文档内容
专题08 二次根式的混合运算期中考题50道
1．计算：
(1) ；
(2) ；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）按照完全平方公式进行计算即可．
（1）
解：原式
（2）
原式
【点睛】本题考查的是二次根式的加减，乘法运算，掌握“二次根式的加减，乘法运算法则”是
解本题的关键．
2．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【详解】 原式
；
原式
．
3．计算：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先找出同类二次根式，再合并即可；
（2）先用完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，然后再合并同类二次根式即
可．
(1)
解：
；
(2)．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．计算：
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据合并同类二次根式法则计算即可；
（2）根据平方差公式计算即可，即两数和与两数差的积等于这二数的平方差．
(1)
解：
；
(2)
解：
．
【点睛】此题考查的是二次根式的加法运算，二次根式的混合计算，平方差公式，熟练掌握合并
同类二次根式法则，平方差公式及结构，是解决此题的关键．
5．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先化简二次根式，分母有理化，再进行合并即可；
（2）先利用平方差公式化简二次根式，再进行计算．
(1)
解：原式= ，
= ，
= ．
(2)
解：原式= ，
= ．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算及分母有理化的知识，熟练化简二次根式后，在加减的过
程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，可以直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可
先化简，再相乘，灵活对待．
6．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据二次根式的除法和乘法法则运算即可；
（2）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简后合并即可．
(1)解：原式
；
(2)
解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除
法法则，是解决问题的关键．
7．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二次根式的乘除和加减法则进行运算
（2）先将每一项化简，再加减算出结果
(1)(2)
【点睛】本题考查二次根式的混合运算和化简，注意最后结果要是最简形式．
8．计算：
【答案】
【分析】先根据二次根式的乘法和除法法则计算，然后化为最简二次根式，再合并即可．
【详解】解：
=
=
= ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．在
二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，
往往能事半功倍．
9．计算： ．
【答案】5【分析】利用分配律去掉括号，然后根据二次根式的乘法运算法则计算，最后进行减法即可得．
【详解】解：原式 ，
，
√1
=2√3×6− ×6，
3
，
．
【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
10．计算：
(1) 2 ；
(2)（ ）2+（ 2）（ 2）．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）先化简二次根式，再进行加减运算即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
（1）解：原式=4 2 =4 =5 ；
（2）解：原式=3+2﹣2 3﹣4=4﹣2 ．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握二次根式
的性质和运算法则是解答的关键．
11．（1）计算： ；（2）化简： （x＞0）；
（3）计算： ．
【答案】（1） ；（2） x；（3）1
【分析】（1）首先化简二次根式，再合并即可；
（2）首先把分子分母化简二次根式，再分母有理化即可；
（3）先算乘法，再算减法即可．
【详解】（1）原式＝ ；
（2）原式＝ ＝ ＝ x；
（3）原式＝3﹣2＝1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算；把二次根式化成最简二次根式是解决问题的关键．
12．（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据二次根式的加减法法则，即可求解；
（2）根据完全平方公式与平方差公式，进行计算，即可求解．
【详解】解：（1）原式=
=
（2）原式=
=
=
【点睛】本题主要考查二次根式的运算法则以及完全平方公式与平方差公式，掌握乘法公式是解
题的关键．13．计算：（2 ﹣1）2+（ +2）（ ﹣2）．
【答案】12﹣4
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再计算加减可得．
【详解】解：原式＝12﹣4 +1+3﹣4
＝12﹣4 ．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟知乘法公式的结构特点是解题的关键．
14．（ +2 ）（ ﹣2 ）+（ ﹣ ）2．
【答案】4﹣2
【分析】根据平方差公式和完全平方公式计算．
【详解】解：原式＝5﹣8+5﹣2 +2
＝4﹣2 ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，能利用平方差公式和完全平方公式简化运算是解
题的关键．
15．计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）先分别化简每个二次根式，然后先算乘法，再合并同类二次根式；
（2）先分别化简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：（1）原式 ，
，
，；
（2）原式 ，
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握利用二次根式的性质进行化简是解题关键．
16．计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据二次根式加减法法则计算即可得答案；
（2）利用完全平方公式，根据二次根式乘法法则计算即可得答案．
【详解】（1）
=
= ．
（2）
=
=
= ．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解题关键．
17．计算：
（1） ；（2） ．
【答案】（1）3；（2）
【分析】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．计算： ．
【答案】
【分析】直接利用根式的混合运算求解即可．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的基本法则．
19．计算
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）1
【分析】（1）根据二次根式的加减法可以解答本题；
（2）根据二次根式的乘法、平方差公式可以解答本题．
【详解】解：（1）
＝＝ ；
（2）
＝
＝3﹣2
＝1．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
20．（1）
（2）
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）先化简二次根式，然后再合并同类二次根式；
（2）这道题用括号里的每一项分别除以括号外的除数进行计算即可．
【详解】解：（1）
=
=
（2）
= ．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．
21．计算：
（1） ．
（2） ．（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义计算；
（3）先把二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的除法法则运算．
【详解】解：（1）原式＝ ；
（2）原式＝ ；
（3）原式＝ ．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的
乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性
质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．计算：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式，即可求解；
（2）先利用多项式乘多项式的法则，再进行加减法运算，即可求解．
【详解】（1）原式＝
＝ ；
（2）原式＝
＝ ．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．23．计算（1） （2）
【答案】（1） （2）
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解．
【详解】（1） ，
=
= ；
（2） ，
=
=
=
= ．
【点睛】此题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则．
24．计算：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）【分析】（1）根据二次根式和零指数幂的性质化简，然后再进行计算；
（2）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式
的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用
二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
25．计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先化简二次根式，然后再进行加减运算即可；
（2）先利用平方差公式和二次根式的除法进行计算，最后算减法即可.
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式和二次根式的运算法则是解题的关
键.
26．计算：（1）
（2）
【答案】(1) ;(2)【分析】（1）根据二次根式性质先化简，再相加减即可；
（2）根据二次根式乘法法则进行计算即可.
【详解】（1）
=
= .
（2）
=
=
【点睛】考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟记其运算顺序和计算法则.
27．计算：（1） +
（2）（
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据二次根式的加减混合运算，化简合并后，即可得到结果；
（2）先去括号，然后利用二次根式的混合运算，合并同类项，即可得到答案．
【详解】解：（1）
=
=
（2）
=
==
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及完全平方公式，解题的关键是运用运算法则正确
的进行化简计算．
28．计算题
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则，化简合并后即可得到答案．
（2）根据二次根式的混合运算法则，化简合并后即可得到答案．
【详解】解：（1）
=
= ．
（2）
=
= ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是准确的进行化简求值．
29．计算：4 （ ﹣ ）﹣ ÷ +（ +1）2．
【答案】2﹣6 ．
【分析】先根据二次根式的乘除法则和完全平方公式计算，然后合并即可．
【详解】原式＝4 ﹣4 ﹣ +3+2 +1＝2﹣8 ﹣4+4+2
＝2﹣6 ．
故答案为2﹣6 ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式
的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的
性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
30．（1） ÷2 ﹣ × +4 ；
（2）（ + ）2﹣（3 +2 ）（3 ﹣2 ）
【答案】（1）2- ；（2）2 ﹣1
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，再利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合
并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【详解】解：（1）原式＝4 ÷2 ﹣3 × +2
＝2﹣3 +2
＝2﹣ ；
（2）原式＝2+2 +3﹣（18﹣12）
＝5+2 ﹣6
＝2 ﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式
的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的
性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．31．(1)( ﹣ )+ ． (2)(2 ﹣ )(2 + )﹣( ﹣3)2．
【答案】(1)4 ；(2)6 ﹣1．
【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算．
【详解】(1)原式＝5 ﹣2 +
＝4 ；
(2)原式＝20﹣7﹣(5﹣6 +9)
＝13﹣14+6
＝6 ﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次
根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根
式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
32．计算：
(1)（1 ）（1＋ ） +
(2) 4 ＋ ÷ ；
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）直接利用平方差公式及二次根式的乘法进行运算，然后计算加减即可；
（2）先化简二次根式及计算二次根式的除法，然后计算加减法即可．
（1）
解：原式
；（2）
原式
．
【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算及平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键．
33．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式；
（2）先用完全平方公式展开，然后合并即可．
（1）
解：原式=
（2）
解：原式=
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，灵活运用公式是解题的关键．
34．计算下列各题：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类二次根式．
（1）
解：原式 ；
（2）
解：原式 ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
35．计算题：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）二次根式最简化处理，然后根式的除法运算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方差公式，进行二次根式的加减法运算即可．
(1)
，
=
=
= ；
(2)
，=
=
=
=
= ；
【点睛】本题主要考查最简二次根式及混合运算，重点在熟练应用完全平方公式及平方差公式．
36．计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）4+ ；（2）
【分析】（1）根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题；
（2）根据二次根式的乘法和加减法可以解答本题．
【详解】解：（1）
＝
＝
＝4+ ；
（2）
＝
＝ ．
【点睛】本次考查了二次根式的混合运算，先把各个二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
37．计算：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）9
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式计算．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式
的乘除运算，再合并即可．
38．计算：
（1）（ + ）（ ﹣ ）；
（2）2（ + ）﹣3（ ﹣ ）．
【答案】（1）4；（2）11 ﹣ ．
【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）利用多项式乘法展开，并化简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：（1）（ + ）（ ﹣ ）
＝（ ）2﹣（ ）2
＝7﹣3
＝4；
（2）2（ + ）﹣3（ ﹣ ）＝2 +2 ﹣3 +9
＝11 ﹣ ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．
39．化简：（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先分别化简，再去括号计算加减；
（2）将括号展开，再计算除法．
【详解】解：（1）
=
= ；
（2）
=
=
=
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
40．计算： ÷ .
【答案】
【分析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可计算；【详解】解：原式＝ ﹣ +
＝
＝ ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行并即可；
在二次根式的混合运算中，如果能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途
径，往往可以事半功倍；
41．计算：
【答案】
【分析】先把括号内的各二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算；
【详解】解：原式= ，
= ，
= .
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式
的乘除运算，然后合并同类二次根式．
42．计算下列各题
（I）（2 ﹣6 ）÷2 ；
（Ⅱ）（ + ）（ ﹣ ）﹣（2 ﹣ ）2．
【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）﹣12+4 ．
【分析】（Ⅰ）由题意先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除
法运算；
（Ⅱ）根据题意直接利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可．【详解】解：（Ⅰ）（2 ﹣6 ）÷2
＝（4 ﹣2 ）÷2
＝2 ÷2
＝1；
（Ⅱ）（ + ）（ ﹣ ）﹣（2 ﹣ ）2
＝5﹣3﹣（12﹣4 +2）
＝2﹣14+4
＝﹣12+4 ．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，注意掌握先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二
次根式的乘除运算，再合并即可．特别是在二次根式的混合运算中，结合题目特点，灵活运用二
次根式的性质．
43．计算：（1）
（2）
【答案】1） ；（2）0．
【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，然后去括号，合并同类项，即可得到答案；
（2）先根据二次根式的性质进行计算，然后合并同类项，即可得到答案．
【详解】解：（1）
=
= ；
（2）=
=0；
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的
运算法则进行解题．
44．计算：（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据二次根式的性质和混合运算进行计算，然后合并同类项，即可得到答案；
（2）先计算平方差和完全平方公式进行计算，然后合并同类项，即可得到答案．
【详解】解：（1）
=
= ；
（2）
=
=
= ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，以及完全平方公式，
解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
45．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）-1；（2）【分析】（1）先化简二次根式，然后就按括号内的运算，再计算二次根式除法，即可得到答案；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后合并同类项，即可得到答案.
【详解】解：（1）
；
（2）
；
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，以及完全平方公式和平方差公式，
解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.
46．计算
（1）
（2）
【答案】（1）3；（2）－1
【分析】（1）直接利用平方差公式计算得出答案；
（2）首先化简二次根式进而计算得出答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
故答案为（1）3；（2）－1【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
47．计算：
(1)
(2)
【答案】（1）15；（2） .
【分析】(1)把被开方数相乘或相除，在化成最简二次根式或整式即可；
(2)先化成最简二次根式，同时去括号，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：（1）
=
=15 ÷
=15.
（2）
=
= .
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握法则是解题的关键．
48．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；(2) .【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】(1) ＝
＝
＝
(2)
＝
＝
＝
＝
＝ ．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础
题型
49．计算: .
【答案】
【分析】先进行二次根式的乘除运算，再合并同类二次根式即可.
【详解】
=
=50．（1）计算： （2）计算：
【答案】（1）0；（2） .
【详解】试题分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先把各二次根式化为最简二次根式，根据二次根式加减法则进行运算即可.
试题解析： 原式
原式
