文档内容
2025-2026 学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇
编
专题 11 乘法公式
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2024•碑林区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝
3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【思路引导】利用正方形和长方形的性质，将ID与DJ的关系表示出来，再利用阴影部
分面积和为60即可求出ID与DJ，从而得到长方形FJDI的长和宽，即可求解．
【完整解答】解：设ID＝y，DJ＝z，
∵两个阴影部分都是正方形，
∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，
∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ，
∴AI+ID＝CJ+DJ，
∵AI＝5，CJ＝3，
∴5+y＝3+z，
∴y＝z﹣2，
∵阴影部分面积和为60，
∴y2+z2＝60，
将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得：
（z﹣2）2+z2＝60，
解得：z＝1+ 或z＝1﹣ （舍），
∴y＝z﹣2＝ ﹣1，
∴ID＝ ﹣1，DJ＝1+ ，
∴S ＝ID•DJ＝（ ﹣1）×（1+ ）＝28．
长方形FJDI
故选：A．
学科网（北京）股份有限公司2．（2分）（2024•埇桥区校级期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b＝
5，ab＝6，则阴影部分的面积为（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．1
【思路引导】用a和b表示出阴影部分面积，再通过完全平方式的变换，可求出阴影部
分面积．
【完整解答】解：S ＝a2+b2﹣ a2﹣ b（a+b）＝ （a2+b2）﹣ ab＝ （a+b）2﹣
阴影
ab，
把a+b＝5，ab＝6代入得：
原式＝ ×25﹣ ×6＝3.5．
故选：C．
3．（2分）（2024•碑林区校级期中）如图，有两个正方形A，B，现将B放置在A的内部
得到图甲，将A、B并列放置，以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形
得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和8，则正方形A、B的面积之和为
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【思路引导】设出大小正方形得边长a、b，用a和b表示出阴影部分的面积，找出相应
关系，即可求解．
学科网（北京）股份有限公司【完整解答】解：设大小正方形边长分别为a、b，
S ＝（a﹣b）2＝1，即a2+b2﹣2ab＝1，
阴1
S ＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝8，得：ab＝4．
阴2
∴a2+b2﹣2×4＝1，
∴a2+b2＝9．
故选：B．
4．（2分）（2024•包河区期中）已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）
2+（2020﹣m）2的值为（ ）
A．4046 B．2023 C．4042 D．4043
【思路引导】利用完全平方公式变形即可．
【完整解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．
∴（2022﹣m）2+（2020﹣m）2
＝[（2022﹣m）﹣（2020﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2020﹣m）
＝4+2×2021
＝4046．
故选：A．
5．（2分）（2022•重庆模拟）下列四种说法中正确的有（ ）
①关于x、y的方程2x+6y＝199存在整数解．
②若两个不等实数a、b满足2（a4+b4）＝（a2+b2）2，则a、b互为相反数．
③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，则2b＝a+c．
④若x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy，则x＝y＝z．
A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④
【思路引导】①对数的讨论，利用小学知识可解决；
②利用完全平方公式，整理得到两个数的平方相等，则两数相等或者互为相反数；
③重新整理，得到完全平方公式，即得结论；
④两两组合，相等两数差为0，然后因式分解，即得结论．
【完整解答】①因为x、y为整数时，2x+6y＝2（x+3y）是偶数，而199是奇数，它们
不可能相等；
故①错误．
②由2（a4+b4）＝（a2+b2）2得：
2a4+2b4＝a4+2a2b2+b4，
a4+b4﹣2a2b2＝0，
（a2﹣b2）2＝0，
∴a2﹣b2＝0，
∴a2＝b2，
∵a≠b，
∴a＝﹣b，
即a、b互为相反数；
学科网（北京）股份有限公司故②正确．
③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，则2b＝a+c，
（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，
a2﹣2ac+c2﹣4ab+4ac+4b2﹣4bc＝0，
a2+2ac+c2﹣4b（a+c）+4b2＝0，
（a+c）2﹣4b（a+c）+4b2＝0，
（a+c﹣2b）2＝0，
∴a+c﹣2b＝0，
∴2b＝a+c；
故③正确．
④∵x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy，
∴x2﹣yz﹣y2+xz＝0，
y2﹣xz﹣z2+xy＝0，
∴（x+y+z）（x﹣y）＝0，
（x+y+z）（y﹣z）＝0．
∴x+y+z＝0或x﹣y＝0，y﹣z＝0，
∴x＝y＝z或x+y+z＝0，
故④错误．
综上所述，四种说法中正确的有②③，
故选：B．
6．（2分）（2022•南京模拟）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正
方形，面积分别是S和S，两正方形的面积和S+S＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分
1 2 1 2
面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【思路引导】设BC＝a，CG＝b，建立关于a，b的关系，最后求面积．
【完整解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S＝a2，S＝b2，a+b＝BG＝8．
1 2
∴a2+b2＝40．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
∴2ab＝64﹣40＝24，
∴ab＝12，
学科网（北京）股份有限公司∴阴影部分的面积等于 ab＝ ×12＝6．
故选：A．
7．（2分）（2021秋•望城区期末）如果4x2+2kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（
）
A．20 B．±20 C．10 D．±10
【思路引导】利用完全平方公式的特点即“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中央”可
知2kx为二倍底数乘积，进而可得到答案．
【完整解答】解：∵4x2+2kx+25＝（2x±5）2，
∴2kx＝±2×2x•5＝±20x，
∴k＝±10，
故选：D．
8．（2分）（2021秋•凉山州期末）2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计
算结果是（ ）
A．332+1 B．332﹣1 C．331 D．332
【思路引导】把因数2写成3﹣1后，利用平方差公式依次计算即可得出结果．
【完整解答】解：2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1
＝（316﹣1）（316+1）+1
＝332﹣1+1
＝332，
故选：D．
9．（2分）（2021秋•望城区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么
这个正整数就称为“智慧数”，例如：7＝7×1＝（4+3）×（4﹣3）＝42﹣32，7就是
一个智慧数，8＝4×2＝（3+1）×（3﹣1）＝32﹣12，8也是一个智慧数，则下列各数
不是智慧数的是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【思路引导】根据“智慧数”的定义，对每个选项进行判断，即可得出答案．
【完整解答】解：∵2021
＝2021×1
＝（1011+1010）（1011﹣1010）
＝10112﹣10102，
∴2021是智慧数，
∴选项A不符合题意；
∵2022不能写成两个正整数的平方差，
∴2022不是智慧数，
学科网（北京）股份有限公司∴选项B符合题意；
∵2023
＝2023×1
＝（1012+1011）（1012﹣1011）
＝10122﹣10112，
∴2023是智慧数，
∴选项C不符合题意；
∵2024
＝1012×2
＝（507+505）（507﹣505）
＝5072﹣5052，
∴2024是智慧数，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
10．（2分）（2021秋•井研县期末）如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方
形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于 a、b的恒等式为
（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2+ab＝a（a+b）
【思路引导】用两种方法正确的表示出阴影部分的面积，再根据图形阴影部分面积的关
系，即可直观地得到一个关于a、b的恒等式．
【完整解答】解：方法一阴影部分的面积为：（a﹣b）2，
方法二阴影部分的面积为：（a+b）2﹣4ab，
所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于 a、b的恒等式为（a﹣
b）2＝（a+b）2﹣4ab．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2024•仪征市期末）计算20222﹣2020×2024的结果是 4 ．
【思路引导】运用平方差公式进行简便运算．
【完整解答】解：20222﹣2020×2024
＝20222﹣（2022﹣2）（2022+2）
＝20222﹣（20222﹣22）
＝20222﹣20222+22
＝4．
学科网（北京）股份有限公司故答案为：4．
12．（2分）（2024•文登区期末）如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和
一个小正方形．如果大正方形的面积为 75，小正方形的面积为3，则矩形的宽AB为
2 ．
【思路引导】根据图形的面积，设矩形的长为a，宽为b，得出（a+b）2＝75，（a﹣b）
2＝3，进而得到a+b＝5 ，a﹣b＝ ，求出b即可．
【完整解答】解：设矩形的长为a，宽为b，则有（a+b）2＝75，（a﹣b）2＝3，
所以a+b＝5 ，a﹣b＝ ，
所以b＝2 ，
即矩形的AB为2 ，
故答案为：2 ．
13．（2分）（2024•钱塘区期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为
a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分
面积S+S+S＝ 12. 5 ．
1 2 3
【思路引导】由长方形的周长16，面积为15.75，确定a+b＝8，ab＝15.75，通过观察
图形分别用含有a和b的式子表示出阴影部分的面积S、S、S，然后整理化简
1 2 3
S+S+S，通过完全平方公式计算出a2+b2，从而求出值．
1 2 3
【完整解答】解：由题知，a+b＝16÷2＝8，ab＝15.75．
∴（a+b）2＝64，
a2+2ab+b2＝64，
a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×15.75＝32.5，
∵S＝（6﹣b）2，S＝（6﹣a）2，S＝[b﹣（6﹣a）]2＝（a+b﹣6）2，
1 3 2
∴阴影部分面积S+S+S＝（6﹣b）2+（6﹣a）2+（a+b﹣6）2
1 2 3
＝36﹣12b+b2+36﹣12a+a2+（8﹣6）2
＝a2+b2﹣12b﹣12a+76
＝a2+b2﹣12（b+a）+76
＝32.5﹣12×8+76
＝12.5．
学科网（北京）股份有限公司故答案为：12.5．
14．（2分）（2022•三水区一模）现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：方
式1：将B放在A的内部，得甲图；方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．
若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 1 3 ．
【思路引导】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．
【完整解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1，
即a2+b2﹣2ab＝1，
由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，
得：2ab＝12，
所以a2+b2＝13，
故答案为：13．
15．（2分）（2024•海安市校级月考）若（2021﹣A）（2020﹣A）＝2022，则（2021﹣
A）2+（A﹣2020）2＝ 404 5 ．
【思路引导】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，即可求出答案．
【完整解答】解：设x＝2021﹣A，y＝2020﹣A，
∴x﹣y＝2021﹣A﹣2020+A＝1，
∵（2021﹣A）（2020﹣A）＝2022，
∴xy＝2022，
∴原式＝x2+y2
＝（x﹣y）2+2xy
＝1+2×2022
＝4045，
故答案为：4045．
16．（2分）（2024•杏花岭区校级月考）①（x﹣1）•（x+1）＝x2﹣1
②（x﹣1）•（x2+x+1）＝x3﹣1
③（x﹣1）•（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
……
A题：猜想（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝ x 5 0 ﹣ 1 ．
B题：当（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0，代数式x2023﹣1＝ ﹣ 2 或 0 ．
【思路引导】（1）由规律可得（x﹣1）•（xn﹣1+…+x5+x4+x3+x2+x+1）＝xn﹣1，再根据
学科网（北京）股份有限公司数值，可得其答案；
（2）可由（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，求出x的值，再代入x2023﹣1得其
值．
【完整解答】解：（1）（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1，
故答案为x50﹣1；
（2）∵（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，∴x＝1或﹣1，
当x＝﹣1时，x2023﹣1＝（﹣1）2023﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2；当x＝1时，x2023﹣1＝12023﹣1＝
1﹣1＝0，
∴x2023﹣1＝﹣2或0，
故答案为﹣2或0．
17．（2分）（2024•新华区月考）有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图，a＞b）．
（1）若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲纸片
4 张．
（2）取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为
a2+nab+12b2，则n可能的整数值有 3 个．
【思路引导】（1）通过拼成的正方形面积求解．
（2）通过分解第三项求确定n．
【完整解答】解：（1）大正方形的面积为；（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．
∴需要甲纸片4张，乙纸片4张，丙1张，
故答案为：4．
（2）∵12b2＝b•12b＝2b•6b＝3b•4b，
∴n＝1+12＝13或n＝2+6＝8或n＝3+4＝7．
故答案为：3．
18．（2分）（2024•龙岗区期中）计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+
＝ ．
【思路引导】本题是平方差公式的应用，把多项式：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）
（516+1）+ 转化为 （5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ ＝ （532
﹣1）+ 的形式，然后再利用平方差公式计算 （516•2﹣1）+ ＝ ．
【完整解答】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ ，
学科网（北京）股份有限公司＝ （5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ ，
＝ （532﹣1）+ ，
＝ ．
19．（2分）（2021秋•黔江区期末）4x2+Q+1是完全平方式，请你写一个满足条件的单项
式Q是 ± 4x 或 4x 4 或﹣ 4x 2 或﹣ 1 ．
【思路引导】设这个单项式为Q，如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中
间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q＝±4x；
如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2＝2•2x2，所以Q＝4x4；
如果该式只有4x2项或1，它也是完全平方式，所以Q＝﹣1或﹣4x2．
【完整解答】解：∵4x2+1±4x＝（2x±1）2；
4x2+1+4x4＝（2x2+1）2；
4x2+1﹣1＝（±2x）2；
4x2+1﹣4x2＝（±1）2．
∴加上的单项式可以是±4x、4x4、﹣4x2、﹣1中任意一个．
故答案为±4x或4x4或﹣4x2或﹣1．
20．（2分）（2024•宁阳县期末）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面
各式的规律，则（a+b）6的第三项的系数为 1 5 ．
【思路引导】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，
b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
【完整解答】解：由题意可得：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，
则（a+b）6的第三项的系数为：15．
故答案为：15．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（4分）（2024•南京期中）计算：
（1）（x+3）2﹣（x+3）（x﹣3）
（2）（x+2y﹣1）（x+2y+1）
【思路引导】（1）直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案；
（2）直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案．
【完整解答】解：（1）（x+3）2﹣（x+3）（x﹣3）
学科网（北京）股份有限公司＝x2+6x+9﹣（x2﹣9）
＝6x+18；
（2）（x+2y﹣1）（x+2y+1）
＝（x+2y）2﹣1
＝x2+4y2+4xy﹣1．
22．（6分）（2024•榆阳区期末）如图，某地有一块长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的
长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间边长为（a+b）米的空白正方形
地块将修建一个凉亭．
（1）求绿化部分的总面积（用含有a、b的代数式表示）；
（2）若a＝2，b＝5，求出此时绿化部分的总面积．
【思路引导】（1）求出长方形地块的面积和正方形凉亭的面积，再相见得出答案；
（2）把a＝2，b＝5代入（1）的式子计算即可．
【完整解答】解：（1）由题意得：长方形地块的面积＝（a+4b）（a+3b）＝
（a2+7ab+12b2）（平方米），
正方形凉亭的面积为：（a+b）2＝（a2+2ab+b2）（平方米），
则绿化面积S＝（a2+7ab+12b2）﹣（a2+2ab+b2）＝（5ab+11b2）（平方米）；
（2）∵a＝2，b＝5，
∴绿化总面积S＝5ab+11b2＝5×2×5+11×52＝325（平方米）．
23．（8分）（2024•永丰县期末）如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分
（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
（1）用图1可以验证的乘法公式是 （ a +b ） 2 ＝ a 2 + 2a b +b 2 ；
（2）如果图1中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求（a+b） 2的值；
（3）如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，面积分别是S
1
和S，设AB＝8，两正方形的面积和S+S＝28，求图中阴影部分面积．
2 1 2
学科网（北京）股份有限公司【思路引导】（1）利用面积相等求解；
（2）代入完全平方公式求解；
（3）代入公式，整体求解．
【完整解答】解：（1）正方形面积整体计算是：（a+b）2，分割计算是：a2+2ab+b2；
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）（a+b）2＝a2+2ab+b2＝57+2×12＝81；
（3）设AC＝m，BC＝n，
则m+n＝8，m2+n2＝28，
∴2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝64﹣28＝36，
所以阴影部分得面积为：0.5mn＝9．
24．（8分）（2024•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可
以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝
7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ 6 ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ 1 7 ．
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF
＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的
面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．
【思路引导】（1）利用完全平方公式的变形求解；
（2）利用完全平方公式的变形，结合引入新参数简化计算；
学科网（北京）股份有限公司（3）理解题意，转化问题，再利用完全平方公式的变形求解．
【完整解答】解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝26，
∴xy＝13．
（2）①令a＝4﹣x，b＝x，
则a+b＝4，ab＝5，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\，
∴（4﹣x）2+x2＝6，
故答案为：6．
②令a＝4﹣x，b＝5﹣x，
则a﹣b＝﹣1，ab＝8，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17，
故答案为：17．
（3）由题意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200，
令a＝25﹣x，b＝15﹣x，
则：a﹣b＝10，ab＝200，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500，
∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500，
所以阴影部分的面积和为500平方米．
25．（8分）（2024•渠县期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可
以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1
所以a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，则（4﹣x）2+（x﹣5）2＝ 1 7 ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正
方形的面积和S+S＝18，求图中阴影部分面积．
1 2
【思路引导】（1）根据完全平方公式得出2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2），整体代入求值即
可；
学科网（北京）股份有限公司（2）根据完全平方公式将（4﹣x）2+（5﹣x）2转化为[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（4﹣
x）（5﹣x），再整体代入求值即可；
（3）设AC＝m，CF＝n，可得m+n＝6，m2+n2＝18，求出0.5mn即可．
【完整解答】解：（1）2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝24，
∴xy＝12，
（2）由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1，
∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；
又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17；
故答案为：17．
（3）设AC＝m，CF＝n，
∵AB＝6，
∴m+n＝6，
又∵S+S＝18，
1 2
∴m2+n2＝18，
由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴62＝18+2mn，
∴mn＝9，
∴S ＝0.5×mn＝0.5×9＝4.5，
阴影部分
答：阴影部分的面积为4.5．
26．（8分）（2024•郴州期末）两个边长分别为m和n的正方形如图放置（图1），其未
叠合部分（阴影）面积为S；若在图1中大正方形的右上角再摆放一个边长为n的小正
1
方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S．
2
（1）用含m，n的代数式分别表示S，S；
1 2
（2）若m﹣n＝10，mn＝20，求S+S的值；
1 2
（3）若S+S＝30，求图3中阴影部分的面积S．
1 2 3
【思路引导】（1）S可以看作两个正方形的面积差，即S＝m2﹣n2，S是长为2n﹣m，
1 1 2
高为n的长方形的面积，即S＝（2n﹣m）•n＝2n2﹣mn；
2
（2）将S+S＝m2﹣n2+2n2﹣mn，变形为（m﹣n）2+mn，再代入计算即可；
1 2
（3）由S+S＝30，可得到m2+n2﹣mn＝30，由图3看得出S＝ （m2+n2﹣mn），整体代
1 2 3
入计算即可．
学科网（北京）股份有限公司【完整解答】解：（1）S可以看作两个正方形的面积差，即S＝m2﹣n2，
1 1
S是长为2n﹣m，高为n的长方形的面积，即S＝（2n﹣m）•n＝2n2﹣mn；
2 2
（2）∵m﹣n＝10，mn＝20，
∴S+S＝m2﹣n2+2n2﹣mn
1 2
＝m2+n2﹣mn
＝（m﹣n）2+mn
＝100+20
＝120；
（3）∵S+S＝m2+n2﹣mn＝30，
1 2
∴S＝m2+n2﹣ m2﹣ n（m+n）
3
＝ m2﹣ mn+ n2
＝ （m2+n2﹣mn）
＝ ×30
＝15．
27．（8分）（2021秋•蒙阴县期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚
线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 （ m ﹣ n ） 2 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 （ m +n ） 2 ﹣
4m n ＝（ m ﹣ n ） 2 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
【思路引导】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；
（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式
（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系．
（3）根据（2）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2，继而可得出x﹣y的值．
（4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式．
【完整解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2，
故答案为：（m﹣n）2；
学科网（北京）股份有限公司（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，
故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，
则x﹣y＝±5；
（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．
28．（10分）（2024•姑苏区期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图 1：
A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为
a，b的长方形．
（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一
个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式
（ a +b ） 2 ＝ a 2 + 2a b +b 2 ；
（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线
框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，
图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长
度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S，S．若S＝S﹣S，则当
1 2 2 1
a与b满足 a ＝ 2b 时，S为定值，且定值为 a 2 ．（用含a或b的代数式表示）
【思路引导】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式；
（2）由a2+5ab+6b2可得A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片5张；
（3）设DG长为x，求出S，S即可解决问题．
1 2
【完整解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，
方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
学科网（北京）股份有限公司（2）如图，
（3）设DG长为x．
∵S＝a[x﹣（a+2b）]＝ax﹣a2﹣2ab，S＝2b（x﹣a）＝2bx﹣2ab，
1 2
∴S＝S﹣S＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣a2﹣2ab）＝（2b﹣a）x+a2，
2 1
由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化，
可知当2b﹣a＝0时，即a＝2b时，S＝a2为定值，
故答案为：a＝2b，a2
学科网（北京）股份有限公司
