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第 8 节 函数与方程
考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能
简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.
1.函数的零点
(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使 f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2.函数零点存在定理
(1)条件：①函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；
② f ( a )· f ( b ) <0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝
0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零
点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不
一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在
闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝2x的零点为0.( )
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b) D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( )
⊆答案 (1)√ (2)× (3)√
解析 (2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故
(2)错误.
2.(多选)(2021·威海调研)下列说法中正确的是( )
A.函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)
B.函数f(x)＝x＋1的零点为－1
C.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点
D.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
答案 BD
解析 根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即
函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误.
3.(2022·武汉期末)函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(－2，－1) D.(－1，0)
答案 A
解析 f(0)＝－1，f(1)＝2，故f(0)f(1)＜0，由零点存在定理可知f(x)的零点所在的一
个区间是(0，1).
4.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B
解析 由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0，2π]，由sin x＝0，得x＝0，π，2π.
由cos x＝1，得x＝0，2π.
∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.
5.(易错题)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________.
答案 0或－
解析 当a＝0时，f(x)＝－x－1，
令f(x)＝0得x＝－1，
故f(x)只有一个零点为－1.
当a≠0，则Δ＝1＋4a＝0，
∴a＝－.
6.函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是________.答案 (0，3)
解析 令f(x)＝0，∴x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－，
即y＝k与φ(x)＝2x－，x∈(1，2)的图象有交点，
又φ(x)＝2x－在(1，2)上单调递增，
且φ(1)＝0，φ(2)＝3.
∴0＜k＜3.
考点一 函数零点所在区间的判断
1.(多选)(2021·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点( )
A.(－2，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
答案 AD
解析 f(－2)＝＞0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因
为f(－2)·f(－1)＜0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点.
2.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)
答案 C
解析 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一
个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，
所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以00，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，
f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二
次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.
感悟提升 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，
再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用
图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标
即为函数f(x)的零点.
考点二 函数零点个数的判定
例1 (1)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，
则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )
A.9 B.10 C.11 D.18
答案 B
解析 由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再作出函数y＝|lg x|
的图象，
由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|共有10个交点，
故原函数有10个零点.
(2)函数f(x)＝2x|ln(x＋1)|－4的零点个数为________.
答案 2
解析 由题意，函数f(x)＝2x|ln(x＋1)|－4的零点个数即为两个函数y＝2－x＋2与y
＝|ln(x＋1)|的交点个数，两个函数的图象如图.由图知，两个函数有2个交点，
故函数f(x)＝2x|ln(x＋1)|－4的零点个数是2.
感悟提升 函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且
f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，
就有几个不同的零点.
训练1 (1)函数f(x)＝的零点个数为( )
A.3 B.2 C.7 D.0
答案 B
解析 法一 (直接法)由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点.
法二 (图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.
(2)(2021·福州联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，当
x∈[0，1]时，f(x)＝cos x，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 A
解析 由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，
知周期T＝2，
令f(x)－|x|＝0，得f(x)＝|x|.
作出函数y＝f(x)与g(x)＝|x|的图象如图所示.由函数的图象知，y＝f(x)－|x|有两个零点.
考点三 函数零点的应用
角度1 根据零点的个数求参数
例2 (1)已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数
解，则a的取值范围为( )
A. B.
C.∪{1} D.∪{1}
答案 D
解析 画出函数
y＝f(x)的图象，如图.
方程f(x)＝－x＋a的解的个数，即为函数 y＝f(x)的图象与直
线l：y＝－x＋a的公共点的个数.
当直线l经过点A时，
有2＝－×1＋a，a＝；
当直线l经过点B时，
有1＝－×1＋a，a＝；
由图可知，a∈时，函数y＝f(x)的图象与l恰有两个交点.
另外，当直线l与曲线y＝，x>1相切时，恰有两个公共点，此时a>0.
联立得＝－x＋a，
即x2－ax＋1＝0，
由Δ＝a2－4××1＝0，得a＝1(舍去负根).
综上，a∈∪{1}.
(2)(2022·湖北九市联盟质量检测)若函数f(x)＝恰有3个零点，则实数a的取值范
围为________.
答案 (－1，0)∪[1，4)
解析 设g(x)＝
由题意得f(x)有3个零点，等价于g(x)的图象与直线y＝a有3个交点.
g′(x)＝
∴g(x)的极大值g(－2)＝4，极小值g(1)＝－1，又g(0)＝0，03－3×0＋1＝1，
故可作出此函数的图象，如图所示，
∴a∈(－1，0)∪[1，4).
角度2 根据零点的范围求参数
例3 若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间
(1，2)内，则m的取值范围是________.
答案
解析 依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，
需满足
解得0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，
∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
(2)已知函数f(x)＝－a.若f(x)没有零点，则实数a的取值范围是( )
A.[0，e) B.(0，1) C.(0，e) D.[0，1)
答案 A
解析 法一 设g(x)＝，则g′(x)＝(x≠0).∴g(x)的单增区间为(1，＋∞)，
单减区间为(－∞，0)，(0，1)，
∴g(x)的图象如图所示，故a的取值范围为[0，e).
法二 由f(x)＝－a＝0，得ex＝ax.
若a＜0时，显然y＝ex与y＝ax有交点，
因此若f(x)无零点，必然有a≥0.
当y＝ax与y＝ex相切时，
设切点P(x ，ex0)，
0
则a＝ex0且ex0＝ax ，
0
∴a＝ax ，∴x ＝1，
0 0
则切线斜率k＝ex0| ＝e.
x0＝1
因此，要使曲线y＝ex与y＝ax不相交，
则0≤a＜e.
(3)若函数f(x)＝|log x|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则( )
a
A.mn＝1 B.mn>1
C.01，m1，且－
a
log m＝，log n＝，以上两式两边相减可得log (mn)＝－<0，所
a a a
以01时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，
作出函数f(x)的图象，
g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，
可得3t2－10t＋3＝0，
解得t＝3或，
当t＝，即f(x)＝时，g(x)有三个零点；
当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根，即g(x)有一个零点，
综上，g(x)共有四个零点.
二、由嵌套函数零点的个数求参数的范围
例2 函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是
________.
答案 [－1，＋∞)
解析 设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内
作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).
当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.
设交点的横坐标为t ，t (不妨设t >t )，则t <－1，t ≥－1.
1 2 2 1 1 2
当t <－1时，t ＝f(x)有一解；当t ≥－1时，t ＝f(x)有两解.综上，当a≥－1时，函数
1 1 2 2
g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.
1.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0 C. D.0
答案 D
解析 当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x>1时，令f(x)＝1＋log x＝0，
2
解得x＝，
又因为x>1，所以此时方程无解.
综上，函数f(x)的零点只有0.2.函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是( )
A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
答案 B
解析 函数f(x)＝ln x－在(1，＋∞)上单调递增，且在(1，＋∞)上连续.
因为f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，
所以f(2)·f(3)＜0，
所以函数的零点所在的区间是(2，3).
3.(2022·南昌模拟)已知x＝a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0＜x ＜a，则f(x )的
0 0
值满足( )
A.f(x )＝0
0
B.f(x )＞0
0
C.f(x )＜0
0
D.f(x )的符号不确定
0
答案 C
解析 f(x)＝2x－logx在(0，＋∞)上单调递增，
且f(a)＝0，又0＜x ＜a，
0
∴f(x )＜f(a)＝0，即f(x )＜0.
0 0
4.(2022·西安调研)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝
0，g(b)＝0，则( )
A.g(a)<00，由f(a)＝0知00，由 g(b)＝0 知
2>b>1，所以g(a)f(1)>0，故g(a)<04.
16.已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则
实数a的取值范围是________.
答案
解析 令f(x)＝t(t＜1)，则原方程化为g(t)＝a有4个不同的实数根，
易知方程f(x)＝t在(－∞，1)内有2个不同的实数根，
则原方程有4个不同的实数根等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同
的交点，
如图，画出函数g(t)的图象，
结合图象可知，1≤a＜，
即a的取值范围是.
