文档内容
期中押题重难点检测卷（培优卷）
【考试范围：三角形、全等三角形、轴对称】
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）窗花是中国古老的民间艺术之一，下列窗花作品中为轴对称图形的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形．
选项B、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以
不是轴对称图形．
故选：A．
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）一块三角形玻璃板不慎被小强同学碰破，成了如图所示的四块，聪
明的小强经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃板，
你认为可行的方案是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以 B．带 ①②或②③去就可以了
C．带 ①④ 或③④去就可以了 D．带①④或①③去就可以了
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，分别利用全等三角形的判定方法逐项判断即可得出答案，熟练掌
握全等三角形的判定方法是解此题的关键．【详解】解：①④或③④都能构成已知两角及夹边，可以确定唯一的三角形．
故选C．
3．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若三角形的三边长分别是2，8， ，则 的取值可能是
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了构成三角形的条件：任两边的和大小第三边；根据此条件，确定m的范围即可完成解
答．
【详解】解：由题意得： ， ，
∴ ，
∴ 满足题意；A、B、D不符合题意，
故选：C．
4．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知 ，下列判断中，错误的是（ ）
A．若添加条件 ，则
B．若添加条件 ，则
C．若添加条件 ，则
D．若添加条件 ，则
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可，能熟记全等三角
形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：A、 ， ， ，符合全等三角形的判定定理 ，能推出
，故选项不符合题意；
B、 ， ， ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 ，
故选项符合题意；
C、 ， ， ，符合全等三角形的判定定理 ，能推出 ，
故选项不符合题意；
D、 ， ， ，符合全等三角形的判定定理 ，能推出
，故选项不符合题意；故选：B．
5．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中
，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外角性质及三角板，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键，根据三
角形的外角性质得 ，求解即可．
【详解】解：如图，令AB交DE于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选： ．
6．（23-24七年级下·江苏南京·期末）在 中， ，若 ， 平分 交 于点 ，
且 ，则点 到线段 的距离 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是求出 的长度．先求出 的长度，根据角平分线的性
质即可求出答案．
【详解】解： ， ，
， ，
平分 ， ， ，
，
故选：B．
7．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，三角形纸片中， ， ，
．沿过点 的直线折叠这个三角形，使点 落 边上的点 处，折痕为 ，则 的周长
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换，由翻折可得 ， ，所以
，进而可以解决问题，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
【详解】解：由翻折可知： ， ，
， ，
，
的周长 ，
故选：A．
8．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在五边形 中， ， ，
， ．在 ， 上分别找一点 ， ，使得 的周长最小时，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查了最短路线问题,垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理的应用．延长
至 ，使 ，延长 至 ，使 ，则 垂直平分 ， 垂直平分 ，所以
， ， 的周长为 ，要使其周长最小，即使 最小，
设 ，则 ，设 ，则 ，在 中，利用三角形内角和定理，可以
求出 ，进一步可以求出 的值．
【详解】解：如图，延长 至 ，使 ，
延长 至 ，使 ，
则 垂直平分 ， 垂直平分 ，
， ，
根据两点之间，线段最短，
当 ， ， ， 四点在一条直线时， 最小，
则 的值最小，
即 的周长最小，
， ，
可设 ， ，
在 中， ，
， ，
，
故选：A．
9．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在 中，已知 ， ， ，
直线 ，动点 从点 开始沿射线CB方向以每秒 的速度运动，动点 也同时从点 开始在直
线 上以每秒 的速度运动，连接AD， ，设运动时间为 秒．当 时， 的值应为
（ ）A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10
【答案】C
【分析】本题是一道数学动点问题，考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类
讨论是重点也是难点．分两种情况讨论，如图，当点 在射线 上时， 在 上， ，如图，
当点 在 的反向延长线上时 ，由全等三角形的性质求出其解即可．
【详解】解：∵ ，
∴
如图，当点 在射线 上时， 在 上， ，
∵
∴ ，
∴ ．
如图，当点 在 的反向延长线上时，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述，当 或10时， ，
故选： ．
10．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形 中， 是 边上的高，分别以为一边，向外作正方形 和 （正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接
和 与 的延长线交于点 ，下列结论：① ；② ；③ 是
的中线；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线
的延长线于P，过点G作 于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析
题意，根据正方形的性质可得可求出 ，由“边角边”可得 ，可判断①是否正
确；设 、 相交于点N，由 可得 ，即可判断②的正确性；根据同角的余
角相等求出 ，再证明 ，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明
，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答．
【详解】解：在正方形 和 中， ， ，
，即 ，
在 和 中， ， ，
，
，故①正确；
设 相交于点N，
，
，
，
，
，故②正确；过点G作 于Q，过点E作 的延长线于P，如图所示：
，
，
，
，
，
在 和 中，
， ，
，
，故④正确；
同理可得 ，
，
在 和 中，
， ，
，
，
是 的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确，共4个．
故选：D．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（24-25八年级上·全国·单元测试）若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引9条对角线，则
．
【答案】12
【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引 条对角线，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，解得 ．
多边形的边数为12，即它是十二边形．
故答案为：12．
12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中，已知 和 的平分线相交
于点F，过F作 ，交 于点D，交 于点E，若 ，则线段 的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了角平分线以及平行线性质,等角对等边，掌握以上知识是解题关键．
题干要求线段 的长，根据 和 的平分线相交于点 ，且 得到 ，
从而进行分析即可求解．
【详解】解：∵ 和 的平分线相交于 点，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
13．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， ， ， 分别平分 ， ，
， ，则 的面积为 ．
【答案】20【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形的面积计算，添加辅助线构
造等腰三角形是解题的关键．延长 ， 相交于点G，先根据平行线的判定与性质，证明 ，
得出 的面积，然后证明 ，再根据等腰三角形的三线合一性质证得 ，由此即可
求得答案．
【详解】延长 ， 相交于点G，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
， 分别平分 、 ，
， ，
，
，
，
．
故答案为：20．
14．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）一个三角形的三条边的长分别是 ， ， ，另一个三角形的三条边的长分别是 ， ， ，若这两个三角形全等，则 的值是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，代数式求值；两个三角形全等，则依据题意可知，具体的可列方
程是 和 ；或者 ， ，进而求得 的值，即可求解．
【详解】解：依题意， 和
解得： ， ，
；
，
解得： ，
∴
故答案为： 或 ．
15．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）淇淇用正方形、正五边形和正六边形纸片组成如图所示的图形
（正五边形和正六边形有1个顶点重合，正方形的两个顶点分别在正五边形和正六边形的边上），若
，则 的度数为 ．
【答案】22°/22度
【分析】本题考查了正多边形内角及三角形的内角和，先求出 ．再通过三角形内角和
求得 ，然后计算出正五边形的每个内角的度数 ，
正六边形的每个内角的度数是 ，然后根据周角的定义得到答案即可．
【详解】解：如图，
四边形 是正方形，，
，
，
，
，
正五边形的每个内角的度数 ，正六边形的每个内角的度数是 ，
．
故答案为： ．
16．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图， 是 的角平分线， ，垂足为F，若
， ，则 的度数为 ．
【答案】 /50度
【分析】本题主要考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识，根据三角形
的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键； 根据三角形的内角和求出 ，利用三角形
全等，求出 ，再利用外角求出答案．
【详解】解： ， ，
，
，
，
是 的角平分线，
，
，
，
， ，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
17．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知 ，点 在射线 上，点
在射线 上． 均为等边三角形，若 ，则 的边长
为 ．
【答案】128
【分析】根据等边三角形的性质得 可得 ， ，再根据 ，可
知 ，进而求出 ，然后根据等边三角形的性质说明 ，可知各角之间的
关系，进而得出 ，即可得出规律，再根据规律得出答案.
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴
∴ .
∵
∴
又∵ ，∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ 、 是等边三角形，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
以此类推： 的边长为 ，
∴ 的边长为： ．
故答案为：128．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等，弄清各
边的规律是解题的关键．18．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，平面直角坐标系中， ，点B是 轴上的动点，
是等边三角形，连接 ，则 的最小值是 ．
【答案】1
【分析】以 为边在y轴左侧作等边 ，连接 ，过点D作 于点E，则 ，
即可证明 ，有 ，则当 取得最小值时， 最小，随着点B在 轴上的运动，点B
和点E重合，由垂线段最短可知最短，结合点A的位置 ，利用含30度角的直角三角形的性质得
，即可得 的最小值．
【详解】解：以 为边在y轴左侧作等边 ，连接 ，过点D作 于点E，如图，
则 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则当 取得最小值时， 最小，随着点B在 轴上的运动，点B和点E重合，由垂线段最短可知最短，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 的最小值是1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短和含30度角的直角三角
形的性质，解题的关键是熟悉构造等边三角形，并找到最小值的位置．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）已知一个三角形的两条边长分别为 ， ．设第三条边长
为 ．
(1)求x的取值范围．
(2)若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的知识，解题的关键是掌握三角形的两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边．
（1）直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围；
（2）根据三角形是等腰三角形，确定第三边是 ，进而求出三角形的周长．
【详解】（1）解：根据三角形三边关系，得 ，即 ；
（2）解：因为三角形是等腰三角形，且 ，
所以，第三边只能是 ，
所以，周长为
20．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，已知 ， ， 和 分别是 和
的平分线，点B、C、D在同一直线上．
(1)求证： ；(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质；
（1）根据 和 分别是 和 的平分线可得 ，再结合 ，
即可根据 证明 ；
（2）根据 可得 ， ，最后根据 计算即可．
【详解】（1）证明：∵ 和 分别是 和 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 与 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ （已证），
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵点B、C、D在同一直线上，
∴ ．
21．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图， 中， ，延长 到点 ，过点 作
于点 ， 与 交于点 ，若 ．
(1)求证： ；(2)若 ， 求CF的长度．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，
（1）根据题意可证 ，根据全等三角形的性质即可求解；
（2）根据（1）的证明可得 ，再证 ，可得
，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可得， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
22．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）小强为了测量一幢高楼高 ，在旗杆 与楼之间选定一点P．如图， 测得旗杆顶C视线 与地面夹角 ，测楼顶A视线 与地面
夹角 ，且 ．
(1)证明： ；
(2) ，求大楼 的高．
【答案】(1)见解析
(2)楼高 是26米
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，解题关键是牢记它的判定与性质．
（1）先求出 ，再证明全等；
（2）利用全等三角形的性质得出 即可求解．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ；
（2）∵
∴ .
∵ 米， 米，∴ (米)．
答：楼 高是 米．
23．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在 中， ， 分别是 ， 的
内角平分线，交于点 ， ， 分别是 ， 的外角平分线，交于点 ．若 ．(1)求 ；
(2)如果 ，直接用 表示出 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．
（1）由三角形内角和定理可求出 ，结合角平分线的定义可得出
，最后再次利用三角形内角和定理即可求解；
（2）由三角形内角和定理可求出 ，从而可求出 ，再结
合角平分线的定义可求出 ，最后再次利用三角形内角和定
理即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
∵ ， 分别是 ， 的内角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ．
∵ ， ，∴ ．
∵ ， 分别是 ， 的外角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
24．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，
他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在 中， 与 的平分
线相交于点P．
(1)如图1，如果 ，那么 ______°；
(2)如图1，请猜想 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，作 的外角 ， 的平分线交于点Q，试探究 与 的数量关系．
【答案】(1)
(2) ；
(3) ．
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用
三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出 ，进而求出 即可解决问
题；
（2）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出 ，进而求出 即可解决问
题；（3）根据三角形的外角性质分别表示出 与 ，再根据角平分线的性质可求得 ，
最后根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
与 的平分线交于点 ，
， ，
；
故答案为： ；
（2）解： ；
理由如下：
同理 ，
与 的平分线交于点 ，
， ，
；
（3）解： ，
的外角 ， 的平分线交于点 ，
， ．，
，
；
25．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】
（1）如图1，在四边形 中， ，E，F分别是 上的点，且
，探究图中 之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长 到点G，使 ．连接 ，先证明 ，再证
明 ,可得出结论,则他的结论应是________．
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形 中， 分别是 上的点，且
，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，已知在四边形 中， 若点E在 的延长线上，点F在
的延长线上，且仍然满足 ，请直接写出 与 的数量关系．
【答案】（1） ；（2）上述结论仍然成立，理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定：
（1）延长 到点G，使 ，连接 ，可判定 ，进而得出 ，
，再判定 ，可得出 ，据此得出结论；
（2）延长 到点G，使 ，连接 ，先判定 ，进而得出 ，，再判定 ，可得出 ；
（3）在 延长线上取一点G，使得 ，连接 ，先判定 ，再判定 ，
得出 ，最后根据 ，推导得到 ，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，延长 到点G，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
故答案为： ；
（2）上述结论仍然成立，理由如下：如图2，延长 到点G，使 ，连接 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
；
（3）如图3，在 延长线上取一点G，使得 ，连接 ，
， ，
，
在 和 中，，
，
， ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
即 ，
26．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在 中， ， ．若点D在 的平分线所
在的直线上．
(1)如图1，当点D在 的外部时，过点D作 于E，作 交 的延长线于F，且
．
①求证：点D在 的垂直平分线上；② ________；
(2)如图2，当点D在线段 上时，若 ， 平分 ，交 于点E，交 与点F，过点F
作 ，交 于点G．
① ________；
②若 ， ，求 的长度；
(3)如图3，过点A的直线 ，若 ， ，点D到 三边所在直线的距离相等，则点
D到直线l的距离是________．
【答案】(1)①见解析；②1
(2)① ；②
(3)2或6．
【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质
定理是解决问题的关键．
（1）①点D在 的平分线所在的直线上, 过点D作 于E，作 交 的延长线于
F，得出 ，借助 ，得到 ，即可证明点D在 的垂直平分线上；
②通过 证出 ，从而有 ，即可得出 ；
（2）①先利用角平分线的定义求得 ，再利用三角形的外角性质求得
，即可求解；
②延长 交 于H，证明 ，得到 ，再由 ，即可
求解；
（3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可．
【详解】（1）①证明：连接 ，∵点D在 的平分线所在的直线上, 过点D作 于E，作 交 的延长线于F，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴点D在 的垂直平分线上；
②由①知： ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：1；
（2）①∵ 平分 ， 平分 ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，即 ，∴ ；
故答案为： ；
②延长 交 于H，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）当点D在 内部时，如图：∵ ，
∴ ，
∴ ，
点D到直线l的距离是 ；
当点D在 的下方时，如图：
设点D到三边的距离为x，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
点D到直线l的距离是 ；
综上，点D到直线l的距离是2或6．
故答案为：2或6．
