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专题06 两外角平分线问题
类型一 三角形两外角平分线问题
1．如图所示，在△ABC中，分别延长△ABC的边AB，AC到D，E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，
爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：
①若∠A＝50°，则∠P＝65°＝90°－ ；
②若∠A＝90°，则∠P＝45°＝90°－ ；
③若∠A＝100°，则∠P＝40°＝90°－ .
(1)根据上述规律，若∠A＝150°，则∠P＝________；
(2)请你用数学表达式写出∠P与∠A的关系；
(3)请说明(2)中结论的正确性．
【答案】（1）15°；（2）∠P＝90°－ ∠A；（3）见解析.
【解析】
【详解】
【试题分析】（1）按照规律求解即可；（2）根据题意中的规律写出等量关系；（3）根据外角的性质，
证明.
【试题解析】
(1) ∠P＝90°－ =15°； (2)∠P＝90°－ ∠A；(3)因为∠DBC是△ABC的一个外角，
所以∠DBC＝∠A＋∠ACB.
因为BP是∠DBC的平分线，
所以∠PBC＝ ∠A＋ ∠ACB.
同理可得∠PCB＝ ∠A＋ ∠ABC.
因为∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°，
所以∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)
＝180°－
＝180°－
＝90°－ ∠A.
【方法点睛】本题目是一道规律探究题，先猜想后证明，主要利用外角的性质，三角形的内角和来证明.
2．如图， 、 是 的外角角平分线，若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据三角形内角和与∠P得出∠PBC+∠PCB，然后根据角平分线的性质得出∠ABC和∠ACB的外角和，
进而得出∠ABC+∠ACB，即可得解.
【详解】
∵
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-60°=120°
∵ 、 是 的外角角平分线
∴∠DBC+∠ECB=2（∠PBC+∠PCB）=240°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠DBC+180°-∠ECB=360°-240°=120°∴∠A=60°
故选：B.
【点睛】
此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，熟练掌握，即可解题.
3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和，可得∠ABC+∠ACB，根据角的和差，可得∠DBC+∠BCE，根据角平分线的定义，可
得∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和，可得答案．
【详解】
解：如图：
，
由三角形内角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m，
由角的和差，得∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+m，
由∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，得∠OBC+∠OCB= （∠DBC+∠BCE）=90°+ m，
由三角形的内角和，得
∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°- m．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，角的和差，角平分线的定义是解题关键．
4．如图，已知在 中， 、 的外角平分线相交于点 ，若 ， ，求
的度数.
【答案】
【解析】
【分析】
运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．
【详解】
解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G，
在 中，
∠BGC=180°-（ ∠EBC+ ∠BCF）
=180°- （∠EBC+∠BCF）
=180°- （180°-∠ABC+180°-∠ACB）
=180°- （180°-m°+180°-n°）；
=【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算
得出．
5．如图，点 是 的外角 和 的角平分线交点，延长 交 于 ，请写出 和
的数量关系.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可用含 的式子表示出 和 的和，再利用三角
形外角的性质即可得到 和 的数量关系.
【详解】
解：∵ ,
∴ ,
∵点 是 的外角 和 的角平分线交点，
∴ + ＝ ，
又∵ ＝ + ，
∴ .
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形外角和的性质及角平分线的性质.熟练应用三角形外角的性质是解题
的关键.
6．如图，已知射线 射线 ， 、 分别为 、 上一动点， 、 的平分线交于 点.
问 、 分别在 、 上运动的过程中， 的度数是否改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由.【答案】不变， .
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质可以得到∠C=90°- ∠O．
【详解】
解：∠C的度数不会改变．
∵∠ABE、∠BAF的平分线交于C，
∴∠CAB= ∠FAB ∠CBA= ∠EBA
∴∠C=180°-（∠CAB +∠CBA）
=180°- （∠ABE+∠BAF）
=180°- （∠O+∠OAB+∠BAF）
=180°- （∠O+180°）
=90°- ∠O=45°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质定理，熟练掌握相关的性质是解题
的关键．
类型二 多边形两外角平分线问题
7．如图，已知点 是四边形 的外角 和外角 的平分线的交点．若 ， ，
求 的度数．【答案】60°
【解析】
【分析】
根据四边形的内角和公式即可求出 ，然后根据平角的定义即可求出
，再根据角平分线的定义即可求出 ，最后根据三角形的内角和
定理即可求出结论．
【详解】
解：因为 ， ， ，
所以 ．
因为 ， ，
所以 ．
因为点 是四边形 的外角 和外角 的平分线的交点，
所以 ， ．
所以 ，
所以 ．
【点睛】
此题考查的是四边形的内角和公式、三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握四边形的内角和是
360°、三角形的内角和是180°和角平分线的定义是解决此题的关键．
8．如图，五边形 中， 、 的外角分别是 、 ， 、 分别平分
和 且相交于点 ，若 ， ， ，则 __________ ．【答案】95
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和定理： ，可得出∠BCD、∠EDC的和，从而得出相邻两外角和，然后根据
角平分线及三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】
解：多边形的内角和定理可得五边形 的内角和为： =540°，
∴∠BCD+∠EDC=540°-140°-120°-90°=190°，
∴∠FCD+∠GDC=360°-190°=170°
又∵CP和DP分别是∠BCD、∠EDC的外角平分线，
∴ ，
根据三角形内角和定理可得：∠CPD=180°-85°=95°．
故答案为：95．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和定理、角平分线的性质、三角形内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键．
9．（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角，
如图①， ， 是四边形 的两个外角，
∵四边形 的内角和是360°，
∴ ，
又∵ ，
由此可得 ， 与 ， 的数量关系是______；
（2）知识应用：如图②，已知四边形 ， ， 分别是其外角 和 的平分线，若
，求 的度数；（3）拓展提升：如图③，四边形 中， ， 和 是它的两个外角，且
， ，求 的度数．
【答案】（1） + = + ；（2）65°；（3）45°
【解析】
【分析】
（1）根据平角的定义即可解答；
（2）根据（1）的结论求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，然后利用三角
形的内角和定理列式进行计算即可得解；
（3）由四边形内角和定理得 ，可求得 ，再由 ，
可求得 ，最后利用四边形内角和定理求出 ．
【详解】
解：（1）如图①， ， 是四边形 的两个外角，
∵四边形 的内角和是360°，
∴ ，
又∵ ，
∴ + = + ，故答案为： + = + ；
（2）∵
∴
∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线
∴∠ADE=
∴
∴ ;
（3）∵
∴
∴
∵ ，
∴
∵
∴
【点睛】
本题考查了四边形的两个外角和等于与它不相邻的两个内角的和的性质，四边形的内角和定理，角平分线
的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．
10．已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝
β
（1）如图1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请写出α、β所满足的等量关系式；
（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．【答案】（1）150°；（2）β﹣α＝90°；（3）平行，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及α+β＝150°推导即可；
（2）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；
（3）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的外角的性质计算即可．
【详解】
解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），
∵∠MBC+∠ABC＝180°，∠NDC+∠ADC＝180°
∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠ADC）＝360°﹣[360°﹣（α+β）]＝α+β，
∵α+β＝150°，
∴∠MBC+∠NDC＝150°，
（2）β﹣α＝90°
理由：如图1，连接BD，
由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG＝ ∠MBC，∠CDG＝ ∠NDC，∴∠CBG+∠CDG＝ ∠MBC+ ∠NDC＝ （∠MBC+∠NDC）＝ （α+β），
在 BCD中，在 BCD中，∠BDC+∠DBC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，
在△BDG中，∠△BGD＝45°，
∴∠△GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，
∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CDB）+∠BGD＝180°，
∴ （α+β）+180°﹣β+45°＝180°，
∴β﹣α＝90°，
（3）平行，
理由：如图2，延长BC交DF于H，
由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE＝ ∠MBC，∠CDH＝ ∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH＝ ∠MBC+ ∠NDC＝ （∠MBC+∠NDC）＝ （α+β），
∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB，
∴∠CBE+β﹣∠DHB＝ （α+β），
∵α＝β，
∴∠CBE+β﹣∠DHB＝ （β+β）＝β，
∴∠CBE＝∠DHB，∴BE∥DF．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了平角的意义，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，
角平分线的意义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训
练．
类型三 综合解答
11．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：
∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝_________．
【答案】36°
【解析】
【详解】
试题分析：由题意得：∠NCM=∠MBN= ×180°=90°，
∴可得∠CMB+∠CNB=180°，
又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，
∴ （∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°，
∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°．
考点:1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质．
12．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是
△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （ ）A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义和平角定义可得∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，根据外角的性质可得
，继而即可求解．
【详解】
解：∵ 平分 ， 平分 的外角，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选择C．
【点睛】
本题考查角平分线的定义，平角定义，三角形的外角性质，解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可
得∠OCD＝90°，根据外角的性质求得 ．
13．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长
线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．【答案】15°
【解析】
【分析】
先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和
定理得∠DBC+∠DCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；
再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6= ∠MBC，∠1= ∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=
（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分
∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，
∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=
∠E．
【详解】
解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，
∴∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠A）= ×（180°-60°）=60°，
∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠5+∠6= ∠MBC，∠1= ∠NCB，∴∠5+∠6+∠1= （∠NCB+∠NCB）=150°，
∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，
∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，
∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，
即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，
∴2∠F=∠E，
∴∠F= ∠E= ×30°=15°．
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．
14．已知BM、CN分别是△ 的两个外角的角平分线， 、 分别是 和 的角平分线，
如图①； 、 分别是 和 的三等分线（即 ， ），如图②；
依此画图， 、 分别是 和 的n等分线（即 ， ），，且
为整数．
（1）若 ，求 的度数；
（2）设 ，请用 和n的代数式表示 的大小，并写出表示的过程；（3）当 时，请直接写出 + 与 的数量关系．
【答案】（1） ；
（2） ，过程见解析；
（3）
【解析】
【详解】
（1）先根据三角形内角和定理求出 ，根据角平分线求出 ，再根据三角形
内角和定理求出 即可；（2）先根据三角形内角和定理求出 + ，根据n等分线求出
，再根据三角形内角和定理得出 ，代入求出即可（3）
试题分析：
试题解析：（1） ，
∵ 、 分别是 和 的角平分线，
∴
∴ .
（2）在 中， + ，
△，
（3）
点睛：本题以三角形为载体，主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、角平
分线的性质、三角形的内角和是 的性质，熟记性质然灵活运用有关性质来分析、推理、解答是解题的
关键.
