文档内容
七年级下学期【平行线的判定与性质 30 题专训】
一．解答题（共30小题）
1．（2024•江夏区校级模拟）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，
DF∥CA，∠FDE＝∠A；
（1）求证：DE∥BA．
（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质与判定方法证明即可；
（2）设∠EDC＝x°，由∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC可得∠BFD＝∠BDF＝2x°，根据平行线的性质可得
∠DFB＝∠FDE＝2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数．
【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，
∴∠DFB＝∠A，
又∵∠FDE＝∠A，
∴∠DFB＝∠FDE，
∴DE∥AB；
（2）设∠EDC＝x°，
∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，
∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，
由（1）可知DE∥BA，
∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，
∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，
∴x＝36，
又∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝36°．
2．（2023秋•遂平县期末）根据解答过程填空（理由或数学式）：
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：∠ACB＝∠4．证明：∵∠1+∠DFE＝180°（ 邻补角定义 ），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠DFE（ 同角的补角相等 ），
∴AB∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠3＝∠ ADE ．
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ ADE ，
∴DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠ACB＝∠4（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【分析】根据平行线的判定和性质定理证明即可．
【解答】证明：∵∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠DFE （同角的补角相等），
∴AB∥EF （内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE （两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC （同位角相等，两直线平行），
∴∠ACB＝∠4 （两直线平行，同位角相等），
故答案为：邻补角定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；ADE；ADE；同位角相等，两直
线平行；两直线平行，同位角相等．
3．（2023秋•安溪县期末）将下面的推理过程及依据补充完整．
已知：如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠1＝∠4（ ① 对顶角相等 ）
∴∠2＝∠4（等量代换）
∴CE∥BF（② 同位角相等，两直线平行 ）∴∠3＝∠③ ∠ C （两直线平行，同位角相等）
又∵AB∥CD（已知）
∴∠3＝∠B（④ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠B＝∠C（等量代换）
【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠1＝∠4（①对顶角相等），
∴∠2＝∠4，
∴CE∥BF（②同位角相等，两直线平行）．
∴∠3＝③∠C（④两直线平行，同位角相等）．
又∵AB∥CD（已知），
∴∠3＝⑤∠B（⑥两直线平行，内错角相等），
∴∠B＝∠C．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；∠C，两直线平行，同位角相等；∠B；两直线平
行，内错角相等．
4．（2023秋•中牟县期末）如图，AB∥CD，∠BAD＝50°，∠ADF＝10°，∠EFD＝140°．
（1）直线AB与EF有怎样的位置关系？并证明你的结论；
（2）若∠AEF＝70°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）利用内错角相等两直线平行进行判断即可；
（2）利用平行线的性质得到∠ACD＝∠AEF＝70°，根据同旁内角互补计算∠DAE的度数即可．
【解答】解：（1）AB∥EF，理由如下：
如图，延长EF交AD于点P，∵∠EFD＝∠EPD+∠ADF，
∴∠EPD＝∠EFD﹣∠ADF＝140°﹣10°＝130°，
∴∠APE＝180°﹣∠EPD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠APE＝∠BAD，
∴AB∥EF；
（2）∵AB∥CD，AB∥EF，
∴EF∥CD，
∴∠ACD＝∠AEF＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣70°﹣50°＝60°．
5．（2024•兴宁区校级开学）如图，AB∥DG．
（1）若AD是∠BAC的角平分线，∠BAD＝35°，求∠DGC的度数；
（2）若∠1＝∠2，求证：AD∥EF．
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质即可得到答案；
（2）利用两直线平行，内错角相等得∠2＝∠BAD，于是可得∠1＝∠BAD，进而得到AD∥EF．
【解答】（1）解：∵AD是∠BAC的角平分线，∠BAD＝35°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，
又∵AB∥DG，
∴∠DGC＝∠BAC＝70°．
（2）证明：∵AB∥DG，
∴∠2＝∠BAD，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BAD，∴AD∥EF．
6．（2024•渝中区校级开学）补全证明过程：（括号内填写理由）
如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A、G、H、D，如果∠1＝∠2，
∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
∠1＝∠3（ 对顶角相等 ）
∴∠2＝∠3，（ 等量代换 ）
∴CE∥BF，（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠C＝∠4，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠A＝∠D，（已知）
∴AB∥ CD ，（内错角相等，两直线平行）
∴∠B＝∠4，（ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠B＝∠C．（等量代换）
【分析】根据平行线的性质和判定解答即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠4（两直线平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠D（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∴∠B＝∠C（等量代换）．
故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；CD；两直线平行，内错角相等．
7．（2023秋•内乡县期末）完成下面的证明：
如图，已知：AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，且∠1＝∠2，
求证：∠BDE＝∠C．证明：∵AD⊥BC，FG⊥BC（已知），
∴∠ADC＝90°，∠FGC＝90°（ ① 垂直的定义 ），
∴∠ADC＝∠FGC（ ② 等量代换 ），
∴AD∥FG（ ③ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠1＝ ④ ∠ 3 （ ⑤ 两直线平行，同位角相等 ）．
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠3＝ ⑥ ∠ 2 （ ⑦ 等量代换 ），
∴DE∥AC（ ⑧ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠BDE＝∠C（ ⑨ 两直线平行，同位角相等 ）．
【分析】由题意可得出∠ADC＝∠FGC＝90°，即可证AD∥FG，得出∠1＝∠3，结合题意可得出∠3＝
∠2，即可证DE∥AC，进而可证∠BDE＝∠C．
【解答】证明：∵AD⊥BC，FG⊥BC（已知），
∴∠ADC＝90°，∠FGC＝90°（垂直的定义），
∴∠ADC＝∠FGC（等量代换），
∴AD∥FG（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠BDE＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：①垂直的定义；②等量代换；③同位角相等，两直线平行；④∠3；⑤两直线平行，同
位角相等；⑥∠2；⑦等量代换；⑧内错角相等，两直线平行；⑨两直线平行，同位角相等．
8．（2023秋•淅川县期末）如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分别与AB交于点
M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据．
证明：∵∠1＝∠2，（已知）∵∠2＝∠3，（ 对顶角相等 ）
∴∠1＝∠ 3 ．（ 等量代换 ）
∴DF∥CE．（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠C＝∠ ADM ．（两直线平行，同位角相等）
∵∠C＝∠F，（已知）
∴∠F＝∠ ADM ．（等量代换）
∴AC∥BF．（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠A＝∠B．（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵AB⊥AC，（已知）
∴∠A＝90°．
∴∠B＝90°．
∴AB⊥BF．（ 垂直的定义 ）
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，（已知）
∵∠2＝∠3，（对顶角相等）
∴∠1＝∠3．（等量代换）
∴DF∥CE．（同位角相等，两直线平行）
∴∠C＝∠ADM．（两直线平行，同位角相等）
∵∠C＝∠F，（已知）
∴∠F＝∠ADM．（等量代换）
∴AC∥BF．（内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠B．（两直线平行，内错角相等）
∵AB⊥AC，（已知）
∴∠A＝90°．
∴∠B＝90°．∴AB⊥BF．（垂直的定义），
故答案为：对顶角相等，3，等量代换，同位角相等，两直线平行，ADM，ADM，内错角相等，两直线
平行，两直线平行，内错角相等，垂直的定义．
9．（2023秋•镇平县期末）根据解答过程填空（理由或数学式）．
已知：如图，∠D+∠3＝180°，AE平分∠BAD交CD于点F，∠4＝∠E．
求证：∠B＝∠DCE．
证明：∵∠D+∠3＝180°（已知），
∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∴∠1＝∠ E （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1＝∠2（ 角平分线的定义 ）．
∴∠2＝∠ E （ 等量代换 ）．
∵∠4＝∠E（已知），
∴∠2＝∠4（ 等量代换 ）．
∴AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠B＝∠DCE（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【分析】先根据同旁内角互补，两直线平行证得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等得出∠1＝
∠E，结合角平分线的定义即可证得∠2＝∠E，结合已知可证得∠2＝∠4，再根据同位角相等，两直线
平行得出AB∥CD，从而得到∠B＝∠DCE．
【解答】证明：∵∠D+∠3＝180°（已知），
∴AD∥BC（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠1＝∠E（两直线平行，内错角相等）．
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1＝∠2（角平分线的定义）．
∴∠2＝∠E（等量代换）．∵∠4＝∠E（已知），
∴∠2＝∠4（等量代换）．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；E；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；E；等量代
换；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
10．（2023秋•宽甸县期末）如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上
EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°．
求证：（1）EH∥AD；
（2）∠BAD＝∠H．
【分析】（1）先证DG∥AB，得出∠1＝∠BAD，则∠BAD+∠FEA＝180°，再根据平行线的判定即可得
出结论；
（2）根据平行线的性质得出∠1＝∠H，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠CDG＝∠B，
∴DG∥AB，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1+∠FEA＝180°，
∴∠BAD+∠FEA＝180°，
∴EH∥AD；
（2）由（1）得：∠1＝∠BAD，EH∥AD，
∴∠1＝∠H，
∴∠BAD＝∠H．
11．（2023秋•沙坪坝区校级期末）推理填空：
如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BC．
证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EBD＝∠2+∠EBD（ 等式的性质 ），
即∠ABD＝∠EBC，
∵AB∥CD（已知），
∴ ∠ ABD ＝∠ 3 ，
∴∠3＝∠EBC，
∵∠3＝∠4，
∴ ∠ 4 ＝∠ EBC ，
∴AD∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】利用等式的性质可得∠ABD＝∠EBC，然后利用平行线的性质可得∠ABD＝∠3，从而可得∠3
＝∠EBC，再利用等量代换可得∠4＝∠EBC，最后根据同位角相等，两直线平行可得AD∥BC，即可解
答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EBD＝∠2+∠EBD（等式的性质），
即∠ABD＝∠EBC，
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABD＝∠3，
∴∠3＝∠EBC，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠EBC，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），
故答案为：等式的性质；∠ABD＝∠3；∠4＝∠EBC；同位角相等，两直线平行．
12．（2024•渝中区校级开学）如图，BE平分∠ABC，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，试说明DF∥AB．
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2（① 角平分线的定义 ），∵∠E＝∠1（已知），
∴∠E＝∠2（等量代换），
∴② AE ∥ BC （内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ABC＝180°（③ 两直线平行，同旁内角互补 ），
∵∠3+∠ABC＝180°（已知），
∴④ ∠ A ＝∠ 3 （同角的补角相等）
∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行）．
【分析】根据题意结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2（角平分线的定义），
∵∠E＝∠1（已知），
∴∠E＝∠2（等量代换），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠3+∠ABC＝180°（已知），
∴∠A＝∠3（同角的补角相等）
∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；AE∥BC，两直线平行，同旁内角互补；∠A＝∠3．
13．（2023秋•巴中期末）完成下面推理过程，并在括号内填上依据．已知：如图，AD⊥BC，GF⊥BC，
∠1＝∠2．求证：∠4＝∠B．
证明：∵AD⊥BC，GF⊥BC（已知），
∴∠ADC＝∠GFD＝90°（ 垂直定义 ）．
∴AD∥ GF （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠1＝∠3（ 两直线平行，同位角相等 ）．
又∵∠1＝∠2 （已知），
∴∠2＝ ∠ 3 （ 等量代换 ）．∴DE∥ AB （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠B＝∠4（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【分析】根据垂直定义得∠ADC＝∠GFD＝90°，进而根据同位角相等，两直线平行得AD∥GF，再根
据两直线平行，同位角相等得∠1＝∠3然后再根据等量代换得∠2＝∠3，由此根据内错角相等，两直
线平行得DE∥AB，最后再根据两直线平行，同位角相等可得出∠B＝∠4．
【解答】证明：∵AD⊥BC，GF⊥BC（已知），
∴∠ADC＝∠GFD＝90°（垂直定义）．
∴AD∥GF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠1＝∠2 （已知），
∴∠2＝∠3（等量代换）．
∴DE∥AB（内错角相等，两直线平行）．
∴∠B＝∠4（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直定义；GF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠3；等量代换；
AB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
14．（2023秋•遂川县期末）如图，D，E，F，G分别是△ABC边上的点，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠C＝76°，∠AED＝2∠B，请直接写出∠AEF的度数．
【分析】（1）根据∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4得∠1+∠4＝180°，进而得AB∥EF，则∠B＝∠EFC，再
根据∠B＝∠3，得∠EFC＝∠3，据此可得出结论；（2）先由（1）的结论得∠AED＝∠C＝76°，进而得∠B＝∠3＝38°，由此可得∠AEF的度数．
【解答】（1）证明：如图所示：
∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4，
∴∠1+∠4＝180°，
∴AB∥EF，
∴∠B＝∠EFC，
∵∠B＝∠3，
∴∠EFC＝∠3，
∴DE∥BC；
（2）解：由（1）可知：DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝76°，
又∠AED＝2∠B，
∴2∠B＝76°，
∴∠B＝38°，
∴∠3＝∠B＝38°，
∴∠AEF＝∠AED+∠3＝76°+38°＝114°．
15．（2023秋•沙坪坝区期末）如图，已知点C是线段AB上的一点，补全推理填空（理由或数学式）．（1）如图1，点C是线段AB的中点，点D是线段AB上的另一点， ．若AB＝12，求DC的长；
（2）如图2，EF∥AB，若∠A＝∠F，试说明∠AEB＝∠CGB．
解：（1）∵点C是AB的中点（已知），
∴① AC ＝ AB （中点的定义）．
又∵AB＝12（已知），
∴AC＝② 6 ．
又∵AD＝ AB（ ③ 已知 ），
∴AD＝④ 4 ．
∵DC＝⑤ AC ﹣ AD ，
∴DC＝6﹣4＝2．
（2）理由如下：
∵EF∥AB （⑥ 已知 ），
∴⑦ ∠ F ＝∠ FCB （两直线平行，内错角相等）．
又∵∠A＝∠F（已知），
∴⑧ ∠ A ＝∠ FCB （等量代换）．
∴AE∥CF （⑨ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠AEB＝∠CGB（⑩ 两直线平行，同位角相等 ）．
【分析】（1）根据线段的中点定义可得AC＝ AB＝6，再根据已知易得AD＝4，然后利用线段的和差
关系进行计算即可解答；
（2）先利用平行线的性质可得∠F＝∠FCB，然后利用等量代换可得∠A＝∠FCB，从而利用同位角相
等，两直线平行可得AE∥CF，最后利用平行线的性质，即可解答．
【解答】解：（1）∵点C是AB的中点（已知），
∴①AC＝ AB（中点的定义），
又∵AB＝12（已知），
∴AC＝②6，
又∵AD＝ AB（ ③已知），
∴AD＝④4∵DC＝⑤AC﹣AD，
∴DC＝6﹣4＝2，
故答案为：①AC＝ ，②6，③已知，④4，⑤AC﹣AD；
（2）∵EF∥AB （⑥已知），
∴⑦∠F＝∠FCB（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠A＝∠F（已知），
∴⑧∠A＝∠FCB（等量代换）．
∴AE∥CF （⑨同位角相等，两直线平行）．
∴∠AEB＝∠CGB（⑩两直线平行，同位角相等）．
故答案为：⑥已知，⑦∠F＝∠FCB，⑧∠A＝∠FCB，⑨同位角相等，两直线平行，⑩两直线平行，
同位角相等．
16．（2023秋•忻州期末）如图，已知AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠E＝130°，请判断AB与EF
的位置关系，并说明理由．
请将下面的推理过程补充完整．
解：AB∥EF．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD．（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠B＝70°，
∴∠BCD＝70°．
∵∠BCE＝20°，
∴∠ECD＝50°．
∵∠E＝130°，
∴ ∠ E + ∠ ECD ＝180°．
∴EF∥CD．
∴AB∥EF．【分析】根据两直线平行，内错角相等得出∠B＝∠BCD，结合已知即可求出∠ECD的度数，再根据同
旁内角互补即可得出EF∥CD，再根据平行公理的推论即可证得AB∥EF．
【解答】解：AB∥EF．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）
∵∠B＝70°，
∴∠BCD＝70°．
∵∠BCE＝20°，
∴∠ECD＝50°．
∵∠E＝130°，
∴∠E+∠ECD＝180°．
∴EF∥CD，
∴AB∥EF．
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠E；∠ECD．
17．（2023秋•东方期末）如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E，
试说明AB∥DE．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠ B ＝60°．（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ ADC ＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠ ADC ＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE＝ ∠ADC＝ ×120°＝60°．（ 角平分线定义 ）
∴∠1＝∠ADE．（等量代换）
∴AB∥DE．（ 内错角相等，两直线平行 ）【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠B＝60°．（ 两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ADC＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE＝ ∠ADC＝ ×120°＝60°．（角平分线定义）
∴∠1＝∠ADE．（等量代换）
∴AB∥DE．（内错角相等，两直线平行．）
故答案为：B，两直线平行，同位角相等，ADC，两直线平行，同旁内角互补，ADC，角平分线定义，
内错角相等，两直线平行．
18．（2023秋•海安市期末）如图，AE∥BD，∠A＝∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F．
（1）求证：AB∥CD；
（2）探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠BDC＝140°，∠F＝20°．求∠C的度数．【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A+∠ABD＝180°，结合已知∠A＝∠BDC，得到
∠BDC+∠ABD＝180°，于是问题得证；
（2）过点E作EH∥AB，于是有EH∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A+∠AEH＝180°，
∠C+∠CEH＝180°，从而得出∠A+∠AEC+∠C＝360°；
（3）在△CEF 中根据三角形内角和定理求出 ，结合（2）中的结论得出
∠AEC+∠C＝220°，从而求出∠C的度数．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，
∴∠A+∠ABD＝180°，
∵∠A＝∠BDC，
∴∠BDC+∠ABD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠A+∠AEC+∠C＝360°，理由：
如图，过点E作EH∥AB，
由（1）知AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠A+∠AEH＝180°，∠C+∠CEH＝180°，
∴∠A+∠AEH+∠C+∠CEH＝360°，
即∠A+∠AEC+∠C＝360°；
（3）解：∵∠AEC 的平分线交CD的延长线于点F，∴ ，
在△CEF中，∠F+∠CEF+∠C＝180°，
∵∠F＝20°，
∴ ①，
∵∠A＝∠BDC，∠BDC＝140°，
∴∠A＝140°，
∵∠A+∠AEC+∠C＝360°，
∴∠AEC+∠C＝220°②，
②﹣①得，∠AEC＝120°，
∴∠C＝100°．
19．（2023秋•社旗县期末）如图，∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC．
（1）AD与BC有怎样的位置关系？为什么？
（2）AB与CD平行吗？若平行，请说明理由；若不平行，那么再加上什么条件就平行了呢？
【分析】（1）先由AB⊥AC得∠BAC＝90°，进而得∠BAD＝∠BAC+∠1＝115°，由此得∠BAD+∠B＝
180°，然后根据平行线的判定可得出AD与BC的位置关系；
（2）AB与CD不平行，加上条件①∠BCD＝115°或②AC⊥CD③∠D＝65°时，AB∥CD．
【解答】解：（1）AD与BC的位置关系是：AD∥BC，理由如下：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠1＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠1＝90°+25°＝115°，
又∵∠B＝65°，
∴∠BAD+∠B＝115°+65°＝180°，
∴AD∥BC；
（2）AB与CD不平行，添加条件①∠BCD＝115°或②AC⊥CD③∠D＝65°时，AB∥CD，理由如下：
①当∠BCD＝115°时，
∵∠B＝65°，∴∠BCD+∠B＝115°+65°＝180°，
∴AB∥CD；
②当AC⊥CD时，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝∠DAC＝90°，
∴AB∥CD；
③当∠D＝65°时，
∵∠1＝25°，
∴∠DAC＝180°﹣（∠1+∠D）＝180°﹣（25°+65°）＝90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝∠DAC＝90°，
∴AB∥CD．
20．（2023秋•五华县期末）（1）已知：如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D＝∠BED；
（2）已知：如图2，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展提升：如图3，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED，若∠BCE＝130°，求∠F
的度数．
【分析】（1）根据平行线性质得出∠1＝∠B，∠2＝∠D，即可得出答案；
（2）根据平行线性质求出∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠CDE，即可得出答案；
（3）过点C作CP∥AB，然后利用两直线平行，内错角相等得到∠ABC+∠CED＝∠BCP+∠ECP＝∠BCE＝130°；同理过点F作FM∥DE，则∠BFM＝∠ABF，∠MFE＝∠DEF，结合角平分线的性质就
可求出∠BFE的度数．
【解答】（1）证明：如图1，过E点作EF∥AB，
则∠1＝∠B，
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B+∠D＝∠1+∠2，
即∠BED＝∠B+∠D．
（2）解：∠EDC﹣∠B＝∠E，
理由：如图2，过D点作EF∥AB，
则∠DFE＝∠B，
∵∠E+∠DFE＝∠EDC，
∴∠E+∠B＝∠EDC，
∴∠EDC﹣∠B＝∠E；
（3）解：如图，过点C作CP∥AB，则∠BCP＝∠ABC，∠ECP＝∠CED，
∴∠ABC+∠CED＝∠BCP+∠ECP＝∠BCE＝130°；
又∵BF，EF分别平分∠ABC，∠CED，
∴∠ABF＝ ∠ABC，∠DEF＝ ∠DEC；∴∠ABF+∠DEF＝ （∠ABC+∠DEC）＝65°，
过点F作FM∥DE，则∠BFM＝∠ABF，∠MFE＝∠DEF，
∴∠BFE＝∠BFM+∠MFE＝∠ABF+∠DEF＝65°．
21．（2023秋•郓城县期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠B＝78°，∠BDE＝2∠3，求∠DEA的度数．
【分析】（1）由∠1+∠2＝180°得到DE∥AC，即可得到∠A＝∠DEB，再根据等量代换得到∠3＝
∠DEB即可证明；
（2）由平行的性质得到∠BDC+∠B＝180°，求出∠3＝34°即可求出答案．
【解答】解：（1）∵∠1+∠2＝180°，
∴DE∥AC，
∴∠A＝∠DEB，
∵∠A＝∠3，
∴∠3＝∠DEB，
∴AB∥CD；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BDC+∠B＝180°，
∵∠B＝78°，∠BDE＝2∠3，
∴2∠3+∠3+78°＝180°，
∴∠3＝34°，
∵AB∥CD，
∴∠3+∠DEA＝180°，
∴∠DEA＝146°．
22．（2023秋•仁寿县期末）阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由．
已知，如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝40°，∠2＝40°，则AC平行于BD吗？AE与BF平行吗？
请完成下列解答过程．
解：∵∠1＝40°，∠2＝40°（ 已知 ），∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）．
∴AC∥ BD （ 同位角相等，两直线平行 ）．
又∵AC⊥AE（ 已知 ），
∴∠EAC＝90°，（ 垂直定义 ）．
∴∠EAB＝∠EAC+∠1＝ 130 ° （ 等式的性质 ）．
同理可得∠FBG＝∠FBD+∠2＝130°，
∴∠FBG＝ ∠ EAB （等量代换）．
∴AE∥ BF （同位角相等，两直线平行）．
【分析】根据已知可得：∠1＝∠2＝40°，从而利用同位角相等，两直线平行可得AC∥BD，再利用垂
直定义可得∠EAC＝90°，从而看到的∠EAB＝130°，同理可得∠FBG＝130°，进而可得∠FBG＝
∠EAB，最后根据同位角相等，两直线平行可得AE∥BF，即可解答．
【解答】解：∵∠1＝40°，∠2＝40°（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）．
又∵AC⊥AE（已知），
∴∠EAC＝90°，（垂直定义）．
∴∠EAB＝∠EAC+∠1＝130°（等式的性质）．
同理可得∠FBG＝∠FBD+∠2＝130°，
∴∠FBG＝∠EAB（等量代换）．
∴AE∥BF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：已知；等量代换；BD；同位角相等，两直线平行；已知；垂直定义；130°；等式的性质；
∠EAB；BF．
23．（2023秋•莲池区期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，
∠C＝∠1，∠2＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D＝40°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数．【分析】（1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可；
（2）先求出∠BEC的度数，根据对顶角相等得到∠AEP的度数即可．
【解答】解：（1）∵∠2＝∠3，
∴CE∥AF，
∵CE∥AF，
∴∠C＝∠FND，
又∵∠C＝∠1，
∴∠FND＝∠1，
∴AB∥CD．
（2）∵∠D＝40°，AB∥CD，∠EMF＝80°，
∴∠BED＝40°，∠2＝∠3＝80°，
∴∠BEC＝80°+40°＝120°，
∴∠AEP＝∠BEC＝120°．
24．（2023秋•商水县期末）如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点．连接AC，AE平分∠BAC，EF
平分∠AED，∠2＝∠3．
（1）试说明AB∥CD；
（2）若∠AFE﹣∠2＝30°，求∠AFE的度数．
【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠1＝∠2，从而利用等量代换可得∠1＝∠3，然后利用内错角
相等，两直线平行可得AB∥CD，即可解答；
（2）根据已知可得∠AFE＝∠2+30°，然后利用平行线的性质可得∠AFE＝∠FED＝∠2+30°，从而利用
角平分线的定义可得∠AED＝2∠FED＝2∠2+60°，再利用平角定义可得∠3+∠AED＝180°，最后进行
计算可求出∠2＝40°，从而求出∠AFE的度数，即可解答．【解答】解：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD；
（2）∵∠AFE﹣∠2＝30°，
∴∠AFE＝∠2+30°，
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED＝∠2+30°，
∵EF平分∠AED，
∴∠AED＝2∠FED＝2∠2+60°，
∵∠3+∠AED＝180°，
∴∠3+2∠2+60°＝180°，
∵∠3＝∠2，
∴∠2＝40°，
∴∠AFE＝∠2+30°＝70°，
∴∠AFE的度数为70°．
25．（2023秋•商水县期末）如图，已知DE∥CB，∠B＝∠D．
（1）判断AB、CD是否平行，并说明理由．
（2）若∠B+∠F＝102°，求∠DEF的度数．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠D＝∠BCF，从而可求得∠BCF＝∠B，即可判定AB∥CD；
（2）由平行线的性质可得∠B+∠BED＝180°，∠F＝∠BEF，结合条件即可求解．
【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵DE∥CB，
∴∠D＝∠BCF，
∵∠B＝∠D，
∴∠BCF＝∠B，∴AB∥CD；
（2）∵DE∥CB，
∴∠B+∠BED＝180°，
∴∠B+∠BEF+∠DEF＝180°，
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠BEF，
∴∠B+∠F+∠DEF＝180°，
∵∠B+∠F＝102°，
∴∠DEF＝78°．
26．（2023秋•榆树市校级期末）【感知】如图①，AB和CD相交于点O，若∠C＝∠D，则AC与BD的
位置关系为 AC ∥ BD ．
【探究】如图②，AB和CD相交于点O，∠ACO＝∠COA，∠D＝∠BOD，试说明：AC∥BD．
【应用】如图③，过图②中的点 C 作 CE∥AB 且交 DB 的延长线于点 E．试说明：∠A＝∠E．
【分析】【感知】根据内错角相等，两直线平行得证；
【探究】由已知条件结合对顶角相等即可得出∠ACO＝∠D，于是问题得证；
【应用】根据两直线平行，内错角相等得出∠A＝∠ABD，再根据两直线平行，同位角相等得出∠E＝
∠ABD，从而问题得证．
【解答】解：【感知】
∵∠C＝∠D，
∴AC∥BD，
故答案为：AC∥BD；
【探究】
∵∠ACO＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∵∠COA＝∠BOD，
∴∠ACO＝∠D，
∴AC∥BD；
【应用】由图②知AC∥BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠ABD，
∴∠A＝∠E．
27．（2023秋•萍乡期末）如图1，已知：射线AF交CD于E，∠CEF+∠BAF＝180°．
（1）求证：AB∥CD．
（2）如图2，G为射线ED上一动点，直接写出∠BAF，∠AFG，∠CGF之间的数量关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，延长FG交射线AB于H，N为线段AH上一动点．若AG平
分∠BAF，GN平分∠HGE，∠NHG＝30°时，求2∠AGN+∠FEG的值．
【分析】（1）先由∠CEF＝∠AED，∠CEF+∠BAF＝180°，得∠AED+∠BAF＝180°，据此根据平行线
的判定进可得出结论；
（2）由（1）可知∠AED+∠BAF＝180°，再根据三角形的外角定理得∠AED＝∠AFG+∠CGF，据此可
得出∠BAF，∠AFG，∠CGF之间的数量关系；
（3）设∠HAG＝ ，∠AGN＝ ，由（1）可知AB∥CD，则∠NHG+∠HGE＝180°，∠AGC＝∠HAG＝
，再根据∠NHGα＝30°得∠HGβE＝150°，然后根据AG平分∠BAF得∠BAF＝2 ，则∠FEG＝∠BAF＝
α2 ，再由GN平分∠HGE得∠NGE＝75°，即 + ＝75°，据此可求出2∠AGN+∠αFEG的值．
【α解答】（1）证明：∵射线AF交CD于E，α β
∴∠CEF＝∠AED，
∵∠CEF+∠BAF＝180°，
∴∠AED+∠BAF＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAF，∠AFG，∠CGF之间的数量关系是：∠AFG+∠CGF+∠BAF＝180°，理由如下：由（1）可知：∠AED+∠BAF＝180°，
又∵∠AED＝∠AFG+∠CGF，
∴∠AFG+∠CGF+∠BAF＝180°，
（3）解：设∠HAG＝ ，∠AGN＝ ，
由（1）可知：AB∥CDα， β
∴∠NHG+∠HGE＝180°，∠AGC＝∠HAG＝ ，
∵∠NHG＝30°， α
∴∠HGE＝150°，
∵AG平分∠BAF，
∴∠BAF＝2 ，
∵AB∥CD，α
∴∠FEG＝∠BAF＝2 ，
∵GN平分∠HGE， α
∴∠NGE＝ ∠HGE＝ ×150°＝75°，
即∠AGC+∠AGN＝75°，
∴ + ＝75°，
∴α2∠βAGN+∠FEG＝2 +2 ＝2（ + ）＝150°．
28．（2023秋•东坡区期末β ）α完成下α面β推理过程，并在括号内填上推理依据．
如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠A+∠ABC＝180°，∠ADC的平分线交BC边于点E，并与AB延
长线交点F，求证：∠BEF＝∠F．
证明：∵∠A+∠ABC＝180°（已知），
∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∴∠ADF＝ ∠ BEF （两直线平行，同位角相等）．
∵∠A＝∠C，∠ABC+∠A＝180°（已知），
∴∠ABC+∠C＝180°．
∴ CD ∥AF（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠CDF＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵DF平分∠ADC（已知），
∴∠ADF＝∠CDF（角平分线定义）．
∴∠ADF＝ ∠ F ．
∴∠BEF＝∠F．【分析】证AD∥BC，得∠ADF＝∠BEF，再证CD∥AF，得∠CDF＝∠F，然后证∠ADF＝∠F，即可
得出结论．
【解答】解：∵∠A+∠ABC＝180°（已知），
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠ADF＝∠BEF（两直线平行，同位角相等）．
∵∠A＝∠C，∠ABC+∠A＝180°（已知），
∴∠ABC+∠C＝180°．
∴CD∥AF（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠CDF＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
∵DF平分∠ADC（已知），
∴∠ADF＝∠CDF（角平分线定义）．
∴∠ADF＝∠F．
∴∠BEF＝∠F．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠BEF；CD；两直线平行，内错角相等；∠F．
29．（2023秋•淮阳区期末）如图①，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，∠BEF、∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且
GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接 PH，K 是GH 上一点使得∠PKG＝2∠HPK，作 PQ平分
∠EPK，求∠HPQ的度数．【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线AB与直线CD平行；
（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF
＝90°，进而证明PF∥GH；
（3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数．
【解答】（1）解：AB∥CD，理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP＝ （∠BEF+∠EFD）＝90°，
∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）解：∵GH⊥EG，
∴∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK，
∴∠EPK＝180°﹣∠KPG＝90°+2∠HPK，
∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK＝ ∠EPK＝45°+∠HPK，
∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°．
答：∠HPQ的度数为45°．
30．（2023秋•邓州市期末）课题学习：平行线问题中的转化思想．
【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关
的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”
时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这
样一道典型问题：
例题：如图（1）．已知AB//CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B¡¢∠D、∠D之间的关系．
解：过点E作EF∥AB．
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∵∠BED＝∠BEF+∠DEF，
∴∠BED＝∠B+∠D．
【学以致用】
（1）当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝ 6 5 °．
（2）①如图（2），已知AB∥CD，若∠A＝135°，∠C＝130°，∠C＝130°，求出∠AEC的度数．
②如图（3），在①的条件下，若AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，求∠AFC的度数．
【分析】（1）因为∠BED＝∠B+∠D，所以当当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝65°；
（2）①如图所示过点E作EF//AB，利用平行线的定理和推论可知∠AEC＝∠AEF+∠CEF，最后计算
出∠AEC的度数；
②已知AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，所以可以推导出∠BAF和∠DCF的度数，利用（1）的结
论可知∠AFC的度数．
【解答】解：（1）∵∠BED＝∠B+∠D，又∵∠B＝30°，∠D＝35°，
∴∠BED＝65°，
故答案为：65°；
（2）①过点E作EF//AB，如图：
∵EF//AB，AB//CD，
∴EF//AB//CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
又∵∠A＝135°，∠C＝130°，
∴∠AEF＝180°﹣135°＝45°，∠CEF＝180°﹣130°＝50°，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝45°+50°＝95°，
答：∠AEC的度为95°；
②∵∠BAE＝135°，AF平分∠BAE，
∴ ，
∵∠DCE＝130°，CF平分∠DCE，
∴∠DCF＝65°，
由（1）问可知：∠AFC＝∠BAF+∠FCD＝67.5°+65°＝132.5°，
答：∠AFC的度数为：132.5°．
