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专题06 有理数的加减法专题训练
考点一 有理数的加法方法总结
【知识点睛】
同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；
用字母表示为：
①若a＞0,b＞0，则a+b=+（|a|+|b|）＞0
②若a＜0,b＜0，则a+b=−（|a|+|b|）＜0
异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
用字母表示为：
①若a＞0,b＜0，且|a|＞|b|，则a+b=+（|a|−|b|）＞0
②若a＞0,b＜0，且|a|＜|b|，则a+b=−（|b|−|a|）＜0
互为相反数的两个数相加得0，一个数同0相加，仍得这个数；
用字母表示为：
①若a＞0,b＜0，且|a|=|b|，则a+b=0
②a+0=a
☆：若a+b=0，则a与b的关系为：a与b互为相反数或a=b=0
有理数的加法计算步骤：
“一判”：判断两个加数的符号（即确定用哪一条法则和确定和的符号）
“二求”：求各加数的绝对值
“三加减”：同号绝对值相加，异号绝对值相减
简便运算的几种常见情形：
（1）互为相反数的两个数可以先相加
（2）几个数相加得整数时，可以先相加
（3）同分母的分数可以先相加
（4）符号相同的数可以先相加
（5）题目中既有分数又有小数时，可以先把小数和分数统一，再观察是否可用简便方法计算
【类题训练】
1．在1，﹣3，﹣2这三个数中任取两个数求和，则和的最大值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣2
【分析】三个数中，只需判断出两个较大的数即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣2＜1，
∴﹣2与1的和最大，
∴﹣2+1＝﹣1，故选：B．
2．下列说法中，正确的有（ ）个
①两数相加，其和小于每一个加数，那么这两个加数必是两个负数
②所有的有理数都能用数轴上的点表示
③如果a＜0，b＞0，那么a﹣（﹣b）＜0
④正数和负数统称为有理数
⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：两数相加，其和小于每一个加数，那么这两个加数必是两个负数，故①正确，符合题
意；
所有的有理数都能用数轴上的点表示，故②正确，符合题意；
如果a＜0，b＞0，那么a﹣（﹣b）＝a+b，如a＝﹣1，b＝2，则a+b＝1＞0，故③错误，不符合题
意；
正有理数、0和负有理数统称为有理数，故④错误，不符合题意；
如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，故⑤错误，不符合题意；
故选：B．
3．若a是绝对值大于 2且小于5的所有负整数的和，b是相反数等于它本身的数，则 a+b的值为
（ ）
A．﹣14 B．﹣7 C．7 D．14
【分析】先根据要求求出a，b的值，再代入a+b中即可求解．
【解答】解：∵绝对值大于2且小于5的所有负整数有：﹣4，﹣3，
∴a＝﹣4+（﹣3）＝﹣7，
∵b是相反数等于它本身的数，即b＝0，
∴a+b＝﹣7+0＝﹣7，
故选：B．
4．若|x|＝2，|y|＝3，且x＜y，则x+y的值为（ ）
A．5 B．1 C．5或1 D．1或﹣1
【分析】首先根据绝对值的性质，判断出 x、y的大致取值范围，然后根据x＜y进一步确定x、y的
值，再代值求解即可．
【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝3，∴x＝±2，y＝±3；
∵x＜y，
∴x＝±2，y＝3．
当x＝2，y＝3时，x+y＝5；
当x＝﹣2，y＝3时，x+y＝1，
故x+y的值是5或1，
故选：C．
5．把﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数填入下列圆中，使行、列三个数的和相等，其中错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】由图逐一验证，运用排除法即可选得．
【解答】解：验证四个选项：
A、行：﹣1+（﹣3）+0＝﹣4，列：1﹣3﹣2＝﹣4，行＝列，对，不符合题意；
B、行：﹣3+1+0＝﹣2，列：﹣1+1﹣2＝﹣2，行＝列，对，不符合题意；
C、行：﹣2﹣1+0＝﹣3，列：1﹣1﹣3＝﹣3，行＝列，对，不符合题意，；
D、行：1﹣2﹣3＝﹣4，列：0﹣2﹣1＝﹣3，行≠列，符合题意．
故选：D．
6．已知两个有理数a，b，如果a＜0，b＞0且|a|＞|b|，那么下列说法错误的是（ ）
A．a+b＜0 B．a+（﹣b）＜0
C．（﹣|﹣a|）+（﹣b）＜0 D．（﹣a）+（﹣b）＜0
【分析】根据a＜0，b＞0且|a|＞|b|，得到﹣a＞b，a＜b，即a+b＜0，对选项逐一作出判断即可．
【解答】解：∵a＜0，b＞0且|a|＞|b|，
∴﹣a＞b，a＜b，即a+b＜0，A不符合题意；
∴a+（﹣b）＜0，B不符合题意；
∵（﹣|﹣a|）+（﹣b）＝﹣（﹣a）﹣b＝a﹣b＜0，
∴C不符合题意；
∵（﹣a）+（﹣b）＝﹣a﹣b＝﹣（a+b）＞0，
∴D符合题意；
故选：D．7．小明做这样一道题：“计算：|（﹣2）+口|．”其中“口”处被污渍覆盖，他翻开后面的答案知该
题的计算结果是8，那么“口”表示的数是 ．
【分析】根据绝对值的定义和有理数的加减法法则即可求解．
【解答】解：设“口”处的数为x，根据题意可得：
|（﹣2）+x|＝8，
∴﹣2+x＝8或﹣2+x＝﹣8，
解得：x＝10或x＝﹣6，
故答案为：﹣6或10．
8．请在横线上填写每一步运算的依据．
计算：3 +（﹣2 ）+5 +（﹣8 ）
＝3 +5 +（﹣2 ）+（﹣8 ）（ ）
＝（3 +5 ）+[（﹣2 ）+（﹣8 ）]（ ）
＝9+（﹣11）（ ）
＝﹣2．
【分析】根据有理数加法的法则和运算律填空即可．
【解答】解：计算：3 +（﹣2 ）+5 +（﹣8 ）
＝3 +5 +（﹣2 ）+（﹣8 ）（加法交换律）
＝（3 +5 ）+[（﹣2 ）+（﹣8 ）]（加法结合律）
＝9+（﹣11）（有理数加法法则）
＝﹣2．
故答案为：加法交换律，加法结合律，有理数加法法则．
9．（1）若m，n互为相反数，则|m| |n|；m+n＝ ．
（2）若|m|＝|n|，则m，n的关系是 ．
【分析】（1）根据相反数的意义可得结论；
（2）根据绝对值的意义得结论．
【解答】解：（1）∵互为相反数的两数的绝对值相等，它们的和是0，
∴|m|＝|n|，m+n＝0．故答案为：＝，0．
（2）∵相等两数的绝对值相等，互为相反数的两数的绝对值相等，
∴|m|＝|n|，则m，n的关系是相等或互为相反数．
故答案为：相等或互为相反数．
10．用[x]表示不大于x的整数中最大整数，如[2.4]＝2，[﹣3.1]＝﹣4，请计算[﹣5.2]+[4.8]＝ ．
【分析】根据题意进行运算即可．
【解答】解：[﹣5.2]+[4.8]
＝﹣6+4
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
11．如图是一个3×3的正方形格子，要求横、竖、对角线上的三个数之和相等，请根据图中提供的信息
求出m等于 ．
【分析】设表格中的一些数，根据横、竖、对角线上的三个数之和相等即可列式求解．
【解答】解：由题意知：2+6＝m+1，
解得m＝7．
故答案为7．
12．用简便方法运算．
①1.4+（﹣0.2）+0.6+（﹣1.8）；
② ．
【分析】①利用加法的运算律解答即可；
②利用加法的运算律解答即可．
【解答】解：①原式＝（1.4+0.6）+（﹣0.2﹣1.8）
＝2+（﹣2）
＝0；
②原式＝（﹣ ）﹣（ ）+＝0﹣1+
＝﹣ ．
13．用简便方法计算：
（1）（+2）+（﹣17）+（+8）+（﹣23）；
（2）（﹣3.5）+ +（﹣ ）+（﹣6.5）．
【分析】（1）应用有理数的加法运算法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对
值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数
的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．进行计算即可得出答案；
（2）应用有理数的加法运算法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的
异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数
相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．进行计算即可得出答案；
【解答】解：（1）原式＝（+2）+（+8）+（﹣17）+（﹣23）
＝+（2+8）﹣（17+23）
＝+10+（﹣40）
＝﹣（40﹣10）
＝﹣30；
（2）原式＝+ +（﹣ ）+（﹣6.5）+（﹣3.5）
＝﹣（ ﹣ ）﹣（6.5+3.5）
＝﹣ +（﹣10）
＝﹣（ +10）
＝﹣10 ．
14．计算：
（1）（+7）+（﹣19）+（+23）+（﹣15）．
（2） ．（3） ．
（4） ．
【分析】（1）利用加法结合律及交换律计算即可；
（2）利用加法的运算法则，把分母相同的结合到一起解答即可；
（3）利用加法结合律及交换律计算即可；
（4）利用加法结合律及交换律计算即可．
【解答】解：（1）（+7）+（﹣19）+（+23）+（﹣15）
＝（7+23）+[﹣19+（﹣15）]
＝30+（﹣34）
＝﹣4；
（2）
＝
＝3+0
＝3；
（3）
＝
＝
＝ ；
（4）
＝
＝﹣5﹣6+6
＝﹣5．
15．若|x|＝2，|y|＝5，且x＜0，则求x+y的值．
解：∵|x|＝2，|y|＝5．
∴x＝ ．，y＝ ．∵x＜0，
∴x＝ ．
∴当x＝ ，y＝ ，x+y＝ ；
当x＝ ，y＝ ，x+y＝ ．
解题过程中体现数学中 思想．
【分析】利用绝对值的意义求得x，y的值，再利用分类讨论的思想方法解答即可．
【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝5
∴x＝±2，y＝±5，
∵x＜0，
∴x＝﹣2
∴当x＝﹣2，y＝5时，x+y＝﹣2+5＝3，
当x＝﹣2，y＝﹣5时，x+y＝﹣2﹣5＝﹣7．
解题过程中体现数学中分类讨论的思想．
故答案为：±2；25；﹣2；﹣2；5；3；﹣2；﹣5；﹣7；分类讨论．
16．【注重阅读理解】阅读下题的计算方法：
计算：﹣5 +（﹣9 ）+17 +（﹣3 ）．
解：原式＝[（﹣5）+（﹣ ）]+[（﹣9）+（﹣ ）]+（17+ ）+[（﹣3）+（﹣ ）]
＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣ ）+（﹣ ）+ +（﹣ ）]
＝0+（﹣ ）
＝﹣ ．
上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：（﹣2018 ）+（﹣2017 ）+4036 +（﹣1 ）．
【分析】根据拆项法，将数拆成两个数的和，在根据加法的结合律、结合律进行运算即可，
【解答】解：原式＝[（﹣2 018）+（﹣ ）]+[（﹣2 017）+（﹣ ）]+（4 036+ ）+[（﹣1）+
（﹣ ）]
＝[（﹣2 018）+（﹣2 017）+4 036+（﹣1）]+[（﹣ ）+（﹣ ）+ +（﹣ ）]＝0+（﹣ ）
＝﹣ ．
17．观察图①中的数据，可发现每行、每列及对角线上各数之和都相等．我们把这样的图称为“幻
方”．请按下列要求正确填写幻方：把﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4这几个数填入图②中，
构成幻方（已经使用过的数字不能重复使用）．
【分析】先将所有数相加除以三，得出每行每列以及对角线上各数之和，进而再通过尝试将数填入
表中即可．
【解答】解：[（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4]÷3＝0，
∴第一行的第三个数为﹣3，
第三行的第二个数为﹣4，
第二行的第二个数为0，
第二行的第一个数为﹣2．
考点二 有理数的减法方法总结
【知识点睛】
有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数
有理数减法的计算步骤：
①将减号变成加号，把减数变成它的相反数
②按照加法运算的步骤去做。
☆特别注意：① 减法法则不能与加法法则中的异号两数相加相混淆
② 减法没有交换律
有理数大小的比较方法——作差法（或叫差量法）
要比较两个有理数a与b的大小，可先求a与b的差a-b，然后进行判断。
①当a−b＞0时⇔a＞b；
②当a−b=0时⇔a=b；
③当a−b＜0时⇔a＜b
加减混合运算步骤：（1）遇减化加
（2）运用加法交换律和结合律，简化运算
（3）求出结果
【类题训练】
18．金华市某日的气温是﹣2℃～5℃，则该日的温差是（ ）
A．7℃ B．5℃ C．2℃ D．3℃
【分析】根据温差＝最高温度﹣最低温度列式计算即可．
【解答】解：5﹣（﹣2）
＝5+2
＝7（℃），
故选：A．
19．以下叙述中，不正确的是（ ）
A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．两个正数的和一定是正数
C．两个负数的差一定是负数 D．在数轴上，零右边的点所表示的数都是正数
【分析】利用有理数的加法，减法法则和数轴的意义进行分析判断即可．
【解答】解：∵有理数的减法法则为：减去一个数，等于加上这个数的相反数，
∴A选项正确，不符合题意；
∵同号两数相加，取相同的符号，
∴两个正数的和一定是正数．
∴B选项正确，不符合题意；
∵（﹣1）﹣（﹣5）＝﹣1+5＝4，
∴两个负数的差一定是负数不正确．
∴C选项不正确，符合题意；
∴在数轴上，零右边的点所表示的数都是正数，
∴D选项正确，不符合题意．
综上，不正确的是：C．
故选：C．
20．若（﹣3）口（﹣4）的计算结果为正数，□代表的运算不可以是（ ）
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
【分析】利用有理数的运算法则进行运算即可得出结论．
【解答】解：∵﹣3+（﹣4）＝﹣7＜0，
∴A选项符合题意；∵﹣3﹣（﹣4）＝﹣3+4＝1＞0，
∴B选项不符合题意；
∵﹣3×（﹣4）＝12＞0，
∴C选项不符合题意；
∵﹣3÷（﹣4）＝0.75＞0，
∴D选项不符合题意；
故选：A．
21．计算|﹣3﹣（﹣2）|的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【分析】先计算有理数的减法，再根据绝对值的性质即可得出答案．
【解答】解：原式＝|﹣3+2|
＝|﹣1|
＝1，
故选：A．
22．下列各式的计算结果为负数的是（ ）
A．|﹣2﹣（﹣1）| B．﹣（﹣3﹣2） C．﹣（﹣|﹣3﹣2|） D．﹣2﹣|﹣4|
【分析】根据有理数的减法法则逐一计算即可．
【解答】解：A．|﹣2﹣（﹣1）|＝|﹣1|＝1，不符合题意；
B．﹣（﹣3﹣2）＝﹣（﹣5）＝5，不符合题意；
C．﹣（﹣|﹣3﹣2|）＝﹣（﹣5）＝5，不符合题意；
D．﹣2﹣|﹣4|＝﹣2﹣4＝﹣6，符合题意．
故选：D．
23．已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断：①a＜c＜b；②﹣a＜b；
③a+b＞0；④c﹣a＜0中，错误的个数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先根据在数轴上，右边的数总比左边的数大，得出 a＜c＜b，再由相反数、绝对值的定义
以及有理数的加减法法则得出结果．
【解答】解：由数轴上右边表示的数总大于左边表示的数，可知a＜c＜b．
①正确；
②a＜﹣2，则﹣a一定大于2，而b＜1，所以﹣a＞b，错误；③∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，③错误；
④∵a＜c，∴c﹣a＞0，错误．
所以错误的判断为3个．
故选：C．
24．若|m|＝5，|n|＝2，且mn异号，则|m﹣n|的值为（ ）
A．7 B．3或﹣3 C．3 D．7或3
【分析】先根据绝对值的性质得出m＝±5，n＝±2，再结合m、n异号知m＝5、n＝﹣2或m＝﹣5、
n＝2，继而分别代入计算可得答案．
【解答】解：∵|m|＝5，|n|＝2，
∴m＝±5，n＝±2，
又∵m、n异号，
∴m＝5、n＝﹣2或m＝﹣5、n＝2，
当m＝5、n＝﹣2时，|m﹣n|＝|5﹣（﹣2）|＝7；
当m＝﹣5、n＝2时，|m﹣n|＝|﹣5﹣2|＝7；
综上|m﹣n|的值为7，
故选：A．
25．已知|x|＝5，|y|＝2，且|x+y|＝﹣x﹣y，则x﹣y的值为（ ）
A．±3 B．±3或±7 C．﹣3或7 D．﹣3或﹣7
【分析】根据|x|＝5，|y|＝2，求出x＝±5，y＝±2，然后根据|x+y|＝﹣x﹣y，可得x+y≤0，然后分情
况求出x﹣y的值．
【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝2，
∴x＝±5、y＝±2，
又|x+y|＝﹣x﹣y，
∴x+y＜0，
则x＝﹣5、y＝2或x＝﹣5、y＝﹣2，
所以x﹣y＝﹣7或﹣3，
故选：D．
26．计算： ＝ ．
【分析】根据有理数的减法以及绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝＝0．
故答案为：0．
27．已知，|a|＝﹣a， ＝﹣1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝ ．
【分析】由已知的等式判断出a，b及c的正负，进而确定出a+b，a﹣c与b﹣c的正负，利用绝对值
的代数意义化简，即可得到结果．
【解答】解：∵|a|＝﹣a， ＝﹣1，即|b|＝﹣b，|c|＝c，
∴a≤0，b＜0，c≥0，
∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0，
则原式＝﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c＝﹣2c．
故答案为：﹣2c．
28．设[x]表示不超过x的整数中最大的整数，如：[1.99]＝1，[﹣1.02]＝﹣2，根据此规律计算：[﹣3.4]
﹣[﹣0.6]＝ ．
【分析】根据新定义写成一般算式，然后根据有理数的减法进行计算即可得解．
【解答】解：[﹣3.4]﹣[﹣0.6]
＝﹣4﹣（﹣1）
＝﹣4+1
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
29．列式并计算
（1）什么数与 的和等于﹣1？
（2）﹣1减去 与 的和，所得的差是多少？
【分析】（1）根据加数＝和﹣另一个加数列式，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可求解；
（2）首先用﹣ 加上 ，求出它们的和是多少；然后用﹣1减去所得的和，求出所得的差是多少即
可．
【解答】解：（1）由题意得：﹣1﹣（﹣ ）＝﹣ ，
答：﹣ 与﹣ 的和为﹣1；（2）﹣1﹣（﹣ + ）
＝﹣1﹣（﹣ ）
＝﹣ ，
答：所得的差是﹣ ．
30．阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M、N表示的数分别为﹣1、3，则线段MN的长度可以这
样计算：|﹣1﹣3|＝4或|3﹣（﹣1）|＝4，那么当点M、N表示的数分别为m、n时，线段MN的长度
可以表示为|m﹣n|或|n﹣m|．
请你参考小兰的发现，解决下面的问题．
在数轴上，点A、B、C分别表示数a、b、c．
给出如下定义：若|a﹣b|＝2|a﹣c|，则称点B为点A、C的双倍绝对点．
（1）如图1，a＝﹣1．
①若c＝2，点D、E、F在数轴上分别表示数﹣3、5、7，在这三个点中，点 是点A、C的双
倍绝对点；
②若|a﹣c|＝2，则b＝ ；
（2）若a＝3，|b﹣c|＝5，B为点A、C的双倍绝对点，则c的最小值为 ；
（3）线段PQ在数轴上，点P、Q分别表示数﹣4、﹣2，a＝3，|a﹣c|＝2，线段PQ与点A、C同时
沿数轴正方向移动，点A、C的速度是每秒1个单位长度，线段PQ的速度是每秒3个单位长度．设
移动的时间为t（t＞0），当线段PQ上存在点A、C的双倍绝对点时，求t的取值范围．
【分析】（1）①根据双倍绝对点的定义可列式计算即可求解；
②根据双倍绝对点的定义可列式计算即可求解；
（2）由已知条件结合新定义可得|3﹣b|＝2|3﹣c|，再分两种情况：①当c＝b+5时，②当c＝b﹣5
时，列算式计算比较可求解；
（3）可分两种情况：①当PQ在AC左端时，Q点最有可能先成为A，C的双倍绝对点；②当PQ
在AC右端时，P点最有可能最先成为A，C的双倍绝对点，根据双倍绝对点的定义列式计算可求解．
【解答】解：（1）①∵a＝﹣1，c＝2，∴|﹣1﹣b|＝2|﹣1﹣2|，
解得b＝5或﹣7，
∴点E是点A，C的双倍绝对点，
故答案为E；
②∵a＝﹣1，|a﹣c|＝2，
∴|﹣1﹣b|＝2×2，
解得b＝﹣5或3，
故答案为﹣5或3；
（2）∵|b﹣c|＝5，
∴c＝b+5或c＝b﹣5，
∵a＝3，
∴|3﹣b|＝2|3﹣c|，
①当c＝b+5时，|3﹣b|＝2|3﹣b﹣5|，
解得b＝﹣7或 ，
∴c＝﹣2或 ；
②当c＝b﹣5时，|3﹣b|＝2|3﹣b+5|，
解得b＝13或 ，
∴c＝8或 ，
综上，c最小值为﹣2，
故答案为﹣2；
（3）①当PQ在A左端时，Q点最有可能先成为A，C的双倍绝对点，
由题意得|t+3﹣3t+2|＝4，
解得t＝ 或 （舍去），
∴t≥ ；
由题意得|t+3﹣3t+4|＝4，
解得t＝ 或 （舍去），∴t≤ ，
综上，t的取值范围为 ≤t≤ ．
②当PQ在A右端时，P点最有可能最先成为A，C的双倍绝对点，
同法可得，满足条件的t的值为 ≤t≤ （t≠5），
综上所述．满足条件的t的值为： ≤t≤ 或 ≤t≤ （t≠5）．
【有理数加减混合】
