文档内容
专题 02 勾股定理的应用（十三大题型）
【题型1 求梯子滑落高度】...................................................................................................1
【题型2 求旗杆高度】..........................................................................................................3
【题型3 求小鸟飞行距离】...................................................................................................7
【题型4 求大树折断前的高度】...........................................................................................9
【 题 型 5 解 决 水 杯 中 筷 子 问
题】............................................................................................11
【 题 型 6 解 决 航 海 问
题】.......................................................................................................12
【题型7 求河宽】.................................................................................................................14
【 题 型 8 求 台 阶 上 地 毯 长
度】................................................................................................15
【 题 型 9 判 断 汽 车 是 否 超
速】................................................................................................16
【题型10 判断是否受台风影响】.........................................................................................17
【 题 型 11 选 址 使 到 两 地 距 离 相
等】......................................................................................18
【题型12 求最短路径】........................................................................................................19
【题型13 折叠问题】...........................................................................................................21
【题型1 求梯子滑落高度】
1．如图，小宇将2.6米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1
米，则梯子顶端与地面的距离是（ ）A．1.5米 B．1.6米 C．2米 D．2.4米
2．如图，已知消防云梯最长只能伸长到25m(AB=CD=25m)，消防车高3m，救援时云梯
伸长至最长，在完成从23m(AE=23m)高的A处救援后，还要完成比A处高4m的点C
处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（ ）m．
A．8 B．7 C．4 D．3
3．一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，
那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．15米
4．一架方梯AC长25m，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端点C离墙7m．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端由点A向下滑动至点A'，A A'=4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
5．综合与实践
【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，
缩短救援时间．已知云梯最多伸长到25m，消防车高4m，救援时云梯伸到最长．
【任务】在演练中消防员接到命令，必须在A′，B′处两个求救点救援．
【现场勘察】勘察A′，B′离地面O的高度分别为A′O=24m，B′O=28m．
【解决问题】
(1)消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在A′处，求消防车云梯底部A处
距离着火楼距离是多少？
(2)消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离AB为多少米时，才能使云梯顶端刚好到
达B′处，完成救援任务？
【题型2 求旗杆高度】
6．如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目AB段和BC
段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知CD=2米，
AD=15米．
(1)小明猜想立柱AB的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；
如果错误，请求出立柱AB的正确长度；
(2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE=3米，请你求出
要焊接的钢索BF的长．
7．综合与实践
【实践任务】测量旗杆高度．
【工具素材】卷尺，升旗的绳子．
【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子
不解开时的重合长度记为叠合长度．
【实施方案1】
步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为17m；
步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离BC为8m．
（1）根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为______m．【实施方案2】
步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长1m；
步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相
距5m．
（2）结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度．
【实施方案3】
步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C），
另一端拉直至地面的点B处，并测得BC长度为5m；
步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进4m至点D，发现此时绳子另一端上升2m至点
E．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态）
（3）结合方案3中的数据，求旗杆c的高度．
8．小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点A为风筝所在的位置，BC为牵线放风筝
的手到风筝的水平距离，AB为风筝线的长度，AD为风筝到地面的垂直距离，测得BC
长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为25米，小华的身高为1.8米．
(1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度AD．
(2)如图2，若想要风筝沿DA方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，则他应
该朝射线BC方向前进多少米？9．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，
也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它
往前推4m至C处时（即水平距离CD=4m），踏板离地的垂直高度CF=3m，它的绳索
始终拉直，求绳索AC的长．
10．如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地
面多出一段的长度为2米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B
的距离为6米．
(1)求旗杆AB的高度；(2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚
好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？
【题型3 求小鸟飞行距离】
11．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的A处向围墙上的C处拉彩旗．已知墙和教学楼的
水平距离BD=16米，教学楼高AB=15米，围墙高CD=3米，问至少需要多长的彩旗
带？
12．如图，树根下有一个蛇洞，树高15m，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，
与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路
线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇．
13．如图，琪琪在离水面高度5m的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子
BC的长为13m．(1)开始时，小船距岸A的距离为_______m；
(2)若琪琪收绳5m后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离BD的长．
14．如图，有两棵树，分别记为AB，CD．其中一棵树AB高12米，另一棵树CD高6米，
两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离．
15．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=8米，A点到地面C点（B，
C两点处于同一水平面）的距离AC=10米．
(1)求出BC的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降
的距离相同，求小鸟下降的距离．【题型4 求大树折断前的高度】
16．如图，一根直立的旗杆高9m，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆
底部A的距离为3m．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点C的下方1m的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹
断，那么行人在距离旗杆底部5m处是否有被砸到的风险？
17．如图，有一棵大树被大风吹折，折断处A与地面的距离AC=3m，折断处A与折断后
树的顶端B的距离AB=5m．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD的距
离为6m，求BD的距离．18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有
极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点A处被拦腰折断，其树顶
恰好落在另一棵乙树的根部C处，已知点A距离甲树的根部B处AB为4米，甲、乙两
树根部的距离BC为13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）CD为12米，且点A，
B，D在一条直线上，AD⊥CD，求甲树原来的高度．
19．如图，一根垂直于地面的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗
杆底部的距离AB=4m．(1)求旗杆折断处C点距离地面的高度AC；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若
下次大风将修复好的旗杆从点D处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的B′处，形成一
个直角△ADB′，请求出AB′的长．
20．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高
者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍
恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？
【题型5 解决水杯中筷子问题】
21．池塘中有一株荷花的茎长为OA，无风时露出水面部分CA=0.4米，如果把这株荷花向
旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离
BC=1.2米，求这株荷花的茎长OA．
22．如图，一根长18cm的牙刷放置于底面半径是2.5cm，高为12cm的圆柱水杯中，牙刷
露在杯子外面的长度为hcm，求h．23．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合
四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙CD=4寸，点
C、点D与门槛AB的距离CE=DF=1尺（1尺=10寸），O是EF的中点，连接CO．
(1)求CO的长，
(2)求门槛AB的长．
【题型6 解决航海问题】
24．如图，灯塔A位于海岛O的北偏西40°方向，且相距24nmile，一艘船从海岛O出发，
以32nmile/h的速度沿北偏东α❑∘方向航行，经过1小时到达B处，此时A，B相距
40nmile，求α的值．25．在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东
方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，且AC⊥BC，求该船的航行
速度．
26．小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点C出发，以4m/s的速度由西向东行驶，
同时小林的赛车从点B出发，以3m/s的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的
距离小于或等于25m时，遥控信号会产生相互干扰，AC=40m，AB=30m．
(1)出发3s时，遥控信号是否会产生相互干扰？
(2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？
27．如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海
里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小
时后两艘军舰分别到达点A，B，此时要求两军舰沿AB航线相向而行．(1)求A,B两点之间的距离；
(2)若从港口O派一艘补给舰在AB航线上接应，求该轮船行驶的最短距离．
28．如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B
点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°
方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（❑√3取
1.7）
【题型7 求河宽】
29．如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，
严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过
开挖隧道的方式修建一条直通AB两地的公路．已知AC=60km，BC=90km，∠C=60°，求AB的长．（结果保留根号）
30．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处
40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．求该河的宽度BC的长．
31．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得
BC=60m，AC=20m．求A，B两点间的距离？
32．如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿
着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米．
(1)求该河的宽度AB；（两岸可近似看作平行）(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间．
【题型8 求台阶上地毯长度】
33．开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼
梯的侧面，它的高BC是3米，斜边AB是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度
为 米．
34．如图所示是一段楼梯，高BC是5米，斜边长AB是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平
方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要 元．
35．如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度是15cm，则
A，B两点之间的距离是（ ）
A．160cm B．150cm C．155cm D．145cm
【题型9 判断汽车是否超速】
36．某条路规定小汽车的行驶速度不得超过80km/h．如图，一辆小汽车在这条路的直道上
行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，
测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：
1m/s=3.6km/h）37．某条道路的限速规定：轿车速度不得超过70km/h．如图，一辆轿车在该道路上沿直线
行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方30m的点C处．2s后，测得轿车
行驶到点B，与检测仪之间的距离为50m，这辆轿车是否违章？请说明理由．
38．超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路
段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．
这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3
秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的
限制速度？
【题型10 判断是否受台风影响】40．台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为130km，即距离台风中心为
130km的区域都会受到台风的影响．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的路
线，A是大型农场，且AB⊥AC．若A，B之间相距150km，A，C之间相距200km．
判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
41．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台
风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向
移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．若A城到BF的距离为
160km，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
42．广东省7∼9月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，
大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台
风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向
340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的
距离AD为160km．(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影
响的时间持续多少小时？
43．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°． 点A处有一栋居民楼，
AP=160m． 假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100m以内（包括
100m）会受到噪声的影响．
(1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由．
(2)若受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，则居民楼受到影响的时间有多长？
【题型11 选址使到两地距离相等】
44．如下图，在笔直的公路旁边有A，B两个村庄，村庄A到公路的距离AC=8km，村庄
B到公路的距离BD=14km，测得C，D两点之间的距离为20km．现要在C，D两点
之间建一个服务区E，使得A，B两个村庄到服务区E的距离相等，求CE的长．
45．如图，公路上A,B两点相距50km,C,D为两村庄，DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B．已知DA=30km,CB=20km，现在要在公路AB上建一个土特产市场E，使得
C,D两村庄到市场E的距离相等．市场E应建在距A点多少千米处？
【题型12 求最短路径】
46．如图，圆柱的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A
出发，沿侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（ ）
A．29cm B．17cm C．13cm D．❑√601cm
47．如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉
32
一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 米的半圆，AB=CD=16
π
米，点E在CD上，CE=4米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短
距离为（ ）
A．18米 B．20米 C．30米 D．2❑√305米
48．如图，若正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬
行到A点的最短距离为（ ）A．3 B．❑√13 C．❑√15 D．❑√17
49．如图，在底面周长约为6m的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底点A处沿花柱表面均
匀地盘绕2圈到达柱顶点C，且B为AC的中点．已知装饰彩灯部分的柱高约16m，则
这串装饰彩灯至少长为（ ）
A．20m B．16m C．24m D．32m
50．如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从顶点A
开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点B停止，则彩条的长度最短为（ ）
A．24cm B．25cm C．26cm D．27cm
51．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为7cm，底面周长为10cm，在容
器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器
上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．❑√29 B．3❑√10 C．❑√41 D．❑√6152．如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是100cm,15cm和10cm，A、B
是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想去B点吃可口的食物，则蚂蚁沿
台阶爬行到B点的最短距离是 ．
【题型13 折叠问题】
56．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，
使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）
25 22 7 5
A． cm B． cm C． cm D． cm
4 3 4 3
57．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6．将△ADE沿DE翻折，使点A与
点B重合，则CE的长是（ ）
7 7 7 7
A． B． C． D．
3 4 5 2
58．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在BC上，将△ABC沿
AD折叠，使点C落在AB上的点E处．设BD=x，则可得方程（ ）A． B．
x2=(8−x) 2+62 x2=(8−x) 2+42
C．x=8−x+4 D．x2=62+82
59．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，将△ABC沿AC折叠，点B落在B′处，
AD与B′C交于E，则CE的长为（ ）
13 7 25 16
A． B． C． D．
4 2 8 5
1．如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰
礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高10cm，底面圆的周
长为48cm，那么需要丝带的长度最少为 cm．
2．在一个长为5米、宽为3米的长方形草地ABCD上，放着一个正三棱柱木块（如图），
它的侧棱平行于AD，木块的主视图是边长为1米的正三角形．一只蚂蚁从点A处到点
C处需要走的最短路程是 米．
3．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向
以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．已知在距台风中心
30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6:00接到台
风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作．
4．如图，将一根长30cm的玻璃棒，放在底面直径为10cm，高为24cm的圆柱形水杯中，
设玻璃棒露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是 ．
5．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图
2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长
至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米，完成B处的救援后，消防员
发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防
车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问AC= 米．
