∵点A ，P，C三点共线，
1
∴此时PA+PB的值最小，
1 1 1 13
（3）解：S =3×5− ×2×3− ×5×1− ×2×3= ，
△A 1 B 1 C 1 2 2 2 2
13
故答案为： ．
2
20．如图，在四边形ABCD，AB∥CD，∠1=∠2，AD=EC．(1)求证：BD=CD；
(2)若AB=2，BE=3，直接写出CD的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)5．
【分析】（1）证明△ABD≌△CDE(AAS)即可求证；
（2）由△ABD≌△CDE可得AB=ED=2，进而得到BD=DE+BE=5，再根据（1）的结论即可求
解；
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDE，
又∵∠1=∠2，AD=EC，
∴△ABD≌△CDE(AAS)，
∴BD=DC，即BD=CD；
（2）解：∵△ABD≌△CDE，
∴AB=ED=2，
∴BD=DE+BE=2+3=5，
∵BD=CD，
∴CD=5．
21．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（a>1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水
池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a−1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获
了500kg．(1)①“丰收1号”单位面积产量为______kg/m2，“丰收2号”单位面积产量为______kg/m2（以上结
果均用含a的式子表示）；
②通过计算可知，______（填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高；
20
kg/m2
(2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多 ，求a的值；
(a−1) 2
(3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一
致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米（n为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”
少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当a<8且a为整数时，符合条件的n值为______
（直接写出结果）．
【答案】(1)① 500
kg
， 500
kg
；②
2
a2−1 (a−1) 2
(2)49
(3)90，135，180
【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用．理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据
题意列出方程是解题关键．
（1）①用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量；②根据a>1，并利用不等式的性质作出比较；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得a的值；
（3）根据题意列出方程，并结合a<8，列不等式求解．
【详解】（1）解：①由题意，“丰收 号”小麦的试验田的面积为 ，
1 (a2−1)m2
500
∴“丰收1号”单位面积产量为 kg；
a2−1
由题意，“丰收 号”单位面积为 ，
2 (a−1) 2m2
∴“丰收 号”单位面积产量为 500 ．
kg
2
(a−1) 2②∵a>1，
∴ ， ，
a2−1=(a+1)(a−1)>0 (a−1) 2>0
∴a+1>a−1，
∴ ，
a2−1>(a−1) 2
∴ 500 500 ，
<
a2−1 (a−1) 2
即“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
故答案为：2号．
（2）解：根据题意，得：
500 500 20 ，
− =
(a−1) 2 a2−1 (a−1) 2
解得：a=49，
经检验：a=49是原方程的解且符合题意．
∴a的值是49．
（3）解：根据题意，得：
500n 500(n−45)，
=
a2−1 (a−1) 2
整理，可得：45a+45=2n，
45(a+1)
∴n= ，
2
当a<8且a为整数（a>1），
405
解得：n< ，
2
45(a+1)
又∵n为正整数，且满足n= ，
2
45×4
当a=3时，n= =90，
2
45×6
当a=5时，n= =135，
2
45×8
当a=7时，n= =180，
2∴符合条件的n的值为90，135，180．
22．阅读理解：我们一起来探究代数式x2+2x+3的值，探究一：当x=1时，代数式x2+2x+3的值为6，
当x=2时，代数式x2+2x+3的值为11，可见，代数式x2+2x+3的值随x的值的变化而变化．
探究二：把代数式 进行变形，如： ，可得：当
x2+2x+3 x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1) 2+2 x=
_____时，代数式x2+2x+3有最小值，最小值为_____．
请回答下列问题：
(1)请补充完成探究二，直接在横线处填空；
(2)当x取何值时，代数式−x2+14x+10有最大值，最大值为多少?
(3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园ABCD（围墙MN
最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料，问：当AB为多少米，围成长方形花园
ABCD的面积有最大值，最大面积是多少?
(4)
【答案】(1)−1，,2
(2)x=7，最大值为59
(3)AB=10m时，长方形花园ABCD的面积有最大值，最大面积是200m2
【分析】本题主要考查代数式的运用，配方法求最值，掌握配方法是解题的关键．
（1）根据平方数的非负性，可得 ，则当 时，取得最小值，由此即可求解；
(x+1) 2≥0 (x+1) 2=0
（2）根据材料提示，运用配方法得到代数式， ，结合（1）的方法即
−x2+14x+10=−(x−7) 2+59
可求解；
（3）设 ，则 ，则有 ，
AB=CD=xm BC=(40−2x)m S =AB·BC=x(40−2x)=−2x2+40x
长方形ABCD
结合（1）的方法即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，则 ，
(x+1) 2≥0 (x+1) 2+2≥2
∴当 时，取得最小值，
(x+1) 2=0
∴当x=−1时，代数式有最小值，最小值为2，故答案为：−1，,2；
（2）解：代数式 变形得 ，
−x2+14x+10 =−(x2−14x+72)+59=−(x−7) 2+59
∵ ，则 ，
−(x−7) 2≤0 −(x−7) 2+59≤59
∴当 时，取得最大值，最大值为 ，
−(x−7) 2=0 59
∴当x=7时，代数式有最大值，最大值为59；
（3）解：四边形ABCD是长方形，
∴设AB=CD=xm，则BC=(40−2x)m，
∴40−2x≤25，
解得，x≥7.5，
∴ ，
S =AB·BC=x(40−2x)=−2x2+40x
长方形ABCD
∵ ，
−2x2+40x=−2(x2−20x+102−102)=−2(x−10) 2+200
∴当x=10时，长方形花园ABCD的面积有最大值，最大面积是200m2，．
23．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，
∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，
EF之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再
证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是 ；
探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，
∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成
立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；
探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，
∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥
中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以
75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，
指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求
此时两舰艇之间的距离．【答案】问题背景:EF=AE+CF 探究延伸1:EF=AE+CF，理由见解析 探究延伸2：
EF=AE+CF，理由见解析 实际应用：210海里
【分析】本题属于四边形 综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质 ，解题的关键是正确作出辅
助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用．
问题背景： 延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，
可得出结论，他的结论就是：EF=AE+CF；
探究延伸1： 延长FC到G， 使CG=AE， 连接BG， 先证明△BCG≌△BAE， 再证明
△BFG≌△BFE， 可得出结论： EF=AE+CF；
探究延伸2： 延长DC到H，使得CH=AE，连接BH，先证明△BCH≌△BAE， 即可得到
BE=HB,∠ABE=∠HBC， 再证明△HBF≌△EBF， 即可得出EF=HF=HC+CF=AE+CF；
实际应用：连接EF，延长BF交AE的延长线于G，根据题意可转化为如下的数学问题：在四边形
GAOB中， OA=OB,∠A+∠B=180°,∠AOB=2∠EOF， ∠EOF的两边分别交AG， BG于
E，F， 求EF的长．再根据探究延伸2的结论：EF=AE+BF，即可得到两舰艇之间的距离．
【详解】解：问题背景：
如图1， 延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，
可得出结论，他的结论就是：EF=AE+CF；
故答案为：EF=AE+CF；
探究延伸1：
上述结论仍然成立，即EF=AE+CF，理由如下：
如图2， 延长FC到G， 使CG=AE， 连接BG，
∵CG=AE,∠BCG=∠A=90°,BC=BA，∴△BCG≌△BAE(SAS) ，
∴BG=BE,∠ABE=∠CBG，
∵∠ABC=2∠EBF，
∴∠ABE+∠CBF=∠EBF，
即∠CBG+∠CBF=∠EBF，
∴∠GBF=∠EBF，
又∵BF=BF， ∴△BFG≌△BFE(SAS),
∴GF=EF,即 GC+CF=EF,
∴AE+CF=EF，
∴可得出结论：EF=AE+CF;
探究延伸2：
上述结论仍然成立，即EF=AE+CF,
理由：如图3，延长DC到H，使得CH=AE，连接BH，
∵∠BAD+∠BCD=180∘,∠BCH+∠BCD=180∘
，
∴∠BCH=∠BAE，
∵BA=BC,CH=AE，
∴△BCH≌△BAE(SAS)，
∴BE=HB,∠ABE=∠HBC，
∴∠HBE=∠ABC，
又∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠EBF=∠HBF，
∵BF=BF，
∴△HBF≌△EBF(SAS)，
∴EF=HF=HC+CF=AE+CF；实际应用：
如图4，连接EF，延长BF交AE的延长线于G，
因为舰艇甲在指挥中心 (O处)北偏西30°的A处.舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，所以
∠AOB=140°，
因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，
所以∠EOF=70°，
所以∠AOB=2∠EOF.
依题意得， OA=OB,∠A=60°,∠B=120°，
所以∠A+∠B=180°，
因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：
在四边形GAOB中， OA=OB,∠A+∠B=180°,∠AOB=2∠EOF， ∠EOF的两边分别交AG，
BG于E，F， 求EF的长．
根据探究延伸2的结论可得：EF=AE+BF，
根据题意得， AE=75×1.2=90(海里) ，BF=100×1.2=120(海里) ，
所以EF=90+120=210 (海里) .
答：此时两舰艇之间的距离为210海里．
