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专题06 利用平移特征求复杂图形的周长或面积
【例题讲解】
如图所示，某住宅小区内有一块长的长 ，宽 方形形，想在长方形地块内修筑同样宽的两
条“之”字路，余下的部分做绿化，道路的宽为 米，求绿化的面积．
【详解】如图，把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFGH
是矩形．
∵CF=32-2=30（米），CG=20-2=18（米），
∴矩形EFCG的面积=30×18=540（平方米）．
答：绿化的面积为540m2．
【综合解答】
1．如图所示，一块长为18m，宽为12m的草地上有一条宽为2m的曲折的小路，求这块草地的绿
地面积．
【答案】绿地的面积为
【分析】将小路经过平移，得到一个长方形，则绿地面积用长方形的面积公式进行求解即可．【详解】
绿地的面积为：
【点睛】本题主要考查了平移的实际应用，熟练地掌握平移的定义，将不规则的图形经过平移得
到长方形是解题的关键．
2．星期天早晨，小刚和爸爸正在商量往楼梯上铺地毯的事，如图所示，
爸爸：“小刚，你帮我算一下，从一层铺到二层需要地毯几米？”
小刚：“我早已用盒尺量好了，每阶高 ，宽为 …”
爸爸：（打断小刚的话）“不量每阶的高度和宽度，你想想有没有办法？”
小刚：（思索）“有了，只需要量出楼梯的总高和总长度再相加，就行了．”
你认为小刚的方法可以吗？说明理由．
【答案】可以，理由见解析
【分析】根据题意可知地毯的宽度是确定的，求出长即可，再量出楼梯的总高和总长度相加得出
答案．
【详解】解：可以，
如图所示：根据图示可得：
地毯的总长度 cm=3.15m．
【点睛】本题主要考查了平移的应用，确定地毯的长与楼梯的高和长度的关系是解题的关键．
3．图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长
度）
在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到 ，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）；在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线
，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）．
问题解决：
(1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到
一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分：
(2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为 、 ，则 = 平方单位；并比
较大小： （填“＞”“＝”或“＜”）；
(3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长
度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．
（用含a，b的式子表示）
【答案】(1)见解析过程；
(2)40，=；
(3)（ab-a）
【分析】（1）画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图
形AA'B'C'D'DCB；
（2）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10个单位，宽
为4个单位的长方形，进而得出其面积；
（3）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为
（b-1）个单位的长方形，进而得出其面积．
（1）
如图3所示，封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求；
（2）图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S、S，
1 2
则S=10×（5-1）=10×4=40平方单位；
1
S=10×（5-1）=10×4=40平方单位；
2
∴S=S，
1 2
故答案为：40，=；
（3）
如图4，长方形的长为a，宽为b，小路的宽度是1个单位长度，
∴空白部分表示的草地的面积是a（b-1）=（ab-a）平方单位．
故答案为：（ab-a）．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了平移变换以及矩形面积的计算公式的运用，解决
问题的关键是利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形来计算面积．
4．（1）为了增加小区的绿化面积，幸福公园准备修建一个面积 的草坪，草坪周围用篱笆
围绕．现从对称美的角度考虑有甲，乙两种方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建成圆形的．
如果从节省篱笆费用的角度考虑，你会选择哪种方案？请说明理由；
（2）在（1）的方案中，审批时发现修如此大的草坪，目的是亲近自然，若按上述方案就没达到
目的．因此建议用下图的设计方案：建成正方形，正方形里修三条小路，三条小路的宽度是一样，
这样草坪的实际面积就减少了 ，请你根据此方案求出各小路的宽度．
【答案】（1）从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形，理由见解析；
（2）小路的宽度为 m
【分析】（1）根据题意分别求得两种方案的周长，比较之，即可求解；
（2）题意可进行如图所示的平移，设小路的宽度为 m，可得方程 ，解
方程即可求解．
【详解】解：（1）甲方案：设正方形的边长为 m，则
∴∴正方形的周长为： (m)
乙方案：设圆的半径 m为，则
∴
∴圆的周长为：
∴
∵
∴
∴
∴正方形的周长比圆的周长大
故从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形．
（2）依题意可进行如图所示的平移，设小路的宽度为 m
则：
∴
∴
答：根据此方案求出小路的宽度为 m．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，实数的大小比较，根据平方根解方程，平移的性质，掌
握以上知识是解题的关键．
5．（1）动手操作如图1，在 的网格中，将线段 向右平移，得到线段 ，连接 ，
．
①线段 平移的距离是_________；
②四边形 的面积_________；
（2）如图2，在 的网格中，将折线 向右平移3个单位长度，得到折线 ．①画出平移后的折线 ；
②连接 ， ，多边形 的面积_________；
（3）拓展延伸如图3，在一块长为 米，宽为 米的长方形草坪上，修建一条宽为 米的小路
（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积_________．
【答案】（1）①3；②6；（2）①见解析；②6；（3）
【分析】（1）①根据平移的性质可得答案；
②根据平行四边形面积公式求解即可；
（2）①根据平移的性质得出 的位置，即可作出图形；
②将多边形 的面积看成是两个平行四边形的面积进行求解即可；
（3）利用平移规律，将道路平移到左边，进而表示出面积即可．
【详解】解：（1）①由图可知，线段 平移的距离是3；
②四边形 的面积为：3×2＝6，
故答案为：① 3，② 6；
（2）①折线 如图所示：
②由图可知，多边形 的面积为： ，
故答案为：6；
（3）∵小路宽度处处相同，宽为 米，∴剩下的草坪面积为： ．
【点睛】本题考查了作图—平移，平移的性质和应用，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
6．如图，在一块长为 ，宽为 的长方形草地上，修建了宽为 的小路，求这块草地的绿
地面积．
【答案】171m2
【分析】接利用平移小路的方法得出草地的绿地面积=长（20-1）m宽（10-1）m的长方形面积，
进而得出答案．
【详解】解：由图像可得，这块草地的绿地面积为：
（20-1）×（10-1）
=19×9
=171（m2）．
故这块草地的绿地面积为171m2．
【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，正确平移小路是解题关键．
7．如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的
垂直宽度都是1个单位长度），有一条纵向的弯曲小路（小路任何地方的水平宽度都是2个单位长
度）．
(1)请你用含a、b的式子表示绿地面积：
(2)当 米， 米时，绿地面积是多少平方米？
【答案】(1) 平方米
(2)绿地的面积是700平方米【分析】（1）根据平移的性质可得绿地的面积可以看作是一个长为 米，宽为 米的长
方形，据此求解即可；
（2）根据（1）所求，代值计算即可．
（1）
解：根据平移的性质可知，绿地的面积可以看作是一个长为 米，宽为 米的长方形，
∴绿地的面积为 平方米；
（2）
解：当 米， 米时，绿地的面积为 平方米，
答：绿地的面积是700平方米．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用，代数式求值，平移的性质，正
确列出绿地面积的式子是解题的关键．
8．某景区有一座步行桥（如图），需要把阴影部分涂刷油漆．
(1)求涂刷油漆的面积；
(2)若 ， ，请用科学记数法表示涂刷油漆的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知阴影部分的宽为 ，利用平移的性质可得阴影部分的长可以表示为
，然后利用矩形的面积公式计算出阴影部分的面积即可；
（2）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，
n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
（1）解：涂刷油漆的面积
（2）
解：当 ， 时，原式 ．
【点睛】此题考查了平移的性质，关键在于能够用代数式表示出平移后矩形的长度，用科学记数
法表示较大的数时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．如图，有一长方形空地，其长为a、宽为b，现要在该空地种植两条防风带（图中阴影部分），
防风带一边长为c，其中横向防风带为长方形，纵向防风带为平行四边形．
(1)用代数式表示剩余空地的面积；
(2)若a=2b、c=2，且防风带的面积为116，求原长方形空地的长和宽．
【答案】(1)ab-ac-bc+c；
(2)长40，宽20
【分析】（1）利用平移可知，剩余空地面积为边长分别为（a-c）和（b-c）的长方形面积，代入
表示即可；
（2）防风带面积=小长方形面积+平行四边形面积-重叠平行四边形面积，进而值即可.
（1）
解：由平移，可知
剩余空地面积为（a-c）×（b-c）=ab-ac-bc+c2
答：剩余空地面积为ab-ac-bc+c2.
（2）
解：防风带面积为：bc+ac-c2
∵a=2b，c=2，且防风带的面积为116
∴2b+2b×2-4=116解得b=20
∴a=2×20=40
答：原长方形空地的长为40，宽为20.
【点睛】此题考查了平移变换的运用，以及整式的化简求值，解题的关键是根据平移的性质求对
应面积.
10．如图是一块长方形的草地，长为21m．宽为15m．在草地上有两条宽为1米的小道，长方形
的草地上除小道外长满青草．求长草部分的面积为多少？
【答案】280平方米
【分析】通过平移，将小道移到与大长方形边重合的位置，表示出长草部分的长和宽，进行计算
即可．
【详解】解：设长草部分的面积为 ，依题意知
答：长草部分的面积为280平方米．
【点睛】本题涉及平移的知识，利用平移解决实际问题，读懂题意是关键．
11．如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形空地上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），
宽均为1米，其他部分均种植花草．
（1）当a＝20，b＝10时，求种植花草和小路的面积；
（2）用含有a、b的式子表示小路的面积．【答案】（1）种植花草的面积为171平方米，小路的面积为29平方米；（2）
【分析】（1）根据平移的性质可得此小路相当于一条横向长为a米，纵向长为b米的小路，种植
花草的面积即为长为(a-1)米，宽为(b-1)米的长方形面积，然后把a＝20，b＝10代入求解即可；
（2）由（1）可直接进行求解．
【详解】解：（1）根据平移的性质可得小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，
∴种植花草的面积为 ，
∵a＝20，b＝10，
∴种植花草的面积为 （平方米），
小路的面积为 （平方米）；
答：种植花草的面积为171平方米，小路的面积为29平方米．
（2）由（1）得：小路面积=长方形面积-种植花草的面积，
∴小路的面积为 （平方米）．
【点睛】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
12．如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种
植花草，求种植花草部分的面积．
【答案】960(m2)
【分析】把2条道路平移到长方形地块的一边，可得总种植花草的面积的形状为一个长方形，根
据总种植花草的面积列出式子求解即可．
【详解】解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，
那么，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝
960(m2)．
所以，种植花草部分的面积为960m2．
【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，把中间修建的两条道路分别平移到长方形地面的最
上边和最左边是做本题的关键．
13．某宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价50
元，主楼梯道宽2m，其侧面如图所示，求买地毯至少需要多少元？
【答案】1000元．
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，
则购买地毯的钱数可求．
【详解】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6
米，4米，
∴地毯的长度为6+4＝10米，地毯的面积为10×2＝20平方米，
∴买地毯至少需要20×50＝1000元．【点睛】本题考查了平移的性质，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移
到一条直线上进行计算．
14．如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，道路宽为 米时
耕地面积为多少平方米？
【答案】道路宽为 米时耕地面积为 平方米．
【分析】平移后可得道路的长和宽，再利用矩形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：平移后得耕地长为 米，宽为 米，
面积为 （平方米）．
【点睛】本题主要考查利用平移解决实际问题，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
15．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，下面三个图形都是长为50米，
宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米．
①如图1，阴影部分为1米宽的小路，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为
；
②如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积．
③如图3，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线
（图中虚线）长为 ．【答案】① 平方米；② 平方米；③ 米
【分析】①结合图形，利用平移的性质求解；
②结合图形，利用平移的性质求解；
③结合图形，利用平移的性质求解．
【详解】①将小路往左平移，直到E、F与A、B重合，
则平移后的四边形 是一个矩形，并且 ， ，
则草地的面积为： （平方米）；
②将小路往AB、AD边平移，直到小路与草地的边重合，
则草地的面积为： （平方米）；
③将小路往AB、AD、DC边平移，直到小路与草地的边重合，
则所走的路线（图中虚线）长为： （米）．
【点睛】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状
都不改变，熟练掌握平移的性质和长方形的面积公式是解题的关键．
16．如图（单位，m），一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路（每条石子路间距均匀），
请你求出草坪（阴影部分）的面积．
【答案】48平方米
【分析】根据长方形草坪的面积-石子路的面积=草坪（阴影部分）的面积得出．
【详解】解：6×12-2×6×2=48平方米，
答：草坪（阴影部分）的面积48平方米．
【点睛】本题考查了平移的应用，应熟记长方形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；
阴影部分面积=原面积-空白的面积．
17．小华和小明用两张相同的长方形纸做数学实验，先在两条较长的边上各取一点画一条线，沿
画线剪开后再对齐，并将其中一部分沿长边平移一定的距离， 阴影表示平移拉开的区域.小华画了
一条线段，如图①所示；小明画了一条曲线，如图②所示.（1）设长方形的长为 ，宽为 ，平移的距离为 ，请计算两个阴影区域的面积，由计算
结果你发现了什么?
（2）任意画一条与长边平行的直线，被阴影部分所截得的线段是否相等?为什么?
【答案】（1）面积相等；（2）相等，理由见解析
【分析】（1）根据平行四边形的面积公式即可求解①中的阴影部分面积，根据平移的特点即可求
解②中的阴影部分面积；
（2）根据平移的性质即可得到结论.
【详解】（1）①中的阴影部分面积为b×5=5b（ ），
②中的阴影部分面积为b×5=5b（ ），
（2）由（1）中图像及平移的特点可知截取的两部分面积相等，故被阴影部分所截得的线段也相
等.
【点睛】此题主要考查平移的性质，解题的关键是熟知平移的特点.
18．如图①，将线段A A 向右平移2个单位到B B ，得到封闭图形A A B B （即阴影部分），在图
1 2 1 2 1 2 2 1
②中，将折线A A A 向右平移2个单位到B B B ，得到封闭图形A A A B B B （即阴影部分）．
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1
（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移2个单位，从而得到一个封
闭图形，并用阴影表示；
（2）请你分别写出上述三个图形中阴影部分的面积（设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均
为b）：S =_______，S =____________，S =__________；
1 2 3
（3）如图④，一块长方形草地，长为20米，宽为10米，草地上有一条弯曲的小路（小路任何地方的宽度都是2米），请你写出小路部分所占的面积是多少米2；
（4）如图⑤，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的宽度都是1米），
请你写出小路部分所占的面积是多少米2．
【答案】（1）画图见解析；（2）S =2b，S =2b，S =2b；（3）20米2；（4）38米2．
1 2 3
【分析】（1）根据题意，直接画图即可，注意答案不唯一，只要画一条有两个折点的折线，再向
右平移2个单位，得到一个封闭图形即可；
部分的面积都可看作是以b为长，2为宽的长方形的面积；
（3）结合图形，通过平移，阴影部分可平移为以10米为长，2米为宽的长方形，根据长方形的面
积可得小路部分所占的面积；
（4）结合图形可知，小路部分所占的面积=10米为长，2米为宽的长方形的面积+20米为长，1米
为宽的长方形的面积-2米为长，1米为宽的长方形的面积．
【详解】（1）如图．
（2）三个图形中阴影部分的面积都可看作是以b为长，2为宽的长方形的面积，故S =2b，
1
S =2b，S =2b；
2 3
（3）小路部分所占的面积是2×10=20米2；
（4）小路部分所占的面积是10×2+20×1-2×1=38米2．
【点睛】本题结合图形的平移考查有关面积的问题．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状
都不改变．
19．如图所示，张三打算在院落种上蔬菜．已知院落为东西长为32米，南北宽为20米的长方形，
为了行走方便，要修筑同样宽度的三条小路，东西两条，南北一条，余下的部分种上各类蔬菜．
若每条小路的宽均为1米．
（1）求蔬菜的种植面积；
（2）若每平方米的每季蔬菜的值为3元，成本为1元，这个院落每季的产值是多少？【答案】（1）558平方米（2）1116元．
【分析】（1）利用平移得出蔬菜的种植面积即可；
（2）利用（1）所求，进而结合每平方米的每季蔬菜的值为3元，成本为1元得出即可．
【详解】解：（1）由题意可得：
蔬菜的种植面积为：（32-1）×（20-2）=558（平方米）；
（2）根据题意可得：
这个院落每季的产值是：558×（3-1）=1116（元），
答：这个院落每季的产值是1116元．
【点睛】此题主要考查了生活中平移现象，正确平移道路是解题关键．
