文档内容
2023-2024 学年第二学期期末阶段性检测卷
九年级
·数学
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．测试范围：人教版九年级上、下册
第Ⅰ卷
一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大
题共10个小题，每小题3分，共30分)
1．（2023上·广东江门·九年级校考期中）下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根
据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，
所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
2．（2022上·安徽淮北·九年级校联考阶段练习）在 中， ， ， 的值是
（ ）A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的余弦值，由题意知， ，根据 ，
求解作答即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴ ，
故选：B．
3．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，把矩形 对折，折痕为 ，如果矩形 和矩
形 相似，则它们的相似比为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，设矩形 的长 ，宽 ，根据相
似多边形对应边的比相等，即可求得．
【详解】解：设矩形 的长 ，宽 ，
则 ，
矩形 与矩形 相似，
，即 ，
即 ．
．故选：A．
4．（2023上·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知点 ，以原点O为位
似中心，相似比为 ，把 缩小，则点E的对应点 的坐标是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了图形的位似，掌握“如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形
对应点的坐标的比等于k或 进行计算”是解题的关键．
【详解】解：∵点 ，以O为位似中心，相似比为 ，
∴点E的对应点 的坐标为： 或 ，
即 或 ，
故选：D．
5．（2023上·甘肃兰州·九年级兰州市第五十五中学校考阶段练习）如图，点 在双曲线 上， 点
在双曲线 上， 轴，过点 作 轴于 ，连接 ，与 相交于点 ，若 ，
则 的值为（ ）
A．6 B．12 C．8 D．18
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数 的几何意义，矩形的判定和性质，
平行线分线段成比例定理，作辅助线，构建矩形是解答本题的关键．过点 作 轴于 ，延长线段，交 轴于 ，得到四边形 是矩形，四边形 是矩形，所以 ， ，由
，得到 ，由此得到 ，根据反比例函数系数 的几何意义求出答
案．
【详解】解：过点 作 轴于 ，延长线段 ，交 轴于 ，
轴， 轴，
四边形 是矩形，四边形 是矩形，
， ，
，
点 在双曲线 上，
，同理 ，
，
，
，
，
故选： ．
6．（2023上·河北石家庄·九年级校联考期中）如图，已知 所在圆的半径为5，弦 的长8，点P是
中点， 绕点A逆时针旋转 后得到 ，两位同学提出了相关结论：
嘉嘉： 的长为 ；琪琪： 扫过的面积为
下列论正确的是（ ）A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积，令 所在圆的圆心为点O，连接 ， 与
相交于点Q，根据垂径定理得出 ， ，设 ，则 ，根据勾股定理，
建立方程，求出 ，则 ，即可判断嘉嘉的结论；由旋转的性质得出
，再根据扇形面积公式 ，即可求出 扫过的面积，即可判断淇淇的结论．
【详解】解：令 所在圆的圆心为点O，连接 ， 与 相交于点Q，
∵点P是 中点，
∴ ， ，
设 ，则 ，
根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： （舍去），
∴ ，
∴ ，故嘉嘉对；
∵ 绕点A逆时针旋转 后得到 ，
∴ ，
∴ 扫过的面积 ，故琪琪错；故选：B．
7．（2023上·河北保定·九年级校考阶段练习）马路边上有一棵树 ，树底 距离护路坡 的底端 有
3米，斜坡 的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为 ，同时刻1米长的
竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡 上的 处，且 ，如图所示，
线段 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，求出 ，延长 ，交 于点 ，根据30度角的直角三
角形即可求出结果．
【详解】解： 同时刻1米长的竹竿影长为0.5米， 米，
树 的高度是6米；
延长 ，交 于点 ，
，，
，
米，
米，
米，
线段 的长度为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及平行投影，解决本题的关键是作出辅助线得到 的影长．
8．（2022上·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图， 中， ，
， ，点 是 的内心，则 的长度为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，根据点 是 的内
心，画出 的内切圆 ，如图，过点 作 ， ， ，垂足为 ， ， ，
连接 ，根据内切圆的性质可知垂足 ， ， 也是 三边与 的切点， ，
， ， ，利用勾股定理可得 ，设 ，则 ，根据
切线长定理可求得 ，设 ，根据 ，可得 ，即 ，问题随之
得解．
【详解】根据点 是 的内心，画出 的内切圆 ，如图，过点 作 ， ，
，垂足为 ， ， ，连接 ，根据内切圆的性质可知垂足 ， ， 也是 三边与 的切点，
， ， ， ，
， ， ，
，
设 ，则 ，
， ， ，
，
，
，
设 ，
，
，
，
，
．
故选：C．
9．（2023上·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）四位同学在研究函数 （a，b，c是常数）
时，甲发现当 时函数的最大值为 ；乙发现 成立；丙发现当 时，函数值y随x的
增大而减小；丁发现当 时， ．己知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是
（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的最值和二次函数图象上点的特征，将甲乙丙丁四人的结论转化为等式和
不等式，然后用假设法逐一排除正确的结论，最后得出错误的结论．【详解】四人的结论如下：
甲： ，且 ， ；
乙： ；
丙： ，且 ；
丁： ．
由于甲、丙的 正负恰好相反，则两个中必有一个错误，则乙、丁必正确，联立，解得： ，
若甲正确，则 ，且 ，
解得 ， 不符题意，
所以甲错误，丙正确．
故选A．
10．（2023上·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，正方形 的边长为 ，动
点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿 和 的路径向点C运动．设运动
时间为x（单位：s）四边形 的面积为y（单位： ），则y与 之间的函数图象大致是
（ ）
A．
B．C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意结合图形，分情况讨论：① 时，根据四边形
的面积的面积 ，列出函数关系式，从而得到函数图象；② 时，根据四边形
的面积 ，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解，根据题意
结合图形，分别求出两个时间段的函数关系式，由抛物线开口方向判断是解题的关键．
【详解】解：① 时，
∵正方形的边长为 ，依题意得：
∴ ，该函数图像开口方向向下，
② 时，依题意得：
，，该函数图像开口方向向下，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选： ．第Ⅱ卷
二、填空题 (本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023上·福建福州·七年级统考期中）定义运算“※”，其规则为 ，若 ，则
的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据新定义的运算，把问题转化为方程求解．
【详解】解：由题意 ，即 ，
解得 ．
故答案为：9．
12．（2023上·河北石家庄·九年级校联考期中）若点 都在反比例函数 的图象上，则
m，n的大小关系是m n．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质，利用函数的增减性求解．根据反比例函数 的值，判断函
数的增减性即可求解．
【详解】解：反比例函数 ， ，所以函数的图象在二 、四象限，
根据函数性质，函数在二、四象限，在每一个象限内， 随 的增大而增大，
，
，
故答案为： ．
13．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）如图，某河堤迎水坡 的坡比 ，河堤高 ，
则河堤的坡面 的长为 m．【答案】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，根据坡度的概念求出 ，根据勾股定理计
算，得到答案．
【详解】解： ，坡 的坡比 ，
，
，
故答案为： ．
14．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）如图，抛物线 ： 与x轴只有一个公共
点 ，与y轴交于点 ，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线 ，则图
中两个阴影部分的面积和为 ．
【答案】8
【分析】根据题意可推出 ， ， ，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影
部分的面积等于矩形 的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：过抛物线 的顶点D作 轴，与y轴交于点C，如图所示，
因为则四边形 是矩形，
∵抛物线 ： 与x轴只有一个公共点 ，与y轴交于点 ，
∴ ， ，
将抛物线 向下平移两个单位长度得抛物线 ，则 ，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形 的面积，
∴ ．
故答案为：8
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、矩形的性质与判定，二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，
解题的关键是根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形 的面积．
15．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）一个口袋中有若干个白球，小明想用学过的概率知识估计口
袋中白球的个数，于是将4个黑球放入口袋中搅匀（黑球与口袋中的白球除颜色外其余都相同），从口
袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋并摇匀，不断重复上述过程，共摸了300次，其中有
48次摸到黑球，估计口袋中大约有 个白球．
【答案】21
【分析】此题考查了用频率估计概率的知识：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客
观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，
它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事
件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率，设白球有x个，列方程并求解
即可，掌握频率和概率的关系是解题关键．
【详解】解：设白球有x个，列方程为：
，
解得： ，
经检验： 是方程的解，
故答案为： ．
16．（2023上·北京朝阳·九年级校考期中）已知 是等圆， 内接于 ，点C，E分别
在 上．如图，
①以C为圆心， 长为半径作弧交 于点D，连接 ；②以E为圆心， 长为半径作弧交 于点F，连接 ；
下面有四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，
根据作图方法可得 ，则由三角形三边的关系可得 ，由此可判断①；根据
同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等得到 ，由此可得 ，即可判断②；根
据同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等得到 ，即可推出
，由此可判断③；证明 ，得到 ，同法可证
，则 ，即可判断④．
【详解】解：如图，连接 ．
由作图方法可知 ，
∵ ，
∴ ，故①错误，
∵ 是等圆， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，∵
∴ ，故③正确，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同法可证 ，
∴ ，故④正确．
故答案为：②③④．
三、解答题 (本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题
每小题9分,第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中） 中， ．
(1)如果 ， ，求 的长；
(2)如果 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形；
（1）根据正弦函数的定义和 度角的正弦值求解即可；
（2）根据正切函数的定义和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：在 中， ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ；
（2）解： 中， ，设
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
18．（2016上·江苏南京·七年级统考期末）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
(1)该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加 块小正方
体．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】此题主要考查了作三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮
廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．（1）左视图有2列，每列小正方数形数目分别为3，1，俯视图有4列，每列小正方形数目分别为2，1，
1，1．据此可画出图形．
（2）持俯视图和左视图不变，可以在第1列后面一排添加2个，第3列添加2个，第4列添加2个，最
多添加6个小正方体．
【详解】（1）解：如图所示：
；
（2）保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加6块小正方体，
故答案为：6．
19．（2023上·四川成都·九年级校考期中）“保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动
之宗旨，为了解某校全体学生参加该学校五个环保类社团项目的意愿．随机抽取了40名学生进行问卷调
查，每人只能从中选择一个项目，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表．
社团名称 A（环保义工） B（绿植养护） C（醇素制作） D（回收材料） E（垃圾分类）
人数 4 m 16 n 4
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：m＝ ；扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角等于 度；
(2)请补全条形统计图：若该校有2400名学生，估计全校约有多少名学生意愿参加回收材料社团．
(3)请用树状图或列表法求随机抽取该校两名同学选择环保类同一社团项目的概率．
【答案】(1)12，36
(2)见解析，240名
(3)【分析】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图；
（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出 的值，然后再计算出扇形统计图中 （回收材料）部分扇
形的圆心角即可；
（2）根据（1）中 的值，然后再计算出 的值，即可将条形统计图补充完整，然后再计算出全校约有
多少名学生意愿参加回收材料社团即可；
（3）根据题意，先画出树状图，再求出相应的概率即可．
【详解】（1）解： ，
扇形统计图中 （回收材料）部分扇形的圆心角等于：
，
故答案为：12，36；
（2）解：由（1）知： ，
，
补全的条形统计图如右图所示；
（名），
答：估计全校约有240名学生意愿参加回收材料社团；
（3）解：树状图如下所示：
由上可得，一共有25种等可能性，其中选择环保类同一社团项目的可能性有5种，选择环保类同一社团项目的概率为 ．
20．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图1是小红家阳台上放置的一个晒衣架，如图2是晒衣架
一端横切面的示意图，立杆 相交于点 两点立于地面，经测量； ，
， ，现将晒衣架完全稳固张开，此时扣链 成一条线段， ．
(1)求证： ．
(2)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到 ，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明
理由．
【答案】(1)见解析
(2)会拖落到地面，理由见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据等边对等角结合三角形内角和定理得出 ，
，从而得到 ，即可得证；
（2）首先证明 ，进而得出 的长即可．
【详解】（1）证明： 相交于点 ，
，
，
，同理可证： ，
，
；
（2）解：小红的连衣裙会拖落到地面；
在 中， ，
过点 作 于点 ，
同（1）可证： ，
，则 ，
∴ ， ，
所以小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度 晒衣架的高度 ．小红的连衣裙会拖落到地
面．
21．（2023上·湖南永州·九年级统考期中）水果店店主张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干，以
每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低 元，每天可多
售出20斤．为保证每天至少售出200斤，张阿姨决定降价销售．设这种水果每斤的售价降低 元．
(1)每天的销售量为___________斤（用含 的代数式表示）；
(2)为尽量减少天气炎热带来的损耗，最大化减少库存，如果销售这种水果每天盈利300元，张阿姨需将
每斤的售价降低多少元？
【答案】(1)
(2)张阿姨需将每斤的售价降低1元
【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用：（1）每降低 元，每天可多售出20斤，则每降低 元，每天多售出 斤；
（2）根据销量 每斤的利润 总利润，列一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：将这种水果每斤的售价降低x元，
则每天的销售量是 斤，
故答案为： ；
（2）解：根据题意，得： ，
解得： 或 ．
当 时，每天销售量 （斤），
当 时，每天销售量 （斤），
为了最大化减少库存，应取 ．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
22．（2023上·北京朝阳·九年级北京八十中校考期中）在 中， ，
于点D，P为线段 上的动点（不与点B、D重合），连接 并将线段 绕点A逆时针旋转
，得到线段 ，连接 ，取 的中点Q．
(1)依题意补全图形；
(2)用含 的式子表示 ，并说明理由；
(3)点M为线段 上一点，当 与 满足的数量关系为______时，对于任意的点P，总有 ．
证明你的结论．
【答案】(1)见解析；
(2) ，理由见解析；
(3) ，理由见解析．【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）根据 证明 ，即可求解；
（3）当 时，由（2）知： ，可得 ，再根据Q为 中点，可得 为
的中点，最后根据 ， 即可求解．
【详解】（1）解：补全图形如图所示：
；
（2）解： ,理由如下：
，
又由旋转可知：
即
，又
，
；
（3）解： 时，有 ，理由如下：
当 时，由（2）知：
则 ，又Q为 中点
为 的中点，
又 ， ，．
【点睛】此题是几何变换的综合题，主要考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判
定和性质、平行线的判定等知识，熟练进行逻辑推理是解题关键．
23．（2023上·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，直线 与双曲线 相交于点 ， 两
点， 点纵坐标为 ．
(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；
(2)点 在 轴上，连接 ，当 的面积为 时，求 的值；
(3)请直接写出关于 的不等式 的解集．
【答案】(1)双曲线的解析式为 ，直线解析式为 ；
(2) 或 ；
(3) ．
【分析】本题是考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，函数
与不等式的关系，运用数形结合的思想是解题的关键．
( )将 代入双曲线 ，求出 的值，从而确定双曲线的解析式，再将点 代入 ，确定
点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
( )求得直线 于 轴的交点坐标，然后根据 ，求得 的坐标，进一步求得 的
值；
( )数形结合求出 的范围即可；
【详解】（1）将 代入双曲线 得，，
∴ ，
∴双曲线的解析式为 ，
将 代入 得，
，
∴ ，
∴ ，
将 代入 得，
，
解得 ，
∴直线解析式为 ；
（2）如图，
由 可知 ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值为 或 ；（3）由 可得 ，
根据函数图象可知，关于 的不等式 的解集为： ．
24．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图①，在四边形 中，
过 三点的 的圆心位置和半径，随着m的变化而变
化．解决下列问题：
【特殊情形】
（1）如图②，当 时，圆心O在 上，求 的半径．
【一般情形】
（2）（Ⅰ）当 时，求 的半径；
（Ⅱ）当 时，随着m的增大，点O的运动路径是； （填写序号）
①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线
【深入研究】
（3）如图③，连接 ，以O为圆心，作出与 边相切的圆，记为小 ．当小 与 相交且与
相离时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1） ；（2）（Ⅰ） ；（Ⅱ）①；（3）
【分析】（1）根据垂径定理以及勾股定理直接求解即可；
（2）（I）构造矩形，根据矩形的性质以及勾股定理求解即可；
（Ⅱ）参考(I)的方法，得出 到直线 的距离与 的关系，然后根据 到直线 的距离随 线性变化，
得出两个距离的函数表达式，类比平面直角坐标系中坐标的几何意义，从而得出 的轨迹形状；
（3）参考（2）的方法，求出小圆的半径，以及圆心到 的距离，根据圆与直线位置关系，列出不
等式求解即可．【详解】（1）解：连接 ，在 中，设 ，则 ．
在 中， ，
∴ ，即 ．解得 ．
（2）（I）解：过点 分别作 ，连接 ，
∵ 过圆心， ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是矩形．
∴ ．
∴ ．
设 ，则 ，
在 中 ，
在 中 ，
∴ ，即 ．
解得 ，
∴ ，即 ．
（II）过点 分别作 ，连接 ，如图：由（I）知： ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
∵ 到 的距离 ，
类比平面直角坐标系内 的几何意义，
∴ 的轨迹是一条射线，
故答案为：①；
（3）过 作 ，交 于 ，交 于 ，过 作 于 ，作 于 ，连接
，过 作 于 ，如图：
由（II）知， ，四边形 是矩形，
小 与 相交且与 相离，
即
解得： ．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，综合考查了垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦
所对的两条弧”、勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”、矩形的性质和判定、
圆与直线的位置关系等知识，题目较难，求出小圆的半径的代数式是本题解题的关键．
25．（2023上·湖北武汉·九年级武汉市武珞路中学校考期中）已知过点 的直线 ：
与抛物线 ： 的图象交于点 ， ，点 在 轴上，抛物线与 轴交于点 ．(1)求抛物线 的解析式；
(2)点 是抛物线上的一个动点，设点 的横坐标为 ．过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，交
轴于点 ．当 时，求 的值．
(3)将抛物线 平移使得其顶点和原点重合，得到新抛物线 ，过点 的直线交抛物线 于 、
两点，过点 的直线交抛物线 于 、 两点．求证：直线 过定点，并求出定点的坐标．
【答案】(1)
(2) 或 或 或
(3)直线 过定点，且定点的坐标为 ．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得 ， 两点关于 轴对称，推出 ，分两种情况讨论，当 轴和
当 时，利用一次函数的性质求解即可；
（3）由平移得 ： ．利用二次函数与一元二次方程的关系求得 ， ，
据此进一步计算即可求解．【详解】（1）解：由 得 ， 为 ，将 为 ， 代入得：
解得，
抛物线 的解析式为 ；
（2）解： 二次函数 ．与 轴交于点 ，
，
∵ ，
，
， 两点关于 轴对称，
，
，
，
，
如图，当 时， 轴，
，
由 ，
解得 ，
如图，当 时，设 交 轴于 ，，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得 ，
，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，将 代入直线 得，
，
解得 或 ，综上所述，点 的坐标 为 或 或 或 ；
（3）解：平移得 ： ．
设 ，设 直线为 ，
将 代入， ， ，
直线为 ，
由 得，
， 是 两根，
则 ① ②，
② ①得， ，
解得 ，
设 直线为 ，将 代入， ， ，
直线为 ，
由 得， ， 是 两根，
则 ③， ④，
④ ③得， ，
解得 ．
，
设 直线为 ，
由 得 ， 是 的两根， ，
，
直线为 ，直线 过定点，且定点的坐标为 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的应用，利用二次函数解二次
不等式，正确添加辅助线是解题的关键．
