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29.1 投影
基础篇
一、单选题：
1．下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子
【答案】A
【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得．
【详解】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意；
B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
C、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心投影，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
2．下列关于投影的描述，不正确的描述有（ ）
A．在阳光下，同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值
B．一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形
C．物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关
D．物体在平行投影下可以得到自己的主视图
【答案】C
【分析】直接利用投影的定义即可判断．
【详解】解：A. 在阳光下，同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值，说法正确，不符合题意；
B. 一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形 ，说法正确，不符合题意；
C. 物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关，说法错误，符合题意；
D. 物体在平行投影下可以得到自己的主视图，说法正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查投影的定义，掌握投影的定义是解题的关键．
3．由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上
的正投影是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：从上面看，底层中最右边一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于 处，木杆 两端的坐标分别为 ， ．则木杆
在 轴上的影长 为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】利用中心投影，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，证明 ，然后利用相似比可
求出CD的长．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，
根据题意得： ，∴ ，
∵ ，A ，B ．
∴PE=2，AB=3，ME=1，
∴PM=1，
∴ ，即 ，
解得：CD=6，．
故选：B
【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影
是放大（即位似变换）的关系．
5．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为 ，且三角板的一边长为 ，则
投影三角板的对应边长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】中心投影下的三角板与投影三角板一定是相似的，再根据相似三角形对应边的比等于相似比，列
式进行计算即可．
【详解】解：三角板的一边长为 ，则设投影三角板的对应边长为 ，
三角板与其投影的相似比为 ，
，
，
投影三角板的对应边长为 ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心投影与相似三角形的性质，熟练掌握中心投影的概念与相似三角形的性质是
解答此题的关键．
6．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是（ ）A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3）
【答案】C
【分析】根据太阳光下从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变
长．
【详解】解：西为（3），西北为（4），东北为（1），东为（2），
∴将它们按时间先后顺序排列为（3）（4）（1）（2）．
故选C．
【点睛】本题考查了平行投影的特点和规律．在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在
改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变
长．
7．如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线
行走到点C时，人影长度增长3米，小方行走的路程AC＝（ ）
A．7.2 B．6.6 C．5.7 D．7.5
【答案】D
【分析】设出影长AB的长，利用相似三角形可以求得AB的长，然后在利用相似三角形求得AC的长即可．
【详解】解：∵AE⊥OD，OG⊥OD，
∴AE//OG，
∴∠AEB=∠OGB，∠EAB=∠GOB，
∴△AEB∽△OGB，
∴ ，即 ，解得：AB＝2m；
∵OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，
∴DC＝AB+3=5m，OD=OA+AC+CD=AC+10，
∵FC∥GO，
∴∠CFD=∠OGD，∠FCD=∠GOD，
△DFC∽△DGO，
∴ ，
即 ，
解得：AC＝7.5m．
所以小方行走的路程为7.5m．
故选择：D．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形在实际中的中心投影的应用，掌握相似三角形判断与性质，利用对
应边成比例是解答本题的关键．
二、填空题：
8．皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在
幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是______（填写“平行投
影”或“中心投影”）
【答案】中心投影
【分析】根据平行投影和中心投影的定义解答即可．【详解】解：“皮影戏”中的皮影是中心投影．
故答案是中心投影．
【点睛】本题主要考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影
是在一束平行光线照射下形成的投影．
9．已知一直立的电线杆在地面上的影长为10 ，同时，高为1.3 的测竿在地面上的影长为2.6 ，由此
可知该电线杆的长为______ ．
【答案】5
【分析】同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例且方向相同，由此列式解答即可．
【详解】解：设电线杆的长是x米．
，
解得： ．
故答案为：5．
【点睛】本题考查平行投影的特点和规律，同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例且方
向相同．
10．如图，一棵树 的高度为 米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长 为 米，现在
小明想要站这棵树下乘凉，他的身高为 米，那么他最多离开树干______米才可以不被阳光晒到？
【答案】
【分析】设小明这个时刻在水平地面上形成的影长为 米，利用同一时刻物体的高度与影长成正比得到
，解得 ，然后计算两影长的差即可．
【详解】解：设小明这个时刻在水平地面上形成的影长为 米，
根据题意，得 ，
解得 ，
即小明这个时刻在水平地面上形成的影长为 米，
因为 米 ，所以他最多离开树干 米才可以不被阳光晒到．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用和平行投影．由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光
的照射下形成的影子就是平行投影．同一时刻物体的高度与影长成正比．
11．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于 处，木杆 两端的坐标分别为 ．则木杆
在x轴上的影长 为_________．
【答案】8
【分析】根据坐标与图形的性质得到 轴于D，求得 ，再利用中
心投影，证明 ，然后利用相似比可求出CD的长．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 轴于D，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影
是放大（即位似变换）的关系．12．一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮
着灯的窗口是_________号窗口．
【答案】3
【分析】根据给出的两个物高与影长即可确定光源的位置；
【详解】如图所示：可知亮灯的窗口是3号窗口，
故答案是3．
【点睛】本题主要考查了中心投影，准确分析判断是解题的关键．
13．如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则
树的高度为______．
【答案】8m
【分析】根据题意，画出示意图，易得： ，进而可得 ；即 ，
代入数据可得答案．【详解】解：如图：过点C作 ，
由题意得：△EFC是直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；即 ，
由题意得： ，
∴ ，
（负值舍去），
故答案为：8m．
【点睛】本题考查了平行投影，相似三角形应用，通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小是平
行投影性质在实际生活中的应用．
三、解答题：
14．如图，一个广告牌挡住了路灯的灯泡．小李、小张、路灯的灯杆及小赵在同一平面内．
(1)画出该路灯灯泡所在的位置O；
(2)画出表示小赵身高的线段AB．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）如图，分别连接ME，NF并延长交点为O，O点即为灯泡的位置；
（2）如图，连接OD，过B点作底面的垂线，交OD于点A， AB即为小赵的身高．（1）解：由题意知 在同一平面内，故如图，分别连接ME，NF并延长交点为O，可知O点
即为灯泡的位置；
（2）解：由题意知，如图，连接OD，过B点作底面的垂线，交OD于点A，AB即为小赵的身高；
【点睛】本题考查了投影的应用．解题的关键在于理解投影的含义．
15．如图，在平面直角坐标系中，点P（3，3）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为A（0，1），B
（4，1）．画出木杆AB在x轴上的投影，并求出其投影长．
【答案】见解析，6
【分析】利用中心投影，转化为相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质得出答
案即可．
【详解】解：连接PA、PB并延长分别交x轴于点C、D，线段CD就是木杆AB在x轴上的投影．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，交AB于点N，
∵点P（3，3），A（0，1），B（4，1），
∴OM=AN=3，AB=4，PN=2，PM=3，
∵AB∥CD，
∴∠PAB=∠PCD，∠PBA=∠PDC，
∴△PAB∽△PCD，
∴ ，即 ，
∴CD=6．
故木杆AB在x轴上的投影长为6．
【点睛】本题考查中心投影，构造相似三角形，利用相似三角形的性质列方程求解是解决此类问题的基本
方法．
16．垂直于地面的电线杆顶端是路灯灯泡，如图所示，木杆 ， 垂直于地面．它们在路灯下的影子分
别是 ， ．
(1)请画出电线杆 （路灯灯泡用点P表示，电线杆底部用点Q表示）；
(2)若木杆 的高度为4米，影长 为6米，木杆底部B与电线杆底部Q的距离为3米，求电线杆 的
高度．
【答案】(1)见解析
(2)6米【分析】（1）根据中心投影的定义，画出图形即可；
（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】（1）如图，线段 即为所求；
（2）∵ 米， 米，
∴ （米），
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ （米）．
【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，相似三角形的应用等知识，解题的关键是理解中心投影的定义，
属于中考常考题型．
17．如图，身高1.6m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，
具体做法如下；先从路灯底部向东走20步到M处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处，
继续沿刚才自己的影子走5步到P处，此时影子的端点在Q处．
(1)根据题意画图，找出路灯的位置．
(2)求路灯的高和影长 ．
【答案】(1)见解析
(2)路灯高8米，影长 为 步
【分析】（1）连接 ，并延长相交于点 ，即为路灯的位置；（2）由 ， ，可分别得 ， ，根据三角形相似的性质，
得到对应边成比例，列出比例式，代入数值计算即可．
【详解】（1）解：如图，点O为路灯的位置；
（2）解：作 垂直地面，如图， 步， 步， ，
，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得
答：路灯高为8米，影长 为 步．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质应用，找到相似三角形列出比例式是解题的关键．
18．如图，AB表示路灯，CD、 表示小明站在两个不同位置（B，D， 在一条直线上）．
(1)分别画出小明在这两个不同位置时的影子；
(2)小明站在这两个不同的位置上，他的影子长分别是1.5米和3米，已知小明身高1.5米， 长为3米，请计算出路灯的高度．
【答案】(1)见解析
(2)路灯的高度为4.5米
【分析】（1）利用中心投影的性质画出图形即可；
（2）利用相似三角形的性质构建关系式解决问题即可．
（1）
解：DE、D′E′即为所作；
（2）
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B＝∠CDE，
∵∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽ CDE，
△
∴ ，
同理， ，
∴ ，
∴ ，
解得：BD＝3（米）
∴AB＝BE＝BD＋DE＝3＋1.5＝4.5（米）
答：路灯的高度为4.5米．
【点睛】本题考查作图−应用与设计作图及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中心投影的性质，
相似三角形的判定定理．提升篇
1．如图，将一块含30°角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，点B在直线m上的正投影
分别为点D，点E，若AB＝10，BE＝3 ，则AB在直线m上的正投影的长是（ ）
A．5 B．4 C．3+4 D．4+4
【答案】C
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC=5，根据锐角三角函数可得BC的长，再根据
勾股定理可得CE的长；通过证明△ACD∽△CBE，再根据相似三角形的性质可得CD的长，进而得出DE
的长．
【详解】解：在Rt ABC中，∠ABC=30°，AB=10，
△
∴AC= AB=5，BC=AB•cos30°=10× ，
在Rt CBE中，CE= ，
△
∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∴Rt ACD∽Rt CBE，
△ △
∴ ，
∴CD= ，
∴DE=CD+BE= ，
即AB在直线m上的正投影的长是 ，故选：C．
【点睛】本题考查了平行投影，掌握相似三角形的判断与性质以及勾股定理是解答本题的关键．
2．如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆
（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上
的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【答案】D
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
【详解】解：如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，
∵杆高与影长成正比例，
∴CD：DE=1：0.5，
∴DE=1米，
∴AB：BE=1：0.5，
∵BE=BD+DE=4，
∴ ，
∴AB=8米．
故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子
长的比值相同这个结论．
3．晚上,小亮走在大街上发现:当他站在大街两边的两盏路灯之间,并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时,自己右边的影子长为3 m,左边的影子长为1.5 m,又知自己身高1.80 m,两盏路灯的高相同,两盏路
灯之间的距离为12 m,则路灯的高为( )
A．6.6 m B．6.7 m C．6.8 m D．6.9 m
【答案】A
【分析】首先根据已知条件求证出△FHG∽△FDE，△CHG∽△CBA，然后根据相似三角形的性质求得两
个相似三角形的相似比，进而求出路灯DE的高度．
【详解】设小亮离右边的路灯为xm，则离左边的路灯为（12﹣x）m，再设路灯的高为hm，又易证
△FHG∽△FDE，△CHG∽△CBA，则 ，即1.8：h=1.5：（1.5+x）， 1.8：h=3：
（3+12﹣x）
解得：x=4，h=6.6．
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解
决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际
问题转化为数学问题．
4．一块直角三角板 如图所示放置， ， ， ，测得 边在平面的中心
投影 长为 ，则 长为________ ， 的面积是________ ．【答案】 192
【分析】根据直角三角形 ，可先求出 的长，再根据△ 和 是相似的，得到 的长，
再由面积比等于相似比的平方，算出 的面积即可；
【详解】∵ ， ，
∴AB=
又∵ 是 的投影
∴
∴
∴
∴
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查相似图形的性质与应用．熟练掌握中心投影图形也是一种相似图形是解决本题的关键．
5．如图是小孔成像原理的示意图，点 与物体 的距离为 ，与像 的距离是 ， . 若
物体 的高度为 ，则像 的高度是_________ .【答案】7
【分析】根据三角形相似对应线段成比例即可得出答案.
【详解】
作OE⊥AB与点E，OF⊥CD于点F
根据题意可得：△ABO∽△DCO，OE=30cm，OF=14cm
∴
即
解得：CD=7cm
故答案为7.
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，注意两三角形相似不仅对应边成比例，对应中线和对应高线也
成比例，周长同样成比例，均等于相似比.
6．一天小明与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵树，小明想测量这棵树的高度，他发现树的影子恰好
落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为12米，坡面上的影长为5米、斜坡的坡角为
30°，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的拐杖在地面上的影长为2.5米，求这棵树的高度（结果精
确到0.1米）．
【答案】9.0米
【分析】延长AC、BF交于点D，过点C作CE⊥BD于E，根据直角三角形的性质求出CE，根据余弦的定
义求出EF，根据题意求出DE，进而求出BD，计算即可．
【详解】解：延长AC、BF交于点D，过点C作CE⊥BD于E，在Rt△CEF中，∠CEF=90°，∠CFE=30°，CF=5，
∴CE=2.5（米），EF=5cos30°= （米），
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2.5米，
∴ ，
∴DE=2.5CE= （米），
∴BD=BF+EF+DE=12+ +6.25=18.25+ （米），
，
，
∴AB=BD÷2.5=（18.25+ ） ≈9.0（米），
答：这棵树的高度约为9.0米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用以及平行投影，解决本题的关键是作出辅助线、得到AB的影
长．
7．小明在晚上由路灯 走向路灯 ，当他走到 处时，发现身后影子顶部正好触到路灯 底部，当他向前
再步行 到达 时，发现他的影子的顶点正好接触到路灯 的底部．已知小明的身高是 ，两个路灯
的高度都是 ，且 ．
(1)求：两个路灯之间的距离；
(2)小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如
果不是定值，求说明理由．【答案】(1)两路灯之间的距离为 米
(2)两影长之和为定值，定值为 米
【分析】（1）根据题意结合图形可知，图中 ，在点 处时， 和 相似，然后利用相
似三角形对应边成比例列出比例式后即可求解；
（2）设两影长之和为 ，利用相似比，可计算出在两个路灯之间行走时影长之和为定值．
（1）
解：由题意得 ，
∵ ，
∴ ∽ ，
则
解得： ，
，
故两路灯之间的距离为 米；
（2）
解：两影长之和为定值，定值为 米．
理由：如图，设 米．
∵ ，
∴△CPK∽△EAK，△CPQ∽△HBQ，
∴ ， ，
则 ， ，
∵
∴ ，，
解得 ，
两影长之和为定值，定值为 米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的知识，解题的关键是正确的根据题意作出图形．
