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专题 08 二次函数的实际应用（课后小练）
满分100分 时间：45分钟 姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共24分)
1．（2021·全国·九年级课时练习）长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中 x0），面积为 ，
则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据长方形的周长公式求出另一边长，再利用长方形的面积公式写出关系式即可．
【详解】
解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中 x0），
∴长方形的另一边长为：24÷2-x=(12-x)cm，
∴长方形的面积为：y=(12-x)x
故选：C
【点睛】
本题考查了长方形的周长和面积，熟练利用长方形的周长、面积公式进行运算是解题关键．
2．（2019·甘肃甘肃·中考模拟）将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度
后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x﹣4）2+3 C．y＝（x+2）2+5 D．y＝（x﹣4）2+5
【答案】B
【解析】
【分析】
利用抛物线平移满足左加右减，上加下减原则，计算解析式，即可．
【详解】
解：将y＝x2﹣2x+3化为顶点式，得y＝（x﹣1）2+2．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝
（x﹣1﹣3）2+2+1，即y＝（x﹣4）2+3．
故选B．
【点睛】
考查函数平移，抓住左加右减，上加下减原则，难度较容易．
3．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）河北省赵县的赵州桥的桥拱是
近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝ x2，当水面离桥拱顶的高度
DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．4m B．10m C．20m D．8m
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，把y=﹣4直接代入解析式求出点A和点B的坐标即可解答．
【详解】
解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y=﹣4代入y= x2，
得x=±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB=20m．
即水面宽度AB为20m．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用．解题的关键是根据题意表达式求出点A和点B的坐标．
4．（2022·全国·九年级课时练习）某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则
每件需要降价（元）（ ）
A．3元 B．4元 C．5元 D．8元
【答案】B
【解析】
【分析】
设每件降价 元，每天获得的利润为 元，根据销售问题的数量关系表示出 与 之间的关系式，转化为
顶点式即可．
【详解】
解：设每件降价 元，每天获得的利润为 元，
则
．
，
时， ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了利润问题的数量关系的运用，二次函数的运用，二次函数的性质的运用，解题的关键是求出二
次函数的解析式．
5．（2022·山西晋中·一模）板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集
上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动．如图，是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，
板球在点A处击出，落地前的点B处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其表达式为y＝- x2＋
x＋1，则板球运行中离地面的最大高度为（ ）
A．1mB． m C． m D．4m
【答案】B
【解析】【分析】
将二次函数解析式由一般式改为顶点式，即可得出函数最大值，也就是球离地面最大高度．
【详解】
解： y＝- x2＋ x＋1=- (x-4)2+ ，
抛物线开口朝下，
当x=4时，y有最大值，最大值为 ，
板球运行中离地面的最大高度为 ．
故答案选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数解决实际问题——投球问题，能正确写出函数顶点式是做出本题的关键．
6．（2019·浙江绍兴·九年级阶段练习）某公园一喷水池喷水时水流的路线呈抛物线（如图）．若喷水时水
流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+2x+1.25，则水池在喷水过程中水流的最
大高度为（ ）
A．1.25米 B．2.25米 C．2.5米 D．3米
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：直接利用二次函数解析式得出水流离地面的最大高度．
解：∵y=﹣x2+2x+1.25=﹣（x﹣1）2+2.25，
∴水池在喷水过程中水流的最大高度为2.25米．
故选B．
考点：二次函数的应用．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
7．（2021·全国·九年级课时练习）随着国内新冠疫情逐渐好转，市场对口罩的需求量越来越少，据统计，某口罩厂6月份出货量仅为4月份的40%，设4月份到6月份口罩出厂量平均每月的下降率为 ，则可列
方程为___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程增长率公式列式即可；
【详解】
依题意可得： ；
故答案是： ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析判断是解题的关键．
8．（2022·全国·九年级课时练习）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔
开，并在如图所示的两处各留 宽的门，所有围栏的总长（不含门）为 ，若要使得建成的饲养室面
积最大，则利用墙体的长度为______ ．
【答案】14
【解析】
【分析】
设平行于墙体的材料长度为 ，则垂直于墙体的材料长度为 根据题意列出函
数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．
【详解】
解：设平行于墙体的材料长度为 ，建成的饲养室的总面积为 ，则垂直于墙体的材料长度为
根据题意得：建成的饲养室的总面积为 ，
∴当 时，建成的饲养室面积最大，
即此时利用墙体的长度为 ．
故答案为：14
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
9．（2021·北京市第六十六中学九年级期中）图中是抛物线形拱桥，当水面宽AB＝10米时，拱顶到水面
的距离CD＝5米．如果水面上升1米，那么水面宽度为______________米？（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】
以D点为原点，AB为x轴，DC为y轴，建立平面直角坐标系，设水面上升1米后的位置为EF．根据水面
宽AB和拱顶到水面的距离CD可得点B与点C的坐标，进而可求得抛物线解析式，再根据点E和点F的
纵坐标可以求出点E和点F的横坐标，然后即可求出EF的长度，即水面上升1米后的水面宽度．
【详解】
解：如下图所示，以D点为原点，AB为x轴，DC为y轴，建立平面直角坐标系，设水面上升1米后的位
置为EF．
∵AB=10，CD=5，
∴ ，BD=AD=5．∴ ．
∵水面上升1米后的位置为EF，
∴ ．
设抛物线解析式为 ．
根据B点坐标和C点坐标可得
解得
∴抛物线解析式为： ．
令y=1可得 ．
解得 ， ．
∴ ， ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，正确理解题意并合理建立平面直角坐标系是解题关键．
10．（2022·全国·九年级课时练习）如图，物体从点A抛出，物体的高度y(m)与飞行时间t(s)近似满足函数
关系式y=− (t−3)2+5．
（1）OA=______ ．（2）在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是________．
【答案】 0≤t≤6且t≠3
【解析】
【分析】
（1）当t=0时，求得y的值，即可求解；
（2）观察图象，当y≥ ，顶点除外时，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，据此求解即可．
【详解】
解：（1）当t=0时，y=− (t−3)2+5=- +5= ；即OA= (m)；
故答案为： ；
（2）当y= 时，− (t−3)2+5= ，
∴t=0或t=6，
∴当0≤t≤6且t≠3时，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，
故答案为：0≤t≤6且t≠3．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，准确读图是解答本题的关键．
三、解答题(共56分)
11．(本题10分)（2020·浙江·九年级期末）如图，从某建筑物2.25米高的窗口 处用向外抛出篮球，篮球
的运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点 离墙1米，离地面3米．
（1）求抛物线的表达式．
（2）求篮球落地点 离墙的距离 的长度．
（3）当从 处向外抛出篮球时，若存在篮球离墙的距离 ，当 或 时，篮球距离地面的高度都为 （米），求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）OB=3米；（3）
【解析】
【分析】
（1）由题意易得点 ，顶点 ，然后可设抛物线解析式为 ，然后代入点A求
解即可；
（2）由（1）可当y=0时进行求解即可；
（3）根据二次函数的对称性可得点A的对称点坐标为 ，要使当 或 时，篮球距离地面的高
度都为 （米），那么 是对称点，故问题可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：点 ，顶点 ，则设抛物线解析式为 ，
把点A代入得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
（2）由（1）得：抛物线解析式为 ，
∴当y=0时，则有 ，
解得： （不符合题意，舍去）
∴OB=3米；
（3）由（1）可得抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点A关于对称轴对称的点的坐标为 ，
∵当 或 时，篮球距离地面的高度都为 米，
∴ ，即这两个点关于对称轴对称，∵ ，
∴m的取值范围为 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
12．(本题10分)（2021·福建南平·九年级期中）图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置
，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的拋物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，
水流喷出的高度 与水平距离 之间的关系式是 ．柱子 的高度为多少米？
若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
【答案】 ；水池的半径至少为
【解析】
【分析】
令 ，即可求得 的高度，令y=0，则可以求得水池的半径．
【详解】
∵
令 ，则
米
如图，设抛物线与 轴交于点由 ，令
则
解得 （不合题意，舍去）
水池的半径至少为 米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
【点睛】
本题考查了二次函数在生活中的实际应用，求得抛物线与坐标轴的交点是解题的关键．
13．(本题12分)（2022·浙江宁波·八年级期末）“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4
日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元．规定
销售单价不低于44元，且不高于60元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，由
于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．
(1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元；
(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)当每个纪念品的销售单价是52元时，商家每天获利2640元
(2)当纪念品的销售单价定为57元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大，最大利润是2890元
【解析】
【分析】
（1）设每件纪念品销售价上涨x元，根据题意列出一元二次方程，解出方程，根据销售单价不高于60元
即可求解．（2）根据题意列出销售利润w与销售单价x之间的函数关系式，根据函数的增减性即可求解．
(1)
解：设每件纪念品销售价上涨x元，
由题意得：（x+4）（300–10x）＝2640，
整理得：x2﹣26x+144＝0，即（x–8）（x–18）=0，
解得：x＝8，x＝18，
1 2
∵销售单价不高于60元，
∴x＝8，
答：当每个纪念品的销售单价是52元时，商家每天获利2640元．
(2)
根据题意得：
w＝（x+4）（300–10x），
＝–10x2+260x+1200
＝–10（x–13）2+2890，
∵–10＜0，二次函数图象开口向下，对称轴为直线x=13，
∴当x＝13时，w最大且最大值为2890，
∵ ，
所以，当纪念品的销售单价定为57元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大，最大利润是2890元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，根据题意找准等量关系，列出方程及函数关系式是解
题的关键．
14．(本题12分)（2021·安徽合肥·三模）某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周
边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，最大高度为6m.如图，以水平方向为x轴，喷
水池中心为原点建立直角坐标系.
(1) 若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度为多少，
请计算说明理由.
(2)为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些喷水头以水池为圆心，
分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保证喷水时互不干扰，防止水花四溅，
且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷水头最高喷射高度为多少米？（假设所有喷水头高度忽
略不计）.【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案；
（2）根据对称轴为x=4，可得当x=4.5时可达到最高喷射高度，代入即可求解．
【详解】
（1）由题意可得：当x＞0时，抛物线解析式为：y＝a（x−4）2＋6，
把(10,0)代入得0＝a（10−4）2＋6
解得：a＝− ，
故抛物线解析式为：y＝− （x−4）2＋6；
令x=0，解得y=
故这个装饰物的高度为 m；
（2）∵当x＞0时，抛物线的对称轴为x=4
由题意可得当x=4.5时可达到最高喷射高度，
当x＝4.5时，y=
答：直线型喷水头最高喷射高度为 米．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键．
15．(本题12分)（2020·河北·中考真题）用承重指数 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室
有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数 与木板厚度 （厘米）的平方成正
比，当 时， ．
（1）求 与 的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为 （厘米）， ．
①求 与 的函数关系式；
② 为何值时， 是 的3倍？
【注：（1）及（2）中的①不必写 的取值范围】
【答案】（1） ；（2）① ；② ．
【解析】
【分析】
（1）设W=kx2，利用待定系数法即可求解；
（2）①根据题意列出函数，化简即可；②根据题意列出方程故可求解．
【详解】
（1）设W=kx2,
∵ 时，
∴3=9k
∴k=
∴ 与 的函数关系式为 ；
（2）①∵薄板的厚度为xcm，木板的厚度为6cm
∴厚板的厚度为（6-x）cm，
∴Q=
∴ 与 的函数关系式为 ；
②∵ 是 的3倍∴-4x+12=3×
解得x1=2,x2=-6(不符题意，舍去)
经检验，x=2是原方程的解，
∴x=2时， 是 的3倍．
【点睛】
此题主要考查函数与方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数或方程求解．
