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2025 年秋季新九年级开学摸底考试模拟卷
数学•全解全析
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
1．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，
是中心对称图形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形，
根据定义逐项判断即可，将一个图形绕某一点旋转 ，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形．
【详解】解：因为图①是中心对称图形，符合题意；
因为图②是中心对称图形，符合题意；
因为图③是中心对称图形，符合题意；
因为图D不是中心对称图形，不符合题意．
所以符合题意的有①②③.
故选：A．
2．若分式 的值为0，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式值为0的条件，分式的值为0时，分子为0，但分母不为0，两个条件缺一不可．
据此进行解答即可．
【详解】解：由题意可知， ，且 ，
，
故选：D．
3．下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项分析即可．
【详解】A． ，计算正确．B． 为有理数， 为无理数，二者无法直接合并为 ，计算错误．
C． ，计算正确．
D． ，计算正确．
故选B．
4．如图：正确的是（ ）
A．摸出的是红球 B．摸出的是蓝球
C．摸出的是黄球 D．摸出的是绿球
【答案】C
【分析】本题考查了简单事件的可能性大小；由题意知，黄球的数量最多，摸出的是黄球的可能性最大，
由此即可求解．
【详解】解：由题意知，袋中黄球的数量最多，则摸出的是黄球的可能性最大，
所以摸出的是黄球这一事件发生的可能性最大；
故选：C．
5．在一组数据中，最小值是 ，组距为 ，若这组数据可以分成 组，则这组数据中的最大值可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查频数分布中最大值范围的确定，设最大值为 ，由组数计算公式可得： ，
进而确定其范围．
【详解】解：设最大值为 ，由组数计算公式可得： ，
解得： ；
故选：B．
6．已知某品牌蓄电池的电压（单位：V）为定值，在使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：
）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．蓄电池的电压是 B．当 时，
C．反比例函数关系式为 D．当 时，
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键，根据图象求出反比
例函数解析式，再逐一判断即可得到答案．
【详解】解：∵ ，且电流I与电阻R是反比例函数关系 ，
∴ ，
A、蓄电池的电压是 ，故此项错误；
B、当 时， ，由于电流I与电阻R是反比例函数关系，故此项正确；
C、反比例函数关系式为 ，此项错误；
D、反比例函数关系式为 ，当 时， ，此项错误．
故选：B．
7．已知方程 可以配方成 的形式，那么 可以配方成（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案.
【详解】方程 ，
移项，得 ．
配方，得 ，
即 ．
根据题意，得 ， ，
， ，
代入 ，得 ．
配方，得 ．
故选：B.
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程.
8．若关于 的一元二次方程： 与 ，称为“同族二次方程”．如
与 是“同族二次方程”．现有关于 的一元二次方程： 与 是
“同族二次方程”．那么代数式 能取的最小值是（ ）
A．2018 B．2020 C．2025 D．2030【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到 ，可以写成
，将 展开，求出 的值，利用配方法求出 的最小值即可．
熟练掌握新定义，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：第二个方程 可以写成 的形式，展开得：
∴ ， ， ，
解得： ，
∴ ，
∴ 能取的最小值是2020；
故选B．
二、填空题：本题共8小题，每空2分，共16分．
9．小明在水果店购买葡萄，为了解葡萄的口味，征求店家同意后，他取了一颗品尝．这种了解方式属于
（填“全面调查”或“抽查”）．
【答案】抽查
【分析】本题考查普查和抽样调查的含义，普查即全面调查，抽样调查指的是全部数据中抽出部分调查，
根据定义即可选出本题答案．
【详解】解：为了解葡萄的口味，征求店家同意后，他取了一颗品尝．这是抽查，
故答案为：抽查．
10．某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估
计该市初中生近视的概率为 ，（结果精确到0.1）
累计抽测的学
1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000
生数n
近视学生数与n
0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410
的比值
【答案】0.4
【分析】本题主要考查利用频率估算概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键；利用大量重复实验
时的频率可估计概率求解即可．
【详解】解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.4，所以该市初中生近视
的概率为0.4；
故答案为:0.4．
11．函数 ，则 的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查函数的自变量取值范围，求一个数的算术平方根，根据二次根式有意义的条件，可求出x的值，进而可求出y值，然后再根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵ ，且
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的算术平方根是 ，
故答案为： ．
12．已知关于x的一元二次方程 的两个实数根相等，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义．根据一元二次方程的
的两个实数根相等，然后计算根据 ，解出m的值即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个实数根相等，
∴ ，且 ，
解得 ，
故答案为： ．
13．如图所示，在矩形 中，对角线 交于点O， ， ，则矩形 的面
积 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是掌握矩形的
对角线互相平分且相等．
首先利用矩形的性质证明 是等边三角形，然后再利用勾股定理计算出 长，进而可得矩形
的面积．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ 相等且互相平分， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴矩形 的面积是： ，
故答案为： ．
14．当 时，解关于x的分式方程 会出现增根．
【答案】2
【分析】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．
【详解】解：分式方程可化为： ，
由分母可知，分式方程的增根是 ，
当 时， ，解得 ，
故答案为：2
15．用换元法解分式方程 时，如果设 ，将原方程化为关于 的整式方程，那
么这个整式方程是 ．
【答案】
【分析】本题考查了换元法解分式方程．
设 ，则 ，方程 可变为 ，两边都乘以 即可．
【详解】解：设 ，则 ，
即 ，
因此方程 可变为 ，
两边都乘以 得： ，
故答案为： ．
16．如图， 为反比例函数 的图象上一点，过点 作 轴的垂线 ，垂足为 是 轴上一
点（点 在点 右侧），以 为邻边作矩形 ，连接 与 交于点 ，若点 在反比例函数
图象上，且 ，则 的值为 ．【答案】5
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，坐标系中两点中点计算公式，熟练掌握以上知
识点是关键．
设 ，则 ， ，由矩形的性质可得 为 的中点，则
，根据矩形面积计算公式可得 ，由 在反比例函数图象上，得到
，则 ，据此可得答案．
【详解】解：设 ，
由条件可知 ，
∵四边形形 是矩形， 与 交于点 ，
∴ 为 的中点，
，
，
，
，
由条件可知 ，
，
，
．
故选：D．
三、解答题：本题共9小题，共68分.
17．（8分）计算：(1) ．
(2) ．
【答案】(1)3
(2)5
【分析】本题考查了零指数幂，实数的混合运算，二次根式的运算等知识，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据零指数幂的意义，绝对值的意义，二次根式的运算法则等计算即可；
（2）根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
18．（8分）解下列方程
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解分式方程，掌握因式分解法，将分式化为一元一次方程求解的
方法是关键．
（1）运用因式分解法求一元二次方程的解即可；
（2）根据分式的性质，将分式方程化为一元一次方程求解，再检验根即可．
【详解】（1）解： ，
因式分解得， ，
∴ 或 ，
解得， ；
（2）解： ，
去分母得， ，
去括号得， ，
移项、合并同类项得， ，
检验，当 时，原分式方程无意义，
∴原分式方程无解．
19．（6分）先化简，再求值： ，其中 ，选一个合适的整数 代入求值.【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，再根据分式的性质和运算法则进行化简，再根
据分式有意义的条件确定出整数 的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握以上知识点是解
题的关键.
【详解】解：原式
，
∵ ，且 ， ，
∴整数 ，
当 时，
原式 .
20．（8分）已知：如图，在平行四边形 中，点 、 分别是边 、 的中点， 、 与对角
线 分别相交于点 、 ，联结 、 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求证：四边形 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，中位线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，菱形的
判定；熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）连接 交 于点 ，连接 ，根据平行四边形的性质可得 ， ，
，根据中位线的性质可得 ， 得出 ， 共
线，则四边形 是平行四边形，进而证明 得出 ，即可得证；
（2）根据（1）的结论得出四边形 是平行四边形，根据已知可得 ，即可证明四边形
是菱形．
【详解】（1）证明：如图，连接 交 于点 ，连接 ，∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 共线，
∵
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（2）证明：由（1）可得到 ， ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
21．（6分）关于 的一元二次方程 ．
(1)证明：不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)在 中，斜边 ， 、 的长恰是方程 的两个根，求
的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，勾股定理，解题的关键是熟记根
的判别式和根与系数的关系．
（1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可；
（2）根据勾股定理得出 ，根据根与系数的关系得出 ， ，根据 ，列出关于m的方程 ，求出m的值，最后根据三角形的面积公式，求
出三角形面积即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴
∴不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由已知得： ， ， ，
∴ ，
即 ，
解这个方程得： ， ．
当 时， ，与已知不符合，舍去，
∴ ，此时方程为 ，
解得： ，
故 的两直角边长是4和3．
∴ ．
22．（8分）一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价
为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降
价10元，每月可多售出200顶．
(1)头盔每降价1元，每月可多售出 顶；
(2)若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？
【答案】(1)20
(2)每顶头盔的售价是70元．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据题意作答即可；
（2）设每顶头盔的售价为x元，根据商店每月获得的利润为8000元列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵每降价10元，每月可多售出200顶，
∴头盔每降价1元，每月可多售出20顶．
故答案为：20；
（2）解：设每顶头盔的售价为x元，则 ，
整理得： ，
解得： ，
答：每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元．23．（8分）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于
，B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点C是反比例函数第一象限图象上一点，且 的面积是 面积的一半，求点C的横坐标；
(3)将 在平面内沿某个方向平移得到 （其中点A、O、B的对应点分别是D、E、F），若D、F
同时在反比例函数 的图象上，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】 将点 代入 ，可得点 的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数，从而得出答
案；
首先求出点 的坐标，分情况讨论：在点 下方的 轴上取 的中点 ，过点 作 ，交反
比例函数第一象限图象上一点 ，或在点 上方的 轴上取 ，过点 作 ，交反比例函数
第一象限图象上一点 ，根据平行关系可得直线 的解析式，求出直线与双曲线交点可得结论；
由平行四边形和反比例函数的对称性可知 与 ，A与 关于原点对称，即可求得 ，根据 、
的坐标得到平移的距离，从而求得点 的坐标．
【详解】（1）解：将点 代入 得， ，
解得 ，
，
反比例函数 的图象经过点A，
，反比例函数解析式 ；
（2）解：列方程组 ，
解得 或 ，
，
如图，设直线 与 轴交于 ，
，
点 是反比例函数第一象限图象上一点，且 的面积是 面积的一半，
点C到直线 的距离是点 到直线 距离的一半，
如图，在点 下方的 轴上取 的中点 ，过点 作 ，交反比例函数第一象限图象上一点 ，
此时点C到直线 的距离是点 到直线 距离的一半，
直线 的解析式为 ，
，
解得 ， 不合题意，舍去 ，
点的横坐标为 ，
在点 上方的 轴上取 ，过点 作 ，交反比例函数第一象限图象上一点 ，
同理可得 点的横坐标为 ，
综上： 点的横坐标为 或 ；
（3）解：由题意可知 ， ，
四边形 是平行四边形，由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知， 与 ，A与 关于原点对称，
，
，
点 向右平移 个单位，向下平移 个单位得到点 ，
点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，
平移的性质，数形结合是解题的关键．
24．（6分）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如： ；
；
【类比归纳】
（1）填空： ____________， ____________．
【拓展提升】
（2）化简： （请写出化简过程）
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；
（2）将 写成 ，8写成 ，就可以凑成完全平方的形式进行计算．
【详解】（1）
；；
（2）
．
25．（10分）如图，在矩形 中， ，点 从点 出发沿线段 方向向点 运动，点 从点
出发沿线段 方向向点 运动，点 与点 的速度相同，将矩形沿 翻折，点 ， 的对称点为点 ，
，连接 ．
(1)在点 的运动过程中，当 交 于点 时， 与 交于点 ，延长 交 于点 ，连结 ．
①如图1，若 ， ，求 ．
②如图2，若 ，当四边形 为菱形时，求 的值．
(2)如图3，在（1）②条件下，点 继续向点 运动（不包含四边形 为菱形这个位置），当四边形的的一边与 垂直时，求 的值．
【答案】(1)① ②
(2) 或
【分析】（1）①折叠，得到 ， ，进而得到 ，
，平角的定义，结合角的和差关系得到
， ，根据 ，得到 ，
三角形的外角的性质，求出 的度数即可；
②根据折叠和菱形的性质，推出 ，进而推出
，根据含30度角的直角三角形的性质，求出 的长，进而得
到 的长，再根据线段的和差关系进行求解即可；
（3）设 ，则： ，分 和 两种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：①∵矩形 ，
∴ ，
∵翻折，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵矩形 ，
∴ ， ，
∵菱形 ，
∴ ， ， ， ，由题意，得： ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）设 ，则： ，
∵折叠，
∴ ， ，
当四边形的 的一边与 垂直时，分两种情况：
①当点 与点 重合时，此时 ，如图：
在 中，由勾股定理，得： ，
∴ ，
∴ ；即： ；
②当 时，作 于点 ，则四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即： ，
解得： 或 ，
∵当 时， ，由（2）可知，此时四边形 为菱形，不符合题意；
∴ ，
∴ ．
综上： 或 ．
